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Apostila - Calculo I - Frederico

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Prof. Dr. Frederico de Oliveira Matias 
Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL 
fred@mat.ufpb.br 
Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL 
Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br 
Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br 
Site do curso www.mat.ufpb.br/ead 
Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 
Carga horária: 60 horas Créditos: 04 
Ementa 
Limites, Continuidade e Derivadas. 
Descrição 
 Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades, 
resultados derivados e aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites, 
Continuidade e Derivadas. Para que os aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de 
princípio que os mesmos tenham cursado a disciplina Matemática para o Ensino Básico II onde foram 
apresentados aos conteúdos das funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais. O 
estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente 
interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma Moodle. 
Objetivos 
Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para: 
� Compreender, aplicar o conceito de limites e dominar suas principais propriedades; 
� Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades; 
� Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma função real e dominar suas principais 
propriedades; 
� Construir modelos para resolver problemas envolvendo funções de uma variável real e suas 
derivadas; 
� Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas. 
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Conteúdo 
Unidade I Limites 
• Noção Intuitiva 
• Definição 
• Propriedades dos Limites 
• Limites Laterais 
• Cálculo de Limites 
• Limites no Infinito 
• Limites Infinitos 
• Propriedades dos Limites Infinitos 
• Limites Fundamentais 
Unidade II Continuidade 
• Continuidade em um ponto 
• Teste de Continuidade 
• Propriedades de Funções Contínuas 
• Composta de Funções Contínuas 
• Teorema do Valor Intermediário: 
Unidade III Derivada 
• A Derivada de uma Função num Ponto 
• A Reta Tangente 
• Continuidade de Funções Deriváveis 
• Derivadas Laterais 
• Regras de Derivação 
• Derivada das Funções Elementares do Cálculo 
• Regras de L’Hospital 
• Derivação de Função Composta 
• Derivada da Função Inversa 
• A Derivada de uma Função na Forma Implícita 
 
 
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Unidade I Limites 
1. Situando a Temática 
 O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria 
matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem 
estabelecida no Cálculo: 
Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais 
 Para entender os três últimos conceitos da lista acima, a Teoria de Limites é fundamental. Além 
disso, para compreender esta teoria será preciso que você tenha domínio sobre o conteúdo de 
Funções que são regras bem definidas que associam a cada elemento de um conjunto de partida, 
denominado Domínio, um único elemento em um conjunto de chegada, denominado Contra-
Domínio. Mais precisamente, 
BAf →: é função BxfyA ∈=∃∈∀⇔ )( !, x . 
 Os conjuntos BA e representam respectivamente o Domínio e o Contra-Domínio da função 
f . O elemento )(xf denomina-se a imagem do elemento x pela função f . 
 Na disciplina Matemática para o Ensino Básico II você foi apresentado aos conteúdos das 
funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais, as quais serão úteis para o estudo do 
conteúdo de limites. 
 O objetivo desta unidade é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de 
uma maneira convencional. Vamos apresentar propriedades e teoremas referentes a limites de 
funções. Tais resultados (propriedades e teoremas) serão apresentados, na sua maioria, sem 
demonstrações, através de alguns exemplos ou exercícios ilustrativos mas, se você tiver interesse 
em estudá-los poderá encontrá-los nas referências bibliográficas. Uma justificativa para a omissão 
das demonstrações é tornar o texto conciso. 
 Este texto complementa-se na plataforma MOODLE, onde estão as listas de exercícios e 
atividades relacionadas com o texto. Os exercícios são parte fundamental da disciplina, uma vez que 
vamos adotar uma metodologia apoiada na resolução de exercícios. 
 
 
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Problematizando a Temática 
Limite na vida prática 
 
Observamos algumas situações, nas quais estão presentes as idéias intuitivas de limite: 
 
1. Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar em torno de R$ 1,73, então o valor pago 
por 100 dólares estabiliza em torno de R$ 173,00. Logo, podemos falar que o limite (valor 
pago por 100 dólares) é igual a R$ 173,00, quando o valor pago por 1 dólar tende a R$ 1,73 . 
Podemos representar tal situação por: 
17373,1
100
lim =
→
x
x
 
2. Imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente por estar sendo 
aquecida. Se x representa o comprimento do lado, a área da placa é dada por 2)( xxA = . 
Evidentemente, quando x se aproxima de 3 , a área da placa A se aproxima de 9 . 
Expressamos essa situação simbolicamente por 
9
3
2lim =
→
x
x
 
3. Suponhamos agora que você esteja dirigindo um automóvel. Se o acelerador for calcado para 
baixo em torno de 2 cm, então a velocidade se manterá próximo aos 60 Km/h. Logo, podemos 
dizer que o limite (velocidade instantânea do automóvel) é igual a 60 Km/h, quando o 
acelerador tender a 2 cm para baixo. Matematicamente escrevemos tal situação por 
60)(
2
lim =
→
xv
x
, 
 onde )(xv é a velocidade instantânea do automóvel e x é a medida em 
centímetros do deslocamento do pedal do acelerador. 
 
 4. Outra aplicação interessante do limite de uma função é o cálculo da velocidade instantânea de 
um corpo em queda livre sob a ação da gravidade. 
O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: 
• Noção Intuitiva 
• Definição 
• Propriedades dos Limites 
• Limites Laterais 
• Cálculo de Limites 
 165 
• Limites no Infinito 
• Limites Infinitos 
• Propriedades dos Limites Infinitos 
• Limites Fundamentais 
3. Conhecendo a Temática 
3.1 Limites 
3.1.1 Noção Intuitiva 
 Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar 
idéias, consideremos a função :f ℝ \ {1}→ℝ definida por: 
1
1
)1)(1(
1
1)(
2
+=
−
+−
=
−
−
= x
x
xx
x
x
xf 
 Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto 1=x , ponto este que não 
pertence ao domínio de f , constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor 2=L , 
quando os valores de x se aproximam de 1=x , tanto por valores de 1<x (à esquerda de 1) como 
por valores 1>x (à direita de 1). 
Do ponto de vista numérico, a tabela abaixo mostra o comportamento da função f , para valores x à 
esquerda e à direita de 1=x . 
TABELA 
Pela esquerda de 1=x Pela direita de 1=x 
x 0 5,0 8,0 9,0 99,0 999,0 1 x 2 5,1 2,1 1,1 01,1 001,1 1 
)(xf 1 5,1 8,1 9,1 99,1 999,1 2 )(xf 3 5,2 2,2 1,2 01,2 001,2 2 
Neste caso, dizemos 2=L é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos 
por: 
2)(
1
lim =
→
xf
x
 
 
 
 166 
3.1.2 Definição Informal de Limite 
 
Seja )(xf definida em um intervalo aberto em torno de x0 exceto talvez em x0. Se )(xf fica 
arbitrariamente próximo de L , para todos os valores de x
 
suficientemente próximos de x0, dizemos 
que f tem limite L quando x tende a