Unidade III Distribuição de Probabilidade (Estat. Vital) R

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 UNIDADE III: DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
 
3.1 – INTRODUÇÃO 
 
 O objetivo desta unidade é apresentar alguns modelos teóricos de distribuição de 
probabilidade, aos quais um experimento aleatório estudado possa ser adaptado, o que permitirá 
a solução de um grande número de problemas práticos. 
É condição inerente à uma população existir variação quanto aos atributos que lhe podem 
ser estudados. Portanto, a VARIABILIDADE é uma característica comum a dados de 
observação e experimentos. Um atributo sujeito à variação é descrito por uma VARIÁVEL. 
Suponha a seguinte situação: 
Um pesquisador cria, em laboratório, ratos de uma só raça, em condições controladas de 
alimentação e manejo. É razoável considerar que os pesos desses ratos variam. Sabe-se 
que, 
o Os machos pesam mais do que as fêmeas; 
o Os animais ganham peso com a idade; 
No entanto, 
o Ratos de mesmo sexo, nascidos no mesmo dia têm pesos variáveis; 
 
VARIABILIDADE: Resulta de uma soma de fatores não controlados. 
 
 O peso dos ratos é uma variável aleatória, X (v.a é toda variável influenciada pelo acaso). 
As variáveis aleatórias são indicadas por letras maiúsculas. Os valores assumidos pelas variáveis 
aleatórias são indicados por letras minúsculas. 
 
As variáveis aleatórias são classificadas em: 
 
 Variável Aleatória Discreta: assume um número finito ou infinito contável de valores 
numéricos. Dá uma idéia de contagem (os valores que podem ser associados aos números 
naturais (1,2,3,....)). Por exemplo, número de crias em animais. 
 
 Variável Aleatória Contínua: assume um valor dado por uma medida numa escala contínua, 
isto é, todos os valores possíveis num intervalo real. Isto é, assume infinitos valores em um dado 
intervalo. Dá uma idéia de medição. Por exemplo, peso e comprimento de animais. 
 
 DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 
Um modelo de probabilidade associado a um experimento contém dois componentes: 
(i) O espaço amostral; 
(ii) As probabilidades associadas a cada resultado elementar. 
 
Definição 01: Uma variável aleatória X associa um valor numérico a cada resultado elementar 
de um experimento. 
 
Definição 02: É uma função definida em um espaço amostral, quando a mesma representa um 
fenômeno aleatório. É geralmente representada por X, onde a função de X associa a cada 
elemento s 

 S um número real, X(s). 
 
 Contradomínio (Rx): É o número de valores possíveis da variável aleatória X. De certo modo, 
pode-se considerar o Rx como um outro espaço amostral. O espaço amostral original S 
corresponde ao resultado não numérico do experimento, enquanto que, Rx é o espaço amostral 
associado à variável aleatória X, representando a característica numérica de interesse. 
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Exemplo 01: E = lançamento de um dado 5 vezes. 
 X = número de vezes que aparece o número 2  Rx = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
Exemplo 02: E = lançamento de uma moeda 2 vezes. 
 X = número de caras obtidas nos dois lances  Rx = {0, 1, 2} 
 
Definição 03: Seja E um experimento e S um espaço amostral associado ao experimento. Uma 
função X, que associe a cada elemento s 

 S um número real, X(s), é denominada variável 
aleatória. 
 s1 S X(s1) Rx 
 s2 X X(s2) 
 

 

 
 sn X(sn) 
Exemplo: 
 
Suponha que duas moedas sejam lançadas e observamos a seqüência de caras e coroas obtidas. 
Considere o espaço amostral associado a esse experimento. Isto é, S = {(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)}. 
Define-se a variável aleatória X = número de caras obtidas nas duas moedas. Então: 
X(c, c) = 2 X(c, k) = X(k, c) = 1 X(k, k) = 0 
 
É muito importante compreender uma exigência fundamental de uma função unívoca: a 
cada s 

 S corresponderá exatamente um valor X(s). Diferentes valores de s podem levar ao 
mesmo valor de X. Como pode ser visto no exemplo acima, aonde vimos que: 
X(c, k) = X(k, c) = 1. 
 
Definição: Seja E um experimento e S seu espaço amostral. Seja X uma variável aleatória 
definida em S e seja Rx seu contradomínio. Seja B um evento definido em relação a Rx, isto é, B 

 Rx. Então, define-se A como: 
A = {s 

 S / X(s) 

 B} 
 
Assim, A será constituído por todos os resultados em S, para os quais X(s)

 B. Neste caso, diz-
se que A e B são eventos equivalentes. Como pode ser visualizado na figura a seguir: 
 
 s1 S X(s1) Rx 
 s2 X X(s2) 
 

 

 
 sn X(sn) 
 
 É importante compreender que, na definição de eventos equivalentes A e B são 
associados a espaços amostrais diferentes. 
 
Exemplo: 
 
Considere o exemplo anterior (2 moedas). Se B = {1} em Rx. Qual o evento A equivalente a B 
em S? 
 
  Solução: 
 
Já que X(c, k) = X(k, c) = 1 se, e somente se, X(s) = 1, temos que: A = {(c, k), (k, c)} é o 
evento equivalente a B. 
 
Definição: Seja B um evento no contradomínio Rx. Define-se P(B) da seguinte forma P(B) = 
P(A), onde A = {s 

 S / X(s)

 B}. Em outras palavras, como B é equivalente a A em S, a 
probabilidade de B é igual a probabilidade de A. 
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Exemplo: 
 
Considere as 2 moedas do exemplo anterior como equilibradas. Calcule: P(X = 0), P(X = 1) e 
P(X = 2). 
  Solução: 
 
P(X = 0) = P(k, k) = 1/4 
P(X = 1) = P((c, k), (k, c)) = 1/4 + 1/4 = 2/4 
P(X = 2) = P(c, c) = 1/4 
 
 Uma vez que as probabilidades associadas aos vários resultados (ou eventos) no 
contradomínio Rx tenham sido determinadas (mais precisamente, induzidas), ignoraremos 
freqüentemente o espaço amostral original S, que deu origem a essas probabilidades. O fato de 
que essas probabilidades sejam determinadas por uma função de probabilidade definida sobre o 
espaço amostral original S, passa desapercebido quando estamos interessados em estudar os 
valores da variável aleatória X. 
 
3.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
 
Definição: Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X, isto é Rx, for 
finito ou infinito numerável então X é uma variável aleatória discreta. 
 
Exemplo: 
 
Considere um lote com 4 peças, das quais 2 são defeituosas. Retira-se ao acaso duas peças, com 
reposição. Seja, D = {a peça é defeituosa} e P = {a peça é perfeita}. Definindo X como sendo o 
número de peças perfeitas temos: 
s {D,D} {DP, PD} {P,P} 
X(s) 0 1 2 
 
 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISCRETAS 
 
 É uma expressão matemática aplicável a múltiplas situações desde que determinadas 
premissas sejam respeitadas. Ela torna possível o cálculo de uma probabilidade por meio da 
simples aplicação de fórmulas ou, às vezes, da leitura de uma tabela. 
 
Distribuição de Probabilidade: É o conjunto de todos os valores que podem ser assumidos pela 
variável discreta, com as respectivas probabilidades. 
 
Exemplo: Considere o lançamento de um dado. A distribuição dos resultados do jogo de um 
dado é dada por: 
 
  Solução:P(X) 
X P(X) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
Total 1 
 X 
1/6 
1 2 3 4 5 6 
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Exemplo: Seja a variável aleatória X representando o número de caras em 3 lançamentos de uma 
moeda. Como a moeda é honesta, os 8 pontos amostrais do espaço amostral tem a mesma 
probabilidade 1/8. Portanto, a distribuição da v.a X é dada por: 
 
 Solução: 
 
 S = {(c, c, c); (c, c, k); (c, k, c); (k, c, c); (k, k, c); (k, c, k); (c, k, k); (k, k, k)} 
 
 P (X) 
X P(X) 
0 1/8 
1 3/8 
2 3/8 
3 1/8 
Total 1 
 X 
 
 
Observar que X = 1 corresponde aos pontos amostrais ckk, kck, kkc, isto é, a 
probabilidade de X=1 é 3/8  P(X = 1) = 3/8. 
 
 
FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
 
 
Definição (Função de Probabilidade): Chama-se função de probabilidade (f.p) da variável 
aleatória discreta X, que assume valores x1, x2,..., xn, a função p(xi), que a cada valor de xi 
associa sua probabilidade de ocorrência, isto é: 
 
p(xi) = f(xi) = P(X = xi) = pi, 
 
e deve satisfazer as seguintes condições: (a) p(xi)  0 para todo i; 
(b)
1)x(p
1i
i 


; 
 
A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta pode ser representada graficamente 
pelo histograma de probabilidades. 
 f (X) 
Considere novamente a v.a X representando 
o número de caras em 3 lançamentos de uma 
moeda honesta. Na figura ao lado temos o 
histograma de probabilidade de v.a X. 
 
 
 X 
 
Exemplo: 
Considere o exemplo anterior (lote com 4 peças, das quais 2 são defeituosas) onde X = número 
de peças perfeitas. Calcule: P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X 

 2), P(X < 0). 
 
 Solução: 
 
P(X = 0) = 1/4 P(X = 2) = 1/4 P(X < 0) = P(

) = 0 
P(X = 1) = 2/4 P(X 

 2) = P(S) = 1 
3/8 
 0 1 2 3 
1/8 
 0 1 2 3 
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Exemplo: Supor que 30% das árvores de uma reserva florestal estão infestadas por um parasita. 
Quatro árvores são selecionadas aleatoriamente. Seja X a variável aleatória representando o 
número de árvores na amostra selecionada que tem o parasita presente. Obter a distribuição de 
probabilidade de X e o histograma de probabilidade. 
 
 Solução: 
 
X = 0 X = 1 X = 2 X = 3 X = 4 
N N N N N N N I N N I I N I I I I I I I 
 N N I N N I N I I N I I 
 N I N N N I I N I I N I 
 I N N N I N N I I I I N 
 I N I N 
 I I N N 
 
P(N N N N) = (0,7).(0,7).(0,7).(0,7) = 0,2401  P(X = 0) = 0,2401 
P(N N N I) = (0,7).(0,7).(0,7).(0,3) = 0,1029  P(X = 1) = 4.(0,1029) = 0,4116 
P(N N I I) = (0,7).(0,7).(0,3).(0,3) = 0,0441  P(X = 2) = 6.(0,0441) = 0,2646 
P(N I I I) = (0,7).(0,3).(0,3).(0,3) = 0,0189  P(X = 3) = 4.(0,0189) = 0,0756 
P(I I I I) = (0,3).(0,3).(0,3).(0,3) = 0,0081  P(X = 4) = 0,0081 
 
A função de probabilidade da variável aleatória X é dada por: 
 
x f (x) 
0 0,2401 
1 0,4116 
2 0,2646 
3 0,0756 
4 0,0081 
Total 1 
 
 
Definição (Função de Distribuição Acumulada): Seja X uma variável aleatória discreta. 
Define-se a função de distribuição acumulada, F, da variável aleatória X como: 
 
F(x) = P(X 

 x) = 


1j
i )x(p
, xj  x. 
 
Exemplo: Suponha a seguinte distribuição de 
probabilidade da variável aleatória X. 
 
X 0 1 2 
P(X) 1/3 1/6 ½ 
 
 F(X) 
OBS1: O domínio de F é a reta real. 1  
 
OBS2: 
0)( 

xFLim
x
 e 
1)( 

xFLim
x
. 1/2  
 
OBS3: F é não decrescente, isto é, se 
21 xx 
 1/3  
teremos 
)()( 21 xFxF 
. 
 
OBS4: F(x_)  F(x), isto é, F é descontínua à esquerda.  
 0 1 2 X 
F(x) = 











2,1
21,2/1
10,3/1
0,0
xse
xse
xse
xse
 
Como 30% das árvores estão 
infectadas temos, P(I) = 0,3 e 
P(N) = 0,7. Como a população 
de árvores é muito grande e a 
amostra é muito pequena 
considerar as observações nas 4 
árvores como independentes. 
Pela independência temos: 
0,4 
 
0,3 
 
0,2 
 
0,1 
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OBS5: F(x+ )  F(x), isto é, F é contínua à direita. 
 
OBS6: A magnitude de cada salto é p(xi), isto é, P(X = x) = F(x) – F(x_), onde 
)(_)(
_
yFLimxF
xy

. 
 
Exercício de Aplicação: 
 
Um par de dados é lançado. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto (a, b) de S a 
soma desses números, isto é, X(a,b) = a + b. Determine a função de probabilidade de X e a 
função de distribuição acumulada. 
 
Muitos experimentos são executados sob diferentes conjuntos de suposições. Por causa 
da sua importância e da sua vasta área de aplicações, estes experimentos recebem nomes 
especiais. Vamos derivar as distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias associadas 
com estes experimentos e estudar algumas de suas propriedades. Dentre algumas distribuições 
discretas podemos citar: Bernoulli, Binomial, Poisson, entre outras. 
As variáveis aleatórias cujos valores resultam de algum processo de mensuração, de um 
modo geral, são as variáveis aleatórias contínuas. Por exemplo, o peso ou a altura de pessoas de 
uma cidade; o tempo de vida de uma lâmpada; o diâmetro de rolamentos de esferas; etc.. Dada 
uma variável aleatória contínua X, deseja-se saber qual a f.d.p de X. Para atingir este objetivo 
alguns modelos são comumente usados para representar a f.d.p de variáveis contínuas, entre eles: 
o modelo Normal, Exponencial, Gama, Qui-quadrado, entre outros. 
 
 
3.4 – ESPERANÇA MATEMÁTICA E VARIÂNCIA 
 
Nos modelos matemáticos aleatórios, que temos considerado, os parâmetros podem, ser 
também, empregados para caracterizar a distribuição de probabilidade. A cada distribuição de 
probabilidade, é possível associar certos parâmetros, os quais fornecem informação valiosa sobre 
a distribuição, tal como a declividade de uma reta fornece informação sobre a relação linear que 
representa. 
 
ESPERANÇA MATEMÁTICA 
 
 
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta, com valores possíveis x1, x2,....,xn. Seja p(xi) = 
P(X = xi), i = 1, 2,....,n,..... Então, o valor esperado de X (ou esperança matemática de X, valor 
médio de X ou expectância de X), denotado por E(X) é definido como: 




1i
ii )x(px)X(E
 
 
O valor esperado, a exemplo da média aritmética para distribuições de freqüências, é uma 
medida de tendência central ou posição, só que utiliza a freqüência relativa ou probabilidade. 
 
 
Exemplo: No exemplo anterior referente 
ao lote de peças (2 defeituosas e 2 perfeitas). 
E(X) = ? 
  Solução: 




1
)()(
i
ii xpxXE
 = 0.(1/4)+ 1.(2/4) + 2.(1/4) = 1. Ao retirarmos 2 peças do lote 
esperamos vir, em média, 1 peça defeituosa. 




1
)()(
i
ii xpxXE
 = 0.(1/4) + 1.(2/4) + 2.(1/4) = 1. 
Ao retirarmos 2 peças do lote esperamos vir, em 
média, 1 peça defeituosa. 
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 Propriedades do Valor Esperado: 
 
1. E(c) = c, onde c é uma constante. 
2. E(c.X) = c.E(X), onde c é uma constante. 
3. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer. Então, E(X 

 Y) = E(X) 

 E(Y). 
4. Sejam n variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn. Então, E(X1 +...+ Xn) = E(X1) +...+ E(Xn). 
5. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional e suponha-se que X e Y sejam 
independentes. Então, E(X.Y) = E(X).E(Y). 
 
OBS: Note que toda função de uma variável aleatória X é também uma variável aleatória. Pode-
se, portanto, falar na esperança de X
2
, 2X + 1, dentre outras. Portanto, 




1
22 )()(
i
ii xpxXE
 
 
VARIÂNCIA 
 
 
Definição: Seja X uma variável aleatória. Definimos a variância de X, denotada por V(X) ou 
2
X
 
da seguinte maneira: 
V(X) = E[X – E(X)]2 = E(X2) – [E(X)]2 
 
Exemplo: Considere a variável aleatória X representando o número de caras em 3 lançamentos 
de uma moeda. Calcule E(X) e V(X). 
 
 Solução: 
 
X P(X) x.P(X) x
2
.P(X) 
0 1/8 0 0 
1 3/8 3/8 3/8 
2 3/8 6/8 12/8 
3 1/8 3/8 9/8 
Total 1 12/8 24/8 
 
 
OBS: A variância de uma variável aleatória é uma medida que dá a idéia de dispersão dos 
valores da variável, em relação ao seu valor esperado. 
 
 Propriedades da Variância: 
 
1. V(c) = 0, onde c é uma constante; 
2. V(X + c) = V(X), onde c é uma constante; 
3. V(cX) = c2.V(X); 
4. V(X 

 Y) = V(X) + V(Y) 

 2Cov(X, Y) onde, 
Cov(X, Y) = E{[X – E(X)].[Y – E(Y)]} = E(XY) – E(X).E(Y) 
5. Se (X, Y) for uma variável aleatória bidimensional, e se X e Y forem independentes 
temos que Cov(X, Y) = 0. Então, V(X 

 Y) = V(X) + V(Y). 
6. Sejam X1, X2, ..., Xn, n variáveis aleatórias. Então, V(X1 +...+ Xn) =V(X1) +...+ V(Xn). 
 
OBS: Se uma variável aleatória é medida em certa unidade, a variância dessa variável é expressa 
no quadrado dessa unidade. Para fins de comparação e facilidade de interpretação introduz-se o 
conceito do desvio padrão da variável aleatória, o qual é definido como raiz quadrada positiva da 
variância. 
 




1i
ii )x(px)X(E
 = 12/8 = 1,5 
 
V(X) = E[X – E(X)]2 = E(X2) – [E(X)]2 
V(X) = (24/8) – (1,5)2 = 3 – 2,25 = 0,75 
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LISTA DE EXERCÍCIOS (Variáveis Aleatórias) 
 
 
1. Considere famílias com três filhos. Uma família é observada verificando-se a idade e o sexo 
das crianças. Seja a variável aleatória: X = número de crianças do sexo masculino. Determine a 
distribuição de probabilidade de X e o seu valor esperado e variância. (Resp.: E(X) = 12/8, 
E(X
2
)=3, V(X) = 0,75) 
 
2. Considere o lançamento de um dado. Seja X o número mostrado na face superior. Determine a 
distribuição de probabilidade de X e represente-a graficamente. Encontre E(X) e V(X). (Resp.: 
E(X) = 3,5, E(X
2
) = 15,17, V(X) = 2,92) 
 
3. Seja X uma variável aleatória com Rx = {-1, 0, 1} com probabilidades: 1/3, 1/2 e 1/6, 
respectivamente. 
(a) Seja, Y = 3X + 1. Construa a distribuição de probabilidade de Y; Encontre E(Y). (Resp.: 
E(Y) = 0,5, E(Y
2
) = 4,5, V(Y) = 4,25) 
(b) Seja, Z = X
2
. Construa a distribuição de probabilidade de Z; Encontre V(Z). (Resp.: 
E(Z)=0,5, E(Z
2
) = 0,5, V(Z) = 0,25) 
 
4. Considere o lançamento de dois dados. Seja a variável aleatória X = a soma dos pontos 
obtidos. Determine f(X), F(X) e E(X). 
 
5. Suponha uma moeda onde cara tem três chances a mais que coroa. Considere três 
lançamentos. Seja X, o número de caras obtido nos três lances. Calcule V(X). 
 
6. Um jogador joga um dado uma vez, se ocorrer 1, 2 ou 3 ele recebe o dobro do número obtido 
mais R$ 1,00. Caso contrário, ele paga o triplo do número obtido menos R$ 10,00. Calcule o 
ganho esperado do jogador. 
 
7. Um jogador lança um dado não viciado. Se ocorrer um número primo ele ganha este número 
em dólares. Mas se ocorrer um número que não seja primo ele perde este número em dólares. 
Este jogo e favorável ao jogador? 
 
8. Considere o lançamento de um dado não viciado. Sejam as v.a’s: X = o dobro do número 
obtido; Y = 1 ou 3, conforme ocorra um número ímpar ou par. Encontre o desvio padrão de X e 
de Y. 
 
9. Com base na questão 8, considere a função Z = H(X + Y). Encontre o desvio padrão dessa 
função. Determine E(Z) e V(Z). 
 
 
3.5 – ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
 
3.5.1 – DISTRIBUIÇÃO BERNOULLI 
 
Considere a realização de um experimento cujo resultado pode ser um SUCESSO (se 
acontecer o evento de interesse) ou um FRACASSO (se o evento não se realizar), isto é, existem 
somente dois resultados possíveis. 
 
Definição: Seja X uma variável aleatória com valores 0 e 1. Então, a função de probabilidade da 
variável aleatória X, chamada de distribuição de Bernoulli é dada por: 
P(X = 1) = P (Sucesso) 
 P(X = 0) = (1 – P) (Fracasso) 
1,0;)1.()()( 1   xPPxXPxf xx
 
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Exemplos: 
 
1. Lançamento de uma moeda; 
2. Extração de uma bola de uma urna contendo M bolas brancas e N bolas pretas; 
3. Seleção de um item de uma caixa contendo itens perfeitos e defeituosos; 
 
Distribuição de Probabilidade: 
 
xi 0 1 
P(X = xi) (1 – p) P 
 
Principais Características: 
 
(a) Média: 
pX )(
. 
(b) Variância: 
qpppX .)1.()(2 
. 
Exemplo: 
 
Seja o experimento E: lançar um dado e observar a face superior. Defina o evento: o número é 
múltiplo de 3 e a variável X é definida como o número de sucesso. Determine a função de 
probabilidade de X calcule a esperança e a variância. 
 
  Solução: 
 
 Então a variável X tem distribuição: 
xi 0 1 
P(X = xi) 4/6 2/6 
 
 
3.5.2 – DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
É uma distribuição que resulta da soma de variáveis aleatórias binárias. Isto é, o 
experimento binomial é aquele no qual uma seqüência de ensaios de Bernoulli é executada. 
 
Definição: Seja a variável aleatória X o número total de sucessos em n ensaios independentes de 
Bernoulli. Seja “p” a probabilidade de sucesso e “(1 – p)” a probabilidade de 
fracasso. Então, X é chamada de variável aleatória binomial se as seguintes condições 
são satisfeitas: 
 ( i ) cada ensaio tem somente dois resultados sucesso (S) ou fracasso (F); 
 ( ii ) a probabilidade de sucesso é a mesma em cada ensaio; 
 ( iii ) os ensaios são independentes; 
 
Se X é uma variável aleatória binomial em n ensaios de Bernoulli, com probabilidade “p” de 
sucesso e “(1 – p)” de fracasso, a função de probabilidade da variável aleatória X, chamada de 
distribuição binomial é dada por: 
 
.,,1,0;)1.()()( nxPP
x
n
xXPxf xnx 





 
 
Notação: X ~ Bin (n, p). 
 
Exemplos: 
 
1. Lança-se uma moeda dez vezes. Então, X é o número de caras observadas; 
2. Extraem-se três bolas de uma urna, com reposição, contendo quatro bolas brancas e oito 
bolas pretas. Então, X é o número de bolas pretas extraídas; 
3. Selecionam-se quatro itens, com reposição, de uma caixa contendo três itens defeituosos 
e sete itens perfeitos. Então, X é o número de itens defeituosos extraídos. 
Onde: 
 E(X) = p = 2/6 
 V(X) = p.(1 – p) = (2/6).(4/6) = 8/36 
Profa. Gilmara Alves Cavalcanti Página 56 
Principais Características: (a) Média: 
npX )(
. 
 (b) Variância: 
qpnpnpX ..)1.()(2  . 
 
Exemplo:Dois times de futebol A e B jogam entre si 6 vezes. Suponha que as probabilidades de A ganhar, 
perder ou empatar um jogo, são as mesmas, e permanecem constante durante as 6 partidas. 
Encontre a probabilidade do time A ganhar 4 vezes. Calcule a esperança e a variância. 
 
 Solução: 
 
 X: Número de vezes que o time A ganha, onde x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
 Note que: p = 1/3 (vencer) e que q = 2/3 (perder ou empatar). Além disso, n = 6 
X ~ Bin (n, p) então: X ~ Bin (6, 1/3) 
 
 
243/20)3/2.()3/1(
4
6
)4()1.()( 464 











  XPPP
x
n
xXP xnx
 
 
 E(X) = n.p = 6.(1/3) = 2 V(X) = n.p.q = 6.(1/3).(2/3) = 4/3 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS (Distribuição Binomial) 
 
 
1. De um lote contendo vinte itens, dos quais cinco são defeituosos, quatro itens são extraídos 
com reposição. Qual a probabilidade de se obter: (a) exatamente um item defeituoso? (b) pelo 
menos um item defeituoso? 
 
2. Seja a variável aleatória X, o número de caras em quatro lançamentos de uma moeda. Qual a 
probabilidade de se obter: (a) Exatamente duas caras? (b) Pelo menos uma cara? (c) Mais de 
uma cara? 
 
3. Em uma família com cinco crianças, qual a probabilidade de que haja exatamente dois 
meninos, supondo que os sexos são equiprováveis. 
 
4. A probabilidade de um menino ser daltônico é 8%. Qual é a probabilidade de serem daltônicos 
todos os quatro meninos que se apresentaram, em determinado dia, para um exame 
oftalmológico? 
 
5. Um exame é constituído de 100 testes com cinco alternativas, onde apenas uma é correta. 
Quantos testes acertam, em média, um aluno que nada sabe sobre a matéria do exame? Qual é a 
variância da distribuição? 
 
6. Uma moeda é lançada 64 vezes. Determine a média e o desvio padrão do número de caras 
obtidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Gilmara Alves Cavalcanti Página 57 
3.5.4 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
Definição: Seja X uma variável aleatória contínua. A função de probabilidade de X, 
normalmente distribuída é dada por: 
 














 
 x ,
σ
μx
2
1
.exp
2πσ
1
f(x)
2 
onde, 
 

 = média da distribuição; 

 = 3.1416.... 
 
2
= variância da distribuição; exp (e) = 2.71828.... 
 
Notação: X ~ N (

,
2
) 
 
Gráfico da Distribuição Normal: 
 
 Z 
 

 
Características da Distribuição Normal: 
 
a) A variável aleatória X pode assumir qualquer valor real; 
b) É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada em inúmeros fenômenos e 
utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística; 
c) O gráfico é uma curva em forma de sino, simétrico em torno da média, 

; 
d) A área total sobre a curva vale 1, porque essa área corresponde área corresponde à 
probabilidade da variável aleatória assumir qualquer valor real; 
e) Como a curva é simétrica em torno da média, os valores maiores do que a média e os valores 
menores do que a média ocorrem com igual probabilidade; 
f) A configuração da curva é dada por dois parâmetros: 

 e 
2
. Se o valor de 

 mudar, a 
posição da distribuição é alterada (figura 1); enquanto que, se o valor de 
2
 mudar, altera-se 
a dispersão da distribuição (figura 2); 
 
 
 Figura 1 Figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 

1 

2 

 
 
 
g) É unimodal, isto é, f (x) tem um ponto de máximo cuja abscissa é x = 

. Esse ponto situado 
no meio da distribuição é aquele em que coincidem os valores da média, moda e mediana; 
h) f (x) tem uma assíntota: eixo x, isto é, a partir do topo a curva cai gradativamente ate formar 
as caudas, que se estendem indefinidamente, aproximando-se cada vez mais da linha base, 
sem entretanto, jamais tocá-la. 
 
Profa. Gilmara Alves Cavalcanti Página 58 
PROBLEMAS para o Cálculo das Probabilidades: 
 
1) Integração de f(x), pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento em séries; 
2) Elaboração de uma tabela de probabilidades, pois f(x) depende de dois parâmetros, 

 e 
2
, 
o que acarretaria um grande trabalho para tabelar essas probabilidades considerando-se as 
várias combinações de 

 e 
2
. 
 
SOLUÇÃO: Transformação de variáveis (X em Z) 

 Distribuição Normal Padrão 
 
Distribuição Normal Padrão (ou Distribuição Normal Reduzida): É a distribuição 
Normal com média igual a zero e variância igual a 1, ou seja, Z ~ N(0, 1). 
 
Definição: Se a variável X possuir uma distribuição Normal, com média 

 e desvio padrão 

, 
a variável Z que efetuará esta redução é dada pela equação, 





 

σ
μx
Z
, onde Z ~ N(0, 1). 
 
 Graficamente: 
A função de probabilidade da variável Z será: 
 
  







 Z,Z
2
1
exp.
2
1
)Z(
2
 
 
 0 X 
Uso da tabela de Distribuição Normal Padrão: 
 
Existem vários tipos de tabelas que oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva 
Normal Padrão, sendo a TABELA DE FAIXA CENTRAL o tipo mais freqüente. 
 
 
Fornece a área sob a curva normal padrão 
entre Z = 0 e qualquer valor positivo de Z, 
ou seja, 
)ZZ0(P 0
. 
 
 
 0 Z0 Z 
 
 DISTRIBUIÇÃO NORMAL E APROXIMAÇÃO PELA BINOMIAL 
 
Se a amostra for grande, a distribuição Binomial pode ser aproximada à distribuição 
Normal. Neste caso, a variável reduzida será dada por: 







 

npq
pnx
Z
. Quanto maior for o valor 
de n, melhor será a aproximação. Na prática, se (np > 5) e (nq > 5), diz-se que a Binomial 
aproxima-se da Normal. Graficamente, se n é grande a aparência da distribuição Binomial é 
geralmente a seguinte: 
 P(x) 
 
 
 
 
 X 
Profa. Gilmara Alves Cavalcanti Página 59 
Observa-se que, a distribuição Binomial é DISCRETA, enquanto que, a distribuição 
Normal é CONTÍNUA. Diante disso, para que a aproximação seja feita corretamente é 
necessário que se faça uma CORREÇÃO DE CONTINUIDADE (valor X = x da Binomial 
corresponde o intervalo de (x – 0,5) e (x + 0,5)). 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS (Distribuição Normal) 
 
 
1. Calcule as seguintes probabilidades: 
(a) P(0 

 Z 

 1) (c) P(Z 

 1,93) 
(b) P(-2,55 

 Z 

 1,2) (d) P(Z 

 1,93) 
 
2. Suponha que a pressão sanguínea em indivíduos com idade entre 15 e 25 anos é uma variável 
aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 120 mmHg e desvio padrão 8 
mmHg. Calcule a probabilidade de um indivíduo nessa faixa etária apresentar pressão: 
(a) Entre 110 e 130 mmHg; 
(b) Maior do que 140 mmHg; 
 
3. A duração de certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio padrão 45 dias. 
Calcular a probabilidade desse componente durar:(a) Entre 700 e 1000 dias; 
(b) Mais que 850 dias; 
(c) Menos que 750 dias; 
 
4. Suponha que a quantidade de colesterol em 100 ml de sangue tem distribuição normal com 
média 200 mg e desvio padrão 20 mg. 
(a) Qual a probabilidade de uma pessoa apresentar entre 200 e 225 mg de colesterol por 100 ml 
de sangue? 
(b) Qual a probabilidade de uma pessoa apresentar menos de 190 mg de colesterol? 
 
5. As alturas dos alunos da turma de Engenharia são normalmente distribuídas com média 1,60 e 
desvio padrão 0,30. Encontre a probabilidade de um aluno medir: 
(a) Entre 1,50 m e 1,80 m; 
(b) Mais de 1,75 m; 
(c) Menos de 1,48 m; 
(d) Qual deve ser a medida mínima para escolhermos 10% dos mais altos? 
 
6. Suponha que o tempo médio de permanência em um hospital para doenças crônicas seja de 50 
dias, com um desvio padrão de 10 dias. Pressupondo que o tempo de permanência tem 
distribuição aproximadamente normal, qual é a probabilidade de um paciente permanecer no 
hospital: 
(a) Mais de 30 dias? (b) Menos de 30 dias; 
 
7. Suponha que a estatura de recém nascidos do sexo masculino é uma variável aleatória com 
distribuição aproximadamente normal de média 50 cm e desvio padrão 2,50 cm. Calcule a 
probabilidade de um recém nascido ter estatura: 
(a) Inferior a 48 cm; (b) Superior a 52 cm; 
 
8. X é uma variável aleatória contínua, tal que X ~ N(12, 25). Qual a probabilidade de uma 
observação ao acaso: 
(a) Ser menor do que –3; (b) Cair entre –1 e 15?