Buscar

Introdução à Dinâmica - Movimento e Forças

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 383 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 383 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 383 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

1
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães
Dinâmica I
“Cinemática de Partículas”
2
Dinâmica I
Bibliografia Recomendada
Bibliografia Básica:
MERIAM, J. L. Dinâmica. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e José
Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989.
HIBBELER, R.C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia, 12º ed. Editora Pearson. 2010.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 7 ed., Mc
Graw Hill, 2006.
SHAMES, I. H. Dinâmica. Mecânica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003.
Bibliografia Complementar:
GIACAGLIA, G. E. O. Mecânica Geral. Campus, 1982.
KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecânica - Dinâmica. 5ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos, 2003. 496p.
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada. Traduzido por João
Batista de Aguiar et al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p.
ARFKEN, George B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física.
Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p.
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães
3
Princípios da Dinâmica
1. Introdução
2. Conceitos Básicos
3. Leis de Newton
4. Unidades
5. Gravitação
6. Descrição de Problemas de Dinâmica
7. O Movimento Absoluto e a Física de Newton
8. Velocidade Relativa
9. Atividades
Dinâmica I
Introdução - Dinâmica
4
1 - Introdução
O fenômeno mais óbvio e fundamental que observamos à nossa volta é
o movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como
origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-
se em torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno
do centro da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos
átomos, dão lugar à absorção e à emissão da luz e, no interior de um
metal, produzem corrente elétrica. Nossa experiência diária nos mostra
que o movimento de um corpo é influenciado pelos corpos que o
rodeiam, isto é, pelas interações com eles.
A Dinâmica é a parte da Física que estuda os movimentos e as causas
que os produzem ou os modificam. Então, na dinâmica vamos estudar
os movimentos dos corpos e suas causas, utilizando também os
conceitos de cinemática já estudados.
Introdução - Dinâmica
5
Introdução
A Dinâmica tem duas partes distintas – Cinemática, que é o estudo do
movimento, sem fazer referência às forças que o causam, e a Cinética,
que relaciona a ação de forças sobre os corpos aos movimentos
resultantes. A perfeita compreensão da Dinâmica fornece a estudantes
de Engenharia uma de suas mais úteis e poderosas ferramentas para
análise.
Em termos de aplicação em Engenharia, a Dinâmica é uma das
ciências mais recentes. Somente depois de conseguir que as máquinas
e estruturas operassem em altas velocidades e acelerações apreciáveis
foi que o homem achou necessário fazer cálculos baseados nos
princípios da Dinâmica. O rápido desenvolvimento tecnológico sem
dúvida exige a ampliação dos princípios da Mecânica.
Introdução - Dinâmica
6
Introdução
Aristóteles elaborou uma teoria para explicar os movimentos dos
corpos, dando início ao estudo da Dinâmica. As explicações de
Aristóteles foram utilizadas até Galileu Galilei, considerado o primeiro
cientista moderno, realizar vários experimentos, chegando às leis
matemáticas que descrevem o movimento dos corpos terrestres,
impulsionando o estudo da Dinâmica.
As idéias de Galileu sobre a dinâmica, seus estudos sobre os
movimentos dos corpos foram precursoras das Leis de Newton, que
conseguiu dar um enorme salto na ciência. Conseguiu o que todos
buscavam na época, uma teoria física unificada. Analisando o
movimento da lua ele chegou a uma descrição perfeita para os
movimentos, uma descrição que poderia ser utilizada tanto para os
astros (lei da gravitação universal), como para objetos menores na
terra.
Introdução - Dinâmica
7
Espaço. é a região geométrica na qual o evento ocorre. É comum
relacionar linha reta ou plano como espaço uni ou bidimensional.
Sistema de referência. A posição no espaço é determinada
relativamente a sistemas de referência por meio de medidas lineares ou
angulares.
Tempo. é a medida da sucessão de eventos e é considerado uma
quantidade absoluta.
Força. é a ação de um corpo sobre outro.
Introdução - Dinâmica
2 - Conceitos Básicos
zˆ
xˆ
2


yˆ
1

r
r
8
Inércia. é a propriedade da matéria que causa resistência à variação do
movimento.
Massa. é a medida quantitativa da inércia. É também a propriedade de
todo corpo que sofre sempre atração mútua em relação a outros corpos.
Partícula. é um corpo cujas dimensões são desprezíveis na situação em
que vamos considerar. É pois um corpo que em uma situação específica
pode ser considerado como um ponto geométrico, no que diz respeito às
suas dimensões.
Corpo Rígido. é um sistema constituído de partículas agregadas de um
modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo
(ou o sistema) não varia com o tempo (não mudam), ou seja, as
distâncias entre as várias partes que compõem o corpo são
rigorosamente constantes. Não apresenta nenhuma deformação relativa
entre suas partes.
Introdução - Dinâmica
Conceitos Básicos
9
Escalar. a quantidade com a qual somente a grandeza está associada.
Exemplos: tempo, volume, massa, densidade...
Vetor. a quantidade na qual a direção, bem como a magnitude, está
associada. Exemplos: deslocamento, velocidade, aceleração, força...
Em dinâmica, o tipo em negrito é usado para simbolizar os vetores e o tipo
comum, para escalares. Assim V = V1 + V2 representa o vetor soma de dois
vetores, enquanto S = S1 + S2 representa a soma de dois escalares.
Frequentemente, o uso de derivada de vetores e escalares em relação ao tempo
é utilizado. Como notação, um ponto sobre a quantidade será usado para
indicar uma derivada em relação ao tempo: significa dx/dt e para
d2x/dt2.
Introdução - Dinâmica
Conceitos Básicos
x x
10
Newton conseguiu elaborar uma teoria unificada para a Física e esta
teoria é descrita em três leis, conhecidas como as leis de Newton.
Primeira lei de Newton ou Princípio da Inércia
na ausência de forças externas, um objeto em repouso permanece em
repouso, e um objeto em movimento permanece em movimento.
Segunda lei de Newton ou Princípio Fundamental da Dinâmica
a força aplicada a um objeto é igual à massa do objeto multiplicado por
sua aceleração.
Terceira lei de Newton ou Princípio da ação e reação
Se um objeto exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce
uma força de mesma intensidade, de mesma direção e em sentido
oposto.
Introdução - Dinâmica
3 - Leis de Newton
11
A segunda lei de Newton é básica para a maioria das análises em
Mecânica. Quando aplicada a uma partícula de massa m pode ser fixada
como: F = ma (ou de outra forma )
Onde F é a força resultante que atua sobre a partícula e a é a aceleração
resultante.
A primeira lei de Newton é uma consequência da segunda, desde que
não haja nenhuma aceleração quando a força é zero, e a partícula
esteja em repouso ou move-se a velocidade constante.
A terceira lei é básica para a compreensão de força. Ela estabelece que
as forças sempre ocorrem em pares de igualdade e são opostas, sem
observar-se a sua origem, e permanece válida para todo instante do
tempo durante o qual as forças atuam.
Introdução - Dinâmica
Leis de Newton
amF


12
Nos últimos anos, todos os países do mundo vêm adotando o Sistema
Internacional de Unidade - SI - para todos os trabalhos de Engenharia e
científicos. As tabelas resumem as unidades que formam a bases para
os cálculos mecânicose seus prefixos mais usados:
Introdução - Dinâmica
4 - Unidades
Grandeza Nome Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Força newton N
Nome Símbolo Multiplicador
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
mili m 10-3
micro m 10-6
nano n 10-9
13
A lei da Gravitação Universal diz que dois objetos quaisquer se
atraem gravitacionalmente por meio de uma força que depende das
massas desses objetos e da distância que há entre eles.
Dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distância d entre si, esses
dois corpos se atraem mutuamente com uma força que é proporcional à
massa de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da
distância que separa esses corpos. Matematicamente:
onde
F é a força mútua de atração entre os dois corpos;
G é constante gravitacional universal;
m1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si; e
r é a distância entre os dois corpos.
Introdução - Dinâmica
5 - Gravitação
2
21
r
mm
GF 
14
O peso de um corpo é a força gravitacional de atração exercida sobre
esse corpo pela Terra e depende da posição do corpo em relação à
Terra. Esta força existe estando o corpo em repouso ou em movimento.
Todo objeto que é deixado cair no vácuo numa dada posição, na
superfície terrestre, terá a mesma aceleração g.
onde mT é a massa da Terra e r o seu raio.
A aceleração devida à gravidade, quando determinada pela lei gravitacional, é a
aceleração de um grupo de eixos de referência com origem no centro da Terra,
porém não girando com a mesma.
g = 9,824 m/s2
Introdução - Dinâmica
Gravitação
2r
Gm
g T
15
A variação de g com a altitude pode ser determinada pela lei
gravitacional. Se g0 apresenta a aceleração absoluta devido à gravidade
ao nível do mar, o valor absoluto numa altitude h é:
onde r é o raio da Terra.
A massa m de um corpo pode ser calculada pelo resultado de uma experiência
gravitacional. Se a força gravitacional de atração ou peso verdadeiro de um
corpo for W, para uma aceleração absoluta g, tem-se:
W = mg
Introdução - Dinâmica
Gravitação
2
2
0
)( hr
r
gg


16
O estudo da Dinâmica é dirigido no sentido da compreensão e da
descrição das diversas quantidades envolvidas nos movimentos dos
corpos. Esta descrição, que é amplamente matemática, habilita fazer
prognósticos em relação ao comportamento da Dinâmica. Necessita-se,
porém, para formular esta descrição de um duplo processo mental. É
preciso pensar tanto em termos da situação física como nos da
descrição matemática correspondente. A análise de cada problema
requer esta contínua transição reflexiva entre aquilo que diz respeito à
Física e à Matemática.
Durante a construção do modelo matemático idealizado para qualquer
problema de Engenharia, certas aproximações estarão sempre presentes.
Algumas delas podem ser matemáticas, enquanto outras serão físicas. O
grau da hipótese depende da informação ou da precisão que se deseja.
Introdução - Dinâmica
6 - Descrição de Problemas de Dinâmica
17
A utilização de métodos eficazes para solucionar problemas de
Dinâmica – bem como todos os problemas de Engenharia – é essencial.
Cada solução deve ser buscada através de uma sequência lógica que vai
do levantamento de hipóteses até a conclusão. A sistematização da
tarefa deve incluir o estabelecimento das seguintes partes, cada uma
delas claramente identificadas:
1. dados fornecidos;
2. resultados desejados;
3. diagramas necessários;
4. cálculos;
5. respostas e conclusões.
Para descrever as relações entre as forças e os movimentos que elas
produzem, é essencial que o sistema para o qual um princípio é aplicado seja
claramente definido.
Introdução - Dinâmica
Descrição de Problemas de Dinâmica
18
Para descrever as relações entre as forças e os movimentos que elas
produzem, é essencial que o sistema para o qual um princípio é
aplicado seja claramente definido. Algumas vezes uma única partícula
ou um corpo rígido é o sistema a ser isolado, enquanto que em outras
vezes dois ou mais corpos considerados juntos constituem o sistema. A
definição do sistema a ser analisado torna-se clara através da construção
do seu diagrama de corpo livre.
Introdução - Dinâmica
Descrição de Problemas de Dinâmica
Um pesquisador, a ser chamado por observador O, construiu um mini-
laboratório (mini-lab) convidando um colega seu, a ser chamado por
observador O', para que permaneça no interior do mini-lab para ajudá-lo
em suas pesquisas. O mini-lab anda sobre trilhos perfeitos, sem atrito, e
vamos assumir, por facilidade, que não há gravitação neste local. Vamos
desprezar também outros atritos e viscosidades. Pelo princípio da
relatividade de Galileu é de se esperar que as leis do modelo mecânico
newtoniano, válidas no laboratório original, sejam válidas também neste
mini-lab, sempre que ele estiver com velocidade constante em relação a
um referencial fixo ao laboratório original.
Introdução - Dinâmica 
7 - O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Uma experiência de pensamento
No interior do mini-lab existem duas bolinhas A e B e duas molas, como
mostra a figura. As bolinhas A e B estão fixas a molas comprimidas e
travadas, e em repouso em relação ao mini-lab. Uma terceira bolinha C
está no teto do mini-lab e no compartimento exterior, mas fixa ao
mesmo. No laboratório original que contém o mini-lab existe uma
terceira mola fixa ao teto. Esta terceira mola não está comprimida e
localiza-se exatamente no trajeto por onde irá passar a bolinha C quando
o mini-lab entrar em movimento.
Introdução - Dinâmica 
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Num dado instante o observador O aciona um mecanismo e coloca o
mini-lab em movimento a uma velocidade v (pode ser uma velocidade
pequena, pois não vamos aqui testar a teoria da relatividade de Einstein).
Quando a bolinha C encostar na mola distendida, ela começa a
comprimir a mola e vamos supor que, através de um mecanismo
apropriado, ela solte-se do mini-lab e se fixe à mola exterior (deixando
portanto de acompanhar o mini-lab). Ao final da compressão a mola
trava-se, graças a outro mecanismo apropriado. Exatamente nesse
instante o observador O' aciona um mecanismo a destravar as duas
molas interiores e a soltar as bolinhas A e B. Estas ficam então soltas no
espaço recebendo o impulso das molas ao se distenderem.
Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Vamos supor, por facilidade, que o aparato foi construído de tal maneira
que as duas bolas adquiram uma velocidade v, em relação ao observador
O', igual à velocidade do mini-lab em relação ao observador O. Nestas
condições teremos, ao final da experiência, as duas bolinhas A e C em
repouso em relação ao observador O e a bolinha B com a velocidade 2v.
Em relação ao observador O', do mini-lab, as bolinhas A e C afastam-se
para a esquerda na velocidade v e a bolinha B afasta-se para a direita
também na velocidade v.
Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Em termos do modelo mecânico newtoniano, é relativamente fácil
explicar tudo o que aconteceu durante todo o processo. Também não é
difícil perceber que cada um dos observadores irá concordar que a
energia, da maneira como é definida em física clássica, se conserva; se
bem que os argumentos utilizados serão diversos, pois eles estão em
referenciais distintos. De qualquer maneira, existem alguns componentes
comuns a ambas interpretações e a independer do referencial, quais
sejam: 1) a energia armazenada na mola que foi comprimida; 2) a
energia das duas molas que se distenderam, e que acabou se
transformando em energia cinética das bolas A e B noreferencial do
mini-lab (e estas sim, serão diferentes de um observador para outro); e 3)
a energia correspondente ao impulso inicial a colocar o mini-lab em
movimento.
Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Sem entrar em maiores detalhes a respeito da localização e/ou
comparação dessas energias relativas e não-relativas. Na realidade, o que
se pretende é analisar esta experiência de pensamento sobre um outro
prisma, aquele relativo a um possível absolutismo do movimento. Em
particular, pretende-se mostrar que esse absolutismo do movimento não
implica na existência de um referencial absoluto, pensado como algo a
ser fixado num hipotético espaço absoluto.
Raciocinando fisicamente ninguém pode contestar a seguinte verdade:
algo está se movendo, qualquer que seja o referencial da observação.
Portanto, e sob esse aspecto, o movimento existe num sentido absoluto,
sendo relativo apenas quando pensamos em descrever em qual dos
objetos esta propriedade foi constatada. O movimento não seria uma
propriedade da matéria em si, mas algo mutável e a depender da postura
do observador.
Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Umas das aplicações mais comum, que se faz necessário o uso de
propriedades vetoriais, é o estudo da velocidade relativa em mais de uma
dimensão. Pode-se ver inicialmente como as observações feitas em
diferentes sistemas de referência estão relacionadas uma com a outra.
Por exemplo, considere dois carros se aproximando um do outro, em
linha reta, onde cada um viaja com uma velocidade de 50 km/h com
respeito a Terra. v1 = v2 = 50 km/h
Observadores na Terra, ao lado da estrada, medirão uma velocidade de
50 km/h para ambos os carros, mas em sentido contrário. Observadores
dentro dos carros (em referenciais diferentes) medirão uma velocidade
de aproximação igual a vr = 100 km/h.
Introdução - Dinâmica
8 - Velocidade Relativa
Nota-se que quando objetos movem-se em uma mesma linha, uma soma
simples ou subtração das velocidades envolvidas é suficiente para
determinar a velocidade relativa. Isto significa que não é necessário,
nestes casos, levar em conta as características vetoriais do movimento.
Mas se os movimentos não estão na mesma linha, estas considerações
não são válidas e somos forçados a fazer uso das somas vetoriais.
Vejamos o movimento de um barco cruzando um rio.
Introdução - Dinâmica
Velocidade Relativa
Usando as notações: vbr velocidade do barco em relação as águas do rio,
vbm velocidade do barco em relação a margem e vrm a velocidade do rio
em relação a margem. Neste caso, a velocidade do barco em relação a
margem (vbm) é igual a velocidade do bote no rio (vbr) mais o efeito da
correnteza do rio (vrm). Como este movimento envolve velocidades em
direções e sentidos diferentes, é necessário usar somas vetoriais.
vbm = vbr + vrm
Neste exemplo, nota-se que para o barco chegar na outra margem do rio
em um ponto (A) exatamente em frente ao ponto de partida é necessário
que o movimento esteja inclinado. Este fato deve-se à influência da
corrente de águas no rio. Caso contrário, se o barco estiver viajando
sempre apontando para o ponto A, ele será arrastado pelas correntezas
do rio. Conseqüentemente irá atingir a margem num ponto distante do
ponto B.
Introdução - Dinâmica
Velocidade Relativa
28
1. Para os vetores fornecidos V1 e V2, determine V1 + V2, V1 + V2,
V1 - V2, V1 X V2 e V1 . V2. Considere os vetores adimensionais e
seus módulos V1 = 12 e V2 = 15.
2. Um ônibus espacial está em órbita circular a uma altitude de 250
Km. Calcule o valor absoluto de g a essa altitude e determine o peso
correspondente de um passageiro do ônibus, que pesa 880 N quando
em repouso sobre a superfície da Terra (g = 9,81 m/s2).
Considere: G = 6,67.10-11; mT = 5,976.10
24; RT = 6371 Km (S.I.)
Introdução - Dinâmica
9 - Atividades
V1
V
2
30º
3
4
29
Cinemática das Partículas
1. Introdução
2. Movimento Retilíneo
Exercícios Resolvidos
3. Interpretações Gráficas
Exercícios Resolvidos
4. Movimento Retilíneo Uniforme
5. Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
6. Atividades
Dinâmica
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
30
1 - Introdução
A cinemática trata da posição no espaço como função do tempo e
geralmente refere-se à “geometria do movimento”. O cálculo de
trajetórias de vôos de aviões e naves e o projeto de engrenagens e
correntes para controlar ou produzir certos movimentos são exemplos
de problemas cinemáticos. O movimento das partículas pode ser
descrito através da especificação de coordenadas lineares ou angulares e
suas derivadas em relação ao tempo.
A cinemática das partículas será desenvolvida progressivamente pela
discussão do movimento com uma, duas ou três coordenadas espaciais.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
31
2 - Movimento Retilíneo de uma Partícula
Consideremos uma partícula P movendo-se apenas ao longo de uma
reta. Tal movimento é dito retilíneo ou unidimensional. Vamos escolher
o eixo OX de nosso referencial ao longo dessa reta. A posição de P em
qualquer instante de tempo t pode ser especificada por seu
deslocamento Δs de algum ponto de referência O fixado sobre a linha.
Seja x1 a posição da partícula no instante t1 e x2 a sua posição no
instante t2. A variação de posição da partícula, do instante t1 ao instante
t2, é a diferença x2 - x1. Isto é: Δs = x2 - x1
Obs. Durante um movimento qualquer, podem ocorrer deslocamentos no sentido
positivo ou negativo do eixo OX.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
32
Movimento Retilíneo de uma Partícula - vm
Considere um intervalo de tempo [t1, t2] com t2 ≠ t1; nesse caso, a
duração t2 - t1 do intervalo é diferente de zero. Seja Δs o deslocamento
da partícula no intervalo de tempo Δt = t2 - t1. A razão entre o
deslocamento da partícula no intervalo de tempo gasto nesse
deslocamento é chamada de velocidade média da partícula no intervalo
considerado.
Sendo a velocidade média a razão entre um deslocamento e um intervalo de tempo, a
sua unidade será a razão entre as unidades de comprimento e de tempo que forem
usadas. Se usamos o metro para os deslocamentos e o segundo para o tempo, a
unidade de velocidade média é o metro por segundo, usualmente escrita como m/s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
t
s
tt
xx
vm






12
12
33
Movimento Retilíneo de uma Partícula
Considere agora uma partícula em movimento e dois instantes t e t+Δt
durante o movimento, onde Δt é uma quantidade de tempo que vamos
considerar cada vez mais próxima de zero sem, contudo, jamais ser
igual a zero. A razão Δs/Δt pode ser escrita:
Quando Δt se aproxima indefinidamente de zero, o intervalo com
extremos em t e t+Δt torna-se cada vez mais próximo de um único
instante t, e a velocidade da partícula se aproxima de um valor que
chamamos de velocidade instantânea (v) no instante t. A velocidade
instantânea v é o valor do qual a fração Δs/Δt aproxima-se quando Δt se
aproxima de zero. Para expressar esse fato, usamos a seguinte
simbologia:
ou
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
t
xx
t
s ttt




  )(
t
s
v
t 


 0
lim s
dt
ds
v 
34
Movimento Retilíneo de uma Partícula - am
Se ao longo da trajetória a velocidade instantânea da partícula varia de v
em x1 para v +Δv em x2, a aceleração média durante o intervalo de
tempo correspondente Δt é am = Δv/Δt, e será positiva ou negativa,
dependendo se a velocidade está aumentando ou diminuindo.
A aceleraçãoinstantânea (a) da partícula é a variação instantânea
com o tempo da variação da velocidade,
isto é, quando o valor Δt se aproxima indefinidamente de zero.
ou
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
t
v
a
t 


 0
lim
v
dt
dv
a  s
dt
sd
a 
2
2
35
Exercício resolvido 1
Uma partícula executa um movimento em linha reta dado por:
s = 8 + Bt − 2t2
onde B é uma constante. Sabendo que a partícula inverte o sentido de seu
movimento no instante t = 5 segundos, determine o valor da constante B.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
smB
BtB
v
tB
dt
ds
v
/20
05.404
0
;4




36
Exercício resolvido 2
Uma partícula se move ao longo do eixo OX e seu movimento é dado por
s = - t2 + 6t + 16, onde está subentendida a utilização do Sistema
Internacional de Unidades.
(a) Determine a expressão da velocidade e da aceleração da partícula.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
(b) Em que instantes e com que velocidades a partícula passa pela origem?
2;62  a
dt
dv
atv
dt
ds
v 2;62  a
dt
dv
atv
dt
ds
v
ststttsorigem 8;20166;0: 21
2 
smvsmv /106)8.(2;/106)2.(2 21 
37
Exercício resolvido 3
A velocidade de uma partícula ao longo do eixo x é dada por v = 5 u3/2,
onde v é expresso em milímetros por segundo. Determine a aceleração
quando u vale 2.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
2
2
1
2
1
2/3
/6,10
)2(
2
15
2
;5
2
3
)5(
smma
au
ua
dt
ud
a
dt
dv
a




38
Exercício resolvido 4
Consideremos um ponto material que desloca em linha reta, de modo que
sua posição seja definida por x = 6t2 – t3, onde t é expresso em segundos e
x em metros. Determine (a) sua função velocidade, (b) sua função
aceleração e (c) um esboço dos gráficos de x, v e a em função do tempo.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
2;312 2  a
dt
dv
attv
dt
ds
v ta
dt
dv
aaaatv
dt
ds
v 612;62 
(a) (b)
(c) Uma análise dos três diagramas do movimento pode nos mostrar que o
movimento do ponto material desde t = 0 até t = ∞ pode ser dividido em
quatro fases:
. O ponto material parte da origem, x = 0, com velocidade zero, mas com
aceleração positiva. Animado com esta aceleração, o ponto adquire uma
velocidade positiva no sentido positivo. De t = 0 a t = 2 s, x, v e a são
todos positivos.
39
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
. Em t = 2 s, a velocidade é zero; a velocidade atinge o valor máximo. De t =
2 s a t = 4 s, v é positivo; mas a é negativo; o ponto move-se, ainda, no sentido
positivo, cada vez mais lentamente; está desacelerado.
. Em t = 4 s a velocidade é zero; a coordenada de posição x alcança o valor
máximo. Daqui por diante, v e a são negativos; o ponto está acelerado e move-se
no sentido negativo, com um aumento de velocidade.
. Em t = 6 s, o ponto passa pela origem; sua coordenada x é então, zero, enquanto
a distância total percorrida desde o início do movimento é 64 m. Para valores de t
maiores que 6 s, x, v e a serão todos negativos. O ponto irá se movimentar no
sentido negativo, afastando-se de O, cada vez mais rapidamente.
40
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Não se deve esquecer que o ponto material não se move ao longo de qualquer
uma dessas curvas; o ponto move-se sobre uma reta. Como a derivada de uma
função mede a inclinação da curva correspondente, a inclinação da curva x – t,
para qualquer instante dado, é igual ao valor de v nesse instante, e a inclinação
da curva v – t é igual ao valor de a. Já que a = 0 para t = 2 s, a inclinação da
curva v – t deve ser zero para t = 2 s; a velocidade alcança um máximo nesse
instante. Também, sendo v = 0 para t = 4 s, a tangente a curva x – t deve ser
horizontal para este valor de t.
41
Movimento Retilíneo de uma Partícula
Comentário:
É possível determinar o movimento de uma partícula conhecendo-se
sua velocidade em qualquer instante do movimento e a sua posição em
um certo instante?
Vamos pensar o exemplo em que a velocidade de uma partícula seja
dada por vx = 5m/s e que a sua posição no instante t = 4s seja 20m.
Vamos supor, ainda, que o movimento dessa partícula esteja definido
para t ≥ 0. É possível conhecer seu movimento no decorrer do tempo?
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
42
3. Interpretações Gráficas
A interpretação das equações diferenciais que governam o movimento
retilíneo é consideravelmente esclarecida através da representação
gráfica das relações entre s, v, a e t.
Como vimos, para se determinar a velocidade de uma partícula num
instante t, podemos usar o intervalo [t1, t2]. A velocidade média nesse
intervalo é v = Δx/Δt = (x2 - x1)/(t2 - t1), o que equivale à declividade da
secante “r”.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
43
Interpretações Gráficas
Para um valor mais aproximado podemos tomar o intervalo [t3, t4], quando
então a velocidade média será v = (x4 - x3)/(t4 - t3) que é igual à declividade
da secante “s”. Se reduzirmos o intervalo de tempo, a secante se aproxima
da tangente à curva, cuja declividade representará o valor da velocidade
no instante t. Assim, a velocidade no instante t é a declividade da tangente
à curva no instante considerado.
A tangente à curva para algum instante de tempo t, obtém-se a sua taxa
de variação.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
44
Interpretações Gráficas
Então, construindo a tangente à curva para algum instante de tempo
t, obtém-se a sua taxa de variação, que é a velocidade:
Assim, a velocidade pode ser determinada para todos os pontos sobre a
curva e representada graficamente contra o tempo correspondente.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
dt
ds
sv  
45
Interpretações Gráficas
Supondo que desejamos determinar o espaço percorrido no intervalo de
tempo Δt = t2 – t1, representado no gráfico v x t. Podemos dividir o
intervalo em intervalos menores e considerar que em cada intervalo a
média das velocidades inicial e final seja a velocidade média (vm) no
intervalo.
Em cada intervalo, a distância percorrida será aproximadamente igual à
vm.Δt, o que equivale à área de um retângulo de base Δt e altura vm.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
46
Interpretações Gráficas
A distância total percorrida será a soma das áreas de todos os retângulos.
Se tomarmos os retângulos com Δt → 0, a área será v(ti) onde ti são os
valores de t em cada um dos instantes que constituem o intervalo de
tempo.
Como a soma corresponde a infinitos intervalos escrevemos :
Ou seja, o espaço percorrido é a integral da equação da velocidade
definida no intervalo de tempo considerado.
Dizendo de uma outra forma, a área sob a curva v x t durante o intervalo
de tempo dt é “v dt”, que é o deslocamento ds. Consequentemente, o
deslocamento da partícula durante o intervalo de t1 até t2 é a corresponde
área sob a curva, dada por:
ou
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica

2
1
)(
t
t
dttv
 
2
1
2
1
t
t
s
s
vdtds 
2
1
12
t
t
vdtss
47
Interpretações Gráficas
Observação:
Na realidade, a integral não é o espaço percorrido, mas sim o deslocamento. Se o
gráfico intercepta o eixo horizontal, ao calcular a integral da região abaixo do
eixo horizontal esta resultará em um valor negativo. Isto indica que o móveldescreveu um movimento retrógrado. Ao calcular a integral, a área abaixo do eixo
será subtraída da área acima do eixo. Assim, o resultado da integral será
correspondente ao deslocamento. Para obter a distância efetivamente percorrida
deve-se integrar a equação da velocidade dividindo o intervalo em intervalos
acima e abaixo do eixo horizontal e somar os valores absolutos encontrados.
Podemos agora voltar à questão inicial: “É possível determinar o
movimento de uma partícula conhecendo-se sua velocidade em
qualquer instante do movimento e a sua posição em um certo instante?”
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
48
Interpretações Gráficas
No exemplo proposto em que a velocidade de uma partícula foi dada
por vx = 5m/s e que a sua posição no instante t = 4s seja 20m. É
possível conhecer seu movimento no decorrer do tempo utilizando o
conceito de integral!
A partir do que foi exposto, podemos escrever:
Note que o conhecimento da equação da velocidade de uma partícula não é
suficiente para obtermos seu movimento. É necessário também fornecer a posição
da partícula em um dado instante de tempo; no caso, em t = 4s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
txtx
dtx
vdtss
t
t
t
5)4(520
520
2
2
1
4
12





49
Interpretações Gráficas
Do mesmo modo, construindo a tangente à curva para algum
instante de tempo t, obtém-se a sua taxa de variação, que é a
aceleração:
Logo, a taxa de variação dv/dt da curva v x t em qualquer instante de
tempo fornece a aceleração naquele instante. Assim, a aceleração pode
ser determinada para todos os pontos e a curva a x t pode ser então
representada.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
v
dt
dv
a 
50
Interpretações Gráficas
De maneira similar, a área sob a curva a x t durante o intervalo de tempo
dt é “a dt”, que é a velocidade dv.
Assim, a variação da velocidade da partícula durante o intervalo de t1
até t2 é a corresponde área sob a curva, dada por:
ou
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
 
2
1
2
1
t
t
v
v
adtdv 
2
1
12
t
t
adtvv
51
Exercício resolvido 1
Considere uma partícula em queda livre, executando um movimento retilíneo,
com aceleração constante a = g. Considere, por simplicidade, que no instante
inicial t = 0 a velocidade seja v = v0.
a) Escreva a velocidade em função do intervalo de tempo t.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
gtvvdtgdvgdtdvdtadv
dt
dv
a
tv
v
tv
v
  000 00. 
2
00
0
0
2
1
)(
0
gttvssdtgtvdsvdtds
dt
ds
v
ts
s
 
b) Supondo conhecida a posição inicial s = s0, obtenha a função do
movimento em função do tempo t.
c) Que tipo de movimento representam essas expressões?
Um movimento retilíneo uniformemente variado (acelerado)!
52
Exercício resolvido 2
A velocidade de uma partícula é dada por vx = −2 + 3t
2. Sabe-se ainda que
em t = 2 s a sua posição é −16 m.
(a) Encontre a sua “função-movimento”.
(b) Determine as posições da partícula nos instantes t = 0s e t = 3s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
3
0
3
0
3
0
0
2
0
0
0
220
20)2()2.(216
2)32(
tts
mss
ttssdttssvdtss
tt


 
msst
msst
tts
173
200
220 3



53
Exercício resolvido 3
Uma partícula se move ao longo do eixo x com uma velocidade inicial
vx = 50 m/s na origem quando t = 0. Para os primeiros 4 segundos a partícula
não possui aceleração, e após esse intervalo de tempo ela sofre a ação de uma
força retardadora que fornece uma aceleração constante ax = -10 m/s
2.
Calcule a velocidade e a coordenada x da partícula para as condições de t = 8 s
e t = 12 s, e encontre a máxima coordenada x positiva atingida pela partícula.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
90104010501050
4450
  tvtvdtvadtdv xx
t
x
tvx
Nos instantes de tempo especificados, as velocidades são:
smvst
smvst
x
x
/30)12.(109012
/10)8.(10908


A velocidade da partícula após t = 4 s é determinada a partir de:
54
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
A dependência da velocidade com o tempo pode ser representada graficamente:
A coordenada x da partícula em qualquer instante após 4 s é a distância percorrida
durante os primeiros 4 s mais a distância percorrida após a descontinuidade na
aceleração ter ocorrido. Assim,
 
t
ttdttx
4
2 80905)9010()4.(50
Para os dois instantes especificados:
mxst
mxst
28080)12.(90)12.(512
32080)8.(90)8.(58
2
2


55
Exercício resolvido 4
De uma janela de um prédio, localizada a 20 m acima do solo, arremessa-se,
verticalmente para cima, uma bola, com velocidade de 10 m/s. Sabendo-se
que a aceleração da bola é constante e igual a 9,81 m/s2, para baixo,
determinar (a) a velocidade v e elevação y da bola, relativamente ao solo, para
qualquer instante t, (b) a máxima elevação atingida pela bola e o
correspondente instante t e (c) o instante em que a bola atinge o solo e a sua
correspondente velocidade. Esboçar os gráficos v – t e y – t.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
(a) Escolhemos o eixo y para medir a coordenada de posição (ou elevação),
com origem O no solo e sentido positivo para cima. O valor da aceleração e os
valores iniciais de v e y estão indicados na figura ao lado. Substituindo-se a
em a = dv/dt = 0, v0 = +10 m/s, tem-se:
tvtv
v
dtdv
sma
dt
dv
tv
tv
v
81,91081,910
]81,9[][
81,9
/81,9
010
010
2
0




 
56
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Substituindo-se v em v = dy/dt e notando-se que para t = 0, y0 = 20 m, obtém-
se:
2
0
2
20
020
90,41020
]90,410[][
)81,910(
81,910
0
tty
ty
dttdy
tv
dt
dy
ty
ty
y




 
57
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
(b) A velocidade da bola anula-se quando esta atinge a elevação máxima. Da 
expressão da velocidade, segue-se que:
10 – 9,81t = 0 → t = 1,02 s
Substituindo-se t = 1,02 s na expressão de y, resulta:
y = 20 + 10.(1,02) – 4,90.(1,02)2 → y = 25,1 m
(c) Quando a bola atinge o solo, tem-se y = 0. Fazendo-se y = 0 na expressão 
da posição, tem-se:
20 + 10t – 4,90t2 = 0 → t = -1,24 s e + 3,28 s
58
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Somente a raiz positiva corresponde a um tempo posterior ao início do 
movimento. Levando-se este valor de t para a expressão da velocidade, tem-
se, finalmente:
v = 10 – 9,81.(3,28) = – 22,2 m/s
59
4. Movimento Retilíneo Uniforme
Este é um tipo de movimento retilíneo frequentemente encontrado em
aplicações práticas. Nesse movimento, a aceleração a do ponto material é
nula para qualquer valor de t. A velocidade v é, dessa forma, constante:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
teconsv
dt
ds
tan
vtss
vtss
dtvds
ts
s


 
0
0
00
A coordenada de posição s é obtida pela integração desta equação.
Denotando-se por s0, o valor inicial de s, escrevemos:
Esta equação pode ser usada somente quando a velocidade do ponto
material for constante!
60
5. Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
Neste outro tipo de movimento, a aceleração a do ponto material é
constante:
A velocidade v do ponto materialé obtida pela integração desta equação:
Onde v0 é a velocidade inicial.
Chamando-se de s0 o valor inicial de s e integrando-se
a substituição da equação da velocidade, escrevemos:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
teconsa
dt
dv
tan
atvv
atvv
dtadv
tv
v


 
0
0
00
2
00
2
00
0
0
0
2
1
2
1
)(
0
attvss
attvss
dtatvds
atv
dt
ds
ts
s





61
Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
Podemos também escrever:
Então: ;
Integrando-se ambos os membros, obtemos:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
dx
dv
v
dx
dx
dt
dv
dt
dv
a  .
tecons
dx
dv
va tan tecons
dx
dv
v tan
)(2
)()(
2
1
0
2
0
2
0
2
0
2
00
ssavv
ssavv
dxavdv
x
x
v
v


 
62
Comentário: As três equações deduzidas acima fornecem relações úteis entre
coordenada de posição, velocidade e tempo para o caso de um movimento
uniformemente acelerado, assim que a, v0 e x0 forem substituídos por valores
apropriados. Primeiramente, deve ser definida a origem O do movimento,
escolhendo-se sentidos positivos ao longo dos eixos; estes sentidos
possibilitarão determinar os sinais de a, v e x0. Uma aplicação importante de
um movimento uniformemente acelerado é na queda livre de um corpo.
A aceleração de um corpo em queda livre (geralmente indicada por g) é igual
a 9,81 m/s2, valor tomado como padrão (aceleração normal). Efetivamente,
este valor depende da posição considerada, sobre a superfície da Terra, e de
sua distância ao centro desta.
É importante não esquecer que as três equações anteriores podem ser
usadas somente quando a aceleração do ponto material é constante. Se a
aceleração do ponto for variável, seu movimento será determinado pelas
equações de derivação.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
63
6. Atividades
1. A coordenada de posição de uma partícula que está confinada a se mover ao
longo de uma linha reta é dada por s = 2t3 – 24t + 6, onde s é medida em
metros a partir de uma origem conveniente e t é expresso em segundos.
Determine:
(a) o tempo requerido para a partícula atingir a velocidade de 72 m/s a partir
da sua condição inicial em t = 0;
(b) a aceleração da partícula quando v = 30 m/s;
(c) o deslocamento da partícula no intervalo de tempo desde t = 1 s até t = 4 s.
R: (a) 4 s; (b) 36 m/s2; (c) 54 m
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
64
2. Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com uma velocidade em
milímetros por segundo dada por v = 400 – 16t2, onde t é expresso em
segundos. Calcule o deslocamento Δs durante os primeiros 6 segundos de
movimento.
R: 1,248 m
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
65
3. A aceleração de uma partícula é dada por a = 4t – 30, onde a é expressa
em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Determine a
velocidade e o deslocamento como funções do tempo. O deslocamento
inicial em t = 0 é s0 = -5 m, e a velocidade inicial é v0 = 3 m/s.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
66
4. (a) Um foguete é lançado do repouso verticalmente para cima. Se ele foi
projetado para manter uma aceleração constante para cima de 1,5g, calcule o
tempo t necessário para o foguete atingir uma altitude de 30 Km e a sua
velocidade nessa posição.
(b) Um carro consegue parar completamente a partir de uma velocidade
inicial de 80 Km/h em uma distância de 30 m. Com a mesma aceleração
constante, qual seria a distância de parada s a partir de uma velocidade inicial
de 110 Km/h?
R: (a) 63,9 s e 940 m/s; (b) 56,7 m
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
67
5. (a) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade
inicial de 200 m/s. Calcule a máxima altitude h atingida pelo projétil e o
tempo t após o lançamento para ele retornar ao chão. Despreze a resistência
do ar e tome a aceleração da gravidade como sendo constante em 9,81 m/s2.
(b) Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade
inicial de 25 m/s de um plano próximo a um planalto de 15 m de altura.
Determine a distância h acima do planalto atingida pela bola e o tempo t
após o lançamento em que ela aterrissa nele.
R: (a) 2040 m e 40,8 s; (b) 16,86 m e 4,4 s
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
68
6. O gráfico mostra a história do deslocamento no tempo para um movimento
retilíneo de uma partícula durante um intervalo de 8 segundos. Determine a
velocidade média vméd durante o intervalo e, dentro de limites aceitáveis de
precisão, encontre a velocidade instantânea v quando t = 4 s.
R: –0,75 m/s e –1,25 m/s
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
69
7. A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por
v = 2 + 5t3/2, onde t é expresso em segundo e v em metros por segundo.
Avalie o deslocamento s, a velocidade v e a aceleração a quando t = 4 s.
A partícula está na origem s = 0 quando t = 0.
R: 72 m; 42 m/s; 15 m/s2
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
70
8. A posição de um ponto material que se desloca em linha reta é definida
pela relação x = t3 - 6t2 - 15t + 40, onde x é expresso em metros e t em
segundos e t ≥ 0.
Determine (a) o instante em que a velocidade será nula, (b) a posição e a
distância percorrida pelo ponto até esse instante, (c) a aceleração do ponto
nesse instante, (d) a distância percorrida pelo ponto de t = 4 s a t = 6 s.
R: 5 s; 100 m; 18 m/s2; 2 m
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
71
9. Para um breve intervalo de tempo, a velocidade do carro que se move em
linha reta é dada por v = (3t2 + 2t) m/s, onde t é expresso em segundos.
Determine a posição e a aceleração do carro para t = 3 s.
Sabe-se que quando t = 0 e s = 0.
R: 36 m; 20 m/s2
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
72
Questão Desafio:
A aceleração de um ponto material é definida por a = kt2, no sistema
internacional de unidades. Sabendo-se que v = - 24 m/s quando t = 0 e que
v = + 40 m/s quando t = 4 s
(a) determine a constante k.
(b) Sabendo-se também que x = 6 m quando t = 2 s escreva as equações da
posição e da velocidade que caracterizam o movimento.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
73
Tente agora resolver este problema que começa a dar uma introdução ao
assunto seguinte sobre cinemática vetorial!
Um avião de carga voa com uma velocidade horizontal constante v0 a uma
altura H acima no nível do solo. No exato instante em que passa em cima de
uma pessoa que se encontra no chão deixa cair uma caixa de massa m (sem
nenhuma velocidade inicial em relação ao avião).
Desprezando as dimensões da caixa e a resistência do ar e tomando como
instante inicial de tempo aquele em que a caixa é liberada pelo avião, como
função do tempo, escreva os vetores posição, velocidade e aceleração da
caixa em relação à pessoa que se encontra no solo.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
74
Dinâmica
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Cinemática Vetorial de Partículas
1. Introdução
2. Velocidade
3. Aceleração
4. Visualização do Movimento
5. Coordenadas Retangulares
6. Movimento de Projéteis
7. Coordenadas Normal e Tangencial (n-t)
8. Movimento Circular
9. Coordenadas Polares (r-θ)
75
1 - Introdução
O caso do movimento tridimensional mais geral é aquele que trata do
movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curvaque pertence
a um único plano.
Considere o movimento como representado na figura abaixo. No instante t
a partícula está na posição A, que é localizada pelo vetor posição r medido
a partir de alguma origem fixa conveniente O. No instante t + Δt, a
partícula está em A’, localizada pelo vetor posição r + Δr.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
76
Nota-se que essa é uma combinação vetorial, e não uma adição escalar. O
deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo Δt é o vetor Δr,
que representa a variação vetorial da posição.
A distância percorrida pela partícula conforme ela se move de A para A’ é
o comprimento escalar Δs medido ao longo da trajetória.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
77
2 - Velocidade
A velocidade média da partícula entre A e A’ é definida como ,
que é um vetor cuja direção é a de Δr. A velocidade escalar média da
partícula entre A e A’ é o quociente escalar Δs/Δt.
A velocidade instantânea (v) da partícula é definida como valor-limite
da velocidade média conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero.
Assim:
A direção de se aproxima da tangente à trajetória conforme Δt se
aproxima de zero; assim a velocidade é sempre um vetor tangente à
trajetória.
Ampliando a definição básica da derivada de uma grandeza escalar para
incluir uma grandeza vetorial, temos:
A derivada de um vetor é também um vetor que tem módulo e direção.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
t
r
vméd





v

t
r
v
t 





0
lim
r


r
dt
rd
v 




78
Recorrendo novamente à figura, fica então definido a velocidade da
partícula em A pelo vetor tangente v e a velocidade em A’ pela tangente v’.
Existe uma variação vetorial na velocidade durante o tempo Δt, sendo que
a velocidade v em A mais (vetorialmente) a variação Δv igual à velocidade
em A’: v’ – v = Δv.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
79
3 - Aceleração
A aceleração média da partícula entre A e A’ é definida como Δv/Δt,
que é um vetor cuja direção é a de Δv.
A aceleração instantânea (a) da partícula é definida como o valor-
limite da aceleração média, conforme o intervalo de tempo se aproxima
de zero. Assim:
Pela definição da derivada, então pode-se escrever:
Obs.: À medida que o intervalo Δt se torna menor e se aproxima de zero, a
direção da variação Δv se aproxima daquela da variação diferencial dv e,
assim, de a. A aceleração a inclui os efeitos tanto da variação do módulo de v
quanto da variação da direção de v. Então, em geral, a direção da aceleração
de uma partícula em um movimento curvilíneo não é nem tangente à trajetória
nem normal a ela; porém, a componente da aceleração que é normal à
trajetória aponta sempre para o seu centro de curvatura.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
a

t
v
a
t 





0
lim
v
dt
vd
a 




80
4 - Visualização do Movimento
Abaixo temos uma interpretação gráfica da aceleração, onde os vetores
posição de posições arbitrárias sobre a trajetória da partícula são mostrados.
Existe um vetor velocidade tangente à trajetória correspondentes a cada vetor
posição. Os vetores aceleração são mostrados para instantes quaisquer,
escolhidos arbitrariamente.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
81
5 - Coordenadas Retangulares (x-y)
Este sistema de coordenadas é particularmente útil para a descrição do
movimento quando as componente x e y da aceleração são independentemente
geradas ou determinadas. O movimento curvilíneo resultante é então obtido
pela combinação vetorial das componentes x e y dos vetores posição,
velocidade e aceleração.
Na figura podemos visualizar a trajetória de uma partícula, mostrada ao longo
dos eixos x e y. O vetor posição r, a velocidade v e a aceleração a da
partícula são representados juntamente com suas componentes.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
82
Com o auxílio dos vetores unitários i e j, pode-se escrever os vetores r,
v e a em termos das suas coordenadas x e y. Assim,
r = xi + yj
v = dr/dt = vxi + vyj ou
a = dv/dt = axi + ayj
Como observado anteriormente, a direção da velocidade é sempre
tangente à trajetória, e a partir da figura, fica claro que:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
jyixrva
jyixrv
jyixr
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ








22
22
yx
x
y
yx
aaa
v
v
tgvvv

 
83
Se as coordenadas x e y são conhecidas, pode-se em qualquer instante
de tempo combiná-las para obter r. Do mesmo modo, combinam-se
suas primeiras derivadas e para obter v, e suas segundas derivadas
para obter a.
Por outro lado, se as componentes da aceleração ax e ay são dadas como
funções do tempo, pode-se integrar cada uma separadamente com
relação ao tempo, uma vez para obter vx e vy e novamente para obter x e
y. A eliminação do tempo t entre essas duas últimas equações
paramétricas fornece a equação da trajetória da curva y = f(x).
Obs.: A partir dessa discussão, percebe-se que a representação em
coordenadas retangulares do movimento curvilíneo é meramente a
superposição das componentes de dois movimentos retilíneos simultâneos nas
direções x e y. Desse modo, tudo que foi tratado sobre o M.R. pode ser
aplicado separadamente para o movimento em x e para o movimento em y.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
x
y
x
y
84
6 - Movimento de Projéteis
A figura apresenta o movimento de uma partícula no plano x-y.
Para os eixos mostrados, as componentes de aceleração são ax = 0 e
ay = - g. A integração dessas acelerações segue os resultados obtidos
para aceleração constante, e fornece:
vx = vx0 ; vy = vy0 – gt
x = x0 + vx0 t ; y = y0 + vy0 t – ½gt
2
vy
2 = vy0
2 – 2g(y – y0)
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
85
Em todas essas expressões, o subscrito zero denota as condições
iniciais, frequentemente tomadas onde o lançamento ocorre, para o
caso ilustrado x0 = y0 = 0. Desprezam-se o arrasto aerodinâmico, a
curvatura e a rotação da Terra e considera-se que a variação de altitude
é pequena o suficiente, de tal modo que a aceleração devida à
gravidade pode ser considerada constante.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
86
Observações:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
2
2
00
0
2
1
x
v
g
x
v
v
y
xx
y

Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem):
de x = v0xt temos: t = x/v0x
Substituindo na equação para y encontramos a
equação da trajetória:
(Equação de uma parábola !) Fotografia estroboscópica
do movimento parabólico
O movimento na direção y não depende da
velocidade vx. Na figura ao lado, duas bolas são
jogadas sob a ação da gravidade. A vermelha é
solta (v0y=0) e a amarela tem velocidade inicial
horizontal v0x.
Em cada instante elas têm a mesma altura!
87
Exercício resolvido 1
Dispara-se um projétil, da extremidade de uma colina de 150 m de
altura, com uma velocidade inicial de 180 m/s, num ângulo de 30º com
a horizontal. Desprezando-se a resistência do ar, determinar (a) a
distância horizontal da arma ao ponto onde o projétil atinge o solo, (b) a
altura máxima que o projétil alcança em relação ao solo.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
88
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Substituindo-se nas equações do movimento uniformemente acelerado,tem-se:

















ayvv
attvy
atvv
yy
y
yy
2)(
2
1
)(
)(
2
0
2
2
0
0
yv
tty
tv
y
y
62,1910.1,8
90,490
81,990
32
2



2
0
/81,9
/90º30.180)(
sma
smsenvy


Movimento vertical → Movimento Uniformemente Acelerado.
- Escolhendo o sentido do eixo y para cima e colocando a origem O na arma,
temos:
89
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Movimento horizontal → Movimento Uniforme. 
- Escolhendo-se o sentido positivo do eixo x para a direita, tem-se:
0
/9,155º30cos.180)( 0


a
smvx
Substituindo-se na equação do movimento uniforme, obtém-se:
 tvx x 0)( tx 9,155
90
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
(b) Quando o projétil atinge a máxima elevação, temos vy = 0; levando-se este valor à
equação da velocidade para o movimento vertical, escrevemos:
Elevação máxima acima do solo = 150 m + 413 m → 563 m
myy 41362,1910.10,80 3 
(a) Quando o projétil atinge o solo, temos: y = -150 m
Levando-se este valor à equação do movimento vertical, escrevemos:
sttttt 9,1906,304,1890,490150 22 
Levando-se t = 19,9 s à equação do movimento horizontal, tem-se:
Kmxx 10,39,19.9,155 
91
Exercício resolvido 2
O vetor posição de uma partícula se movendo no plano x-y no tempo
t = 3,60 s é 2,76i – 3,28j m. Em t = 3,62 s seu vetor posição se torna
2,79i – 3,33j m. Determine o módulo v de sua velocidade média
durante esse intervalo e o ângulo θ que a velocidade média faz com o
eixo x.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
0
22
0,59;
3
5
5,1
5,2
/92,25,25,1
)/(ˆ5,2ˆ5,1
02,0
ˆ05,0ˆ03,0











x
y
v
v
tg
smvv
smji
ji
t
r
v



92
Exercício resolvido 3
Um operário que trabalha no telhado de uma casa lança uma pequena
ferramenta para seu companheiro no chão. Qual deve ser a mínima
velocidade horizontal v0 necessária para que a ferramenta passe, sem tocar,
o ponto B? Localize o ponto de impacto, especificando a distância s
mostrada na figura.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
mss
sttC
smvv
tvxx
stt
gttvyy
C
x
B
y
C
B
49,2)277.1(64,66
277,1)81,9(
2
1
8
/64,6)903,0(06
903,081,9
2
1
004
2
1
2
00
00
2
2
00






93
Atividades
1. A coordenada y de uma partícula em movimento curvilíneo é dada por
y = 4t3 – 3t, onde y é expresso em metros e t em segundos. A partícula possui
uma aceleração na direção x dada por ax = 12t m/s
2. Se a velocidade da
partícula na direção x é 4 m/s quando t = 0, calcule os módulos dos vetores
velocidade v e aceleração a da partícula quando t = 1 s. Desenhe v e a na
solução.
R: v = 13,45 m/s; a = 26,8 m/s2
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
94
2. Um atleta de salto à distância se aproxima da plataforma de salto A com
uma velocidade horizontal de 10 m/s. Determine a componente vertical vy da
velocidade de seu centro de gravidade no ponto A para que ele realize o salto
mostrado. Qual será a elevação h do seu centro de gravidade?
R: vy = 3,68 m/s; h = 0,69 m 
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
95
3. Um foguete encontra-se sem combustível na posição mostrada e continua
em seu vôo sem propulsão acima da atmosfera. Se sua velocidade nessa
posição era de 1000 Km/h, calcule a altitude máxima adicional h alcançada e
o tempo t correspondente para atingi-la. A aceleração gravitacional durante
essa fase do seu vôo é 9,39 m/s2.
R: t = 25,6 s ; h = 3,08 Km 
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
96
4. Um time de estudantes de engenharia está projetando uma catapulta para
lançar uma pequena bola em A, de tal modo que ela atinja a caixa. Sabe-se
que o vetor velocidade inicial faz um ângulo 30º com a horizontal. Determine
a faixa de velocidades de lançamento v0 para as quais a bola irá parar dentro
da caixa.
R: 6,15 – 6,68 (m/s)
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
97
5. Qual deve ser a mínima velocidade horizontal para que o rapaz lance uma
pedra em A e ultrapasse, sem tocar, o obstáculo em B?
R: 28,37 m/s
Cinemática Vetorial
98
6. No combate a incêndios em florestas, aviões jogam água para ajudar
equipes que trabalham no solo. Um piloto em treinamento lança uma caixa
com corante vermelho, na esperança de atingir um alvo no solo. Se o avião
está voando horizontalmente a uma altura H acima do solo com velocidade V
a que distância horizontal do alvo o piloto deve lançar a caixa? Despreze a
resistência do ar.
R: V.√(2H/g)
Cinemática Vetorial
99
7. Uma pedra é arremessada até um muro de altura h com velocidade inicial
de 42 m/s fazendo um ângulo θ0 = 60 º com a horizontal, conforme a figura.
A pedra atinge o ponto A 5,5 s após o lançamento. Determine (a) a altura h
do muro, (b) a velocidade da pedra logo antes do impacto em A e (c) a altura
máxima H alcançada pela pedra.
R: 51,68 m; 27,38 m/s; 67,43 m
Cinemática Vetorial
100
8. O bocal de uma mangueira de jardim despeja água a uma taxa de 15 m/s.
Se o bocal é mantido no nível do solo e inclinado de 30º em relação à
horizontal, determine a altura máxima alcançada pela água e a distância
horizontal entre o bocal e o ponto no solo onde a água o atinge.
R: 2,87 m; 19,74 m
Cinemática Vetorial
101
9. Em uma competição esportiva, uma moto saltou da pista em A, a um
ângulo de 60º. Se o ponto de aterrissagem dista de 20 m do ponto A,
determine aproximadamente o módulo da velocidade com que a motocicleta
deixou o solo. Despreze as dimensões da moto.
R: 15,05 m/s
Cinemática Vetorial
102
10. Devido a certas inomogeneidades na Terra, numa certa região a
aceleração da gravidade não é bem vertical. Além de uma componente
vertical para baixo de módulo g, ela possui uma componente horizontal de
módulo a. Em relação a um sistema de eixos convenientemente escolhido, as
equações do movimento de uma partícula lançada nessa região são
onde v0x e v0y são constantes positivas.
Determine (a) o tempo de subida da partícula, isto é, o tempo desde o
lançamento até que ela chegue ao ponto mais alto da trajetória e (b) o espaço
horizontal percorrido pela partícula no movimento de subida.
Cinemática Vetorial
103
Questão Desafio:
A menina sempre lança os brinquedos do ponto A, a um ângulo de 30º.
Determine com que velocidade ela deve lançar cada brinquedo para que
eles atinjam a piscina.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
104
7 - Coordenadas Normal e Tangencial (n-t)
Uma das descrições mais comuns do movimento curvilíneo usa as
variáveis de trajetória, que são medidas feitas ao longo da tangente t e
da normal n à trajetória da partícula.
As coordenadas n e t são consideradas como se movendo ao longo da
trajetória com a partícula, como mostrado na figura abaixo, onde a
partícula avança de A para B até C.
O sentido positivo de n em qualquer posição é sempre tomado para o
centro de curvatura.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
105
As coordenadas são usadas para descrever a velocidade v e a aceleração
a para um movimento curvilíneo de uma partícula. Introduzem-se os
unitários en na direção n e et na direção t, como mostrado na figura
para a posição da partícula no ponto A.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
106
Com o raiode curvatura da trajetória nesse ponto designado por ρ,
podemos escrever a velocidade como o vetor: v = vet = et
A aceleração a da partícula é um vetor que reflete tanto a variação no
módulo quanto a variação na direção de v. A partir da equação da
velocidade e trabalhando com os unitários, a equação para a aceleração
se torna: a = en + et
onde:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
 

2v v
22
2
2
tn
t
n
aaa
sva
v
v
a




 

107
As relações obtidas nos dizem que a componente tangencial da aceleração
é igual à derivada temporal da velocidade escalar do ponto material,
enquanto a componente normal é igual ao quadrado da velocidade escalar
dividida pelo raio de curvatura da trajetória. Conforme a velocidade do
ponto material aumenta ou diminui, at é positiva ou negativa, e a
componente vetorial at está dirigida no sentido do movimento ou contrária
ao mesmo. A componente vetorial an, por outro lado, está sempre orientada
para o centro de curvatura C da trajetória.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
108
É importante observar que a componente normal da aceleração an está
sempre direcionada para o centro de curvatura da trajetória. A
componente tangencial, por outro lado, estará no sentido positivo da
direção t do movimento se o módulo da velocidade v estiver
aumentando, e no sentido negativo da direção t se o módulo da
velocidade estiver diminuindo.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
109
Conclui-se, portanto, que a componente tangencial da aceleração é
responsável pela mudança da velocidade escalar do ponto material,
enquanto sua componente normal reflete a mudança na direção de seu
movimento.
A aceleração de um ponto material será zero somente se ambas as
componentes forem zero. Assim, a aceleração de um ponto material que se
desloca com uma velocidade constante ao longo de uma curva nunca será
zero, a não ser que o ponto material passe por um ponto de inflexão da curva
(onde o raio de curvatura é infinito) ou a curva seja uma linha reta.
O fato de a componente normal da aceleração depender do raio de curvatura
da trajetória do ponto material é lavado em conta no projeto de estruturas ou
mecanismo como asas de avião e linhas férreas. Para evitar variações
repentinas na aceleração de partículas do ar que se escoam ao redor da asa de
um avião, projetam-se perfis de asas sem qualquer mudança brusca de
curvatura.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
110
8 - Movimento Circular
O movimento circular é um importante caso especial do movimento
curvilíneo plano, onde o raio de curvatrura ρ se torna o raio r constante
de um círculo e o ângulo β é substituído pelo ângulo θ medido a partir
de alguma referência radial conveniente. As componentes de velocidade
e aceleração para o movimento circular da partícula se tornam:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica






rva
vr
r
v
a
v
t
n



2
2
111
r
r
r

ˆ
Aqui também podemos usar um 
vetor unitário: (note que este vetor 
varia com o movimento)
A aceleração fica:
r
r
v
a ˆ
2


(a aceleração tem a direção do vetor posição e 
aponta para o centro da circunferência. Esta é 
a aceleração centrípeta).
Ou:
ra
 2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
Observações:
112
Exercício resolvido 1
Uma partícula se move em uma trajetória circular de 0,4 m de raio.
Calcule o módulo a da aceleração da partícula (a) se sua velocidade é
constante em 0,6 m/s e (b) se sua velocidade é 0,6 m/s, mas está
aumentando a uma taxa de 1,2 m/s a cada segundo.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
222
222
2
2
22
/5,19,02,1
/2,1)(
/9,00)(
/9,0
4,0
6,0
sma
aaasmvab
smaavaa
sm
v
a
ntt
nt
n







113
Exercício resolvido 2
Um carro passa por uma depressão na estrada em A com uma velocidade
constante, que fornece ao seu centro de massa G uma aceleração igual a
0,5g. Se o raio de curvatura da estrada em A é 100 m, e se a distância da
estrada ao centro de massa G do carro é 0,6 m, determine o módulo v da
velocidade do carro.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
hKmsmav
v
aa
n
n
/5,79/08,22)81,9(5,0)6,0100(
2




114
Exercício resolvido 3
Para atravessar uma depressão seguida de uma elevação na estrada, o
motorista de um carro aplica os freios para produzir uma desaceleração
uniforme. Sua velocidade é de 100 Km/h no ponto A da depressão e de 50
Km/h no ponto C no topo da elevação, que se encontra a 120 m de A ao
longo da pista. Se os passageiros do carro experimentam uma
desaceleração total de 3 m/s2 em A e se o raio de curvatura da elevação em
C é 150 m, calcule (a) o raio de curvatura ρ em A, (b) a aceleração no
ponto de inflexão B e (c) a aceleração total em C.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
115
Encontra-se a desaceleração constante ao longo da trajetória a partir de:
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
222
2
2
22
2
222
2222222
2
22
22
22
0
/73,2)41,2()286,1(
)/(e41,2e286,1
/286,1
150
89,13
)(
/41,20)(
432
785,1
8,27
/785,141,23)(
/41,2
)120(2
)8,27()89,13(
)(
2
1
2
sma
sma
sm
v
ac
smaaab
m
a
vv
a
smaaaaa
smvv
s
a
savvdsavdv
tn
n
tn
n
n
ntn
ACt
v
v
tAC
s
t
C
A









 






116
Atividades
1. Seis vetores aceleração são mostrados para um carro cujo vetor
velocidade está direcionado para a frente. Para cada vetor aceleração
descreva, em palavras, o movimento instantâneo do carro.
Cinemática das Partículas - Dinâmica
117
2. Uma partícula se move num plano com movimento uniforme, isto é, com
velocidade de módulo constante. A figura mostra um trecho de sua trajetória,
formada por um semicírculo de raio r, uma semi-reta e outro semicírculo de
raio R = 2r. O sentido do movimento está indicado na figura e, nela, estão
marcados os pontos A e B.
Indique, com vetores, as velocidades e acelerações da partícula nos instantes
em que ela se encontra no ponto A e no ponto B. Desenhe as setas de modo
que seus tamanhos sejam proporcionais aos seus módulos. Marque, ainda em
seu desenho, o vetor deslocamento Δr[ta, tb], onde ta é o instante e que ela se
encontra no ponto A e tb, o instante em que ela se encontra no ponto B.
Cinemática das Partículas - Dinâmica
118
3. Na parte inferior A de um loop interno, o módulo da aceleração total de um
avião é 3g. Se a velocidade medida no avião é de 800 Km/h e está
aumentando a uma taxa de 20 Km/h por segundo, calcule o raio de curvatura ρ
da trajetória em A.
R: 1709 m
Cinemática das Partículas - Dinâmica
119
4. Considere o eixo polar da Terra como sendo fixo no espaço e calcule o
módulo da aceleração a de um ponto P sobre a superfície da Terra na
latitude 40º norte. O diâmetro médio da Terra é 12.742 Km e sua
velocidade angular é de 0,729.10-4 rad/s.
R: 0,0259 m/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
120
5. Uma partícula se move ao longo de uma trajetória circular no plano x-y.
Quando a partícula cruza o eixo x, positivo ela faz um movimento acelerado e
com aceleração ao longo da trajetória igual a 1,5 m/s2 , e sua velocidade é de
6 m/s na direção negativa de y. Considerando o raio r = 0,6 m, escrevao vetor
a aceleração da partícula no instante considerado.
R: – 60 i – 1,5 j
Cinemática das Partículas - Dinâmica
121
6. A velocidade e a aceleração de uma partícula são dadas para um certo
instante por v = i – j + k m/s e a = - i + j - k m/s2.
Determine o ângulo entre v e a, e também a aceleração tangencial at.
R: 180º; √3 m/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
122
7. Uma partícula P se move ao longo de uma curva espacial e possui
velocidade v = 4i -2j - k (m/s) para o instante mostrado. No mesmo instante a
partícula tem uma aceleração a cujo módulo é 8 m/s2. Calcule o raio de
curvatura ρ da trajetória para essa posição e a taxa com a qual o módulo da
velocidade está aumentando.
R: 7,67 m; 7,52 m/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
123
8. Partindo do repouso, um bote segue uma trajetória circular de raio ρ = 50 m
com uma velocidade escalar v = (0,2.t2) m/s, onde t é dado em segundos.
Determine os módulos da velocidade e da aceleração do bote no instante
t = 3 s.
R: 1,80 m/s; 1,20 m/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
124
9. Um carro de corrida parte do repouso e percorre uma pista circular
horizontal de raio de 300 pés, como mostrado na figura. Se a sua velocidade
escalar aumenta a uma taxa constante de 7 pés/s2, determine o tempo
necessário para ele alcançar uma aceleração de 8pés/s2. Qual a sua velocidade
escalar nesse instante?
R: 4,87 s; 34,07 pés/s 
Cinemática das Partículas - Dinâmica
125
10. Um trem está se deslocando a 144 Km/h na seção curva da linha, de
raio 900 m. Os freios são repentinamente aplicados, causando uma
desaceleração constante do trem. Após 6 s a velocidade do trem se
reduziu a 96 Km/h. Determine a aceleração de um vagão
imediatamente após os freios terem sidos aplicados.
R: 2,84 m/s2
Cinemática das Partículas - Dinâmica
126
11. Uma partícula executa um movimento curvilíneo de raio R com uma
aceleração de componente tangencial dada por at = a0βt, onde a0 e β são
constantes positivas. Sabendo que no instante t0 = 0 a velocidade escalar é
v0 = , represente num instante de tempo qualquer a velocidade escalar da
partícula, v, e a componente centrípeta (ou normal) de sua aceleração.
2
0a
Cinemática das Partículas - Dinâmica
127
Questão Desafio:
Uma partícula realiza um movimento sem atrito no interior de um trilho de
perfil circular na vertical. O movimento é tal que ela não perde o contato
com o trilho durante todo o trajeto. Represente o vetor velocidade e o vetor
aceleração resultante sobre a partícula nos pontos indicados na figura.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
128
Considera-se agora a terceira descrição do movimento curvilíneo plano
em que a partícula é localizada pela distância radial r a partir de um
ponto fixo e por uma medida angular θ até a linha radial.
A figura abaixo mostra as coordenadas polares r e θ que localizam uma
partícula se movendo sobre uma trajetória curva. Uma linha fixa
arbitrária, tal como o eixo x, é usada como referência para as medidas
de θ.
Cinemática das Partículas - Dinâmica
9 - Coordenadas Polares (r-θ)
129
Vetores unitários er e eθ são estabelecidos nos sentidos positivos das
direções r e θ, respectivamente. O vetor posição r da partícula em A
tem módulo igual à distância radial r e uma direção especificada pelo
vetor unitário er. Assim, a localização da partícula em A é expressa pelo
vetor:
r = rer
Podemos utilizar a diferenciação dessa relação e o tempo para obter v = dr/dt
e a = dv/dt.
Cinemática das Partículas - Dinâmica
130
Fazendo também uso das derivadas temporais dos vetores unitários,
encontramos para a velocidade:
onde:
Diferenciando a expressão da velocidade temos para a aceleração:
onde:
Cinemática das Partículas - Dinâmica
22
eev





vvv
rv
rv
rr
r
r
r







22
eev





vvv
rv
rv
rr
r
r
r







22
2
2
2
e)2()e(a






aaa
rrv
rra
rrrr
r
r
r







22
2
2
2
e)2()e(a






aaa
rra
rra
rrrr
r
r
r







131
É importante notar que ar não é igual à derivada em relação ao tempo
de vr e que aθ não é igual à derivada em relação ao tempo de vθ.
No caso de um ponto material que se desloca ao longo de uma
circunferência de centro O, temos r = constante, , e as
fórmulas de velocidade e de aceleração reduzem-se, respectivamente a:
Cinemática das Partículas - Dinâmica
0 rr 




eea
ev
2 

rr
r
r 

132
Para descrever o MCU podemos também usar as coordenadas polares!
O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo é:
A posição angular é uma função do tempo, . O arco 
descrito em dt é dado por . Então:
Rs 
)(t
dt
d
Rv
dt
ds 

dRds 
x

s
d
R

dt
d
 
Define-se assim a velocidade angular :
v REntão:
cte
dt
d


 t  0
Se
:


.
(v: velocidade tangencial)
Cinemática das Partículas - Dinâmica
Observações:
133
Exercício resolvido 1
O braço AO de 0,9 m de comprimento gira ao redor de O e seu movimento
está definido pela relação θ = 0,15 t2, onde θ está expresso em radianos e t
em segundos. O cursor desliza ao longo do braço, sendo o seu
deslocamento em relação a O dado por r = 0,9 – 0,12t2, onde r é expresso
em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e aceleração total do
cursor B após o braço AO ter girado 30º.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
134
Exercício resolvido 1
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
2
2
/240,024,0
/449,024,0
481,012,09,0
smr
smtr
mtr





2
2
/300,030,0
/561,030,0
524,015,0
srad
sradt
radt








Primeiramente achamos t quando θ = 30º:
θ = 0,15t2 → 0,524 = 0,15t2 → t = 1,87 s
Substituindo-se t = 1,87 s nas expressões para r, θ e suas primeiras e
segundas derivadas, temos:
135
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Para o cálculo da velocidade, obtemos os valores de suas componentes
quando t = 1,87 s:
Do triângulo retângulo ilustrado na figura, obtemos o módulo, direção e
sentido da velocidade:
V = 0,524 m/s ; β = 31º
smrv
smrvr
/270,0561,0.481,0
/449,0


 

136
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
Para o cálculo da aceleração, fazemos:
2
22
/359,0)561,0.449,0(2)300,0(481,02
/391,02)561,0(481,024,0
smarra
smarra rr


 



Encontramos: a = 0,531 m/s2 ;
º6,42
137
Exercício resolvido 2
A posição do cursor P no braço articulado giratório AO é controlada por
um parafuso, como mostrado. No instante representado, dθ/dt = 8 rad/s e
dθ2/dt2 = - 20 rad/s2. Também nesse instante, r = 200 mm,
dr/dt = - 300 mm/s, e dr2/dt2 = 0. Para esse instante, determine as
componentes r e θ da aceleração de P.
Introdução - Dinâmica ICinemática das Partículas - Dinâmica
22
2222
/80,8/8800)8)(300(2)20(2002
/80,12/12800)8(2000
smsmmrra
smsmmrrar




 

138
1. Um brinquedo de um parque de diversões consiste numa cadeira que gira
numa trajetória circular horizontal de raio r presa a um braço OB que possui
velocidade angular

Outros materiais