Óptica e Física Moderna Livro

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Óptica e Física 
Moderna
Óptica e Física 
Moderna
Organizado por Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2016
Moacyr Marranghello
Conselho Editorial EAD
Andréa de Azevedo Eick
Ângela da Rocha Rolla
Astomiro Romais
Claudiane Ramos Furtado
Dóris Gedrat
Honor de Almeida Neto
Maria Cleidia Klein Oliveira
Maria Lizete Schneider
Luiz Carlos Specht Filho
Vinicius Martins Flores
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. 
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores 
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da 
ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei 
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
ISBN: 978-85-5639-227-5
Dados técnicos do livro
Diagramação: Marcelo Ferreira
Revisão: Geórgia Píppi
Olá, prezado leitor(a)!
Bem-vindo(a) à disciplina Óptica e Física Moderna do curso de 
graduação da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA!
Este livro foi estruturado com bases em conhecimentos publicados por 
professores de Física em sites de estudos e pesquisas testadas e divulgadas, 
como também de livros acadêmicos de autores da área de Física.
O objetivo deste material é proporcionar um apoio didático para o de-
senvolvimento da disciplina Óptica e Física Moderna, como também pos-
sibilitar formas de análises de raciocínio lógico, resolução de problemas e 
evolução de pesquisa. Você encontrará ideias e explicações baseadas em 
revolucionários pesquisadores em física, como também dicas de sites para 
pesquisas e sugestões de experiências no complemento de seus estudos.
O livro está dividido por capítulos, que abrangem os conceitos indis-
pensáveis para as áreas que utilizam os conhecimentos físicos.
No primeiro capítulo, abordaremos sobre a natureza e propagação 
da luz, distinguindo sobre as suas características. No segundo, no terceiro 
e quarto capítulos, discutiremos sobre óptica geométrica, espelhos, lentes 
e instrumentos ópticos, analisando a formação de imagens por lentes, es-
pelhos esféricos, definição e aplicação de instrumentos ópticos. No quinto 
capítulo, estudaremos sobre interferência, analisando quando elas ocor-
rem. No sexto capítulo, estudaremos a difração, investigando os efeitos de 
interferências resultantes da superposição de muitas ondas luminosas, sen-
do que tais efeitos constituem o fenômeno da difração. No sétimo capítulo, 
estudaremos sobre polarização, no oitavo e nono capítulos, estudaremos 
sobre relatividade restrita, conhecendo a sua consequência e a sua impor-
Apresentação
Apresentação v
tância nas áreas da física. Finalmente, no décimo capítulo, abordaremos 
tópicos importantes da física nuclear e suas aplicações.
Ao finalizar o estudo deste livro, você deverá conseguir entender e re-
solver problemas de Física relacionados com os temas abordados no texto.
Por fim, é preciso ter em mente que este material não deve ser conside-
rado como um único texto para abordar os temas tratados. Sugerimos ao 
leitor que acesse todos os links recomendados, use as referências indicadas 
e faça pesquisa sobre os assuntos que aqui serão abordados.
Tenha um bom estudo!
 1 Natureza e Propagação da Luz .............................................1
 2 Óptica Geométrica – Espelhos ............................................38
 3 Óptica Geométrica – Lentes ................................................65
 4 Instrumentos Ópticos ..........................................................84
 5 Interferência .....................................................................106
 6 Difração ...........................................................................132
 7 Polarização .......................................................................161
 8 Relatividade Restrita I ........................................................175
 9 Relatividade Restrita II .......................................................212
 10 Física Nuclear ...................................................................230
Sumário
Capítulo 1
Natureza e Propagação 
da Luz
1 Autor – Professor de Física, Mestre em Engenharia, Professor dos Cursos de Física 
e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA – Canoas (RS).
.
Moacyr Marranghello1
2 Óptica e Física Moderna
Introdução
A natureza está proporcionada em tudo que visualizamos e 
observamos. Quando olhamos o deslumbre da água azul do 
mar, ou quando podemos apreciar o céu com as nuvens, ou as 
diversas cores de um arco-íris, estamos utilizando nossos olhos 
para apreciar todas essas belezas.
Com esse contexto de deslumbrar a natureza, estaremos 
estudando o conhecimento das propriedades da luz, sendo 
foco de estudo para os demais capítulos que veremos. Você 
terá oportunidade de conhecer, neste capítulo, o estudo das 
leis da reflexão e da refração, bem como dos conceitos sobre 
índice de refração, reflexão total, refração atmosférica e diop-
tros planos.
No decorrer deste estudo, vamos conhecer as diversas des-
crições possíveis da luz em termos de partículas, raios ou on-
das.
1.1 Natureza da luz e maneiras de 
descrever sua propagação
Desde os tempos muito antigos, a raça humana questionava 
sobre a natureza da luz. No final, o que é a luz? Podemos 
destacar colocando que a luz é uma onda eletromagnética, 
e, portanto, exibe natureza ondulatória. Mas, isso não é uma 
verdade completa, como veremos mais para frente.
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 3
No Mundo Antigo, os filósofos gregos acreditavam que a 
luz era formada por pequenas partículas, as quais se propa-
gavam em linha reta e com alta velocidade. Essa explicação 
permaneceu indiscutível por muito tempo até que, por volta 
do ano de 1500, Leonardo da Vinci percebeu a semelhan-
ça entre a reflexão da luz e o fenômeno do eco e levantou 
a hipótese de que a luz era um movimento ondulatório. Na 
busca pela definição sobre a natureza da luz, surgiram, no 
século XVII, duas correntes de pensamento científico: a teoria 
corpuscular da luz, que era defendida por Isaac Newton; e o 
modelo ondulatório da luz, que era defendido por Christian 
Huygens. Segundo Newton, a luz era formada por partículas; 
já Huygens defendia a hipótese de que a luz era uma onda. 
Essas duas correntes provocaram intensas polêmicas entre os 
cientistas da época, que marcaram a história da física. No 
entanto, o conhecimento sobre a verdadeira natureza da luz 
só foi descoberto no século XIX, após a morte dos defensores 
dessas teorias.
4 Óptica e Física Moderna
No início deste século, as experiências de Thomas Young e 
Augustin Fresnel sobre interferência e difração da luz demons-
traram a existência de fenômenos ópticos para os quais a teo-
ria corpuscular da luz seria inadequada, abrindo possibilidade 
de que a luz correspondesse a um movimento ondulatório. 
Depois das descobertas de Maxwell, que provou que a veloci-
dade de propagação de uma onda eletromagnética no espaço 
é igual à velocidade de propagação da luz (aproximadamente 
300.000 km/s), a teoria corpuscular foi, aos poucos, sendo 
rejeitada. Parecia que a teoria ondulatória levaria a vitória fi-
nal. Não por muito tempo! No início do século XX, a teoria que 
afirmava que a luz era puramente uma onda eletromagnética 
(ou seja, a luz tinha um comportamento apenas ondulatório), 
começou a ser questionada. Várias experiências que investiga-
vam interação da luz com a matéria (como absorção, emissão 
e espalhamento) não podiam ser explicadas com base nessa 
preposição. Entre elas, a lei da radiação de corpo negro, o 
efeito fotoelétrico e o espalhamento de raios X por elétrons. Os 
resultados dessas experiências foram entendidos considerando 
a luz como um conjuntode inúmeros pacotes de energia cha-
mados fótons, que exibem propriedades corpusculares (cho-
cam-se com elétrons como partículas). A explicação dessas 
experiências levou ao desenvolvimento de uma nova disciplina 
de física, que estuda leis que governam o mundo dos átomos, 
elétrons e núcleos: mecânica quântica!
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 5
Vamos fazer uma recapitulação matemática para um 
conhecimento do valor da velocidade da luz no vácuo?
No ano de 1983, por decisão dos órgãos científicos 
internacionais, a velocidade da luz, no vácuo, passou a 
ser considerada uma constante universal com valor bem 
determinado, exatamente igual a:
c = 299 792 458 m/s
Para efeitos de cálculos que não exijam uma precisão tão grande, 
é muito comum utilizarmos para a velocidade da luz no vácuo o 
valor:
c = 300 000 000 m/s ou c = 300 000 km/s
c = 3. 108 m/s ou c = 3. 105 km/s
Então, no final, o que é luz e qual é a sua natureza?
A posição da física moderna é a seguinte: a luz (bem como 
as outras ondas eletromagnéticas) tem natureza dual: ondu-
latória e corpuscular. Sob algumas circunstâncias, a luz de-
monstra natureza ondulatória: ela exibe polarização e sofre 
interferência e difração, que são indiscutivelmente efeitos on-
dulatórios. Por outro lado, quando interage com a matéria, a 
luz se comporta como conjunto de fótons, isto é, exibe natureza 
particular. Se você não entendeu isso, não se preocupe muito: 
ninguém realmente entende essas coisas, são peculiaridades e 
estranhezas da mecânica quântica!
Analisaremos agora como podemos descrever a propagação 
da luz. Acredito que você já sabe que temos duas possibilidades: 
(1) usando raios, e (2) utilizando frentes (ou fronteiras) de onda.
6 Óptica e Física Moderna
O ramo da óptica que utiliza os raios para descrever a 
propagação da luz, denomina-se óptica geométrica. Ela se 
caracteriza pela simplicidade matemática, e consegue descre-
ver vários (mas não todos) os efeitos ópticos.
A óptica geométrica é baseada em três princípios.
 Â Propagação Retilínea da Luz: em um meio homogêneo 
e transparente, a luz se propaga em linha reta. Cada 
uma dessas “retas de luz” é chamada de raio de luz.
 Â Independência dos Raios de Luz: quando dois raios de 
luz se cruzam, um não interfere na trajetória do outro, 
cada um se comportando como se o outro não existisse.
 Â Reversibilidade dos Raios de Luz: se o sentido de pro-
pagação de um raio de luz é revertido, ele continua a 
percorrer a mesma trajetória, em sentido contrário.
Todos os três princípios podem ser derivados a partir do 
Princípio de Fermat, Pierre de Fermat, que diz, quando a luz 
percorre a distância de um ponto a outro, ela segue a trajetó-
ria que minimiza o tempo do percurso.
O domínio de validade da óptica geométrica está nas es-
calas muito maiores do que o comprimento de onda da luz 
considerada, e nos quais as fases das diversas fontes lumino-
sas não têm qualquer correlação entre si.
A óptica geométrica se aplica ao estudo do fenômeno da 
reflexão e refração luminosa, sendo frequentemente utilizada 
na área de análise dos espelhos e lentes. Por outro lado, ela 
não pode ser aplicada para explicar interferência e difração, 
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 7
por exemplo, já que nesses fenômenos a correlação entre as 
fases das ondas têm papel importantíssimo. Vamos estudar so-
bre os princípios da óptica geométrica.
1.2 Princípios da óptica geométrica
Propagação retilínea da luz:
Em um meio homogêneo e transparente, a luz propaga-se 
sempre em linha reta.
Figura 1.1
Independência dos raios luminosos:
Os raios de luz de um feixe são independentes.
Figura 1.2
8 Óptica e Física Moderna
Reversibilidade dos raios luminosos:
O caminho da luz não se modifica quando permutamos as 
posições da fonte e do observador.
Figura 1.3
Em decorrência aos três princípios fundamentais da óptica 
geométrica, pode-se notar o aparecimento da sombra. Mas 
existe diferença entre sombra e penumbra? Para responder a 
essa pergunta, vamos inicialmente considerar uma fonte pun-
tiforme, isto é, em forma de ponto (que apresente dimensões 
desprezíveis, comparada com o que se está estudando). Essa 
fonte, ao iluminar um objeto, provoca o aparecimento de uma 
sombra em um anteparo colocado imediatamente atrás do ob-
jeto que está sendo iluminado. Observe o desenho que segue.
 
 
 
 
Figura 1.4
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 9
Agora, vamos supor que a nossa fonte tenha dimensões 
não desprezíveis, isto é, o seu tamanho não pode ser descon-
siderado. A sombra que aparecerá no anteparo virá acom-
panhada de uma região mais clara em seu contorno, deno-
minada penumbra. Essa penumbra dependerá da distância 
entre fonte e objeto, e entre objeto e anteparo. Além disso, 
a penumbra também dependerá do tamanho da fonte e do 
tamanho do objeto. Observe o desenho que segue.
 
 
 
Figura 1.5
1.3 Principais fenômenos ópticos
Direcionando o nosso estudo, podemos observar que, no estu-
do da óptica, existem diversos fenômenos que a física consegue 
explicar com bastante segurança. Para os nossos estudos em 
óptica geométrica, alguns deles são mais úteis. Vamos discutir 
um pouco sobre quatro desses fenômenos para aprofundá-los 
mais adiante, faça as suas anotações comparando cada uma 
delas.
10 Óptica e Física Moderna
I – Reflexão especular da luz:
O fenômeno da reflexão tem a ver com o retorno de um raio 
de luz que atinge uma superfície opaca. Quando um feixe de 
luz atinge uma superfície lisa e polida, ele retorna ao meio do 
qual é proveniente. Supondo que a superfície, além de ser lisa 
e polida, também for plana, e sendo os raios do feixe inciden-
te, paralelos entre si, os raios do feixe emergente, isto é, os 
raios refletidos, serão, também, paralelos entre si.
Figura 1.6
II – Reflexão difusa da luz:
Quando um feixe de raios paralelos entre si incide em uma 
superfície rugosa, mas opaca, os raios refletidos, isto é, o feixe 
emergente, retornam ao meio do qual são provenientes, po-
rém perdendo o paralelismo entre si.
 
Figura 1.7
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 11
III – Refração da luz:
O fenômeno da refração está associado à passagem da luz de 
um meio para outro. Para tanto, é necessária a presença de 
dois meios transparentes ou translúcidos. Quando um feixe de 
luz, de raios paralelos entre si, incide em uma superfície refra-
tora, isto é, uma superfície que separa dois meios transparentes 
ou translúcidos, os raios passam a se propagar no segundo 
meio. Caso os dois meios sejam homogêneos, individualmente, 
os raios emergentes, isto é, os raios refratados, não perdem o 
paralelismo entre si.
Figura 1.8
IV – Absorção da luz:
Quando um feixe de luz incide em uma superfície e não sofre 
reflexão nem refração, dizemos que ele foi absorvido pela su-
perfície. O fenômeno da absorção está associado à perda de 
energia da luz para a superfície.
Figura 1.9
12 Óptica e Física Moderna
Chamando a atenção para uma observação que você terá 
que saber!
Observação:
Nenhum desses fenômenos ocorre separadamente. Isso significa 
que não existem superfícies completamente refletoras, nem espe-
cularmente, nem difusamente, bem como não existem superfícies 
completamente refratoras, e também não existem superfícies com-
pletamente absorventes. Em todas as situações podemos observar 
todos esses fenômenos. O que ocorre é que, em algumas situa-
ções, um ou outro fenômeno sobressai em relação aos outros.
VAMOS PESQUISAR UM POUCO?
DICA PARA UMA LEITURA COMPLEMENTAR
http://pda.emdiv.com.br/pt/mundo/asmaravilhas/1211-o-
-eclipse-lunar-e-solar.html
http://newalriadaexpress.blogspot.com.br/2007/03/o-homem-
-olhando-lua-sumir.html
Atividades
Para uma fixação do que já estudamosaté o momento, 
vamos fazer a lista de Atividades nº 1
 1) A luz do Sol leva, aproximadamente, 8 min e 20 s para 
chegar à Terra. Sendo 3. 108 m/s a velocidade de pro-
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 13
pagação da luz no vácuo, determine a distância do Sol à 
Terra, em km.
 2) Alguns anos atrás, o homem enviou uma sonda espacial 
com destino a Júpiter para colher informações desse plane-
ta. Sabendo que a distância média do citado planeta à Ter-
ra é de 630.106 km, um sinal eletromagnético emitido pela 
sonda levaria quanto tempo para ser captado na Terra?
 3) Uma unidade de medida muito utilizada em astronomia é 
o “ano-luz” e corresponde à distância percorrida pela luz 
em uma viagem que durasse o tempo de 1 ano terrestre. 
Sabendo que a luz possui uma velocidade no vácuo de 
aproximadamente 3.105 km/s, determine, em km, o valor 
correspondente a essa distância.
 4) A estrela mais próxima da Terra, depois do Sol, é Alfa do 
Centauro e está a 3,4 anos-luz. Calcule essa distância em 
km.
 5) Uma estrela emite radiação que percorre a distância de 
1 bilhão de anos-luz até chegar à Terra e ser captada por 
uma antena telescópica. Isso quer dizer:
a) A estrela está a 1 bilhão de km da Terra.
b) Daqui a 1 bilhão de anos, a radiação da estrela não 
será mais observada na Terra.
c) A radiação recebida na Terra foi emitida pela estrela 
há 1 bilhão de anos.
d) Hoje, a estrela está a 1 bilhão de anos-luz da Terra.
e) Quando a radiação foi emitida, a estrela tinha idade 
de 1 bilhão de anos.
14 Óptica e Física Moderna
Gabarito
1) 150 000 000 km
2) 35 min
3) ≈ 9,47. 1012 km
4) ≈ 3,22. 1013 km
5) C
1.4 Leis da Reflexão
Dando continuidade aos estudos depois de ter pesquisado e 
exercitado um pouco, veremos sobre as leis da Reflexão. Preste 
atenção e faça suas anotações!
Qualquer que seja o tipo de reflexão que ocorra na super-
fície, seja ela especular ou difusa, os raios, individualmente, 
sempre obedecem a duas leis básicas:
1ª lei da reflexão:
“O raio incidente, o raio refletido e a linha normal à super-
fície refletora são coplanares.”
Entende-se raio incidente (I) como o raio proveniente de 
uma fonte luminosa que incide na superfície. Como raio re-
fletido (R) (também denominado emergente) como o raio que 
retorna ao meio de onde era proveniente após a incidência 
na superfície. E linha normal à superfície (N), uma linha ima-
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 15
ginária, que forma com a superfície, no ponto de incidência 
do raio incidente, um ângulo de 90°, isto é, perpendicular à 
superfície. Quando dizemos que essas três linhas são coplana-
res, estamos afirmando que todas devem pertencer ao mesmo 
plano (α).
Figura 1.10
2ª lei da reflexão:
“O ângulo de incidência (θ1), formado entre o raio inciden-
te e a linha normal, é sempre igual ao ângulo de reflexão (θ2), 
formado entre o raio refletido e a linha normal.”
Figura 1.11
16 Óptica e Física Moderna
Observe que podemos aplicar ambas as leis da reflexão 
para explicar os dois tipos de reflexão que vimos anteriormen-
te. A mais óbvia é a reflexão especular, quando um feixe de 
raios paralelos incide em uma superfície plana e polida e re-
torna ao meio de onde veio.
Figura 1.12
Quando trabalhamos com reflexão difusa, também pode-
mos aplicar, em cada ponto de incidência, as mesmas duas 
leis da reflexão. Observe que, como a linha normal deve ser 
perpendicular à superfície refletora, para ponto de incidência 
a linha normal apresentará uma direção diferente.
 
Figura 1.13
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 17
1.5 Leis da Refração
Estudaremos agora sobre as leis da Refração e os seus signifi-
cados. Definindo o que é Refratar, podemos explicar definindo 
que significa atravessar de um meio para o outro. Quando 
dizemos que um raio sofreu refração, estamos automatica-
mente dizendo que ele começou a propagar-se em um meio 
diferente do que o que ele estava “andando”. É graças ao 
fenômeno da refração da luz no ar que conseguimos enxergar 
os objetos que nos rodeiam; nesse caso, dizemos que o ar é 
um meio transparente. Caso a luz não conseguisse refratar-se 
pelo ar, não conseguiríamos ver. É também devido ao fato da 
luz refratar-se no meio vidro que conseguimos colocar óculos 
para corrigir eventuais defeitos de visão. Qualquer que seja o 
tipo de refração que ocorra entre dois meios, os raios, indivi-
dualmente, sempre obedecem a duas leis básicas:
1ª lei da refração:
“O raio incidente, o raio refratado e a linha normal à su-
perfície refratora são coplanares.”
Entende-se raio incidente (I) como o raio proveniente de 
uma fonte luminosa que incide na superfície. Como raio re-
fratado (R) como o raio que atravessa a superfície passando 
a propagar-se em um segundo meio, diferente do anterior. E 
linha normal à superfície (N), uma linha imaginária, que forma 
com a superfície, no ponto de incidência do raio incidente, um 
ângulo de 90°, isto é, perpendicular à superfície. Quando di-
zemos que essas três linhas são coplanares, estamos afirman-
do que todas devem pertencer ao mesmo plano (α).
18 Óptica e Física Moderna
N plano α 
 I 
Superfície refratora 
 Meio transparente R 
Figura 1.14
1.5.1 Índice de refração
Antes de enunciarmos a 2ª lei da refração, é fundamental de-
finirmos uma grandeza muito importante para o estudo da óp-
tica, o índice de refração de um material.
Quando a luz atravessa a superfície que separa dois meios, 
ela passa a se propagar de acordo com as características des-
se segundo meio. O índice de refração é uma relação entre 
a velocidade da luz em um determinado meio e a velocidade 
da luz no vácuo (c). Em meios com índices de refração mais 
baixos (próximos a 1) a luz tem velocidade maior (ou seja, 
próximo à velocidade da luz no vácuo). A relação matemática 
para o índice de refração (n) é:
 
v
cn = (Equa. 1.1)
Onde: c é a velocidade da luz no vácuo (c = 3 x 108 m/s);
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 19
 v é a velocidade da luz no meio;
De modo geral, a velocidade da luz nos meios materiais é 
menor que c; e assim, em geral, teremos n > 1. Por extensão, 
definimos o índice de refração do vácuo, que obviamente é 
igual a 1. Portanto, sendo n o índice de refração de um meio 
qualquer, temos:
 
n > 1 (Equa. 1.2)
A velocidade de propagação da luz no ar depende da fre-
quência da luz, já que o ar é um meio material. Porém, essa 
velocidade é quase igual a 1 para todas as cores. Ex.: índi-
ce de refração da luz violeta no ar = 1,0002957 e índice 
de refração da luz vermelha no ar = 1,0002914. Portanto, 
nas aplicações, desde que não queiramos uma precisão muito 
grande, adotaremos o índice de refração do ar como aproxi-
madamente igual a 1:
A experiência mostra que, em cada meio material, a velo-
cidade diminui com a frequência, isto é, quanto maior a fre-
quência, menor a velocidade.
vvermelho > vlaranja > vamarelo > vverde > vazul > vanil > vvioleta
É comum confundirmos a refringência do meio com sua 
densidade. Em geral, quando a densidade de um meio au-
menta, seu índice de refração também aumenta, mas isso não 
é regra, isto é, não podemos afirmar que um meio mais denso 
seja mais refringente e vice-versa. Variações de temperatura 
20 Óptica e Física Moderna
e pressão alteram a densidade de um meio provocando al-
terações também no índice de refração desse meio. No caso 
dos sólidos, essa alteração é pequena, mas para os líquidos, 
as variações de temperatura são importantes, e no caso dos 
gases, tanto as variações de temperatura como as de pressão 
devem ser consideradas.
A maioria dos índices de refração é menor que 2; uma exce-
ção é o diamante, cujo índice é aproximadamente 2,4. Para a 
luz amarela emitida pelosódio, sua frequência é f = 5090.1014 
Hz e cujo comprimento de onda no vácuo é λ = 589 nm. Essa 
é a luz padrão para apresentar os índices de refração.
Consideremos dois meios A e B, cujos índices de refração 
são nA e nB; se nA > nB, dizemos que A é mais refringente que B.
Consideremos dois meios transparentes A e B e um feixe 
de luz dirigindo-se de A para B. Para que haja feixe refletido, é 
necessário que BA nn ≠ .
Quando nA = nB, não há luz refletida e também não há 
mudança na direção da luz ao mudar de meio; dizemos que 
há continuidade óptica. Quando temos um bastão de vidro 
dentro de um recipiente contendo um líquido com o mesmo 
índice de refração do vidro, a parte do bastão que está sub-
mersa, não refletindo a luz, fica “invisível”.
Assim como fizemos para o meio vácuo, escolhido como 
meio de referência, podemos arbitrar qualquer outro meio 
como referência. Nesse caso, dizemos que o índice de refra-
ção que surge é dito relativo.
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 21
Se o índice de refração de um meio A é nA e o índice de um 
meio B é nB, definimos:
Índice de refração do meio A em relação ao meio B ⇒ 
Índice de refração do meio B em relação ao meio A ⇒ 
Sendo vA e vB as velocidades da luz nos meios A e B, temos:
 
 
 (Equa. 1.3)
2ª lei da refração
A Segunda Lei da Refração foi descoberta experimental-
mente pelo holandês Willebrord Snell (1591 – 1626) e mais 
tarde deduzida por René Descartes (1596 – 1650), a partir 
de sua teoria corpuscular da luz. Nos Estados Unidos, ela é 
chamada de Lei de Snell e na França, de Lei de Descartes; no 
Brasil, é costume chamá-la de Lei de Snell-Descartes.
“O produto do índice de refração do meio pelo seno do 
ângulo formado pela linha normal e do raio de luz existente 
neste meio é constante para qualquer meio.”
 
2211 sennsenn θ⋅=θ⋅
Equação de Snell-Descartes
 (Equa. 1.4)
22 Óptica e Física Moderna
 
 (Equa. 1.5)
 1 meio 1 
 
meio 2 
θ2
 
θ
Figura 1.15
1.5.2 Refração atmosférica
O nosso planeta é recoberto por uma camada atmosférica 
de aproximadamente 1 000 km de espessura. Por outro lado, 
essa atmosfera é formada de camadas, cada uma possuin-
do, predominantemente, um tipo de molécula. Que influi di-
retamente nas propriedades ópticas da atmosfera. Portanto, a 
atmosfera terrestre é um sistema complexo do ponto de vista 
da óptica geométrica e não será examinada aqui com o de-
talhamento que merece. Ficaremos, somente, em uma análise 
qualitativa. Genericamente, podemos afirmar que o ar é um 
meio mais refringente que o vácuo. Apesar dessa diferença ser 
pequena, isto é, o índice de refração do ar ser pouca coisa 
maior que o do vácuo (índice de refração da luz violeta no 
ar = 1,0002957, índice de refração da luz vermelha no ar 
= 1,0002914 e nvácuo = 1), ele existe e, quando a luz do Sol 
incide nessa camada, ela sofre refração, isto é, passa a se 
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 23
propagar em um meio mais refringente. Segundo o que vi-
mos anteriormente, como a luz está passando do meio menos 
refringente para um mais refringente, o ângulo de refração é 
menor que o incidente e, consequentemente, ele aproxima-se 
da linha normal à superfície de separação dos meios. A tem-
peratura da atmosfera também influencia no índice de refra-
ção do ar. Quanto mais aquecido está o ar, menor o seu índice 
de refração e vice-versa. Esta refração faz com que fenômenos 
ópticos interessantes sejam observados.
 
Figura 1.16
Associado à curvatura da terra, a atmosfera comporta-se 
opticamente como um conjunto de lentes cujas superfícies re-
fringentes se sucedem em uma sequência de esferas concêntri-
cas, em que o índice de refração vai aumentando conforme o 
raio luminoso penetra nas camadas mais profundas da atmos-
fera. Podemos, então, concluir que os objetos observados fora 
da atmosfera terão suas dimensões aparentes modificadas por 
conta das propriedades ópticas da atmosfera, além, é claro, 
de suas posições. A lua e o Sol, em particular, por serem ob-
24 Óptica e Física Moderna
jetos extensos, se apresentarão com dimensões diferentes dos 
reais.
VAMOS PESQUISAR UM POUCO?
DICA PARA UMA LEITURA COMPLEMENTAR
https://www.youtube.com/watch?v=ILBYlmJAMmI&index=2&lis
t=PL7DL7BmpqH9P9FDK3cp18SlWWxIeEqq2
Veja este exemplo para trabalhar com a 
imaginação!
EXEMPLO
Quando você está na rua e olha para o interior de uma 
lanchonete através do vidro de uma janela, observa a re-
flexão de alguma cena da rua, porém a pessoa que está 
no interior da lanchonete enxerga a mesma cena, visto 
que a luz atinge o interior da lanchonete por refração.
1.6 Reflexão total
Para introduzirmos este assunto, iremos imaginar que um raio 
de luz se propaga de um meio mais refringente para outro 
menos refringente. Se aumentarmos o ângulo de incidência i, 
a última refração (r = 90°) vai ocorrer quando o ângulo i for 
igual ao ângulo limite L.
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 25
Figura 1.17
No entanto, para esse sentido de propagação, o ângulo 
de incidência i pode ser maior que o ângulo limite L. Quan-
do isso ocorre, não há refração, e a luz sofre o fenômeno da 
reflexão total ou interna. Assim, para haver reflexão total, há 
duas condições:
 Â Sentido de propagação da luz: do meio mais refringente 
para o menos refringente.
 Â Ângulo de incidência maior que ângulo limite: i > L
Cálculo do ângulo limite
Aplicando a Lei de Snell-Descartes à situação limite, onde i = 
L e r = 90°, obtêm-se:
O seguinte desenvolvimento 
26 Óptica e Física Moderna
 
 (Equa. 1.6)
Sendo n2 < n1, podemos escrever 
Aprofundando o Estudo
Vamos realizar uma pesquisa para saber como uma fibra óp-
tica transmite luz?
https://cienciasetecnologia.com/fibra-optica/
Vamos testar um pouco o seu conhecimento!
Cabe aqui uma pergunta em relação ao tempo que vemos o 
Sol nos hemisférios. Como sabemos, a Terra gira ao redor do 
Sol. Ao amanhecer, quando observamos o “nascer” do Sol no 
horizonte, se não existisse a atmosfera, neste exato momento, 
também veríamos o Sol? Ou, ao anoitecer, quando vemos os 
últimos raios solares do dia, o “pôr-do-sol” ocorreria no mesmo 
instante se não existisse a atmosfera?
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 27
1.7 Dioptros planos
Chamamos de dioptro plano quaisquer duas superfícies pla-
nas que separam dois ou mais meios de índice de refração 
diferentes.
1.7.1 Posição da imagem em um dioptro plano
É comum olharmos para uma piscina cheia d’água e termos a 
impressão de que ela é mais rasa do que na realidade ela o é. 
Essa impressão é atribuída à diferença entre os índices de re-
fração dos meios ar e água. Esse conjunto constitui-se em um 
dioptro plano. Podemos encontrar a posição real e virtual da 
imagem em um dioptro plano através de uma expressão mate-
mática, desde que saibamos os valores dos índices de refração 
dos meios. Essa relação independe se os raios vêm do meio 
mais ou menos refringente. Observe as figuras que seguem e 
a expressão matemática associada à mesma.
Figura 1.18
28 Óptica e Física Moderna
p = posição real do objeto
p’ = posição aparente do objeto (imagem)
nobservador = índice de refração do meio onde se encontra o 
observador
nobjeto = índice de refração do meio onde se encontra o objeto
 objeto
observador
n
n
p
'p
=
 (Equa. 1.7)
1.7.2 Lâminas de faces paralelas
Quando as superfícies que separam dois meios diferentes são 
paralelas entre si, dizemos que são lâminas de faces paralelas. 
Um raio de luz que incida em uma das superfícies dessa lâmi-
na, formando um ângulo diferente de 0°, refrata-se sofrendo 
um desvio lateral (d) do caminho percorrido. Esse desvio de-
penderá do ângulo de incidência do raio, do índice de refra-ção dos meios e da espessura da lâmina.
 θ 1 
 A 
 
 θ2 θ1-θ2 
D 
 
 C 
 B 
Figura 1.19
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 29
Observando a figura, podemos distinguir dois triângulos 
retângulos ABCA e ACDA. Vamos analisar as relações trigono-
métricas existentes em cada um deles:
Triângulo ABCA
(Equa. 1.8) 
 
Triângulo ACDA
(Equa. 1.9)
Em ambas as equações aparecem AC, isto é, é a hipote-
nusa dos dois triângulos. Podemos então isolar a expressão 
e igualar as equações. O lado AB corresponde a espessura 
(e) da lâmina e o lado CD corresponde ao desvio lateral (d) 
sofrido pelo raio incidente, isto é, a distância linear do raio 
incidente em relação ao raio emergente, visto que eles são 
paralelos entre si. Dessa forma, teremos:
( )212 sen
d
cos
e
θ−θ
=
θ Isolando o desvio lateral, ficamos com:
 
( )
2
21
cos
sene
d
θ
θ−θ⋅
= (Equa. 1.10)
1.7.3 Prismas
Assim como a lâmina de faces paralelas, o prisma também 
constitui um dioptro plano. A diferença entre o prisma e as 
lâminas de faces paralelas é que as superfícies planas do pris-
ma não são paralelas entre si. Nesse caso, não há um desvio 
30 Óptica e Física Moderna
lateral e o raio emergente não sai paralelo ao raio incidente. 
O que ocorre no prisma é um desvio angular (D).
Podemos verificar a figura a seguir, você observará o ângu-
lo de abertura do prisma representado por (A), como também 
o (i) ângulo de incidência, (r) ângulo de refração, (r’) ângulo 
de incidência interna, (i’) ângulo de refração externa (ângulo 
de emergência) e o (D) desvio angular.
i 
i’ 
i – r 
i’ – r’ 
D 
r’ 
r 
A 
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.20
 
 (Equa. 1.11)
Onde: A = ângulo de abertura do prisma
 i = ângulo de incidência
 r= ângulo de refração
 r’ = ângulo de incidência interna
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 31
 i’ = ângulo de refração externa (ângulo de emergên-
cia)
 D = desvio angular
O menor desvio angular sofrido por um raio de luz que 
penetra em um prisma para emergir na outra extremidade do 
mesmo acontece quando os raios internos r e r’ são iguais. 
Nesse caso, os ângulos externos i e i’ também serão iguais, e 
a expressão para o desvio mínimo (Dmin) fica assim:
 
Dmin = 2 (i – r) (Equa. 1.12)
Recapitulando
 Â A luz (e outras ondas eletromagnéticas) exibem natureza 
dual: ondulatória e corpuscular. Sob algumas circuns-
tâncias, a luz demonstra natureza ondulatória: ela exibe 
efeitos ondulatórios: polarização, interferência e difra-
ção. Por outro lado, quando interage com a matéria, a 
luz se comporta como conjunto de pacotes de energia 
(fótons), isto é, exibe natureza particular.
 Â A onda eletromagnética não precisa de nenhum meio 
para se propagar. Porém, ela também se propaga atra-
vés de alguns meios materiais. Através dos materiais 
condutores, a luz não se propaga devido ao fato que os 
elétrons livres se organizam de tal maneira que expul-
sam qualquer campo elétrico do interior. Os materiais 
32 Óptica e Física Moderna
dielétricos não possuem espécie de elétrons livres, e, 
portanto, a luz se propaga através do interior do mate-
rial, mas com uma velocidade v reduzida em relação à 
velocidade no vácuo c (v < c). A quantidade física que 
quantifica essa diminuição se chama índice de refração,
v
cn = e é uma característica importante do material dielé-
trico.
 Â A propagação da luz pode ser descrita de duas manei-
ras: (1) usando raios (óptica geométrica) e (2) utilizando 
frentes da onda (óptica ondulatória). A óptica geométrica 
se caracteriza pela simplicidade matemática e consegue 
descrever vários (mas não todos) efeitos ópticos. Porém, 
sua validade é restrita para as escalas muito maiores do 
que o comprimento de onda da luz considerada, e nos 
quais as fases das diversas fontes luminosas não têm 
qualquer correlação entre si. A óptica geométrica é ba-
seada no princípio de Fermat, que diz que, quando a 
luz percorre a distância de um ponto a outro, ela segue 
a trajetória que minimiza o tempo do percurso. A partir 
desse princípio, podem ser derivadas as leis de reflexão 
e refração, que relacionam o ângulo de incidência (θ1), 
o ângulo de reflexão (θ1´) e o ângulo de refração (θ1) 
(todos contados a partir da normal da superfície) e obe-
decidas pelos raios de luz quando encontram interface 
entre dois meios, com índices de refração dos meios n1 
e n2.
 1. Todos os raios incidentes, refletido e refratado, estão con-
tidos no mesmo plano, que é perpendicular ao plano de 
interface entre dois meios.
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 33
 2. O ângulo da incidência é sempre igual ao ângulo de refle-
xão:
θ1 = θ1´
 3. A relação entre o ângulo de incidência e o ângulo da re-
fração depende da relação entre os índices da refração 
dos dois meios, e é expressa pela lei de Snell:
 Â A lei de Snell demonstra que a luz desvia sua trajetória 
quando passa de um meio para outro. Quanto será esse 
desvio e se ele acontecerá aproximando-se ou afastan-
do-se da normal da superfície entre os meios, depende 
da razão entre índices de refração.
 Â Quando a luz passa de um meio com índice de refra-
ção maior (mais refringente) para um meio com índice 
de refração menor, ela desvia afastando-se da normal. 
Nesse caso, quando o ângulo da incidência ultrapassa 
certo valor (ângulo crítico), o ângulo da refração fica 
maior que 900, isto é, a luz é completamente refletida 
para dentro do meio incidente (está “presa” no mate-
rial). O efeito se chama reflexão total ou interna. O 
valor do ângulo crítico depende da razão entre os índi-
ces de refração do meio incidente (n1) e outro meio (n2): 
 Â A reflexão total ou interna é responsável pelo brilho in-
tenso do diamante, e constitui o princípio de funciona-
mento das fibras ópticas, entre outras aplicações.
34 Óptica e Física Moderna
 Â Chamamos de dioptro plano quaisquer duas superfícies 
planas que separam dois ou mais meios de índice de 
refração diferentes.
Referências
ALMEIDA, Voltaire de Oliveira, CRUZ, Carolina A., SOAVE, 
Paulo Azevedo. Concepções alternativas em óptica. Porto 
Alegre: UFRGS, Instituto de Física, Programa de Pós-Gra-
duação em Ensino de Física, 2007.
HERSKOWICZ, G.; PENTEADO, P. C. M.; SCOLFARO, V., Cur-
so completo de Física, Editora Moderna, São Paulo, 1991.
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, Fundamentos de Física – Ópti-
ca e Física Moderna, volume 4, 6ª edição, Editora LTC, Rio 
de Janeiro, 2003.
Hugo L. Fragnito e Antonio C. Costa; Difração da luz por 
fendas. Unicamp-IFGW, Março de 2010. Disponível em: 
<http://www.ifi.unicamp.br/~hugo/apostilas/diffraction.
pdf>. Acessado em: 05 de setembro de 2014.
G. R. Fowles, “Introduction to Modern Optics,” Holt, Rinehart 
and Winston, 2nd edition, New York (1975). GAZZINELLI, 
R. Teoria da Relatividade Especial 2. ed., São Paulo, Editora 
Blucher, 2009.
MARRANGHELLO, M., Óptica Geométrica. Canoas: Caderno 
Universitário. Ed. ULBRA,2007.
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 35
NUSSENZVEIG, H. M., Curso de Física Básica, Editora Edgar 
Blücher Ltda., São Paulo, 1998.
SERWAY, R. A. & JEWETT, Jr. J. W., Princípios de Física – Óptica 
e Física Moderna, volume 4, Editora Pioneira Thomson Le-
arning, São Paulo, 2004. 
YOUNG, Hugh D.; & FREEDMAN, Roger A.; Física IV – Ótica e 
Física Moderna. 12. ed. Pearson. São Paulo, 2008. 
<http://www.arquivos.ufs.br/mlalic/UAB_livro/Fisica_C_
Aula_08.pdf>. Acessado em: 05 de setembro de 2014.
<http://www.sistele7.com.br/biblioteca/>. Acessado em: 09 
de setembro de 2014.
Atividades
Para uma fixação do que já estudamosaté o momento, 
vamos fazer a lista de Atividades nº 2
 1) Uma placa de vidro é atingida por um feixe de luz com um 
ângulo de incidência de 60°. Parte do feixe é refletido e 
parte refratado; juntos, fazem um ângulo de 90° entre si. 
Qual o índice de refração do vidro?
 2) Um raio de luz incide sobre uma superfície plana que se-
para duas substâncias transparentes cujos índices de refra-
ção são 1,60 e 1,40. O ângulo de incidência é de 30° e 
o raio vem do meio de maior índice. Calcule o ângulo de 
refração.
36 Óptica e Física Moderna
 3) Mantém-se na superfície da água de um tanque uma pla-
ca de vidro de faces paralelas cujo índice de refração é 
1,60. Um raio vindo de cima faz um ângulo de incidência 
de 45° com a superfície superior do vidro.
a) Que ângulo faz o raio com a normal na água?
b) Como esse ângulo varia com o índice de refração do 
vidro?
 4) Um mergulhador que se acha dentro da água de um lago 
cujo índice de refração é 4/3 olha para um pássaro que 
está voando a 60 m de altura em relação à superfície. 
Determine:
a) A altura aparente do pássaro.
b) A elevação aparente do pássaro.
 5) Considere um prisma de ângulo de abertura igual a 30°, 
imerso no ar. Qual o valor do índice de refração do mate-
rial que constitui o prisma para que um raio de luz mono-
cromática, incidindo normalmente a uma das faces, saia 
tangenciando a face oposta?
Capítulo 1 Natureza e Propagação da Luz 37
Gabarito
1) 1,73
2) 34,85°
3) a) 32,11° b) Será tanto menor quanto maior for o índice 
de ref. do vidro.
4) a) 80 m b) 20 m
5) n= 2
Moacyr Marranghello1
Capítulo 2
Óptica Geométrica – 
Espelhos
1 Autor – Professor de Física, Mestre em Engenharia, Professor dos Cursos de Física 
e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA – Canoas (RS).
.
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 39
Introdução
Estudaremos neste capítulo sobre espelhos planos e esféricos, 
diferenciando as suas características por meio de determina-
ção de imagem através dos espelhos. Fazendo uma recapi-
tulação no que já estudamos sobre determinação de luz, nos 
proporcionará uma base para o complemento deste capítulo.
A reflexão e a refração em superfícies planas, consideradas 
no capítulo anterior, são de utilidades limitada em instrumen-
tos ópticos, porque são capazes de transformar luz divergente 
em convergente; a luz divergente, como a que vem de uma 
puntiforme, permanece divergente depois da reflexão em um 
espelho plano ou após a refração através de uma fronteira 
plana entre dois meios transparentes.
Se o espelho ou a superfície onde ocorre refração for cur-
va, frentes de onda planas podem se transformar em frentes 
de onda curvas, que podem, então, convergir para um ponto 
ou parecer divergente a partir de um ponto. A luz divergente 
pode até transformar-se em luz convergente e focalizar-se para 
transformar uma imagem, como uma câmera, em um telescó-
pio ou no olho humano.
2.1 Espelhos planos
Considera-se um espelho plano qualquer superfície plana e 
altamente refletora. Um pedaço de metal plano e polido, ou 
uma superfície de vidro plana revestida com nitrato de prata, 
40 Óptica e Física Moderna
são ótimos espelhos planos. É importante considerar que, na 
superfície de metal, o espelho encontra-se na parte anterior 
enquanto, com o vidro, a parte espelhada está na parte pos-
terior. Isso acarreta uma pequena distorção quando utilizamos 
o vidro pintado, pois até que o raio de luz atinja o espelho ele 
sofrerá uma refração no vidro.
Vamos ver alguns Exemplos?
Ex.: Superfície de um metal polido, superfície de um lago etc.
2.1.1 Imagem no espelho plano
Seja P um ponto luminoso ou iluminado colocado na frente de 
um espelho plano. Considere dois raios luminosos que inci-
dem no espelho e são refletidos posteriormente.
 
normal
Es
pe
lh
o
d d'
P'
O
P
Figura 2.1
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 41
 Â O ponto P, definido pela interseção efetiva dos raios in-
cidentes sobre o espelho, é um objeto real.
 Â O ponto P’, definido pela interseção dos prolongamen-
tos dos raios emergentes (refletidos), é uma imagem vir-
tual.
De um modo geral:
 Â Real: interseção efetiva de raios luminosos.
 Â Virtual: interseção de prolongamentos de raios lumino-
sos.
As imagens formadas por espelhos planos têm as seguintes 
características:
 Â O objeto e a imagem são equidistantes do espelho.
 Â Objeto e imagem têm naturezas contrárias: se o objeto 
é real, a imagem é virtual e vice-versa.
2.1.2 Imagem de um objeto extenso
Um objeto extenso pode ser considerado como um conjunto 
de pontos. A sua imagem será determinada ligando esses pon-
tos e determinando suas respectivas imagens.
42 Óptica e Física Moderna
 
Espelho
ImagemObjeto
Figura 2.2
2.1.3 Campo visual de um espelho plano
Quando se olha para um espelho plano, a imagem vista de-
pende da posição e do tamanho do espelho, isto é, o cam-
po visual permitido para um espelho é diferente do campo 
visual para outro espelho de dimensões diferentes. A posi-
ção do observador em relação ao que está sendo observado 
também é uma característica fundamental para determinar 
o campo visual de um espelho plano. O desenho que segue 
mostra como se pode determinar o campo visual de um es-
pelho plano. Qualquer objeto colocado na área a frente do 
espelho poderá ser observado pelo observador (o) colocado 
na posição indicada.
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 43
Espelho Plano
Campo Visual
Observador
o'
o
Figura 2.3
2.1.4 Translação de um espelho plano
Seja um objeto fixo em frente a um espelho. Se esse espelho 
sofrer uma translação de uma distância d, a imagem desse 
objeto sofrerá uma translação D.
 
 
Inicial Final
Objeto fixo
Imagem
inicial
Imagem
final
Espelho plano
D
x + dx + d d
x x
Figura 2.4
Tendo a Figura 4 como exemplo, vamos analisá-la:
44 Óptica e Física Moderna
É fácil ver pela figura anterior que:
 
D = 2(x + d) – 2x
D = 2d
 (Equa. 2.1)
Como os deslocamentos do espelho e da imagem são si-
multâneos, a velocidade da imagem será o dobro da velocida-
de do espelho, pois a imagem percorre o dobro da distância 
do espelho no mesmo intervalo de tempo.
 
Vi = 2 Ve (Equa. 2.2)
2.1.5 Rotação de um espelho plano
Seja um raio de luz refletido após incidir sobre um espelho pla-
no. Se o espelho girar de um ângulo α, o novo raio refletido 
formará um ângulo Δ com o raio refletido anteriormente, cujo 
valor é o dobro do ângulo α.
 
Δ = 2α (Equa. 2.3)
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 45
 
Raio
incidente
Raio
Refletido
antes da 
Rotação
Rotação do
espelho plano
Neste caso a relação entre
o ângulo e o ângulo a é
dada pela espressão: Raio refletido 
após o espelho
ser rotacionado
NI
E
N
r
I^
I^ r^
E
1
11
2
2
2
∆ = 2α
α
α
∆
Figura 2.5
2.1.6 Imagens em dois espelhos
Seja um objeto ou ponto entre dois espelhos, formando entre 
si um ângulo α.
Figura 2.6
46 Óptica e Física Moderna
É possível calcular o número N de imagens formadas pela 
seguinte equação:
 
 
 
(equação
 
2.4)
 
Espelho
Plano
Espelho
Objeto
N - número de imagens.
α - ângulo entre os espelho
I
I
I
1
2
3 α
α
−1N =
360°
Figura 2.7
DICA
Para você ter uma revisão do que já estudou sobre a natureza 
da luz e aprofundar um pouco mais o estudo de espelhos, 
damos uma sugestão: acesse os seguintes sites e estude um 
pouco mais sobre os assuntos.
https://www.youtube.com/watch?v=yEG_6sLww54
https://www.youtube.com/watch?v=b0_kg0tQcxA
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 47
2.2 Espelhos esféricos
Quando analisamos o que poderiamser espelhos esféricos, 
sempre tentamos buscar alguma situação do nosso dia a dia. 
É comum encontrarmos diversos exemplos que nos levam a 
lembrar do que poderiam ser espelhos esféricos, por exemplo: 
quando olhamos para uma colher metálica, a imagem formada 
pela mesma, dependendo do lado da colher que escolhemos, 
deformará nosso rosto de uma forma ou outra, também temos 
os espelhos de retrovisores em alguns carros, os espelhos colo-
cados dentro de elevadores em prédios comerciais, enfim uma 
infinidade de exemplos. Esses espelhos que não são formados 
por superfícies planas, são denominados de Espelhos Esféricos.
Existe uma infinidade de possibilidade de trabalhar com 
superfícies esféricas de vários formatos diferentes. No nosso 
curso, a ideia é restringir o estudo para superfícies regulares 
que possibilitem uma análise simples da formação de imagens 
pelas mesmas. Portanto, para nosso interesse, a melhor defini-
ção para um espelho esférico é a seguinte:
Um plano, ao cortar uma superfície esférica, divide-a em 
duas partes denominadas calotas esféricas.
 
Figura 2.8
48 Óptica e Física Moderna
2.2.1 Elementos geométricos
Para começar esse estudo, é fundamental nomear alguns ele-
mentos geométricos importantes dos espelhos que serão úteis 
mais adiante. Lembre-se de que os espelhos esféricos, nos 
quais debruçaremos nossos estudos, são oriundos de uma es-
fera, portanto, muitos dos elementos utilizados no estudo da 
esfera serão de grande utilidade para nós, além de outros que 
começaremos a descrever a partir de agora.
 
R Eixo Principal 
 E 
 O V 
 Eixo Secundário 
 raio (R) 
 
 Figura 2.9
Onde: O = centro de curvatura do espelho. É um ponto coin-
cidente ao centro da esfera que originou o espelho.
 R = raio de curvatura. É o segmento de reta que coin-
cide com o raio da esfera que originou o espelho.
 V = vértice principal do espelho. É o centro da calota 
esférica.
 E = eixo principal do espelho. É a reta imaginária que 
passa pelo centro de curvatura (O) e pelo vértice 
(V) do espelho.
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 49
 Eixo secundário: é qualquer outra reta que passe pelo 
centro de curvatura (O) do espelho.
O ponto central entre o centro de curvatura (O) e o vértice 
(V), no eixo principal, é denominado de foco principal do es-
pelho (f). A distância focal é, portanto, a metade do raio de um 
espelho. Esse ponto é de fundamental importância no estudo 
dos espelhos esféricos, pois, quando um conjunto de raios pa-
ralelos entre si e ao eixo principal incidem ao mesmo tempo no 
espelho, os raios refletidos tomam a direção do foco.
Observe que a calota esférica pode ser espelhada tanto na 
parte interna como na parte externa. Dependendo do espelha-
mento, esse espelho receberá o nome de espelho CÔNCAVO 
(quando o espelhamento for feito na parte interna da calota) 
ou CONVEXO (quando o espelhamento for feito na parte ex-
terna da calota). Independentemente desse espelhamento, os 
raios incidentes paralelos ao eixo principal são refletidos na 
direção do foco do mesmo.
 
 
 
 
 
 
Figura 2.10
50 Óptica e Física Moderna
Observações
 1. É importante observar que os focos dos espelhos esféricos, 
tanto o côncavo como o convexo, não saíram do lugar, 
isto é, encontram-se no meio do caminho entre o cen-
tro de curvatura (O) e o vértice principal (V). Ambos os 
focos estão situados no interior da esfera que originou o 
espelho. O que mudou foi a posição do espelhamento da 
calota esférica, isto é, muda o lado por onde vêm os raios 
incidentes.
 2. Como o foco principal do espelho côncavo encontra-se na 
sua “frente”, é comum dizermos que ele é real. Como o 
foco principal do espelho convexo encontra-se “dentro” do 
mesmo, é comum dizermos que ele é virtual.
 3. Como trabalhamos geralmente com espelhos esféricos 
delgados, para facilitar a parte geométrica dos estudos, 
representaremos, a partir de agora, os espelhos côncavos 
e os convexos como indicam os desenhos que seguem.
Espelho côncavo Espelho convexo 
Figura 2.11
 4. Segundo Harley, para que um espelho esférico forneça 
uma imagem sem distorções esféricas ou cromáticas, são 
necessários alguns itens:
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 51
a) O raio de abertura do mesmo (α) não pode ser maior 
que 10°.
b) O raio incidente ao espelho não pode formar um ân-
gulo muito grande com uma linha imaginária paralela 
ao eixo principal.
c) Os raios incidentes e refletidos devem estar o mais 
próximo possível um do outro.
Esses três itens garantem que a imagem é a melhor pos-
sível. Note que é impossível obtermos imagens perfeitas, sem 
aberrações esféricas ou cromáticas. O que se faz é tentar mi-
nimizar ao máximo essas aberrações indesejáveis.
 E 
 α 
C 
Figura 2.12
2.2.2 Determinação gráfica de imagens
Podemos determinar graficamente imagens que são formadas 
em espelhos esféricos. Para isso, precisamos conhecer alguns 
raios particulares especiais.
52 Óptica e Física Moderna
a) Todo raio incidente paralelo ao eixo principal é refle-
tido no espelho retornando na direção do foco princi-
pal.
Figura 2.13
b) Segundo o princípio da reversibilidade dos raios lumi-
nosos, todo raio incidente que tem a direção do foco 
principal é refletido paralelamente ao eixo principal.
Figura 2.14
c) Todo raio incidente que tem a direção do centro de 
curvatura do espelho esférico é refletido na mesma di-
reção, isto é, sobre ele mesmo.
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 53
Figura 2.15
d) Todo raio que incide no vértice principal do espelho es-
férico é refletido no quadrante oposto formando com o 
eixo principal o mesmo ângulo do raio incidente.
 β α 
 α β 
Figura 2.16
Para uma melhor compreensão sobre o assunto que estamos 
estudando, analise o exemplo a seguir:
Utilizando os raios particulares acima descritos, encontre a po-
sição e dê as características da imagem de um objeto “O” co-
locado na frente de um espelho esférico côncavo, como indica 
o desenho que segue.
54 Óptica e Física Moderna
 
 
 O 
 
 
 
 
Figura 2.17
Vamos analisar a Figura 2.17:
Para caracterizar uma imagem, utilizamos as seguintes deno-
minações:
		Se a imagem for formada pelo encontro dos próprios 
raios refletidos dizemos que ela é real, se ela for forma-
da pelo encontro dos prolongamentos dos raios refleti-
dos, dizemos que ela é virtual.
		Se a imagem estiver de cabeça para baixo, em relação 
a disposição do objeto, dizemos que ela é invertida; se 
estiver de cabeça para cima, dizemos que ela é direta 
ou direita.
		É costume indicar também a posição da imagem em 
relação ao espelho, isto é, se ela se encontra antes do 
centro de curvatura (O), no centro de curvatura (O), 
entre o centro de curvatura (O) e o foco principal (F), 
no foco principal ou entre o foco principal (F) e o vértice 
(V) do espelho.
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 55
Vamos fazer um complemento, pesquisando o site:
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfJgUAH/estudo-dos-
-espelhos#
Aprofundando os estudos
Para um complemento dos estudos abordados neste capítu-
lo, sugerimos que você aprofunde um pouco mais e teste as 
experiências sugeridas no site para o aprofundamento de sua 
aprendizagem, com o objetivo de desenvolver sua capacidade 
de previsão em relação a imagens formadas por espelhos – pla-
nos e esféricos – e observar algumas das aplicações práticas 
dos espelhos.
http://www.if.ufrj.br/~marta/int-fis/icf-mod1-cap3.pdf2.2.3 Determinação algébrica de imagens
Assim como fizemos geometricamente, também podemos de-
terminar algebricamente imagens que são formadas em es-
pelhos esféricos. Para isso, precisamos estabelecer algumas 
convenções.
56 Óptica e Física Moderna
O i 
 
f 
p’ 
 r = 2.f 
p 
Figura 2.18
Onde:
f = distância focal.
p’ = posição da imagem em relação ao espelho (direção 
horizontal – eixo X).
r = 2.f = raio de curvatura do espelho.
p = posição do objeto em relação ao espelho (direção 
horizontal – eixo X).
o = tamanho do objeto (direção vertical – eixo Y).
i = tamanho da imagem (direção vertical – eixo Y).
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 57
 y 
 + 
 Luz incidente 
+ - x 
- + 
 L uz incidente 
 - 
 
Figura 2.19
Utilizando as convenções acima descritas, podemos mon-
tar duas equações importantes para determinar algebricamen-
te as imagens formadas por espelhos esféricos de objetos.
 1. Equação dos pontos conjugados:
Observe que os triângu-
los ABCA e CA’B’C são 
triângulos semelhantes, 
isto é, são triângulos 
que apresentam os mes-
mos ângulos internos. 
Daí, pode-se escrever:
A D 
 
C
 
B’
 
F
 V 
B
 A’ 
 
Figura 2.20
58 Óptica e Física Moderna
Da mesma forma, os triângulos DFVD e FA’B’F também são 
triângulos semelhantes. Portanto, também se pode escrever:
O desenho permite notar que AB = DV; consequentemente, 
a razão é igual a Dessa forma, podemos escrever 
que:
 
 (Equa. 2.5)
Substituindo os valores, utilizando as convenções estabele-
cidas anteriormente, podemos afirmar que: CB = p – 2.f; CB’ 
= 2.f – p’; FV = f; FB’ = p’ – f. Assim, temos:
'pff2f2pff2'pp'p 22 ⋅−⋅=⋅+⋅−⋅⋅−⋅ ∴ Simplifican-
do e isolando f, temos:
pf'pfp'p ⋅+⋅= ∴ Dividindo todos os membros por 
f.p’.p, temos:
p'pf
pf
p'pf
'pf
p'pf
p'p
⋅⋅
⋅
+
⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
 ∴ Fazendo as simplificações 
devidas, ficamos com:
'p
1
p
1
f
1
+=
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 59
 2. Equação do aumento linear:
Observe que os triângu-
los ABVA e A’B’VA’ são 
triângulos semelhantes, 
isto é, são triângulos que 
apresentam os mesmos 
ângulos internos. Daí, 
pode-se escrever:
 
 
 A 
 
 B 
C
 
B’
 F V 
 A’ 
 
 
Figura 2.21
Vamos simbolizar o tamanho do objeto pela letra “o” 
e o tamanho da imagem pela letra “i”. Podemos obser-
var que AB corresponde ao tamanho do objeto e A’B’ ao 
tamanho da imagem. Assim como BV corresponde à dis-
tância que o objeto encontra-se do espelho (p) e B’V 
à distância que a imagem encontra-se do espelho. Dessa for-
ma, podemos escrever:
 
p
'p
o
i
−=
 
 (Equa. 2.6)
O sinal negativo indica que a imagem formada nesse caso 
está invertida em relação à disposição do objeto. A razão entre 
o tamanho da imagem e o tamanho do objeto informa o au-
mento linear (A) sofrido pelo objeto. Assim, podemos escrever:
60 Óptica e Física Moderna
 
p
'p
o
iA −== (Equa. 2.7)
Recapitulando
Espelho Plano – É toda superfície lisa e plana que reflete a luz 
de maneira regular
Campo visual de um espelho plano – É a região que um 
observador frente a um espelho pode observar.
Imagem de um objeto extenso – Um objeto extenso pode 
ser considerado como um conjunto de pontos. A sua imagem 
será determinada ligando esses pontos e determinando suas 
respectivas imagens.
Translação de um espelho plano – Seja um objeto fixo em 
frente a um espelho. Se este espelho sofrer uma translação de 
uma distância d, a imagem desse objeto sofrerá uma transla-
ção D.
D = 2(x + d) – 2x D = 2d
Velocidade da imagem – os deslocamentos do espelho e 
da imagem são simultâneos, a velocidade da imagem será o 
dobro da velocidade do espelho, pois a imagem percorre o 
dobro da distância do espelho no mesmo intervalo de tempo.
Vi =2 Ve
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 61
Rotação de um espelho plano – Quando o espelho girar de 
um ângulo α, o novo raio refletido formará um ângulo Δ com o 
raio refletido anteriormente, cujo valor é o dobro do ângulo α.
Δ = 2α
Espelhos Esféricos – São espelhos que resultam do corte de 
uma esfera em que uma de suas superfícies é espelhada, com 
reflexão regular (especular). Assim, surgem dois tipos de es-
pelhos, os côncavos e os convexos. No primeiro, a superfície 
refletora é interna; no segundo, externa. Esses espelhos obe-
decem às mesmas leis de reflexão da luz dos espelhos planos 
da Óptica geométrica.
Determinação de imagens – Um objeto pode ser real ou 
virtual. No caso dos espelhos, dizemos que o objeto é virtual 
se ele se encontra “atrás” do espelho. No caso de espelhos 
esféricos, a imagem de um objeto pode ser maior, menor ou 
igual ao tamanho do objeto. A imagem pode ainda aparecer 
invertida em relação ao objeto. Se não houver sua inversão, 
dizemos que ela é direita.
Referências
ALMEIDA, Voltaire de Oliveira, CRUZ, Carolina A., SOAVE, 
Paulo Azevedo. Concepções alternativas em óptica. Porto 
Alegre: UFRGS, Instituto de Física, Programa de Pós-Gra-
duação em Ensino de Física, 2007.
62 Óptica e Física Moderna
HERSKOWICZ, G.; PENTEADO, P. C. M.; SCOLFARO, V., Cur-
so completo de Física, Editora Moderna, São Paulo, 1991.
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, Fundamentos de Física – Ópti-
ca e Física Moderna, volume 4, 6ª edição, Editora LTC, Rio 
de Janeiro, 2003.
Hugo L. Fragnito e Antonio C. Costa; Difração da luz por 
fendas. Unicamp-IFGW, Março de 2010. Disponível em: 
<http://www.ifi.unicamp.br/~hugo/apostilas/diffraction.
pdf>. Acessado em: 05 de setembro de 2014.
G. R. Fowles, “Introduction to Modern Optics,” Holt, Rinehart 
and Winston, 2nd edition, New York (1975). GAZZINELLI, 
R. Teoria da Relatividade Especial 2. ed., São Paulo, Editora 
Blucher, 2009.
MARRANGHELLO, M., Óptica Geométrica. Canoas: Caderno 
Universitário. Ed. ULBRA,2007.
NUSSENZVEIG, H. M., Curso de Física Básica, Editora Edgar 
Blücher Ltda., São Paulo, 1998.
SERWAY, R. A. & JEWETT, Jr. J. W., Princípios de Física – Óptica 
e Física Moderna, volume 4, Editora Pioneira Thomson Le-
arning, São Paulo, 2004. 
YOUNG, Hugh D.; & FREEDMAN, Roger A.; Física IV – Ótica e 
Física Moderna. 12. ed. Pearson. São Paulo, 2008. 
<http://www.arquivos.ufs.br/mlalic/UAB_livro/Fisica_C_
Aula_08.pdf>. Acessado em: 05 de setembro de 2014.
<http://www.sistele7.com.br/biblioteca/>. Acessado em: 09 
de setembro de 2014.
Capítulo 2 Óptica Geométrica – Espelhos 63
Atividades
Para uma fixação do que já estudamos até o momento, vamos 
fazer a lista da atividade indicada.
 1) Um espelho plano está disposto horizontalmente no solo. 
Um observador cujos olhos estão a 1,80 m acima do pla-
no do espelho, e a 2 m do centro do espelho olhando para 
esse ponto, vê a ponta de uma árvore que está a 30 m do 
centro do espelho. Determine a altura da árvore.
 
 
 2. Uma pessoa está de pé diante de um espelho plano ver-
tical: no espelho, ela se enxerga de corpo inteiro. Faça o 
esquema dos raios de luz mediante os quais ela enxerga o 
topo de cabeça; idem para a ponta dos pés.
 3) Um raioluminoso incide sobre um espelho plano, forman-
do com a normal ao espelho um ângulo de 12°. Se o 
espelho girar, de modo que o raio incidente forme com a 
normal, na nova posição, um ângulo de 36°, de que ân-
gulo girará o raio refletido?
64 Óptica e Física Moderna
 4) Dois espelhos planos formam entre si um certo ângulo. 
Calcule esse ângulo, sabendo que o reduzindo de 10° o 
número de imagens produzidas pelo sistema de um dado 
objeto é aumentado em 6 vezes.
 5) Um objeto vertical de 1,8 m de altura é colocado a 2 m de 
distância de um espelho plano vertical de 1,2 m de altura, 
obtendo-se uma imagem de altura H. Se o objeto afastar-
-se do espelho, para uma nova distância igual a 6 m do 
espelho, a imagem terá a altura H’. Para essa situação, o 
que é correto afirmar?
Gabarito
1) 27 m
2) Desenho
3) 48°
4) 30°
5) H = H’ = 1,8 m
Moacyr Marranghello1 
Capítulo 3
Óptica Geométrica – 
Lentes
1 Autor – Professor de Física, Mestre em Engenharia, Professor dos Cursos de Física 
e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA – Canoas (RS).
.
66 Óptica e Física Moderna
Introdução
Neste capítulo, estudaremos sobre as lentes; especificamen-
te, sabemos que as lentes denominadas como esféricas estão 
presentes em diversas partes de nosso cotidiano, como, por 
exemplo, nos óculos de correção visual. Na física, as lentes 
esféricas são diferenciadas por serem de bordas finas e bordas 
espessas. As lentes possuem um par de focos, sendo, portanto, 
um foco principal objeto e um foco principal imagem, ambos 
são simétricos e estão localizados sobre o eixo principal.
Da mesma forma que os espelhos esféricos, as lentes tam-
bém fornecem imagem de um objeto linear e transversal. Sen-
do assim, as posições e as alturas de objetos colocadas diante 
de uma lente esférica são determinadas através das mesmas 
equações estudadas nos espelhos esféricos.
3.1 Lentes esféricas
Chamamos de lente esférica qualquer elemento físico trans-
parente que seja proveniente da união ou intersecção de um 
plano com uma esfera ou de duas esferas. O desenho que 
segue ilustra essas situações.
Capítulo 3 Óptica Geométrica – Lentes 67
 
 
Figura 3.1
3.1.1 Nomenclatura das lentes esféricas 
delgadas
As lentes esféricas são ditas delgadas porque as espessuras 
desses elementos ópticos devem ser o mais insignificante pos-
sível para evitar aberrações na formação das imagens pelas 
mesmas. Essas aberrações podem ser por deformação da ima-
gem ou deformação nas cores, conhecidas como aberrações 
cromáticas. Essas são devido ao funcionamento da lente como 
um prisma, que acaba decompondo a luz branca em suas di-
versas frequências.
No dia a dia, e principalmente no ramo das “óticas”, as 
lentes esféricas são conhecidas como convergentes ou positi-
vas e divergentes ou negativas. Na realidade, as lentes rece-
bem nomes um pouco diferentes desses. Dividimos inicialmen-
te as lentes em dois grupos:
68 Óptica e Física Moderna
Lentes de Bordas Finas:
 
 
 
 Biconvexa Plano-convexa Côncavo-convexa 
Figura 3.2
Lentes de Bordas Grossas:
Bicôncavas Plano-côncava Convexo-côncava 
Figura 3.3
Podemos observar que, justamente por serem delgadas, 
é mais comum representarmos graficamente esses elementos 
ópticos de uma forma mais simplificada. Qualquer lente de 
borda fina, independentemente do nome, ou qualquer lente 
de borda grossa, também independentemente do seu nome, 
podem ser representadas da seguinte forma:
Capítulo 3 Óptica Geométrica – Lentes 69
 
 
 Lentes de Bordas Finas Lentes de Bordas Grossas 
 
Figura 3.4
3.1.2 Elementos geométricos
Assim como nos espelhos, nas lentes, vamos encontrar alguns 
elementos geométricos importantes que auxiliaram a determi-
narmos as imagens formadas por esses elementos ópticos.
L 
 E 
C1 F1 O C2 F2
Figura 3.5
Onde: L = lente esférica.
 E = eixo principal da lente.
 C = centro de curvatura da lente.
 F = foco principal da lente.
 O = centro óptico da lente.
70 Óptica e Física Moderna
3.2 Comportamento óptico de uma lente 
esférica
As lentes esféricas podem se comportar de formas diferentes 
dependendo do índice de refração dos meios externo e inter-
no. Vejamos nos desenhos que seguem.
Figura 3.6
Figura 3.7
Capítulo 3 Óptica Geométrica – Lentes 71
De acordo com o esquema acima, podemos observar que, 
independentemente do nome das lentes, elas podem compor-
tar-se como lentes convergentes ou divergentes. Esse compor-
tamento será definido pela diferença entre os índices de refra-
ção dos meios interno e externo.
Uma observação importante deve ser feita neste momento. 
Os seres humanos vivem mergulhados no meio ar, que tem 
um índice de refração muito próximo ao do vácuo. Assim, a 
maioria dos meios que são feitas às lentes que utilizamos no 
dia a dia tem índice de refração maior que o do ar. Por esse 
motivo, é muito comum chamarmos as lentes de bordas finas 
de convergentes ou positivas, visto que sua distância focal é 
positiva, e as lentes de bordas grossas de divergentes ou nega-
tivas, já que sua distância focal é negativa. Para efeito de cur-
so, é importante lembrar que essa denominação está errada, 
mas o senso comum aceita esse tipo de erro e, sobretudo, os 
técnicos em ótica.
3.3 Vergência de uma lente esférica
Muitas vezes, a grandeza “vergência” é descrita como a ca-
pacidade de uma lente convergir ou divergir. Em alguns li-
vros, sobretudo livros técnicos, a grandeza vergência é tratada 
como a “força da lente” ou a “potência da lente”. Essa ideia 
não revela totalmente o conceito da mesma, mas, em mui-
tos casos pode ser aplicada de forma correta, desde que se 
entenda “força” com capacidade de fazer alguma coisa. Fisi-
camente ficaria mais correto se denominássemos a vergência 
72 Óptica e Física Moderna
como o “trabalho” que a lente consegue produzir. Na verdade, 
a grandeza vergência foi criada para que os leigos pudessem 
compreender melhor o processo utilizado para confecção de 
óculos.
Vergência, matematicamente, significa o inverso da distân-
cia focal de uma lente, expressa em metros.
 
f
1V = (Equa. 3.1)
Como consequência, a unidade de medida da grandeza 
vergência (V) é o inverso do metro, isto é, 
m
1 ou m-1. Apenas 
para ficar mais estético, a unidade foi substituída por “dioptria” 
(di). Hoje, é muito comum denominarmos essa unidade de 
vergência como o “grau” (°) da lente. Ou seja, uma lente com 
distância focal de 50 cm (0,5 m) tem uma vergência de 2 di ou 
2°, assim como uma lente com – 200 cm (– 2 m) tem vergência 
de – 0,5 di ou – 0,5°.
3.4 Associação de Lentes Esféricas
Pode-se associar lentes esféricas, basicamente, de duas ma-
neiras:
a) Justaposição:
Dizemos que duas ou mais lentes estão justapostas quan-
do a distância entre elas for insignificante. Independentemente 
Capítulo 3 Óptica Geométrica – Lentes 73
dos tipos de lentes justapostas, isto é, de bordas finas (f = +) 
ou de bordas grossas (f = –), o sanduíche de lentes terá uma 
única vergência. A vergência da associação é dada pela soma 
algébrica simples das vergências parciais das lentes.
 
V = V1 + V2 + V3 +... + Vn (Equa. 3.2)
b) Associação:
Quando a distância entre as lentes não é insignificante, isto 
é, quando existe uma distância significativa entre elas de tal for-
ma que podemos notar a formação das imagens de um objeto 
devido à presença de cada uma das lentes associadas, dizemos 
que as lentes estão associadas. Nesse caso, a imagem formada 
pela primeira lente servirá de objeto para a segunda lente.
Essa é uma das situações onde podemosgerar, com certa 
facilidade, objetos virtuais, tente pensar na situação em que 
um objeto não é real.
3.5 Determinação gráfica de imagens 
formadas por lentes esféricas 
delgadas
Assim como fizemos para espelhos esféricos, podemos tam-
bém determinar, de forma algébrica, a posição e as caracte-
rísticas da imagem de um objeto formado por lentes esféricas 
delgadas.
74 Óptica e Física Moderna
a) Todo raio paralelo ao eixo principal incide na lente e 
a atravessa se refratando na direção do foco da face 
incidente.
 
 C1 F1 O F2 C2 C1 F1 O F2 C2 
 
Figura 3.8
b) Segundo o princípio da reversibilidade dos raios lumi-
nosos, todo raio que tem a direção do foco da face 
incidente, atravessa a lente e se refrata paralelo ao 
eixo principal.
C1 F1 
O F2 C2 C1 F1 O F2 C2 
Figura 3.9
c) Todo raio que atravessa a lente pelo centro óptico, não 
sofre desvios em sua trajetória.
Capítulo 3 Óptica Geométrica – Lentes 75
F2 C2 C1 F1 
C1 F1 O O F2 C2 
Figura 3.10
d) Todo raio que tem a direção do centro de curvatura da 
lente se refrata na direção do centro de curvatura do 
outro lado da lente.
 
 C1 F1 O 
2
 
F C2
 
C1 F1 O F2 C2 
 
 
 
Figura 3.11
3.6 Determinação algébrica de imagens 
formadas por lentes esféricas 
delgadas
Da mesma forma como fizemos para os espelhos esféricos, 
nas lentes, também podemos determinar algebricamente ima-
gens que são formadas em lentes esféricas. Vamos estabelecer 
algumas convenções que nos serão úteis neste estudo.
76 Óptica e Física Moderna
o 
C1 F2 C2 
 F1 O 
 f i 
 
r = 2.f 
 p p’ 
Figura 3.12
 Y 
 Luz incidente + 
OBJETO 
 + – 
 _ + x 
 
 IMAGEM 
 
 – 
Figura 3.13
As equações estabelecidas para os espelhos esféricos são 
as mesmas que as que estabeleceremos para as lentes esfé-
ricas delgadas. A mudança está na convenção estabelecida 
para cada uma das situações. Assim, podemos escrever as 
equações da seguinte forma:
Capítulo 3 Óptica Geométrica – Lentes 77
'p
1
p
1
f
1
+= (Equa. 3.3) e (Equa. 3.4) 
p
'p
o
i
−=
3.7 As concepções alternativas mais 
frequentes relacionadas ao conceito 
de lentes
Destacamos conforme Almeida (2007), que as concepções al-
ternativas mais frequentes relacionadas ao conceito de lentes 
são:
a) Lente como “acelerador”
A lente aumenta a velocidade da luz que a atravessa, des-
conhecendo o próprio fenômeno da refração no qual um feixe 
que incide sobre um meio de índice de refração “n” maior, tem 
a sua velocidade aparentemente diminuída para “c/n”.
b) Formação de imagem com um raio ou sem lente
Acreditam que no processo de formação de imagens seja 
suficiente que apenas um raio parta do objeto até o observa-
dor, desconsiderando a necessidade de haver, no mínimo, dois 
raios para a formação da imagem. A imagem de um objeto 
pode se formar em um anteparo sem a existência de lente que 
pode ocorrer no caso de haver uma câmara escura, após a luz 
atravessar um orifício. Entretanto, nenhuma ressalva é atribuí-
da, provavelmente por tratarem somente o caso da formação 
de imagens por lentes no momento do estudo.
78 Óptica e Física Moderna
c) A lente deve estar completa
Quando parte da lente é coberta, será formada apenas 
uma parte da imagem de um objeto, como se a luz refletida 
pelo objeto viajasse apenas por uma região estritamente defi-
nida, sem considerar que um ponto do objeto reflete a luz em 
diversas direções.
Recapitulando
Lentes Esféricas – É qualquer elemento físico transparente 
que seja proveniente da união ou intersecção de um plano 
com uma esfera ou de duas esferas.
Nomenclatura das lentes esféricas delgadas – É feita a 
nomenclatura das lentes para indicar as espécies de dioptros 
associados, citando assim o nome da face que possui maior 
raio de curvatura. Quando há uma face plana, cita-se sem-
pre o seu nome primeiro, pelo fato do raio de curvatura da 
face plana tender para o infinito. As nomenclaturas são as 
seguintes:
		Biconvexa, Plano-convexa, Côncavo-convexa, para as 
lentes de bordas finas.
		Bicôncavas, Plano-côncava, Convexo-côncava, para 
as lentes de bordas grossas.
Comportamento óptico de uma lente esférica – Ao incidir 
em uma lente esférica, um pincel cilíndrico de luz pode ter dois 
comportamentos ópticos distintos, vejamos:
Capítulo 3 Óptica Geométrica – Lentes 79
	Comportamento convergente
	Comportamento divergente
		Se o material de que é feita a lente for mais refringente 
do que o meio onde ela está imersa, são convergentes 
as lentes de bordos finos e divergentes as lentes de bor-
dos espessos. 
		Se o material de que é feita a lente for menos refringen-
te que o meio onde ela está imersa, são convergentes 
as lentes de bordos espessos e divergentes as lentes de 
bordos finos. 
		Pelo fato do material da lente ser mais refringente do 
que o meio onde ela está, pode-se chamar a lente 
côncavo-convexa de Menisco Convergente, já a lente 
convexo-côncava de Menisco Divergente. 
Vergência de uma lente esférica – A grandeza “vergência” é 
descrita como a capacidade de uma lente convergir ou diver-
gir. Vergência, matematicamente, significa o inverso da distân-
cia focal de uma lente, expressa em metros.
f
1V =
Associação de lentes esféricas – São elas: justaposição e 
associação.
Determinação gráfica de imagens formadas por lentes 
esféricas delgadas – Estão classificados na seguinte forma:
80 Óptica e Física Moderna
		Todo raio paralelo ao eixo principal incide na lente e 
atravessa-a refratando-se na direção do foco da face 
incidente.
		Segundo o princípio da reversibilidade dos raios lumi-
nosos, todo raio que tem a direção do foco da face 
incidente atravessa a lente e refrata-se paralelo ao eixo 
principal.
		Todo raio que atravessa a lente pelo centro óptico, não 
sofre desvios em sua trajetória.
		Todo raio que tem a direção do centro de curvatura da 
lente refrata-se na direção do centro de curvatura do 
outro lado da lente.
Determinação Algébrica de Imagens Formadas por Len-
tes Esféricas Delgadas – Da mesma forma como fizemos 
para os espelhos esféricos, nas lentes também podemos de-
terminar algebricamente imagens que são formadas em lentes 
esféricas.
As concepções alternativas mais frequentes relacionadas 
ao conceito de lentes – As concepções alternativas mais fre-
quentes relacionadas ao conceito de lentes são:
a) Lente como “acelerador”.
b) Formação de imagem com um raio ou sem lente.
c) A lente deve estar completa.
Capítulo 3 Óptica Geométrica – Lentes 81
Referências
ALMEIDA, Voltaire de Oliveira, CRUZ, Carolina A., SOAVE, 
Paulo Azevedo. Concepções alternativas em óptica. Porto 
Alegre: UFRGS, Instituto de Física, Programa de Pós-Gra-
duação em Ensino de Física, 2007.
HERSKOWICZ, G.; PENTEADO, P. C. M.; SCOLFARO, V., Cur-
so completo de Física, Editora Moderna, São Paulo, 1991.
HALLIDAY, RESNICK,