Lista I Espaços Vetoriais Eng. Civil

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Prof. Juscimar Araujo
Curso de A´lgebra Linear
Lista - Espac¸os Vetoriais
Ac¸ailaˆndia - Engenharia Civil
05.04.2018
Nome:
1. ESPAC¸O VETORIAL: espac¸o R2 = {(x, y)|x, y ∈ R}.
2. ESPAC¸O VETORIAL: espac¸o vetorial nulo.
3. ESPAC¸O VETORIAL: Rn e´ um espac¸o vetorial.
4. ESPAC¸O VETORIAL: O espac¸o vetorial das sequeˆncias infinitas de nu´meros reais.
5. ESPAC¸O VETORIAL: O espac¸o vetorial M(2).
6. ESPAC¸O VETORIAL: O espac¸o vetorial M(m,n).
7. ESPAC¸O VETORIAL: O espac¸o vetorial das func¸o˜es reais.
8. NA˜O ESPAC¸O VETORIAL: Seja V = Rn e definidas as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar
como segue: se u = (u1, u2) e v = (v1, v2), defina:
u+ v = (u1 + v1, u2 + v2)
e se α ∈ R, defina
αu = (αu1, 0).
9. Mostre que o conjunto dos polinoˆmios da forma a+ bx com as operac¸o˜es definidas por:
p(x) + q(x) = (a+ bx) + (c+ dx) = (a+ b) + (c+ d)x
e
α(a+ bx) = (αa) + (αb)x
e´ um espac¸o vetorial.
10. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de nu´meros reais e considere as operac¸o˜es de adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o por escalar definidas por:
u+ v = (x, y) + (s, t) = (x+ s+ 1, y + t− 2),
αu = α(x, y) = (αx+ α− 1, αy − 2α+ 2),
(a) Calcule u+ v e αu para u = (−2, 3), v = (1,−2) e α = 2.
(b) Mostre que (0, 0) 6= 0. Sugesta˜o: encontre um vetor w tal que u+w = u (w representa o ”vetor nulo”).
11. No R2 consideremos os vetores u = (1, 1), v = (3,−2) e w = (3,−2).
(a) Resolver a equac¸a˜o:
x+ u
2
+
v + x
3
= w,
na inco´gnita x ∈ R2;
(b) Resolver o seguinte sistema de equac¸o˜es: x+ y + z = u2x− y + z = v
x+ y − 2z = w
,
nas inco´gnitas x, y, z ∈ R2.
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