trabalho edo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
EXERCÍCIOS PARA PONTUAÇÃO
Discentes: Carlos
		Janaína
		Lucas
MANAUS – AM.
2018
1. Em um grande lago usado para piscicultura com fornecimento de alimentação adequado, observa-se que a população de peixes dobra a cada ano, quando não são capturados. Assumindo que a quantidade inicial de peixes é de N0 e que a lei de Malthus de crescimento populacional é válida, obtenha a relação para o número de peixes em função do tempo, porém assumindo uma taxa de captura de peixes de 0,002N0 por dia.
Pelo modelo de Malthus
Resolvendo pelo método de separação de variáveis 
A equação pode ser escrita substituindo C pela população inicial.
Sabendo que a taxa de crescimento de Malthus é N(t) = A – Bt
Onde A = e B = 0,002 e considerando que a cada ano (365 dias) a população de peixes dobra
Assim a taxa de crescimento por dia é dado por
Agora considerando que há uma taxa de captura de peixes
Parte gráfica da questão
Aplicando alguns pontos e considerando uma população inicial de 2500 peixes.
	N(peixes)
		t(dias)
	2495
	30
	2501
	60
	2513
	90
	2536
	120
	2569
	150
	2613
	180
	2668
	210
2. Uma pequena esfera de cobre, inicialmente a uma temperatura T1 = 30°é colocada em um recipiente com água gelada em T=0. Foi observado que a temperatura de esfera cai para 20°C em t= 1min. Usando a lei de resfriamento, determine a temperatura da esfera para t= 2min.
Este problema pode ser resolvido pela lei de resfriamento de Newton.
Solução da Edo, sabendo que em t=0 a Tesfera=30°C
 logo, 
Dado a condição inicial: t= 1 min e Tesfera = 20°C
 20 = 30
				 20 = 30
				 K = 0,405465
Para t = 2 min
T = 30
T = (30 )
T = 13,34°C
Parte gráfica da questão
Foi utilizado Plotador Matemático MAFA
T(°C)
t
 (min
)
3. Um tanque inicialmente armazena 200l de salmoura, que contém 10 Kg de sal. Em seguida, água pura é despejada no tanque a uma taxa de 5l/min. Há um sistema de homogeneização eficiente e a saída da mistura tem a mesma taxa de entrada da água. Determine a quantidade de sal após 30 min. Quanto tempo será necessário para que a quantidade de sal no tanque caia para 1 Kg?
Dados: V0 = 200l
	 Q = 10 Kg
	 Te = Ts = 5l/min
A quantidade de sal na salmoura varia com o tempo, conforme a equação:
Sabendo que o taxa de entrada é composta somente por água, a concentração de sal é zero e a taxa de entrada e saída são iguais, a equação se reduz à:
Resolvendo a edo pelo método de separação de variáveis
Pela condição inicial do problema Q(0) = 10 Kg
 C = 10
Para t = 30 min
O tempo necessário para Q = 1 Kg
Parte gráfica da questão
Foi utilizado Plotador Matemático MAFA
Q(Kg)
t
 (min
)
4. repita o problema anterior assumindo que a válvula de saída do tanque está fechada.
Para este problema, a taxa de saída é igual a zero. Assim:
Ou seja, com a saída fechada, somente o volume de água aumenta, interferindo na concentração, mas não na quantidade de sal presente. Desta forma a quantidade de sal sempre será de 10 Kg e nestas condições a quantidade de sal não poderá chegar a 1 Kg.
Parte gráfica da questão
Foi utilizado Plotador Matemático MAFA
Q (Kg)
t
 (min
)
5. Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional a população presente. Sabendo-se que após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determine a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique. 
O crescimento da população pode ser representado por:
Onde no instante t = 0, a população presente é P(0) = P0.
Resolvendo a edo pelo método do fator integrante obtemos:
Pela condição t = 1 hora P(0) = 2P0
Substituindo na equação: 
Quando a população triplica P(t) = 3P0
Parte gráfica da questão
Foi utilizado Plotador Matemático MAFA 
N (população bactérias)
t
 (
horas)
6. obtenha a solução geral da equação populacional de logística com um limiar descrita pela equação abaixo e esboce um gráfico de crescimento (ou decrescimento) populacional em função do tempo para vários valores iniciais da população. Determine o valor limiar do N0, abaixo do qual o crescimento não ocorre e certas espécies são extintas.
Considerando o problema de valor inicial N(0) = N0 
Logo 
Como o valor da população não pode ser negativo e C = e N(0) = N0
Substituindo C
6.15 Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é 20ºC para fora onde a temperatura é de 5ºC. Após 1/2 min o termômetro marca 15 ºC. 
a) determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo
Adotando t = 0 e T = 20 e aplicando na equação 1 
20 = 5 + C
C = 15 
t = 0,5 e T =15
Portanto 
K= 2 ln
Logo, concluímos que a temperatura do café em função do tempo é dada por 
T(t) = 5 +15 
T(t)= 5 + 15() 2t
Parte gráfica da questão 
	Temperatura (ºc)
	Tempo (t)
	11,66666667
	1
	18,33333333
	2
	25
	3
	31,66666667
	4
	38,33333333
	5
	45
	6
	51,66666667
	7
	58,33333333
	8
	65
	9
	71,66666667
	10
A fórmula encontrada através da resolução do problema: T(t)= 5 + 15() 2t
b) qual será a leitura do termômetro após 1 minuto 
T(t)= 5 + 15() 2t
T(1)= 5 + 15() 2(1) = 11,7 ºc 
c) Em quanto tempo o termômetro ira marcar 10ºc 
Aplicando T = 10 na equação T(t)= 5 + 15() 2t
Temos: 10 = 5 + 15() 2t
Logo o tempo necessário para que o termômetro marque 10ºc é 
 t= = 71,66666667 ou 1 min e 20 segundos 
6.1 Um tanque contem 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de 2te− 10 t gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto a solução bem misturada sai a mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e contado a partir do inıcio do processo.
Q (0) =100
Usando o método do fator integrante: 
multiplicando o fator integrante pela equação temos:
Adotando t=0 e Q = 100, obtemos:
Logo, C = 100
Parte gráfica:
	Q de sal (g)
	Tempo (min)
	99,99503321
	1
	101,940662
	2
	105,7785632
	3
	111,4515749
	4
	118,9036781
	5
	128,0799766
	6
	138,9266792
	7
	151,3910808
	8
	165,4215445
	9
	180,9674836
	10
A fórmula encontrada através da resolução da EDO:
(b) Calcule a concentração de sal no tanque t = 10 minutos após o inıcio do processo.
t = 10 min 
C(10)= Q(10)/100 
(10²/100 +1 ) 
2e ^(-1/10) g/L
Parte gráfica:
	Concentração (g/L)
	Tempo (min)
	1,980099667
	1
	3,960199335
	2
	5,940299002
	3
	7,92039867
	4
	9,900498337
	5
	11,880598
	6
	13,86069767
	7
	15,84079734
	8
	17,82089701
	9
	19,80099667
	10
6.4) Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto possuindo uma concentração de 1 grama de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
 (a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo. 
Q(0) =10 
Fator integrante: u(t) = e^∫2/100 dt = e^2ln │100+t│ = (100 + t) ²
Adotando t = 0 e Q = 10 
Temos: 100 = 100 + C * 10^-4
 C= -9*10 ^5 
A solução do problema de valor inicial 
Onde Q é em gramas.
Parte gráfica
	t (Tempo)
	Qtdd de sal 
	0
	10
	10
	35,6198347
	20
	57,5
	30
	76,7455621
	40
	94,0816327
	50
	110
	60
	124,84375
	70
	138,858131
	80
	152,222222
	90
	165,069252
	100
	177,5
A fórmula encontrada pela resolução da EDO: Q(t)=100+ t + C(100 + t )^-2
C= -9*10^5
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade é de 200 litros. 
O tanque estará cheio para t = 100
Parte gráfica: 
	Concentração (g/l)
	Volume (L)
	tempo
	0,323816679
	1
	10
	0,479166667
	2
	20
	0,590350478
	3
	30
	0,672011662
	4
	40
	0,733333333
	5
	50
	0,780273438
	6
	60
	0,816812538
	7
	70
	0,845679012
	8
	80
	0,868785537
	9
	90
	0,8875
	10
	100
Fórmula da concentração encontrada pela resolução da EDO: C(t)=1- 900000*(100+t)^-3
6.7) A taxa com que uma gota esférica se evapora ( dV/dt ) é proporcional a sua área. Determine o raio da gota em função do tempo, supondo que no instante t = 0 o seu raio é r0 e que em uma hora o seu raio seja a metade.
V(r ) = (4/3) {\displaystyle \scriptstyle {\pi }}π r²
aplicando na primeira equação 
dr/dt = k 
r(t) = kt + C
Adotando t= 0 e r = r0, r0 = C 
t = 1 e r = r0/2 
r0/2 = k + r0 
k = -r0 /2 
r(t) = r0*(1-t/2)
Determinar o raio da gota em função do tempo, supondo que no instante t=0 o seu raio é r0 e que em 1 hora o seu raio seja a metade.
	condições:
	 r = r0 
	 
	 
	 
	ok
	
	Em 1 hora o seu raio seja a metade 
	 
	 
	 
	ok
	
	r0 é constante
	 
	 
	ok
Parte gráfica: 
Sabendo que questão trata de uma gota é mais condizente trabalharmos com o tempo em relação aos segundos por isso adotamos o tempo conforme a tabela a baixo.
	Minutos 
	segundos 
	horas 
	10
	600
	0,166667
	20
	1200
	0,333333
	30
	1800
	0,5
	40
	2400
	0,666667
	50
	3000
	0,833333
	60
	3600
	1
	90
	5400
	1,5
	120
	7200
	2
 Logo:
	raio (mm)
	tempo (h) 
	10
	0
	9,166666667
	0,166666667
	8,333333333
	0,333333333
	7,5
	0,5
	6,666666667
	0,666666667
	5,833333333
	0,833333333
	5
	1
	2,5
	1,5
	0
	2
Analisando o gráfico concluímos que em 2 horas a gota desaparecerá.