NOTA DE AULA III - Cap 18 - Ondas II

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FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 0� PAGE �15�
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NOTA DE AULA
	
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA 
Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II (MAF 2202)
Coordenação: Prof. Dr. Elias Calixto Carrijo 
CAPÍTULO 18 – ONDAS II
	
03
	
3.1 Ondas Sonoras
	Por definição onda sonora é uma onda longitudinal se propagando em um meio qualquer, produzindo vibração das partículas desse meio.
	Uma fonte sonora pontual emite ondas sonoras em todas as direções. As superfícies sobre as quais as oscilações do ar devido à onda sonora tem o mesmo valor são chamadas de FRENTES DE ONDA.
	Próximo às fontes puntuais, as frentes de ondas são chamadas esféricas. Quando muito afastadas da fonte, as frentes são chamadas planas.
3.2 Velocidade do Som
	Seja um pulso isolado onde o ar comprimido se propaga da direita para a esquerda com uma velocidade v através de um tubo. Se o referencial for estabelecido sobre o pulso, o que se vê é o ar se deslocando para a esquerda, passando no interior do pulso, como na figura a seguir:
 
	Quando o elemento de ar penetra na região comprimida, ele reduz a velocidade por causa da força atuante sobre ele 
. O tempo para completar essa redução de velocidade é dada por:
	Da segunda Lei de Newton, a força resultante sobre o elemento de ar ao penetrar no pulso é dada por:
O volume do elemento é dado por 
. Então, usando 
, vem:
A aceleração média do elemento no intervalo de tempo 
 é dada por:
como F = ma, obtém-se:
ou
O volume
	Se o volume do ar fora do pulso é 
Assim:
3.3 Ondas Sonoras Progressivas
	Examinamos agora os deslocamentos e variações de pressão relativos a uma onda senoidal se propagando no ar. A figura a seguir mostra uma onda com essa característica se propagando para a direita. Pode-se produzir uma onda como essa com um pistão se movendo na extremidade esquerda do tubo. Esse movimento do pistão para a direita produz um deslocamento e uma compressão do elemento de ar na sua proximidade. Quando o pistão se move para a esquerda permite-se que o elemento de ar se mova para a esquerda e que a pressão diminua. Como cada elemento de ar empurra o próximo elemento, esse movimento do ar da direita para a esquerda e a variação de pressão se propagam ao longo do tubo como uma onda sonora.
	Em uma onda que se propaga ao longo do tubo o elemento de ar 
se desloca para a direita e esquerda descrevendo um movimento harmônico simples em torno de sua posição de equilíbrio. Em analogia com a equação de onda para uma onda que se propaga em uma corda, a equação de onda para essa onda longitudinal será:
�� EMBED Equation.DSMT4 
onde 
representa o deslocamento longitudinal do elemento de ar 
, Sm é o deslocamento máximo (amplitude). O número de onda angular k, a freqüência angular 
, a freqüência f, o comprimento de onda 
, a velocidade v e o período T tema mesma definição e relações que para as ondas transversais. Para ondas sonoras, o comprimento de onda é à distância entre duas compressões.
	Quando a onda se move, a pressão no ar é dada pela relação a seguir:
A amplitude de pressão é dada por: 
Dedução das Relações
	A variação da pressão no elemento deslocado é dada por:
	onde:
		
 Volume do elemento deslocado
		
Variação do volume do elemento
Das relações anteriores e passando ao limite do diferencial obtém-se:
logo
onde
3.4 Interferência
	Analogamente às ondas transversais, as ondas sonoras podem sofrer interferência. Seja o caso particular de interferência entre duas ondas sonoras idênticas se propagando na mesma direção.
	Essa situação pode ser representada pela figura ao lado, onde duas fontes puntuais S1 e S2 emitem ondas sonoras que estão em fase. O que se deseja saber é o resultado dessa interferência no ponto P. Supõe-se que a distância até P seja muito maior que a distância entre as fontes. Assim pode-se imaginar as ondas se propagando na mesma direção.
	Como as trajetórias percorridas pelas ondas, L1 e L2 respectivamente, são diferentes, elas podem não estar em fase no ponto P. Então, a diferença de fase 
 depende da diferença de comprimento das trajetórias 
. Uma diferença de fase de 2π rad corresponde a um comprimento de onda 
. Portanto:
ou
uma interferência totalmente construtiva ocorre quando:
então 
	Uma interferência destrutiva ocorre porque uma onda se encontra completamente fora de fase com a outra onda.
3.5 Intensidade e Nível Sonoro
	A intensidade de uma onda sonora em uma superfície é a taxa média por unidade de área com que se transfere energia pela onda, ou seja:
onde P é a taxa de transferência de energia no tempo e A a área da superfície.
	Para uma fina camada de ar de espessura dx, área A e massa dm, oscilando quando a onda sonora passa, por ela, a energia cinética é dada por:
	Nesta equação vs é a velocidade do elemento de ar que está oscilando, sendo dada por:
	sendo 
, e usando a relação para vs tem-se:
dividindo-se a relação anterior por dt obtém-se a taxa com que a energia cinética se desloca junto com a onda. Sendo dx/dt a velocidade das ondas transversais, obtém-se:
usando a relação para o valor médio de uma função, dado por 
, obtém-se o valor médio da energia cinética:
	Supondo-seque a energia potencial tenha o mesmo valor da energia cinética, a intensidade da onda será dada por:
OBS: Conforme definição, o valor médio de 
é dado por:
Variação Da Intensidade Com A Distância.
	A forma com a intensidade de uma fonte varia com a distância é complexa. Entretanto, em algumas situações, podemos imaginar uma fonte sonora puntual emitindo som isotropicamente. Supondo que a energia mecânica da onda se conserva para uma onda se propagando esfericamente, obtém-se:
onde 
é a área da superfície da esfera.
A Escala Decibel
A amplitude de deslocamento no ouvido humano varia de 10-5 m (som tolerável) a 10-11 m (som mais fraco), que representa uma razão às amplitudes de 106m. A intensidade do som varia com o quadrado da amplitude, logo a razão entre as intensidades nos dois limites é de 1012.
	O conceito de logaritmo pode ser usado para se trabalhar com grande faixa de valores. Para a relação a seguir
multiplicando-se x por 10 y aumenta em um, ou seja
	A definição de nível sonoro 
 é usada no lugar da intensidade I para se reduzir a faixa de valores:
	I0 é uma intensidade de referência padrão dada por 10-12 W/m2, o qual está próximo do limite inferior da audição humana. Para I = I0 obtém-se 
, ou seja o nível de referência padrão corresponde a zero. O nível sonoro
 aumenta 10dB cada vez que a intensidade do som aumenta de uma ordem de grandeza, isto é, para 
 = 40 tem-se uma intensidade 104 vezes o nível de referência padrão. Segue tabela de diversos níveis sonoros:
	
	dB
	Limiar da Audição
	0
	Roçar das Folhas
	10
	Conversação
	60
	Concerto de Rock
	110
	Limiar da Dor
	120
	Motor a Jato
	130
3.6 Fonte Sonoras Musicais
	Sons musicais podem ser gerados por cordas vibrando (violão, violino, piano), membranas (tambor), colunas de ar (flauta, órgão de tubo) e outros corpos oscilantes. Já vimos que ondas estacionárias podem ser geradas em uma corda esticada fixada em suas extremidades quando o comprimento de onda das ondas coincide adequadamente com o comprimento da corda, a superposição das ondas se propagando em sentido contrário produz ondas estacionárias.
	Pode-se gerar ondas estacionárias de som em tubos cheios de ar de modo semelhante. Ondas sonoras se propagando através do ar no tubo são refletidas, mesmo que a extremidade do tubo esta aberta(apesar da reflexão não ser tão completa como se o tubo estivesse fechado). Se o comprimento de onda das ondas sonoras coincidir adequadamente com o comprimento do tubo, a superposição de ondas se propagando em sentido contrário através do tubo gera uma onda estacionária.
	Ondas sonoras estacionárias são semelhantes às ondas em cordas. Pode-se considerar a extremidade fechada de um tubo análoga à extremidade fixa de uma corda, por notar-se a existência de um nó(deslocamento nulo) na mesma. Para a extremidade aberta de um tubo considera-se a extremidade da corda presa em um anel que pode mover-se livremente da vertical.
	O padrão de onda estacionária mais simples que pode ser gerado em um tubo com as extremidades abertas é mostrado na figura a seguir.
	Nota-se a existência de um antinó em cada extremidade e um nó na seção no meio do tubo. Este padrão de nada é chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico. Para se obter este padrão, o comprimento do tubo L deve igual a 
/2, ou seja 
=2L. Outros padrões de ondas sonoras estacionárias para um tubo com as extremidades abertas estão mostradas na figura a seguir 
	O segundo harmônico necessita de ondas com comprimento de onda de 
, o terceiro de 
 e assim sucessivamente. De um modo geral, os comprimentos de onda para ondas sonoras estacionárias em um tubo com as extremidades abertas são dados por:
 para n = 1,2,3,...
	Então, as freqüências de ressonância são dadas por:
para n = 1,2,3,...
	Os padrões de onda estacionárias obtidos em um tubo com apenas uma extremidade aberta também são mostradas na figura anterior. Nota-se a existência de um nó na extremidade fechada e um antinó na extremidade aberta. O padrão mais simples é obtido quando 
, ou seja, 
. O padrão seguinte obtém-se para 
, ou 
. De um modo geral tem-se:
 para n = 1,3,5,...
ou seja
 para n = 1,3,5,...
	O comprimento de um instrumento musical reflete a faixa de freqüência no qual o instrumento é projetado para funcionar.
3.7 Batimentos
	A superposição de duas ondas sonoras com freqüências aproximadas resulta em um fenômeno chamado de batimento. Nesse caso a intensidade do som varia em batimentos lentos e trêmulos que se repetem com uma freqüência dada pela diferença das duas ondas sonoras iniciais. A figura a seguir representa graficamente esse fenômeno.
	Para se compreender melhor esse fenômeno, suponha que as duas ondas sejam representadas pelas equações a seguir:
 e 
onde 
. De acordo com o princípio da superposição, a onda resultante é dada por:
como
obtemos:
ou
com
	Essa onda resultante possui freqüência angular de 
 e amplitude igual a 
	Uma amplitude máxima é obtida sempre que 
 for +1 ou -1, o que acontece duas vezes no ciclo da função cosseno. Como a freqüência angular de 
 é 
 a freqüência do batimento é de 
, ou seja:
sendo 
3.8 O Efeito Doppler
	O efeito Doppler proposto em 1842 pelo físico austríaco Johann Christian Doppler é oriundo do movimento relativo entre fonte e detector de ondas sonoras, promovendo uma alteração na freqüência original destas ondas. O efeito Doppler se aplica também para ondas eletromagnéticas (microondas, ondas de rádio e luz visível). Vamos analisar alguns casos.
Detector Em Movimento; Fonte Estacionária
	Considere-se o caso de um detector de ondas sonoras D, se aproximando de uma fonte S, com uma velocidade vD. A fonte S emite ondas com freqüência f e comprimento de onda 
, e velocidade v. A freqüência captada pelo detector D é a taxa com que D intercepta as frentes de onda.
	
	Considerando o detector D em repouso, no tempo t as frentes de onda se movem para a direita de uma distância vt. O número de comprimentos de onda nessa distância vt é o número de comprimentos de onda interceptados por D no tempo t, que é 
. A taxa com que D intercepta os comprimentos de onda, que é a freqüência f detectada por D é:
	Nesta situação, com D e S estacionários, não há efeito Doppler. Por outro lado, para o detector D se movendo para a esquerda com uma velocidade vD, em um tempo t, o mesmo se move de uma distância vDt, e as frentes de ondas se movem para a direita de uma distância vt. Então, neste tempo à distância que as frentes de onda se moveram em relação a D é vt + vDt . O número de comprimentos de onda nesta distância relativa (vt + vDt) é o número de frentes de onda interceptadas por D no tempo t, ou seja, (vt + vDt)/
. A nova freqüência f’, é a taxa com que D intercepta os comprimentos de onda, isto é:
sendo 
obtém-se:
onde v é a velocidade do som no ar. O caso geral para o detector se aproximando ou se afastando é dada por:
Fonte Em Movimento; Detector Estacionário
	O comprimento de onda original de uma onda sonora é modificado pelo movimento da fonte. Considere T o intervalo de tempo entre a emissão de duas frentes de onda sucessivas 
 e 
. Durante T, a frente de onda 
se move de uma distância vt e a fonte se move de um distância vst. Após transcorrido o tempo T, a frente de onda 
 é emitida. O comprimento de onda, desta onda corresponde à distância entre 
 e 
, dado por vt – vst. A nova freqüência detectada por D será:
A fonte se propagando em sentido contrário tem-se:
Equação Geral Do Efeito Doppler
	Quando a fonte e o detector estiverem se movendo, a freqüência detectada f’,será dada por:
onde:
	
Freqüência detectada
	
 Freqüência original
	
 Velocidade do som no ar
	
 Velocidade do detector
	
 Velocidade da fonte
	
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