NOTA DE AULA II - Cap 17 - Ondas I

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NOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULA 
 
 
02 
 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA 
Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II (MAF 2202) 
Coordenação: Prof. Dr. Elias Calixto Carrijo 
CAPÍTULO 17 – ONDAS I 
 
 
 
2.1 ONDAS E PARTÍCULAS 
 
Partículas e ondas são conceitos importantes da física. Pode-se estabelecer relações de quase todos os 
temas da física com estes conceitos. Entende-se por partícula, uma manifestação da matéria capaz de 
transmitir energia. A onda transmite energia sem deslocamento da matéria. 
 
2.2 TIPOS DE ONDAS 
 
 existem três tipos básicos de ondas. 
 
A. Ondas Mecânicas 
São ondas que necessitam de um meio para se propagar. 
Exemplo: som, ondas na água, ondas em uma corda. 
 
 B. Ondas Eletromagnéticas 
 
 São constituídas de campos elétricos e magnéticos e não necessitam de um meio para se propagar. 
 Exemplo: Luz, raios X. A sua velocidade de propagação no vácuo é 
 
299792458 /c m s= 
 C. Ondas Materiais 
 São ondas associadas com elétrons, prótons e outras partículas fundamentais. 
 
2.3 ONDAS TRANSVERSAIS E LONGITUDINAIS 
 
 Uma onda em que o sentido de propagação da mesma é perpendicular ao movimento do meio no 
qual ela se propaga é chamada de onda transversal. Uma onda numa corda, em um lago são exemplos de 
ondas transversais. 
 Por outro lado, uma onda em que o sentido de propagação da mesma é paralela ao movimento do 
meio é chamada de onda longitudinal. Como exemplo cita-se uma onda sonora. 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA II 02 
 
 
2.4 COMPRIMENTO DE ONDA E FREQUÊNCIA 
 
 o comportamento de uma onda pode ser analisado através de uma função que descreve a forma da 
mesma. Essa função é dada por: 
( , ) ( )my x t y sen kx tω= − 
y - Deslocamento transversal 
ym - Amplitude da onda 
k – Nº. de onda angular 
ω – Freqüência angular 
 
Amplitude e Fase 
 
 A amplitude ym de uma onda é a posição máxima que os elementos da onda assumem, a partir de suas 
posições de equilíbrio. 
 Fase de uma onda é o argumento kx tω− da função seno. 
 
Comprimento de Onda e Número de Onda Angular 
 
 O comprimento de onda de uma onda é a distância entre pontos sucessivos onda a onda começa a 
repetir suas características, como na figura ao lado supondo que neste caso t = 0, então. 
 
( ,0) my x y sen kx= 
 
 
 
 
 
 Como o deslocamento é o mesmo nas duas extremidades deste comprimento de onda, pode-se 
escrever: 
1 1
1
( )
( )
m m
m
y sen kx y sen k x
y sen k kx k
λ
λ
= +
= +
 
 
 sendo o período da função seno dado por 2π, vem: 
 
22k k piλ pi λ= ⇒ = 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA II 03 
 
 
 A grandeza k é chamada de número de onda angular. 
 
Período, Freqüência Angular e Freqüência. 
 
 Um ponto de uma corda na qual se propaga uma onda, descreve um movimento harmônico simples. 
Supondo que esse ponto esteja localizado na posição x = 0, obtém-se: 
 
(0, ) ( )m
m
y t y sen t
y sen t
ω
ω
= −
= −
 
 
 O Período T de oscilação de uma onda é definido como o tempo que um elemento desta onda 
necessita para executar uma oscilação completa. Da relação anterior 
 
1 1
1
( )
( )
m m
m
y sen t y sen t T
y sen t T
ω ω
ω ω
− = − +
= − +
 
 
 Então: 
 
22T
T
pi
ω pi ω= ⇒ = 
 
 A grandeza anterior é chamada de Freqüência Angular. A freqüência de uma onda é dada por: 
 
1
2
f
T
ω
pi
= = 
 
2.5 VELOCIDADE DE UMA ONDA PROGRESSIVA 
 
 Em uma onda qualquer se movendo com um velocidade vr , o ponto A da figura ao lado permanece 
com sua posição inalterado. Na função de onda, isso é obtido fazendo: 
 
kx tω− = constante 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA II 04 
 
 
 
Na relação anterior tanto x como t estão variando, de tal modo que a relação permaneça constante. 
Derivando ambos os termos dessa relação vêm: 
 
0 0dxk k v v
dt k
ω
ω ω− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ 
 
 Também tem-se: 
 
.v f
k T
ω λ λ= = = 
 
2.6 VELOCIDADE DA ONDA EM UMA CORDA ELÁSTICA 
 
 Considere o pulso de uma onda se movendo 
com uma velocidade vr , conforme figura ao lado. 
Em um pequeno elemento ∆l as forças verticais são 
dados por: 
 
2 2 lF sen
R
τ θ τθ τ ∆= ≅ = 
 
onde 2 /l Rθ = ∆ . A massa do elemento é dada por: 
 
m lµ∆ = ∆ 
 
 Na figura mostrada acima, pode-se considerar o elemento se movendo em um arco de círculo, 
possuindo uma aceleração centrípeta dada por: 
 
2v
a
R
= 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA II 05 
 
 
sendo 
 
.F m a= 
 
então: 
 
2
. .
l vl v
R R
τ
τ µ
µ
∆
= ∆ ⇒ = 
 
 
2.7 ENERGIA E POTÊNCIA DE UM ONDA PROGRESSIVA EM UMA CORDA 
 
 Energia Cinética 
 Está associada ao movimento transversal de um elemento de massa dm (de uma corda). 
 
 Energia Potencial Elástica 
 Está associada ao alongamento sofrido por uma mola sujeita à propagação de uma onda. 
 
 Transporte de Energia 
 Ao se mover para seções anteriormente em repouso, a onda transfere energia para essas regiões. 
 
 Taxa de transmissão de energia 
 Para um elemento de corda com massa dm, a energia cinética dk é dada por: 
 
21
,
2
dk dm µ= 
 
 onde µ é a velocidade transversal do elemento de corda que está oscilando. Então: 
 
cos( )
m
y y kx t
t
µ ω ω∂= = − −
∂
 
 
Fazendo dm dxµ= tem-se: 
 
2 21 ( )( ) cos ( )
2 m
dk udx y kx tω ω= − − 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA II 06 
 
 
 
 Dividindo a relação anterior por dt obtemos a taxa de variação da energia cinética de um elemento de 
corda. Como dxv
dt
= , tem-se: 
 
2 2 21 cos ( )
2 m
dk
uvw y kx t
dt
ω= − 
 
 A taxa média de transferência de energia será dada por: 
 
2 2 2
2 2
1 [cos ( )]
2
1
4
m med
med
m
dk
uv y kx t
dt
uv y
ω ω
ω
 
= − 
 
=
 
 
 Então, a potência média será dada por: 
 
2 21
2med mmed
dkP Z uv y
dt
ω
 
= = 
 
 
 
 
2.8 O PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS 
 
 
 Para duas ondas que se propagam ao longo de uma corda, a onda resultante dessa superposição de 
ondas é dada por: 
 
1 2( , ) ( , ) ( , ),y x t y x t y x t= + 
 
onde 1( , )y x t e 2 ( , )y x t são as duas ondas se propagando. Pode-se enunciar do seguinte modo esse 
fenômeno. 
 Ondas superpostas se somam algebricamente para produzirem uma onda resultante. 
 
 
 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA II 07 
 
 
2.9 INTERFERÊNCIA DE ONDAS 
 
 Pode-se aplicar o princípio da superposição de duas ondas para se obter a onda resultante de duas 
ondas senoidais enviadas ao longo de uma corda. Este fenômeno de combinação de ondas é chamado de 
INTERFERÊNCIA. 
 Então, seja duas ondas se propagando ao longo de uma corda esticada dadas por: 
 
1
2
( , ) ( )
( , ) ( )
m
m
y x t y sen kx t
y x t y sen kx t
ω
ω φ
= −
= − +
 
 
 A diferença entre1( , )y x t e 2 ( , )y x t é ângulo φ , chamado de constante de fase. 
 A onda resultante é obtida do princípio da superposição de ondas, sendo dada por: 
 
1 2( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )m m
y x t y x t y x t
y sen kx t y sen kx tω ω φ
= +
= − + − +
 
Como: 
1 12 ( )cos ( )
2 2
sen sen senα β α β α β+ = + + 
tem-se: 
1 1( , ) [2 cos ] ( )
2 2m
y x t y sen kx tφ ω φ= − + 
 
A onda ( , )y x t de amplitude 12 cos
2m
y φ seria a única onda vista na corda. 
 
 Situações: 
 
 0φ = → Coincidência das duas ondas 
 180ºφ = → Interferência destrutiva 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA II 08 
 
 
2.10 FASORES 
 
 Uma onda pode ser representada vetorialmente por um fasor. Um 
fasor é um vetor que possui intensidade igual à amplitude da onda. 
 A velocidade angular do fasor é igual à freqüência angular da 
onda. 
 A onda 1( , ) ( )my x t y sen kx tω= − é representado pelo fasor 
mostrado nas figuras ao lado. Duas ondas se propagando em uma corda 
no mesmo sentido pode ser representadas por um diagrama de fasores. 
 Então a onda resultante será: 
 
' '( , ) ( )
m
y x t y sen kx tω β= − + 
 
 
 
 
2.11 ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 Uma onda estacionária é obtida pela interferência de duas ondas se propagando em sentido contrário. 
Seja então as ondas dadas por: 
 
1
2
( , ) ( )
( , ) ( )
m
m
y x t y sen kx t
y x t y sen kx t
ω
ω
= −
= +
 
utilizando-se o princípio da superposição obtém-se a onda resultante: 
 
1 2( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
( , ) 2 cos
m m
m
y x t y x t y x t y sen kx t y sen kx t
y x t y sen kx t
ω ω
ω
= + = − + + ⇒
=
 
 
 A equação anterior não representa uma onda progressiva, mas uma onda estacionária, onde: 
2
m
y senkx é amplitude na posição x. Em uma onda progressiva, a amplitude ym é a mesma para todos os 
pontos da onda. Em uma onda estacionária, a amplitude depende da posição. Nota-se na relação 2
m
y senkx 
que existem pontos onda a amplitude é zero, isto é: 
 
2 0 / 0,1, 2,3,...
m
y sen kx p kx n npi= = = 
então, 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA II 09 
 
 
/ 2 / 0,1, 2,3,...
2
p k x n nλpi λ= ⇒ = = 
 
 nos pontos 
2
x n
λ
= a amplitude é zero. Estes pontos são conhecidos como nós de uma onda 
estacionária. 
 Por outro lado, os pontos onda a amplitude é máxima são dadas por: 
 
2 2
m m
y sen kx y= , 
 
 ou seja 
 
1 3 5 11 , , .... 0,1, 2,...
2 2 2 2 2
sen kx kx x n nλpi pi pi  = ⇒ = ⇒ = + = 
 
 
 
 Os pontos anteriores são conhecidos como antinós. 
 
2.12 ONDAS ESTACIONÁRIAS E RESSONÂNCIA 
 
 Pode-se produzir ondas estacionárias em uma corda presa em suas extremidades. Havendo 
ressonância os padrões de vibração serão dados por: 
 
2
2
2
3
2
L
L
L
λ
λ
λ
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 Nesta situação os padrões de ressonância serão dados por: 
 
2
L n λ= 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA II 
010 
 
 
ou 
2
, 1,2,3...L n
n
λ = = 
Então 
2
v vf n
Lλ= =