Probabilidade (1)

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Introdução à Probabilidade 
 
Introdução: 
Ao invés de utilizar afirmações como “É possível que chova amanhã” , ou “Não há chance do Atlético ser campeão do 
Brasileirão”, é conveniente dispormos de uma medida que exprima essa incerteza em termos de uma escala 
numérica que varie do impossível ao certo. Esta medida é a probabilidade. 
 
Objetivo: 
Quantificar a incerteza presente em determinada situação, ora usando um número, ora usando uma função 
matemática. 
 
Conceitos básicos: 
a) Experimento: É qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações 
a.1) Experimento determinístico: É aquele que quando realizado sob determinadas condições é possível 
prever o resultado particular que irá ocorrer. 
Ex.: Água aquecida a 1000 c, sob pressão normal, entra em ebulição. 
a.2) Experimento aleatório (não determinístico): É aquele que quando realizado sob condições idênticas, não 
é possível prever, a priori, o resultado particular que irá ocorrer e sim, o conjunto dos possíveis resultados. 
Ou seja, é um processo de coleta de dados relativos a um fenômeno que acusa variabilidade em seus 
resultados, em que seus possíveis resultados são conhecidos, mas não se pode saber a priori qual deles 
ocorrerá. 
Vamos denotá-lo por ε. 
Exemplos feitos em sala. 
b) Espaço amostral: Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
 Vamos denotá-lo por Ω. 
 Exemplos feitos em sala 
c) Evento: Subconjunto do espaço amostral. 
São representados por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas 
Exemplos feitos em sala 
Tipos de eventos: 
• Evento simples: contém apenas um elemento de Ω. 
• Evento certo ou certeza: contém todos os elementos de Ω. Se o evento A = Ω  A é um evento certo. 
• Evento impossível: não contém elementos. É igual ao conjunto vazio. 
• Evento união (A U B): o evento “A união B” é formado pelos elementos que estão em A ou em B ou em 
ambos ( ocorrência de A, ou de B, ou de ambos). Representa a ocorrência de pelo menos um dos 
eventos. 
• Evento intersecção (A ∩ B): o evento “A intersecção B” é formado pelos elementos que pertencem ao 
evento A e B simultaneamente (ocorrência simultânea de A e B). 
• Evento complementar: Complementar de A = negação de A, contém todos os elementos do espaço 
amostral que não pertencem ao evento A. É denotado por A ou AC 
• Eventos mutuamente excludente (disjuntos ou excludentes): quando não existir intersecção entre eles. A 
e B são disjuntos → (A∩B) = . 
 Exemplos: 
1) Feito em sala 
2) Suponha que o espaço amostral seja formado pelos inteiros positivos de 1 a 10. Sejam os eventos: 
A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} e C = {5, 6, 7}. 

 2 
BA  =  = evento simples, BA  =  CA =   o evento A intersecção C é um 
evento impossível. A e C são eventos disjuntos. 
  CBA  = 
 
Algumas propriedades dos eventos: 
a)   BABA  
b)   BABA  
c) AA  
d)  
e)  
Diagrama de Venn 
 
 
 
 
Definição clássica: Seja A um evento qualquer do espaço amostral. Se os eventos simples são equiprováveis, isto é, 
eles têm a mesma chance de ocorrer, podemos calcular a probabilidade de A como: 
 
 
 
Exemplos: 
1) Seja o experimento aleatório “ jogar um dado e observar a face de cima”. 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seja o evento A : “ocorrer número par”, A = {2, 4, 6} 
n() = 6 e n(A) = 3. Se o dado for honesto, todas as seis faces têm a mesma probabilidade de saírem para cima. 
Assim, a probabilidade do evento A é dada por P(A)= n(A) / n() = 3/6=0,5. 
 
)(
)()(


n
AnAAP
oexperiment do possíveis resultados de número
 evento do ocorrência à favoráveis resultados de número
 3 
2) Em uma mão de pôquer que consiste de cinco cartas, determine a probabilidade de se ter dois ases e três valetes. 
(Feito em sala) Resp.: P(A) = 24/2598960 = 0,9 x 10-5. 
 
Porém, na maioria das situações práticas, os eventos simples do espaço não são equiprováveis e não podemos 
calcular probabilidades usando a definição clássica. Neste caso vamos calcular probabilidades como a freqüência 
relativa de um evento. 
 
Definição frequentista: Proporção de vezes que um evento ocorre em uma série suficientemente grande de 
realizações de um experimento, em condições idênticas. 
Se A é o evento de interesse, a probabilidade de A é dada por: 
 
 
 
 
 
onde o número de repetições deve ser grande. 
 
Exemplo 1: Uma amostra de 6800 pessoas de uma determinada população foi classificada quanto à cor dos olhos e à 
cor dos cabelos. Os resultados foram: 
 
Tabela 1: Classificação de uma amostra de 6800 pessoas quanto à cor dos olhos e dos cabelos 
 Cor dos cabelos 
Cor dos olhos Loiro Castanho Preto Ruivo Total 
Azul 1768 807 189 47 2811 
Verde 946 1387 746 53 3132 
Castanho 115 438 288 16 857 
Total 2829 2632 1223 116 6800 
 
Considere o experimento aleatório que consiste em classificar um indivíduo quanto à cor dos olhos. 
Ω = {A, V, C}, onde: A = {a pessoa tem olhos azuis}, V = {a pessoa tem olhos verdes} e C = {a pessoa tem olhos 
castanhos}. 
Os eventos não são equiprováveis: 
P(A) = nº de pessoas de olhos azuis / nº de pessoas na amostra = 2811/6800 = 0,4134 
 
 
 
 
Axiomas de probabilidade: 
 
Ax.1) A probabilidade de ocorrência de um evento qualquer A satisfaz a seguinte relação: 
0 ≤ P(A) ≤ 1 
Ax. 2) P(Ω) = 1 
Ax. 3) Se A e B são disjuntos, então: P(A U B) = P(A) + P(B) 
n
AnAAP )()( 
oexperiment do repetições de total número
 que vezes de número
 4 
 Se A1, A2, ..., Ak são eventos disjuntos, então: 


k
i
ik APAAAP
1
21 )()(  
Consequências dos axiomas: (demonstrações feitas em sala) 
C1) Se  é um evento impossível, então: P() = 0 . 
C2) Se A é um evento de  , a )(1)( APAP  . 
C3) Se A e B são dois eventos quaisquer de  , então:   )()()( BAPBPAPBAP  . 
C4) Se A, B e C são eventos quaisquer de  , então: 
  ).()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP  
 
 
Exemplos: 
1) Feito em sala 
2) Dois processadores tipo A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade de que um erro de cálculo 
aconteça em um processador do tipo A é de 1/30, no tipo B, 1/80 e, em ambos, 1/1000. Qual a probabilidade de 
que: 
a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? 0,045 
b) Nenhum processador tenha apresentado erro? 0,955 
c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? 0,032 
2) Considerando os dados da Tabela 1, qual a probabilidade de um indivíduo ter olhos azuis ou cabelos loiros? 
P(A U L) = P(A) + P(L) – P(A ∩ B) = 2811/6800 + 2829/6800 – 1768/6800 = 3872/6800 = 0,5694 
 
Probabilidade condicional: 
Ex.: No lançamento de dois dados não viciados, qual é a probabilidade da soma dos números que ocorreram ser 8, se 
sabemos que o resultado do primeiro dado é 3? 
Sol.: Sejam os eventos: A = ocorrer soma igual a 8  A = {(2,6), (3,5), (4,4), (6,2), (3,3)}; B = ocorrer número 3 no 
primeiro dado  B = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}. 
 5 
Das 6 possibilidades de ocorrência de 3 no primeiro dado, em apenas uma a soma é igual a 8, portanto a 
probabilidade da soma dos números que ocorreram ser 8, se sabemos que o resultado do primeiro dado é 3 será 
igual a 1/6. 
Vimos neste exemplo que a probabilidade de um evento A se modifica quando dispomos da informação sobre a 
ocorrência de um outro evento. 
 
Muitas vezes, o objetivo é calcular a probabilidade de um evento restrito a determinada condição, ou seja, a 
probabilidade de um evento condicionada à ocorrência de outro. 
A probabilidade de um evento A ocorrer dado que se sabe que um evento B ocorreu, é chamada probabilidade 
condicional do evento A dado B. 
Ela é denotada porP(A|B) e calculada por: 
 
 
 
 
Esta expressão pode ser reescrita como: chamada de regra do produto e é muito usada 
no cálculo de probabilidades. 
 
 
 
A probabilidade de A ocorrer dado que o evento B ocorreu será: 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Feito em sala 
2) Um grupo de pessoas foi classificado quanto a peso e pressão arterial de acordo com a Tabela 2 abaixo: 
 
Tabela 2: Distribuição de um conjunto de pacientes segundo peso e pressão arterial 
 Peso 
Pressão arterial Excesso Normal Deficiente Total 
Elevada 100 080 020 0200 
Normal 150 450 200 0800 
Total 250 530 220 1000 
0)( se ,
)(
)()|(  BP
BP
BAPBAP
),()|()( BPBAPBAP 
)|(1)|( BAPBAP 
 6 
 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso naquele grupo ter pressão elevada? 
b) Considerando que a pessoa escolhida tem excesso de peso, qual a probabilidade dela ter pressão elevada? 
c) Considerando que a pessoa escolhida tem excesso de peso, qual a probabilidade dela não ter pressão elevada? 
Solução: Eventos: A = pressão elevada, B = pressão normal, C = excesso de peso, D = peso normal e E = peso 
deficiente 
a) P(A) = 200/1000 = 0,20, b) P(A|C) = 40,0
250
100
1000
250
1000
100
 
 
C) 
 
3) Se P(B) = 0,4; P(A) = 0,7 e P(A  B) = 0,3; calcule )|( BAP . ( resp.: 0,67) 
 
Partição do espaço amostral: 
Considere o espaço amostral particionado em i partes. 
Os eventos C1, C2, ..., Cn formam a partição do espaço amostral quando: 
 
a) Os eventos são disjuntos  
 
 b) A união deles forma o espaço amostral  
 
Como exemplo, considere uma partição com 6 eventos como mostrado na Figura 01 a seguir. 
 
Probabilidade total: Seja um evento A qualquer contido em um espaço amostral particionado por Ci eventos. 
60,040,01)|(1)|(  CAPCAP
,i jC C i j i j   
1
n
i
i
C

 
 7 
 
Por exemplo: Seja um evento A qualquer contido em um espaço amostral particionado por i, i = 1, 2, ..., 6, então, 
 
Exemplos: 
1) Feito em sala 
2) Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, 
respectivamente. Da produção de cada máquina 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos 
defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso, qual a probabilidade dele ser defeituoso? 
Solução: 
Eventos: 
A: parafuso produzido por A 
B: parafuso produzido por B 
C: parafuso produzido por C 
D: parafuso defeituoso 
Dados: 
P(A) = 0,25; P(B) = 0,35; P(C) = 0,40; P(D|A) = 0,05; P(D|B) = 0,04; P(D|C) = 0,02 
Queremos P(D). 
(D) = (DA)  (DB)  (DC) 
P(D) = P(DA) + P(DB) + P(DC) = P(A).P(D|A) + P(B).P(D|B) + P(C).P(D|C) 
P(D) = 0,25.0,05 + 0,35.0,04 + 0,40.0,02 = 0,0345. 
 
Fórmula de Bayes: 
 8 
Suponha que os eventos C1, C2, ..., Cn, formam uma partição do espaço amostral e que suas probabilidades sejam 
conhecidas. Suponha ainda que para um evento A, se conheçam as probabilidades P(A | Ci) para todo i=1, 2, .., n. 
Então, para qualquer w, 
 
 
 
 
 
Pois,  
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Feito em sala 
2) Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, 
respectivamente. Da produção de cada máquina 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. 
Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso venha da 
máquina C? 
   
         
2319,0
0345,0
02,0.40,0
|)|(|
|
)(
)()|( 




CDPCPBDPBPDAPAP
CDPCP
DP
DCPDCP 
 
3) Uma indústria emprega três planos analíticos para criar e desenvolver certo produto. Devido aos custos, os três 
planos são usados em momentos variados. Na verdade, os planos 1, 2 e 3 são usados para 30%, 20% e 50% dos 
produtos, respectivamente. As probabilidade de um produto apresentar defeitos, dado os planos 1, 2 e 3 são 0,01, 
0,03 e 0,02, respectivamente. Se selecionarmos um produto aleatoriamente e observarmos que ele apresenta 
defeitos, qual foi provavelmente o plano usado e, em consequência, responsável pelo defeito? (resp.: P(1|D) = 
0,158; P(2|D) = 0,316 e P(3|D) = 0,526. plano 3). 
 
Eventos independentes: 
Dois eventos A e B são independentes se o fato de um deles ter ocorrido não altera a probabilidade de ocorrência do 
outro, isto é, 
 
 
Da regra do produto temos: 
 
 
ou ainda 
 
Exemplos: 
1) Feito em sala 
2) Um sistema elétrico consiste em quatro componentes como mostra a Figura 1. O sistema funciona se ambos 
os componentes A e B funcionarem e se ou o componente C, ou D, ou ambos funcionarem. A confiabilidade 
(probabilidade de funcionamento) de cada componente é igual a P(A) = P(B) = 0,9 e P(C) = P(D) = 0,8. 
Assumindo que os quatro componentes trabalhem independentemente, determine a probabilidade de que: 
a) o sistema funcione por completo (resp.: 0,7776) 
nw
CAPCP
CAPCPACP n
i
ii
ww
w ,...,2,1 
)|()(
)|()()|(
1



)|()()|()()( ACPAPCAPCPCAP wwww  )(
)|()()|(
AP
CAPCPACP www 



n
i
ii CAPCPAP
1
)|()()(


 n
i
ii
ww
w
CAPCP
CAPCPACP
1
)|()(
)|()(
)|(
)()|()()|( BPABPAPBAP  ou 
)()()()|()( BPAPBPBAPBAP 
)()()()|()( APBPAPABPBAP 
mas, , logo: 
 9 
b) de que o componente C não funcione, dado que o sistema todo funciona. (resp.: 0,1667) 
 
 
Figura 1: Sistema elétrico 
3) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja 
viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos, 
a) ambos estejam vivos; 
b) somente o homem esteja vivo; 
c) somente a mulher esteja viva; 
d) nenhum esteja vivo; e 
e) pelo menos um esteja vivo. 
 
Solução: Sejam os eventos 
 
a) ambos estejam vivos; 
 
 
b) somente o homem esteja vivo; 
 
 
 
c) somente a mulher esteja viva; 
 
 
d) nenhum esteja vivo; 
 
 
e) pelo menos um esteja vivo; 
 
 
 
 
Obs: 
4 2 6 3( ) ( ) ( ) ( ) 1
15 15 15 15
P H M P H M P H M P H M           
 
2) Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = p; e P(A  B) = 0,6. Calcular p considerando A e B: 
a) mutuamente exclusivos; 
b) independentes. 
 
Solução: 
( )P H M  ( ). ( )P H P M  2 2 4
5 3 15

( )P H M  ( ). ( )P H P M 
2 1 2
5 3 15

( )P H M  ( ). ( )P H P M  3 2 6
5 3 15

( )P H M  ( ). ( )P H P M  3 1 3
5 3 15

( )P H M  ( ) ( ) ( )P H P M P H M    2 2 4 6 10 4 12
5 3 15 15 15
 
   
1 ( )P H M    3 121
15 15
 
 10 
a) mutuamente exclusivos 
 
 
 
 
b) independentes 
( ) ( ). ( )P A B P A P B  
  
5,08,04,0)2,01(2,0 6,0 
)(1)()( 
)()()()()()()()(



ppp
APBPAP
BPAPBPAPBAPBPAPBAP
 
 
 
( ) 0P A B 
( ) ( ) ( )P A B P A P B   ( ) ( ) ( )P B P A B P A   
( ) 0,6 0,2 0,4P B   