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Apostila - Calculo I - Frederico

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aberto ( )bx ,0 , onde bx <0 . 
Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para x0, e escrevemos 
Lxf
xx
=
→ +
)(lim
0
 
se, para todo 0>ε , existe um 0>δ tal que ε<− Lxf )( sempre que δ+<< 00 xxx . 
 
 
 
Notação: 
00 xxxx →⇒→
+ com 0xx > 
 172 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )0, xc , onde 0xc < . Dizemos que 
um número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para 0x , e escrevemos 
Lxf
xx
=
→ −
)(lim
0
 
se, para todo 0>ε , existe um 0>δ tal que ε<− Lxf )( sempre que 00 xxx <<− δ . 
 
 
 
 
Exemplo: Seja 





=
≠−
=
0 ,3 
0 ,
 )(
x
x
x
x
xf
 
Como 



<+
>−
=−
0 ,1
0 ,1
x
x
x
x
 conclui-se que 1)(
0
lim −=
→ +
xf
x
 e )(
0
lim xf
x
−→
 = 1 
 
Teorema 3.4. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo x0, exceto possivelmente 
no ponto x0, então Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 se, e somente se, 
Lxf
xx
=
→ +
)(lim
0
 e Lxf
xx
=
→ −
)(lim
0
. 
Exemplo: Utilizando o Teorema 3.4 
Como 1)(
0
lim −=
→ +
xf
x
 e 1)(
0
lim =
→ −
xf
x
, conclui-se, do exemplo anterior, que não existe 
)(
0
lim xf
x→
. 
 
Notação: 
00 xxxx →⇒→
−
 com 
0xx < 
Observação: Os Teoremas 3.1, 
3.2 e 3.3 continuam válidos 
quando substituímos 0xx → por 
+→ 0xx ou 
−→ 0xx . 
 173 
3.1.6 Cálculo de Limites 
Antes de apresentar exemplos de cálculos de limites, vamos falar um pouco sobre expressões 
indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões: 
 
 
São indeterminadas. O que significa isto? 
Exemplo: Verificando a indeterminação 
0
0
. 
(a) Sejam 3)( xxf = e 2)( xxg = . 
Temos que 0)(
0
)(
0
limlim =
→
=
→
xg
x
xf
x
 e 0
0
 
0)(
)(
 
0
limlimlim 2
3
=
→
=
→
=
→
x
x
x
x
x
xg
xf
x
 
(b) Sejam 2)( xxf = e 22)( xxg = . 
Temos que 0)(
0
)(
0
limlim =
→
=
→
xg
x
xf
x
 e neste caso, 
2
1
2
1
 
02
 
0)(
)(
 
0
 limlimlim 2
2
=
→
=
→
=
→ xx
x
x
xg
xf
x
 
Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são 
necessários: são casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num 
determinado ponto e o limite do numerador também é zero neste mesmo ponto. 
Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 
0
0
. 
 
 
 
∞
∞∞⋅∞∞
∞
∞ 1 , ,0 ,0 ,- , ,
0
0 00
 
 174 
Exemplo: Calcule 
4
23
2
2
3
lim
−
+−
−→ x
xx
x
 
Solução: 
=
−+
++−
−→
=
−
+−
−→ )2)(2(
)2)(12(
24
23
2
2
2
3
limlim
xx
xxx
x
x
xx
x
 
4
9
2
2
12
2
2
12
2 lim
lim
lim
2
2
−=
−
−→
+−
−→
=
−
+−
−→
=
x
x
xx
x
x
xx
x
 
Exemplo: Calcule 
x
x
x
22
 
0
lim −+
→
 
Solução: Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função. Segue 
então, 
( ) ( )( )22 22220
22
0
limlim
++⋅
++⋅−+
→
=
−+
→ xx
xx
x
x
x
x
= 
( ) ( )( ) ( ) ( ) 221221 022
22
 
022
22
 
0
limlimlim
22
=
++→
=
++⋅
−+
→
=
++⋅
−+
→ xxxx
x
xxx
x
x
 
3.1.7 Limites no Infinito 
O símbolo ∞ não representa nenhum número real. Usamos ∞ para descrever o comportamento de 
uma função quando os valores em seu domínio ou imagem ultrapassam todos os limites finitos. Por 
exemplo, a função 
x
xf 1)( = é definida para qualquer valor de 0≠x (Figura 3). Quando x vai se 
tornando cada vez maior, 
x
1
 se torna “próximo de zero”. Podemos sintetizar esse fato dizendo 
x
xf 1)( = tem limite 0 quando ±∞→x . 
 175 
 
Figura 3: Gráfico de 
x
y 1= 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )+∞,a . Escrevemos, 
.)( ;0 ,0)(lim εε <−⇒>>∃>∀⇔=
+∞→
LxfMxMLxf
x
 
Analogamente, 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )b,∞− . Escrevemos, 
.)( ;0 ,0)(lim εε <−⇒<<∃>∀⇔=
−∞→
LxfNxNLxf
x
 
 
Definição. A reta by = é uma assíntota horizontal do gráfico da função )(xfy = 
Se bxf
x
=
+∞→
)(lim ou bxf
x
=
−∞→
)(lim 
 
Teorema 3.5. Se n é um número inteiro positivo, então 
(a) 01 lim =
+∞→
nx
x
 
(b) 01 lim =
−∞→
nx
x
 
 (c) KK
x
=
±∞→
lim ,onde K é uma constante 
 
 
 
Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando 
substituímos 0xx → por +∞→x ou −∞→x . 
 176 
Exemplo: Usando as propriedades de limites, calcule 
432
1
 2
2
lim
+−
++
+∞→ xx
xx
x
 
 
Solução: 
=






+−
+∞→






++
+∞→
=






+−






++
+∞→
=
+−
++
+∞→
2
2
2
2
2
2
2
2
432 
111 
 
432
111
 
432
1
 
lim
lim
limlim
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
xx
xx
x
 
2
1
002
001
1
 4 1 3 2
1
 
1
 1
2
2
limlimlim
limlimlim
=
+−
++
=
+∞→
+
+∞→
−
+∞→
+∞→
+
+∞→
+
+∞→
=
xxxxx
x
x
x
xx
 
3.1.8 Limites Infinitos 
 
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto, 
possivelmente, em x = x0. Dizemos que 
 
+∞=
→
)(lim
0
xf
xx
 0 ,0 >∃>∀⇔ δM ; Mxfxx >⇒<−< )(0 0 δ 
 
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto, 
possivelmente, em x
 
= x0. Dizemos que 
 
−∞=
→
)(lim
0
xf
xx
 0 ,0 >∃>∀⇔ δN ; Nxfxx −<⇒<−< )(0 0 δ 
 
 177 
Definição. A reta 0xx = é uma assíntota vertical do gráfico da função )(xfy = se 
±∞=
→ +
)(lim
0
xf
xx
 ou ±∞=
→ −
)(lim
0
xf
xx
 . 
Exemplo: Encontre as assíntotas do gráfico da função 
4
8)( 2
−
−=
x
xf 
(Veja figura 4). 
Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando ±∞→x e quando 
2±→x , onde o denominador é zero. Observe que f é uma função par de x , isto é, )()( xfxf =− , 
para todo 2±≠x . Neste caso, o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y . 
O comportamento quando ±∞→x . Como 0)(lim =
±∞→
xf
x
, tem-se que a reta 0=y é uma 
assíntota horizontal. 
O comportamento quando 2±→x . Uma vez que −∞=
→ +
)(
2
lim xf
x
 e +∞=
→ −
)(
2
lim xf
x
, a reta 
2=x é uma assíntota vertical. Analogamente, por simetria, 
2−=x , também é uma assíntota vertical. 
 
 
Figura 4: Gráfico de 
4
8
2
−
−
=
x
y 
 178 
 
 
 
 
 )(lim xf )(lim xg =)(xh )(lim xh simbolicamente 
01 ∞± ∞± )()( xgxf + ∞± ∞± =∞± ∞± 
02 ∞+ ∞+ )()( xgxf − ? ( ) ( )∞+−∞+ é indeterminação 
03 ∞+ k )()( xgxf ± ∞+ ( ) +∞=±∞+ k 
04 ∞− k )()( xgxf ± ∞− ( ) −∞=±∞− k 
05 ∞+ ∞+ )()( xgxf ⋅ ∞+ ( ) ( ) +∞=∞+⋅∞+ 
06 ∞+ ∞− )()( xgxf ⋅ ∞− ( ) ( ) −∞=∞−⋅∞+ 
07 ∞+ 0>k )()( xgxf ⋅ ∞+ ( ) +∞=⋅∞+ k , 0>k 
08 ∞+ 0<k )()( xgxf ⋅ ∞− ( ) −∞=⋅∞+ k , 0<k 
09 ∞± 0 )()( xgxf ⋅ ? ( )∞± 0⋅ é indeterminação 
10 k ∞± )()( xgxf 0 0=∞±k 
11 ∞± ∞± )()( xgxf ? ∞±∞± é indeterminação 
12 0>k +0 )()( xgxf ∞+ +∞=+0k , 0>k 
13 ∞+ +0 )()( xgxf ∞+ +∞=∞+ +0 
14 0>k −0 )()( xgxf ∞− −∞=−0k , 0>k 
15 ∞+ −0 )()( xgxf ∞− −∞=∞+ −0 
16 0 0 )()( xgxf ? 00 é indeterminação 
Exemplo: Determinar )143( 35lim +−
+∞→
xx
x

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