parametro de instabilidade alfa

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A influência da não conformidade do concreto no deslocamento horizontal de um edifício (estudo de 
caso) dezembro/2015 
 
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ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015 
 
A influência da não conformidade do concreto no deslocamento 
horizontal de um edifício (estudo de caso) 
 
 
Marco Aurélio Tavares Caetano - marcocaetano@gmail.com 
Projeto, Execução e Controle de Estruturas de Concreto e Fundações 
Instituto de Pós-Graduação - IPOG 
Goiânia, GO, 23/01/2015 
 
 
Resumo 
Uma não conformidade está relacionada a processos que geram resultados insatisfatórios, ou 
seja, produtos não conformes, que não atendem determinado requisito. A especificação do 
concreto deve considerar principalmente as condições de agressividade ambiental do local 
onde a obra será executada. A verificação da estabilidade global de um edifício não é simples 
e nem tão intuitiva assim. Trata-se de um estudo de caso sobre a influência da não 
conformidade do concreto no deslocamento horizontal de um edifício, realizado através de 
uma avaliação de um prédio situado na cidade de Goiânia-GO. Objetiva-se avaliar o 
prejuízo estrutural gerado por um material entregue em não conformidade com o projeto 
estrutural, através da verificação da diferença de deslocamento de um edifício para os 
seguintes fck de 30, 28 e 25 e comparar com os indicados pela norma. 
 
Palavras-chave: Não-conformidade. Concreto. Deslocamento. 
 
 
1. Introdução 
 O artigo versa sobre a preocupação recente das construtoras, escritórios e comunidade 
da construção quanto à qualidade dos concretos entregues nos canteiros de obra, tendo como 
foco uma obra vertical na cidade de Goiânia, não obstante essa ser uma preocupação de 
diversos outros profissionais em outras áreas do país. 
 Tem-se observado que o material entregue não atinge sua resistência característica 
(fck) estipulada nos projetos estruturais, podendo ocasionar deslocamentos excessivos e até o 
colapso da estrutura pelos esforços verticais (carga gerada pela própria estrutura) e horizontais 
(carga gerada pelos ventos) (FARIA, 2013). 
Segundo Faria (2009), uma não conformidade está relacionada a processos que 
geraram resultados insatisfatórios, ou seja, produtos não conformes, que não atendem 
determinado requisito. 
 Caso seja identificada uma baixa resistência de um determinado lote de concreto, 
inicia-se um longo e cansativo caminho para o construtor. Se todas as partes reconhecerem a 
qualidade e idoneidade do laboratório responsável pelas análises, os resultados são enviados 
para o projetista estrutural, o qual irá analisar e dar seu veredicto. Dependendo da resistência 
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obtida, do tipo de elemento estrutural afetado e dos coeficientes de segurança estrutural 
adotados, ele poderá autorizar o prosseguimento normal da obra (FARIA, 2009) 
Caso ocorra lotes não conformes, ou seja com fck,est < fck, de acordo com a NBR 
12655 de 2006 (Concreto - Preparo, controle e recebimento), deverá ser feita a análise do 
projeto para determinar se a parte da estrutura executada com esse lote pode ser considerada 
aceita, levando em conta os valores obtidos nos ensaios de controle. Em caso negativo, deverá 
ser feita uma nova análise estrutural pelo engenheiro responsável pelo projeto da estrutura, 
com o objetivo de verificar o atendimento dos estados limites último e de serviço das peças 
estruturais construídas com esse lote, levando em conta as resistências obtidas por meio de 
ensaio de testemunhos extraídos da estrutura de acordo com a NBR 7680:2007 (Concreto - 
Extração, preparo e ensaio de testemunhos de concreto) (ACEBE 001, 2011). 
 Percebidos os erros de conformidade do concreto, nova avaliação é realizada pelo 
projetista para saber se o material resistirá às solicitações exigidas pela estrutura e se os 
valores relativos a estabilidade global da edificação estão condizentes com os pré 
estabelecidos pela NBR 6118:2014. Logo, a relevância do estudo se dá devido a influência da 
não conformidade do concreto exerce no deslocamento horizontal da estrutura. 
 
 
2. Objetivos 
2.1 Objetivo Geral 
 Avaliar o prejuízo estrutural gerado por um material entregue em não conformidade 
com o projeto estrutural e qual será o impacto dessa utilização em relação ao deslocamento 
horizontal. 
 
2.2 Objetivo Específico 
 Calcular, para o edifício em questão, considerando as resistências a compressão do 
concreto de 25, 28 e 30 MPa, os valores dos índices abaixo: 
 Deslocamento horizontal; 
 Parâmetro de instabilidade “alfa”; 
 Coeficiente “gama” z. 
 Comparar os valores obtidos aos limites estabelecidos pela NBR6118 e um parecer 
dos lotes de concretos não-conformes. 
 
 
3. Metodologia 
 Trata-se de um estudo de caso sobre a influência da não conformidade do concreto no 
deslocamento horizontal de um edifício. Foi realizada a avaliação de um prédio situado na 
cidade de Goiânia-GO. Foram levantados os valores efetivos da resistência a compressão do 
concreto (fck) do prédio em questão e posteriormente verificado o comportamento da 
estrutura mediante valores. 
 
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4. Estudo de Caso 
 
4.1 Lançamento preliminar da estrutura 
 A partir do projeto arquitetônico pode-se constituir a primeira fase do projeto 
estrutural. Nessa fase que se define as localizações das vigas, o posicionamento dos pilares e 
as dimensões preliminares dos diversos elementos estruturais. Essas dimensões são escolhidas 
a priori, levando se em conta os seguintes fatores: vão de lajes e vigas, altura do edifício, 
número de pilares em cada direção, etc. Essas dimensões são necessárias para o início dos 
cálculos. 
 No edifício em estudo, foi adotado a estruturação convencional de lajes maciças 
apoiadas e vigas de seção retangular, as quais se apoiam em pilares, também de seção 
retangulares. O contraventamento do edifício é feito somente por pórticos. 
 As dimensões dos elementos estruturais foram escolhidas de modo que houvesse uma 
maior uniformidade de dimensões possíveis, pois assim facilita o reaproveitamento de formas 
e a sua execução. Para todas as lajes do edifício se adotou uma espessura de 10cm. 
 As larguras das vigas foram escolhidas com o objetivo de que elas fiquem escondidas 
dentro das paredes. Assim, para as vigas que ficaram embutidas nas paredes de 15cm de 
espessura, adotou-sea largura de 12cm, já nas paredes de 25cm, as vigas terão 20cm de 
largura. 
 As vigas de 20 cm participam da subestrutura de contraventamento, sendo 
responsáveis pela garantia da indeslocabilidade horizontal do edifício, além de absorver os 
esforços devidos ao vento. Para essa vigas, adotou-se a altura de 60cm. 
 As vigas de 12cm de largura pertence a subestrutura contraventada, devendo absorver 
somente uma parcela do carregamento vertical. Para essas vigas adota-se a altura de 40cm, já 
que os vãos máximos são da ordem de 4 a 5 metros. Somente a viga que está na porta do 
elevador possui seção de 12cm x 60cm, por facilidade construtiva. 
 As vigas de amarração dos pilares, situadas no térreo, possuem altura uniforme de 
30cm, com larguras predominantes de 12cm e de 20cm. O posicionamento dessas vigas serão 
basicamente o mesmo do pavimento tipo. 
 Os pilares pertencentes a subestrutura de contraventamento devem possuir dimensões 
maiores que aquelas estimadas para o carregamento vertical. Isto é necessário para o aumento 
da rigidez dos pórticos de contraventamento e para não sobrecarregar os pilares, quando da 
consideração das ações do vento. 
 Sendo assim, foram adotadas as dimensões 20cm x 50cm para a maioria dos pilares. 
Para os pilares que também vão suportar o reservatório, adotou-se a seção 20cm x 70cm. 
 
4.1.1 Desenho de forma da estrutura 
No anexo A, apresenta-se o desenho de forma da estrutura do edifício com suas dimensões 
preliminares. 
 
4.1.2 Aplicação ao edifício em estudo 
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 O edifício em estudo é localizado no Setor Bueno, Goiânia, Goiás. Trata-se de um 
prédio residencial, que se encontra em um terreno plano. A obra possui 8 pavimentos tipo e 
um térreo, com altura total de 25,75 metros, podendo ser visto na Figura 4.1. 
 
 
 
Figura 4.1 – Representação dos pavimentos do edifício 
 
Conforme está indicado no anexo A (formas do pavimento tipo), a subestrutura de 
contraventamento é constituída apenas por pórticos, segundo as duas direções principais na 
planta do edifício. 
 Segundo a direção do lado menor, doravante denominada de direção X, o 
contraventamento deve ser garantido pelos pórticos contendo os pilares (P1, P2, P3), (P8, P9, 
P10), (P11, P12, P13) e (P18, P19, P20). Os pórticos formados pelos pilares (P4, P5, P6) e 
(P15, P16, P17) são pórticos contraventados. 
 A direção do lado maior, denominada de direção Y, o contraventamento é dado pelos 
pórticos contendo os pilares (P18, P15, P11, P8, P4, P1) e (P20, P17, P13, P10, P6, P3). O 
pórtico formados pelos pilares (P19, P16, P12) e (P9, P5, P2) são contraventados. 
 
 
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5. Revisão Bibliográfica 
5.1 Parâmetros de estabilidade de um edifício 
5.1.1 Importância 
 A verificação da estabilidade global de um edifício não é simples e nem tão intuitiva 
assim. É necessário conhecer bem o comportamento da estrutura como um todo e criar 
subsídios para que se possa checar a sua real condição de equilíbrio. O comportamento da 
estrutura perante os efeitos globais de 2a. ordem, de forma consistente e confiável. As 
principais características do sistema com relação a este assunto são apresentados a seguir 
(ARAUJO, 2009). 
 
5.1.2 Não-linearidade geométrica 
 Conforme Araújo (2009), na avaliação da estabilidade global de uma estrutura, é 
muito importante considerar os efeitos da não-linearidade física presente em edifícios de 
concreto, mesmo que de forma aproximada através da simples redução de rigidezes dos 
pilares e das vigas. 
 A não-linearidade geométrica está relacionada com o deslocamento horizontal dos nós 
da estrutura ao receber carregamentos, devendo ser analisado. Essas análises serão necessárias 
em razão do surgimento dos chamados efeitos de segunda ordem: deslocamento horizontal da 
estrutura causam excentricidades nas cargas verticais recebidas pelos pilares, sendo gerados, 
consequentemente, solicitações (momentos) que não existam na condição anterior às 
deformações. 
A Figura 5.1 demonstra o efeito de segunda ordem afetando a estabilidade global da 
estrutura. 
 
Figura 5.1 - efeitos globais de segunda ordem (CARVALHO, ET. AL. 2013) 
 
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Na Figura 5.1, a situação I mostra o acréscimo dos momentos fletores Fe2, de segunda 
ordem, aos momentos fletores Fe1, de primeira ordem. A situação II demonstra como os 
esforços de segunda ordem podem ser significativos nas estruturas altas, inclusive em riscos 
de colapso global da construção. Já na III podemos ver o que seria uma estrutura dotada de 
elementos estruturais de grande rigidez, que podem tornar desprezíveis os efeitos de segunda 
ordem. 
 
5.1.3 Generalidades 
 Segundo Araújo (2009), os processos aproximados, apresentados em 5.1.3.1 e 5.1.3.2, 
podem ser utilizados para verificar a possibilidade de dispensa da consideração dos esforços 
globais de 2ª ordem, ou seja, para indicar se a estrutura pode ser classificada como de nós 
fixos, sem necessidade de cálculo rigoroso. 
 
5.1.3.1 Parâmetro de estabilidade α 
 Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se 
seu parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1, conforme a Equação 1: 
 
α = htot√
Fv
EcsIc
. (Equação 1) 
onde: 
α1 = 0,2+ 0,1n se: n ≤ 3 
α1 = 0,6 se: n ≥ 4 
onde: 
n = número de andares; 
htot = altura total da estrutura, medida do topo da fundação ou de um nível indeformável; 
EscIc = soma dos valores de rigidez à flexão das seções dos elementos verticais na direção 
considerada; 
FV = soma de todas as cargas verticais de serviço. 
 Segundo a NBR 6118:2014, o limite 0,6 pode ser aumentado para 0,7 quando o 
contraventamento for constituído exclusivamente por pilares-parede. Esse limite deve ser 
reduzido para 0,5 quando o contraventamento for feito apenas por pórticos. O limite 0,6 é 
empregado quando o contraventamento é garantido por associações de pórticos e pilares-
parede. 
 A Equação 1 limita os efeitos globais de segunda ordem a um máximo em torno de 
10% dos respectivos efeitos de primeira ordem na estrutura. Na fórmula verifica-se que, 
quanto maiores forem as cargas verticais e a altura do edifício,será necessário uma maior 
rigidez no contraventamento para garantir a indeslocabilidade. No cálculo de inércia Ic, 
adotam-se apenas as seções transversais de concreto sem a inclusão das armaduras. 
 
5.1.3.2 Coeficiente 𝛄z 
 De acordo com Carvalho (2010), também é possível determinar de forma aproximada 
o coeficiente γz de majoração dos esforços globais finais com relação aos de primeira ordem, 
assim, pode-se avaliar a importância dos esforços de segunda ordem globais. Essa avaliação, 
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válida para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares, é efetuada a partir dos 
resultados de uma análise linear de primeira ordem. 
 O valor de γz para cada combinação de carregamento é dado pela equação 2: 
γz =
1
1−
ΔMtot,d
M1tot,d
 (Equação 2) 
onde: 
M1tod,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças 
horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculos, em relação à base da 
estrutura; 
ΔMtot,dé a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na 
combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de 
seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem. 
Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição: γz ≤ 1,1. 
 
5.2 Ação do vento 
 Conforme Paliga (2013), vento pode ser definido como o movimento de uma massa de 
ar devido às variações de temperatura e pressão. Essa massa de ar em movimento possui 
energia cinética e apresenta inércia às mudanças do deslocamento. 
 Se um corpo é colocado no fluxo do vento e ocorre a alteração da sua trajetória, é 
porque houve uma interação de forças entre a massa de ar e a superfície do corpo. Pode-se 
mostrar que essa pressão de interação é função da forma e rugosidade do obstáculo e do 
ângulo de incidência e velocidade do vento. 
 
5.2.1 Elementos estruturais para resistir à ação do vento 
 Segundo Paliga (2013), normalmente, as estruturas de concreto armado são formadas 
de elementos prismáticos, ou seja, elementos com uma dimensão bem maior que as outras 
duas, e seção transversal constante. Um arranjo interessante para absorver as ações de ventos 
são os pórticos (neste caso, planos) que são constituídos por pilares (geralmente são verticais) 
e vigas (em horizontal), como mostra na Figura 5.2. 
 
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Figura 5.2 - Pórtico sob ações só verticais e verticais junto com horizontais de ventos 
(Paliga,2013) 
 
 Caso uma estrutura seja projetada sem vigas (lajes lisas), os esforços de vento seriam 
absorvidos exclusivamente pelos pilares, considerando-os então ligados somente por tirantes 
(a função da laje), que são incapazes de transmitir momentos. 
 Mesmo elementos de pequena podem, em seu conjunto, contribuir de maneira 
significativa na rigidez a ações horizontais, devendo então ser incluídos na subestrutura de 
contraventamento. Os elementos que não fazem parte da subestrutura de contraventamento 
são chamados de “elementos contraventados”.Portanto, se torna comum em estruturas mais 
altas usar caixas de elevadores, de escadas, pilares-paredes e, em algumas situações, até um 
sistema treliçado na direção da ação crítica do vento, proporcionando uma maior rigidez à 
estrutura. 
 
5.2.2 Ações horizontais sobre estruturas de contraventamento 
 A determinação dos esforços solicitantes nas estruturas de contraventamento para um 
carregamento dado é feita empregando-se os métodos convencionais da análise estrutural. 
Mesmo nas estruturas consideradas indeslocáveis, os esforços de primeira ordem, decorrentes 
das ações horizontais, devem ser calculados considerando-se a deslocabilidade da estrutura de 
contraventamento. 
 Quando o contraventamento é feito por elementos do mesmo tipo (só pórticos; só 
paredes estruturais e pilares-parede), é possível fazer a repartição das forças horizontais sem 
levar em conta a interação ao longo da altura do edifício. Neste caso, basta analisar um 
pavimento tipo. Se o contraventamento é feito pela associação de pórticos e paredes e/ou 
pilares-paredes, é necessário considerar a interação ao longo da altura, esse é um processo 
rigoroso. Se for um processo mais simplificado, o problema pode ser hiperestático ou 
isostático. 
 
 
 
 
 
 
 
6. Resultados 
 
6.1 O parâmetro de instabilidade 𝛂 
 Foi apresentado na planta de forma do pavimento tipo a subestrutura de 
contraventamento que é constituída apenas por pórticos, segundo as duas direções principais 
do edifício em estudo, denominado de direção x o lado menor e de direção y o lado maior. 
 O parâmetro de instabilidade α, de modo a garantir a indeslocabilidade do edifício em 
questão tem que ser menor que 0,5 nas duas direções. 
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 É necessário estimar a força Fv para realizar o cálculo do parâmetro de instabilidade. 
Os valores utilizados para a carga total por unidade de área são: 
 Laje de piso: 12 KN/m² 
 Laje de forro: 10 KN/m² 
 O prédio em estudo possui 9 lajes, sendo 8 delas laje de piso e uma laje de forro onde 
cada uma possui área total de 184m². Segue cálculo de Fv: 
Fv = (8x12 + 1x10)x184 ⇒ Fv = 19500 kN 
 O contraventamento é feito do nível das fundações até a laje de cobertura, que 
corresponde a uma altura total de 25,75 m. 
 Utilizando um concreto com resistência característica ƒck= 28MPa, resulta o módulo 
de deformação secante: 
Ecs = 0,85 x 5600 x √28 = 25188 MPa ; Ecs = 251,88x10
5 kN/m² 
Na figura 6.1 estão representados os pórticos de contraventamento segundo a direção x: 
Pórtico 1 (2 vezes) Pórtico 2 (2 vezes) 
 
Figura 6.1 – Pórticos de contraventamento segundo a direção x (Araújo, 2009) 
 
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ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015Na tabela 6.1 estão apresentadas as propriedades geométricas necessárias a análise dos 
pórticos. 
 
Tabela 6.1 – Propriedades das seções dos pórticos da direção x 
Pórtico 1 
Elemento Largura (cm) Altura (cm) Área (m²) Inércia (m4) 
Pilar P1 20 50 0,10 0,00208 
Pilar P2 20 50 0,10 0,00208 
Pilar P3 20 50 0,10 0,00208 
Vigas 20 60 0,12 0,00360 
 
 
Pórtico 2 
Elemento Largura (cm) Altura (cm) Área (m²) Inércia (m4) 
Pilar P1 70 20 0,14 0,00047 
Pilar P2 20 70 0,14 0,00572 
Pilar P3 70 20 0,14 0,00047 
Vigas 20 60 0,12 0,00360 
 
 
 Foi aplicada aos pórticos uma força horizontal FH = 100 kN, atuando no topo do 
edifício e uma carga horizontal uniforme p = 10 kN/m 
 Foram encontrados resultados relativos à rigidez equivalente para os dois tipos de 
cargas, conforme a tabela 6.2. 
 Os valores dos deslocamentos na direção da força (U) foram através do software ftool, 
desenvolvido por MARTHA (2012), disponível em <www.tecgraf.puc-rio.br/ftool>. 
 
Tabela 6.2 – Rigidez equivalente dos pórticos da direção x 
Pórtico 1 
FH U (Ftool) Eieq 
100 3,143 1,81E+07 
P U (Ftool) Eieq 
10 3,813 1,44E+07 
 
Pórtico 2 
FH U (Ftool) Eieq 
100 3,471 1,64E+07 
p U (Ftool) Eieq 
10 4,263 1,29E+07 
 
Total 
Eieq 
(FH) 
6,90E+07 
Eieq (p) 
5,46E+07 
 
 
O parâmetro de instabilidade possui valores de acordo com o tipo de carga empregado na 
obtenção da rigidez equivalente: 
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- Para a carga concentrada: 
αx = htot√
Fv
EcsIc
= 25,75√
19500
6,90x107
= 0,43 
- Para a carga uniforme: 
αx = htot√
Fv
EcsIc
= 25,75√
19500
5,46x107
= 0,49 
Tendo em vista o resultado αx ≤ 0,5, os quatro pórticos garantem a indeslocabilidade do 
edifício segundo a direção x. 
Na figura 6.2 estão representados os pórticos de contraventamento segundo a direção y: 
 
Pórtico da direção y (2 vezes) 
 
Figura 6.2 – Pórticos de contraventamento da direção y (Araújo, 2009) 
 
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Na tabela 6.3 estão apresentadas as propriedades geométricas necessárias a análise dos 
pórticos. 
Tabela 6.3 – Propriedades da seções dos pórticos da seção y 
Elemento Largura (cm) Altura (cm) Área (m²) Inércia (m4) 
Pilar P18 50 20 0,10 0,00033 
Pilar P15 50 20 0,10 0,00033 
Pilar P11 20 70 0,14 0,00572 
Pilar 8 20 70 0,14 0,00572 
Pilar 4 50 20 0,10 0,00033 
Pilar 1 50 20 0,10 0,00033 
Vigas 20 60 0,12 0,00360 
 
 
 Conforme realizado para a direção x, foi aplicado ao pórtico uma força horizontal FH 
= 100 kN, atuando no topo do edifício e uma carga horizontal uniforme p= 10 kN/m. Segue os 
resultados na tabela 6.4. 
Tabela 6.4 – Rigidez equivalente dos pórticos da direção x 
 
FH U (Ftool) Eieq 
100 1,816 3,13E+07 
p U (Ftool) Eieq 
10 2,166 2,54E+07 
 
Total 
Eieq (FH) 
6,27E+07 
Eieq (p) 
5,07E+07 
 
 
 Foram obtidos os seguintes valores para o parâmetro de instabilidade segundo a 
direção y: 
- Para a carga concentrada: 
αy = htot√
Fv
EcsIc
= 25,75√
19500
6,27x107
= 0,45 
 
- Para a carga uniforme: 
αy = htot√
Fv
EcsIc
= 25,75√
19500
5,07x107
= 0,50 
 Sendo constatado o resultado αy ≤ 0,5, os dois pórticos são aceitáveis para garantir a 
indeslocabilidade segundo a direção y. 
 Com isso o edifício em estudo foi considerado indeslocável conforme as duas 
direções, fazendo com que o esforço solicitante possa ser calculado de acordo com a teoria de 
primeira ordem. 
 
6.2 O coeficiente 𝛄𝐳 
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 Através da NBR-6123:1988 (Forças devidas ao vendo em edificações) é calculada a 
ação do vento no edifício, considerando os dados adicionais abaixo: 
 - A velocidade básica do vento para o local da edificação, obtida do gráfico de 
isopletas da NBR-6123:1988, é V0 = 34 m/s. 
 Segue abaixo a figura 6.3 que indica as dimensões do edifício. 
 
Figura 6.3 – Dimensões do edifício(Araújo, 2009) 
 
Fator topográfico S1: Como se trata de um terreno plano, S1 = 1,0 
Fator S2: Pela descrição do local que se encontra o edifício, vimos que ele se enquadra em 
uma categoria de grau IV, para a rugosidade do terreno. A edificação é considerada de Classe 
B, pois a sua maior dimensão da superfície frontal é de 30,95m (entre 20m e 50m). 
Entrando na tabela 1 da NBR-6123, obtém-se os coeficientes b = 0,85, Fr = 0,98 e p = 0,125. 
Fator estatístico S3: Como se trata de um edifício residencial, tem-se S3= 1,00. 
Onde a velocidade característica do vento, Vk, é dada pela equação 3: 
Vk = V0S1S2S3, m/s (Equação 3) 
 Obtida a velocidade característica do vento, Vk, calcula-se a pressão dinâmica do 
vento, q, dada pela expressão: 
q = 0,613Vk
2, N/m² 
 A força de arrasto, Fa, é dada pela equação 4: 
Fa = CaqAe (Equação 4) 
Sendo que: 
Ca é o coeficiente de arrasto (Cax = 1,33 e Cay = 1,10); 
Ae é a área frontal efetiva (Ae = 1,00). 
 A partir das equações apresentadas, segue a tabela 6.5 que demonstra os resultados 
obtidos para as componentes da força de arrasto por unidade de área. 
Tabela 6.5 – Força de arrasto 
Nível z V0 S1 S2 S3 Vk q Cax Cay Ae Fax Fay 
9 25,25 34 1,00 0,935 1,00 31,80 619,8 1,33 1,10 1,00 0,824 0,682 
A influência da não conformidade do concreto no deslocamento horizontal de um edifício (estudo de 
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8 22,45 34 1,00 0,922 1,00 31,33 601,8 1,33 1,10 1,00 0,801 0,662 
7 19,65 34 1,00 0,906 1,00 30,82 582,1 1,33 1,10 1,00 0,774 0,640 
6 16,85 34 1,00 0,889 1,00 30,23 560,2 1,33 1,10 1,00 0,745 0,616 
5 14,05 34 1,00 0,869 1,00 29,55 535,3 1,33 1,10 1,00 0,712 0,589 
4 11,25 34 1,00 0,845 1,00 28,74 506,4 1,33 1,10 1,00 0,674 0,557 
3 8,45 34 1,00 0,816 1,00 27,73 471,4 1,33 1,10 1,00 0,627 0,519 
2 5,65 34 1,00 0,776 1,00 26,37 426,3 1,33 1,10 1,00 0,567 0,469 
1 2,85 34 1,00 0,712 1,00 24,21 359,2 1,33 1,10 1,00 0,478 0,395Calculadas as forças de arrasto, são determinadas as forças resultantes que atuam no 
nível de cada laje do edifício, representadas conforme tabela 6.6: 
 
Tabela 6.6 – Forças de arrasto resultantes nos níveis das lajes 
Nível zi Lx Ly Fix Fiy z Fixz (kNm) Fiyz (kNm) 
9 25,25 17,15 11,23 44,10 46,33 25,75 1135,45 1192,98 
8 22,45 17,15 11,23 38,44 20,82 22,95 882,20 477,78 
7 19,65 17,15 11,23 37,18 20,14 20,15 749,20 405,75 
6 16,85 17,15 11,23 35,78 19,38 17,35 620,77 336,19 
5 14,05 17,15 11,23 34,19 18,52 14,55 497,47 269,41 
4 11,25 17,15 11,23 32,34 17,52 11,75 380,02 205,81 
3 8,45 17,15 11,23 30,11 16,31 8,95 269,48 145,94 
2 5,65 17,15 11,23 27,23 14,75 6,15 167,44 90,68 
1 2,85 17,15 11,23 22,95 12,43 3,35 76,87 41,63 
zi = altura acima do nível do terreno 
z = altura acima do nível das fundações 
Ʃ 4779 3166 
 
 
 As localizações aproximadas dos centros dos pórticos de contraventamento do edifício 
estão indicadas na figura 6.4: 
A influência da não conformidade do concreto no deslocamento horizontal de um edifício (estudo de 
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Figura 6.4 – Localização dos painéis de contraventamento (Araújo, 2009) 
Para o nível 9, segue na tabela 6.7 os valores de k1, as coordenadas x e y do centro do 
painel e o ângulo θ que o mesmo faz com o eixo x. 
Nível 9: 
Tabela 6.7 – Características dos painéis de contraventamento 
Painel Eieq L k1 x y θ 
1 1,81E+07 25,75 3182 5,60 17,10 0 
2 1,64E+07 25,75 2881 5,60 9,85 0 
3 1,64E+07 25,75 2881 5,60 7,25 0 
4 1,81E+07 25,75 3182 5,60 0,00 0 
5 3,13E+07 25,75 5507 1,50 8,55 90 
6 3,13E+07 25,75 5507 9,70 8,55 90 
 
 
As tabelas 6.8 a 6.13 apresentam respectivamente as matrizes de rigidez do sistema de 
contraventamento para os painéis 1 ao 6. 
Tabela 6.8 – Matriz de rigidez 
Painel 1 
N 
 
R 
 
RN 
1 0 -17,10 
 
1 0 
 
1 0 -17,1 
0 1 5,60 
 
 
 
 
K1*RN 
(RN)T 
 
K 
 
3182 0 -54407 
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1 
 
3182 0 -54407 
 
 
0 
 
0 0 0 
 
 
-17,1 -54407 0 930353 
 
 
Tabela 6.9 – Matriz de rigidez 
Painel 2 
N 
 
R 
 
RN 
1 0 -9,85 
 
1 0 
 
1 0 -9,85 
0 1 5,60 
 
 
 
 
K1*RN 
(RN)T 
 
K 
 
2881 0 -28378 
1 
 
2881 0 -28378 
 
 
0 
 
0 0 0 
 
 
-9,85 -28378 0 279523 
 
 
 
Tabela 6.10 – Matriz de rigidez 
Painel 3 
N 
 
R 
 
RN 
1 0 -7,25 
 
1 0 
 
1 0 -7,25 
0 1 5,60 
 
 
 
 
K1*RN 
(RN)T 
 
K 
 
2881 0 -20887 
1 
 
2881 0 -20887 
 
 
0 
 
0 0 0 
 
 
-7,25 -20887 0 151433 
 
 
 
Tabela 6.11 – Matriz de rigidez 
Painel 4 
N 
 
R 
 
RN 
1 0 0,00 
 
1 0 
 
1 0 0 
0 1 5,60 
 
 
 
 
K1*RN 
(RN)T 
 
K 
 
3182 0 0 
1 
 
3182 0 0 
 
 
0 
 
0 0 0 
 
 
0 0 0 0 
 
 
Tabela 6.12 – Matriz de rigidez 
A influência da não conformidade do concreto no deslocamento horizontal de um edifício (estudo de 
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Painel 5 
N 
 
R 
 
RN 
1 0 -8,55 
 
0 1 
 
0 1 1,50 
0 1 1,50 
 
 
 
 
K1*RN 
(RN)T 
 
K 
 
0 5507 8260 
0,00 
 
0 0 0 
 
 
1,00 
 
0 5507 8260 
 
 
1,50 0 8260 12390 
 
 
Tabela 6.13 – Matriz de rigidez 
Painel 6 
N 
 
R 
 
RN 
1 0 -8,55 
 
0 1 
 
0 1 9,70 
0 1 9,70 
 
 
 
 
K1*RN 
(RN)T 
 
K 
 
0 5507 53414 
0,00 
 
0 0 0 
 
 
1,00 
 
0 5507 53414 
 
 
9,70 0 53414 518117 
 
 
As tabelas 6.14 e 6.15 expressam as forças nos 6 pórticos de contraventamento para 
diferentes valores das excentricidades ex e ey. 
 
Tabela 6.14 – Força nos painéis de contraventamento 
Vento segundo a direção x 
ƩK 
 
P(7,26) 
 
Equação 
 
U0 
12125 0 -103672 
 
44,10 
 
44,10 
 
0,004373 
0 11013 61674 
 
0,00 
 
0,00 
 
-0,00048 
-103672 61674 1891816 
 
-320,13 
 
-320,13 
 
8,62E-05 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(8,55) 
 
Equação 
 
U0 
 
 
44,10 
 
44,10 
 
0,003637 
 
 
0,00 
 
0,00 
 
7,25E-11 
 
 
-377,01 
 
-377,01 
 
-1,3E-11 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(9,84) 
 
Equação 
 
U0 
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44,10 
 
44,10 
 
0,0029 
 
 
0,00 
 
0,00 
 
0,000483 
 
 
-433,90 
 
-433,90 
 
-8,6E-05 
 
 
 
 
 
 
 
ey (m) 
Painel 
 1 2 3 4 5 6 
 7,26 9,2 10,2 10,8 13,9 -1,9 1,9 
 8,55 11,6 10,5 10,5 11,6 0,0 0,0 
 9,84 13,9 10,8 10,2 9,2 1,9 -1,9 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 6.15 – Força nos painéis de contraventamento 
Vento Segundo a direção y 
ƩK 
 
P(4,76) 
 
Equação 
 
U0 
12125 0 -103672 
 
0,00 
 
0,00 
 
-0,0005 
0 11013 61674 
 
46,33 
 
46,33 
 
0,004537 
-103672 61674 1891816 
 
220,53 
 
220,53 
 
-5,9E-05 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(5,60) 
 
Equação 
 
U0 
 
 
0,00 
 
0,00 
 
5,96E-11 
 
 
46,33 
 
46,33 
 
0,004207 
 
 
259,44 
 
259,44 
 
6,97E-12 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(6,44) 
 
Equação 
 
U0 
 
 
0,00 
 
0,00 
 
0,000504 
 
 
46,33 
 
46,33 
 
0,003877 
 
 
298,36 
 
298,36 
 
5,9E-05 
 
 
 
 
 
 
 
ex (m) 
Painel 
 1 2 3 4 5 6 
 4,76 1,6 0,2 -0,2 -1,6 24,5 21,8 
 5,6 0,0 0,0 0,0 0,0 23,2 23,2 
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 6,44 -1,6 -0,2 0,2 1,6 21,8 24,5 
 
 
 
Repete-se o mesmo procedimento para os demais níveis do edifício. Após análise dos 
cálculos, têm-se as forças máximas nos painéis de contraventamento expressas na tabela 6.16. 
Tabela 6.16 – Forças máximas nos painéis de contraventamento 
 
Nível 9 Nível 8 Nível 7 Nível 6 Nível 5 Nível 4 Nível 3 Nível 2 Nível 1 
Painéis 1 e 4 13,9 12,1 11,7 11,3 10,8 10,2 9,5 8,6 7,2 
Painéis 2 e 3 10,8 9,4 9,1 8,8 8,4 7,9 7,4 6,7 5,6 
Painéis 5 e 6 24,5 11,0 10,6 10,2 9,8 9,3 8,6 7,8 6,6 
 
 
Para a determinação do coeficiente γz, resolve-se o pórtico adotando-se 80% do 
módulo de deformação secante do concreto, pois de acordo com a NBR 6118:2014, na análise 
dos pórticos pode-se considerar a não-linearidade física de maneira aproximada. Essa redução 
não altera os esforços solicitantes, apenas os deslocamentos nodais. 
Os deslocamentos horizontais nos diversos níveis dos pórticos de contraventamento 
estão indicados na tabela 6.17: 
 
 
 
 
 
 
Tabela 6.17 – Deslocamentos (em cm) para as forças horizontais características 
Nível 
Direção x Direção y 
Paineis 1 e 4 Paineis 2 e 3 Paineis 5 e 6 
9 2,200 1,906 1,407 
8 2,090 1,824 1,314 
7 1,939 1,704 1,203 
6 1,751 1,548 1,072 
5 1,527 1,356 0,922 
4 1,272 1,133 0,755 
3 0,988 0,880 0,576 
2 0,682 0,601 0,388 
1 0,357 0,302 0,197 
Média 1,423 1,250 0,870 
 
Média para a direção x Média y 
 
1,34 0,87 
 
 
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 Segue na tabela 6.18, o cálculo do γz, tendo como base de cálculo o momento de 
tombamento (M1tot,d), o deslocamento médio (U) e a resultante das forças verticais (Ptot,d). 
Tabela 6.18 – Cálculo do γz 
 M1tot,d U (m) Ptot,d γz 
X 6690 0,0187 25355 1,08 
Y 4433 0,0122 25355 1,07 
 
 
Como resultou γz < 1,1, conclui-se que a estrutura pode ser considerada indeslocável 
segundo as duas direções. 
 Cabe também salientar que, para resultados de γz entre 1,1 e 1,3, tem que se levar em 
consideração os esforços de segunda ordem. E para resultados acima de 1,3 a estrutura é 
considerada de nós móveis. 
Os cálculos feitos anteriormente para o fck de 28 Mpa foram repetidos para 25 MPa e 
30 MPa e os resultados dos parâmetros α e γz para os três Fck analisados estão apresentados 
nas tabelas 6.19 e 6.20, comparando seus valores com os estabelecidos pela NBR-6118. 
 
Tabela 6.19 - Resultados dos parâmetro α 
Parâmetro α 
 
Norma 25 Mpa 28 MPa 30 Mpa 
x (FH) 0,50 0,45 0,43 0,43 
x (p) 0,50 0,50 0,49 0,48 
y (FH) 0,50 0,47 0,45 0,45 
y (p) 0,50 0,52 0,50 0,50 
 
 
Tabela 6.20 - Resultados dos coeficiente γz 
Parâmetro γz 
 
Norma 25 Mpa 28 MPa 30 Mpa 
x 1,30 1,08 1,08 1,07 
y 1,30 1,08 1,07 1,07 
 
 
 
 
7. Conclusão 
 Para o edifício em estudo foi feita a análise de deslocabilidade, tendo como base 
concretos com resistência característica de 25, 28 e 30 Mpa. 
 Esta deslocabilidade foi verificada através dos parâmetros α e γz e concluído que a 
queda da resistência característica do concreto (fck) diminui a rigidez dos pórticos 
aumentando consequentemente a deslocamento final da edificação. 
 Observa-se também que quando o Fck utilizado for de 25 Mpa, os efeitos de segunda 
ordem não poderão ser desprezados, pois o αy(p) > 0,50. 
A influência da não conformidade do concreto no deslocamento horizontal de um edifício (estudo de 
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Os valores do γz aumentaram e demonstram um aumento da deslocabilidade da 
edificação. Observa-se que a edificação analisada é de apenas 8 pavimentos e pode ser 
considerada “baixa” para o contexto das edificações na cidade de Goiânia. Um estudo para 
edificações maiores apresentaria maior discrepância para os valores de γz. 
Por fim, o artigo demonstra relevância no contexto científico, uma vez que propõe a 
discussão da influência da não-conformidade do concreto na estabilidade das edificações e 
uma preocupação com o monitoramento pelos profissionais em relação a entrega de concreto 
não-conforme, evitando maiores complicações à obra. 
Vale ressaltar que não foram feitas análises do comportamento específico de cada peça 
estrutural em virtude do decréscimo do fck. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
A influência da não conformidade do concreto no deslocamento horizontal de um edifício (estudo de 
caso) dezembro/2015 
 
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PALIGA, Aline. Ação do vento nas estruturas. Disponível em: 
<http://wp.ufpel.edu.br/alinepaliga/files/2013/05/Aula-1.pdf>. Acessoem: 20 de novembro de 
2013. 
 
 
 
 
A influência da não conformidade do concreto no deslocamento horizontal de um edifício (estudo de 
caso) dezembro/2015 
 
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ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015 
 
 
Anexo A – Formas do pavimento tipo (Araújo, 2009) 
A influência da não conformidade do concreto no deslocamento horizontal de um edifício (estudo de 
caso) dezembro/2015 
 
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ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015