Aula 3 Viscosidade

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Aula 3: Viscosidade Daniel Otárola TasaicoEng. Mecânico, M.Sc. Engenharia Ambiental
Grandezas como pressão, temperatura e massa 
especifica são variáveis termodinâmicas primárias 
características de qualquer sistema.
Existem também certas variáveis secundárias que 
caracterizam o comportamento mecânico de um 
fluido específico. A mais importante delas é a 
viscosidade.
A viscosidade relaciona as tensões locais em um 
fluido em movimento com a taxa de deformação 
por cisalhamento do elemento de fluido.
Campo de Tensão
As partículas fluidas podem sofrer a ação de:
- Forças de superfície (pressão, atrito) que são 
geradas pelo contato com outras partículas ou 
com superfícies sólidas.
- Forças de campo (gravidade, eletromagnética) 
que agem através das partículas.
Campo de Tensão
* Forças de superfície agindo sobre uma partícula fluida 
geram tensões.
* Quando um corpo se move através de um fluido, são 
desenvolvidas tensões no fluido.
σ n = limδAn→0
δFn
δAn
Tensão normal:
τ n = limδAn→0
δFt
δAnTensão de cisalhamento:
Campo de Tensão
 Considerando a tensão no elemento δAx, cuja normal 
orientada para fora está na direção do eixo x, as três 
componentes da tensão são:
σ xx = limδAx→0
δFx
δAx
τ xy = limδAx→0
δFy
δAx
τ xz = limδAx→0
δFz
δAx
Campo de Tensão
 Similarmente para os outros dois planos ortogonais. A tensão 
num ponto é especificada, então, pelas nove componentes:
σ xx τ xy τ xz
τ yx σ yy τ yz
τ zx τ zy σ zz
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
Campo de Tensão
Viscosidade
 É uma medida quantitativa da resistência de um fluido 
ao escoamento. Determina a taxa de deformação do 
fluido que é gerada pela aplicação de uma dada 
tensão de cisalhamento.
Viscosidade
 Fluidos comuns como água, óleo e ar apresentam uma 
relação linear entre a tensão de cisalhamento aplicada e a 
taxa de deformação resultante:
τ ∝
δθ
δtDa figura anterior:
tg δθ = δuδt
δy
Como o ângulo é muito pequeno:
tgδθ ≈ δθ
dθ
dt =
du
dy
τ = µ
dθ
dt = µ
du
dy
Os fluidos lineares que 
seguem esta equação são 
chamados de fluidos 
newtonianos.
Viscosidade
µ Viscosidade Absoluta ou 
Dinâmica
Unidades:
BG (Gravitacional Británico): lbf.s/ft2 , slug/(ft.s)
Métrico absoluto: poise (1 poise = 1 g/(cm.s))
SI: kg/(m.s), Pa.s (1 Pa.s = 1 N.s/m2)
Número de Reynolds
 Principal parâmetro que correlaciona o comportamento 
viscoso de todos os fluidos newtonianos:
Re = ρVL
µ
=
VL
ν
V: velocidade
L: comprimento característico
ν =
µ
ρ
Viscosidade Cinemática
Este número adimensional define o escoamento (laminar ou 
turbulento). Isto depende da geometria do escoamento.
Escoamento entre Placas
 Escoamento induzido entre uma placa inferior fixa e uma placa 
superior, que se move uniformemente à velocidade V. A distribuição 
de velocidades é como mostra a figura, com v = 0, w = 0.
 Como a = 0 e supondo que não haja variação de pressão na direção do 
escoamento: du
dy =
τ
µ
= cons tan te
u = a+ by
Integrando:
Distribuição linear de 
velocidades.
Escoamento entre Placas
 Calculando as constantes da distribuição linear, baseado na 
condição de não escorregamento nas paredes superior e 
inferior.
u =
0 = a+ b 0( )
V = a+ b h( )
!
"
#
$#
%
&
#
'#
em y = 0
em y = h
Por tanto, a = 0 e b = V/h. Assim, o perfil de velocidade entre 
as placas é dado por:
u =V yh
Exemplo
São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2 
mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, 
enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas 
placas for preenchido com óleo (viscosidade cinemática 
= 0,1 St ; ρ = 830 kg/m3), qual será a tensão de 
cisalhamento que agirá no óleo?
Exemplo
Uma placa quadrada de 1,0 m de lado e 20 N de peso 
desliza sobre um plano inclinado de 30º, sobre uma 
película de óleo. A velocidade da placa é 2 m/s 
constante. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo, se a 
espessura da película é 2 mm?
Exemplo
O pistão da figura tem uma massa de 0,5 kg. O 
cilindro de comprimento ilimitado é puxado para 
cima com velocidade constante. O diâmetro do 
cilindro é 10 cm e do pistão é 9 cm e entre os dois 
existe um óleo de viscosidade cinemática = 10-4 m2/s 
e 𝜸 = 8000 N/m3. Com que velocidade deve subir o 
cilindro para que o pistão permaneça em repouso? 
 Um filme de óleo de viscosidade μ e espessura h<<R está 
entre uma parede sólida e um disco circular, como mostra a 
figura. O disco gira com uma velocidade angular constante 
Ω. Observa-se que tanto a velocidade quanto a tensão de 
cisalhamento variam com o raio r ; deduza uma fórmula 
para o torque M necessário para girar o disco. Despreze o 
arrasto do ar.
Exemplo
Exemplo
Variação da Viscosidade com a Temperatura
 A temperatura tem um forte efeito e a pressão um efeito 
moderado sobre a viscosidade. 
 A viscosidade dos gases aumenta com a temperatura.
µ
µ0
≈
T
T0
"
#
$
%
&
'
n
T T0( )
3 2 T0 + S( )
T + S
(
)
*
*
+
*
*
Aproximações:
Lei de Potência
Lei de Sutherland
n ≈ 0, 7
S ≈110K
Para o ar:
#o é uma viscosidade conhecida a uma temperatura 
absoluta T0 conhecida (usualmente 273 K). As 
constantes n e S são ajustadas aos dados.
Variação da Viscosidade com a Temperatura
 A viscosidade dos líquidos diminui com a temperatura e é 
aproximadamente exponencial: µ ≈ ae−bT
Um melhor ajuste é o seguinte resultado empírico (T: 
temperatura absoluta).
ln µ
µ0
≈ a+ b T0T
"
#
$
%
&
'+ c T0T
"
#
$
%
&
'
2
Por exemplo, para água com T0 = 273,16, #0 = 0,001792 
kg/(m.s), os valores sugeridos são a = -1,94, b = -4,80, c = 
6,74, com precisão de +-1%.
Conductividade Térmica
 k é uma propriedade que relaciona o vetor taxa de fluxo de 
calor por unidade de área q ao vetor gradiente de 
temperatura ∇T
q = −k∇T
qx = −k
∂T
∂x qy = −k
∂T
∂y qz = −k
∂T
∂z
k varia com a temperatura e a pressão de forma muito 
semelhante à viscosidade.
Fluidos Não Newtonianos
São aqueles que não seguem a lei linear da equação
τ = µ
du
dy
Fluidos Não Newtonianos
- Geralmente são classificados como tendo 
comportamento independente ou dependente do tempo.
- Modelo exponencial para escoamento unidimensional:
τ yx = k
du
dy
!
"
#
$
%
&
n n: índice de comportamento do 
escoamento
k: índice de consistência.
Para assegurar que τyx tenha o mesmo sinal de du/dy:
τ yx = k
du
dy
n−1 du
dy =η
du
dy
Fluidos Não Newtonianos
η
 Viscosidade aparente do fluido. 
Enquanto μ é constante, η 
depende da taxa de cisalhamento.
Fluidos Não Newtonianos
 Dilatante: a resistência aumenta com o aumento da 
tensão aplicada (suspensões de amido ou água com areia; 
areia movediza, que tende a endurecer quando a 
agitamos).
 Pseudoplástico: Diminui a resistência com o aumento da 
tensão aplicada (soluções de polímeros, suspensões 
coloidais, polpa de papel em água, tinta latex, plasma 
sanguíneo, xarope e melados). Tinta: é grossa quando 
vertida, mas fina quando espalhada com o pincel sob uma 
forte tensão aplicada.
 Plástico de Bingham (Plástico Ideal): Requer uma tensão 
de escoamento finita para começar a escoar (suspensões de 
argila, lama de perfuratrizes, pasta de dente, maionese, 
chocolate e mostarda). Ketchup: não sai do frasco até que 
uma tensão seja aplicada, apertando o tubo.
Fluidos com efeito transiente.
- Fluidos Reopéticos: requeremum aumento gradual da 
tensão de cisalhamento para manter uma taxa de 
deformação constante.
- Fluidos Tixotrópicos: se adelgaça com o tempo e requer 
tensão de cisalhamento decrescente.
Tensão Superficial
Os líquidos formam interfaces com outros líquidos ou com gases. 
A físico-química dessas superfícies interfaciais é bem complexa.
Sempre que um líquido está em contato com outros líquidos ou 
gases, ou com uma superfície gás/sólido, uma interface se 
desenvolve agindo como uma membrana elástica esticada e 
criando tensão superficial.
As moléculas no interior do líquido repelem-se umas às 
outras devido à sua proximidade. As moléculas na 
superfície são menos densas e se atraem umas às outras. 
Como metade de sua vizinhança está ausente, o efeito 
mecânico é que a superfície está sob tensão.
 Essa membrana exibe duas 
características: o ângulo de contato θ 
e o módulo da tensão superficial σ 
(N/m ou lbf/ft). Ambas dependem 
do tipo de líquido e do tipo da 
superfície sólida (ou do outro 
líquido ou gás) com a qual esse 
líquido compartilha uma interface.
Em engenharia, provavelmente o efeito mais importante da 
tensão superficial é a criação de um menisco curvo nos 
tubos de leitura de manômetros ou barômetros, causando a 
ascensão (ou depressão) capilar). A ascensão capilar pode 
ser pronunciada se o líquido está em um tubo de diâmetro 
pequeno ou em uma fenda estreita.
Exemplo
 Deduza uma expressão para a variação da altura h em um 
tubo circular de um líquido com tensão superficial σ e ângulo 
de contato θ, como na figura.
Condições de Não Escorregamento e de Não Descontinuidade 
na Temperatura
 Quando um escoamento de fluido é limitado por uma 
superfície sólida, as interações moleculares fazem o 
fluido, em contato com a superfície, buscar o equilíbrio 
de quantidade de movimento e energia com tal 
superfície.
Vfluido ≡Vparede Tfluido ≡ Tparede
Classificação dos Movimentos de Fluidos
Não Viscoso ou escoamento invíscido: Escoamento sem atrito.
Escoamento Laminar: aquele em que as partículas fluidas movem-se em 
camadas lisas, ou lâminas.
Escoamento Turbulento: aquele em que as partículas fluidas misturam-
se rapidamente enquanto se movimentam ao longo do escoamento, 
devido a flutuações aleatórias no campo tridimensional de 
velocidades.
Escoamentos Incompressíveis: neles as variações na 
massa específica são desprezíveis.
Compressível: as variações de massa específica não 
são desprezíveis.
Para gases, com M< 0,3, podem ser tratados como 
incompressíveis
M = Vc , c = kRT
Escoamento interno: completamente envolto por superfícies sólidas.
Escoamento externo: sobre corpos imersos num fluido não contido.
Classificação dos Movimentos de Fluidos