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Apostila - Calculo I - Frederico

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a equação 31 xx =+ ou, equivalentemente, 
013 =−− xx . Portanto, estamos procurando um zero da função contínua 1)( 3 −−= xxxf (Veja 
Figura 7 abaixo). Esta função muda de sinal no intervalo [ ]2,1 , pois 5)2(0)1(1 =<<=− ff , logo 
deve existir um ponto c entre 1 e 2 tal que 0)( =cf 
 
 
Figura 7 
 
Ampliando o seu Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você sabia que, geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz que 
qualquer reta horizontal dy = cruzando o eixo y entre os números )(af 
e )(bf cruzará a curva )(xfy = pelo menos uma vez no intervalo [ ]ba, , 
desde que f seja contínua em [ ]ba, . 
 186 
4. Avaliando o que foi construído 
 
No Moodle... 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
5. Referências 
 
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E 
INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987 
2. Ávila, G., CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 
3. Thomas, George B., CÁLCULO. Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 
2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem 
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potencial e conte conosco. 
 187 
Unidade III Derivadas 
1. Situando a Temática 
 
 No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, 
constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy para designar os infinitésimos em x e em 
y . Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. 
A partir daí, com a introdução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial 
torna-se um instrumento poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos 
mais diversos campos da Ciência. Por exemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia, 
Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação. Para calcular a velocidade e a aceleração 
instantânea de uma partícula em movimento cuja trajetória é descrita pela equação de movimento 
)(tss = , onde t representa o tempo, para explicar o funcionamento de máquinas, para estimar a 
diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as 
conseqüências de erros cometidos durante as medições. 
 
 A partir de agora, vamos entrar no passeio divertido do “mundo” das derivadas. 
 
 Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos: 
• A Derivada de uma Função num Ponto 
• A Reta Tangente 
• Continuidade de Funções Deriváveis 
• Derivadas Laterais 
• Regras de Derivação 
• Derivada das Funções Elementares do Cálculo 
• Regras de L’Hospital 
• Derivação de Função Composta 
• Derivada da Função Inversa 
• A Derivada de uma Função na Forma Implícita 
 
 
 
 
 188 
2. Problematizando a Temática 
 
 
 
 
Para solucionarmos este problema precisamos definir o conceito de derivada de uma função 
num ponto. A partir de agora vamos desenvolver toda a teoria necessária para solucionarmos este e 
outros problemas que envolvem derivadas. 
3. Conhecendo a Temática 
3.1 A Derivada de uma Função 
Definição. A derivada de uma função )(xfy = em relação à variável x é a função f ′ cujo valor 
em x é 
h
xfhxf
h
xf )()(
0
)( lim −+
→
=′ , 
desde que este limite exista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: Aplicando a Definição 
 
Considerações sobre a Definição: 
 
(a) O domínio de f ′ é o conjunto de pontos no domínio de f para o qual o limite existe. 
Ele pode ser o mesmo domínio de f ou menor; 
(b) Se f ′ existe para um determinado valor de x , dizemos que f é derivável em x ; 
Calculando )(xf ′ a partir da Definição de Derivada 
 
Passo 1. Escreva expressões para 
 
)(xf e )( hxf + 
 
Passo 2. Desenvolva e simplifique o quociente 
 
h
xfhxf )()( −+
 
Passo 3. Usando o quociente simplificado, encontre )(xf ′ calculando o limite 
h
xfhxf
h
xf )()(
0
)( lim −+
→
=′ 
Problema: Encontrar a equação da reta tangente a uma curva )(xfy = no ponto 
),( 00 yxP , onde )( 00 xfy = 
 189 
 Encontre a derivada de xy = para 0>x . 
 
Solução: 
 
Passo 1: xxf =)( e hxhxf +=+ )( 
 
Passo 2 : 
h
xfhxf )()( −+
 = 
h
xhx −+
 
 
 = 
( ) ( )( )xhx xhxh xhx ++ ++⋅−+ 
 = ( )xhxh xhx ++⋅ −+ 
 = ( )xhx ++ 1 
 
Passo 3 : lim)(
oh
xf
→
=′ ( )xhx ++ 1 = x2 1 (Veja Figura 8 (a) e 8(b) ) 
 
 
Figura 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notação: Há várias maneiras de representar a derivada de uma função )(xfy = . Além 
de )(xf ′ , as notações mais comuns são: 
 
(i) y′ ( lê-se y linha). Esta notação foi dada por Newton 
 
(ii) 
dx
dy
 ( lê-se dydx ). Esta notação foi dada por Leibniz 
 190 
3.2. A Reta Tangente 
 
Definição. Dada uma curva de equação )(xfy = , seja ),( 00 yxP um ponto sobre ela, ou seja , 
)( 00 xfy = . A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo 
coeficiente angular Tm é dado pela expressão 
h
xfhxf
m
h
T
)()( 00
0
lim −+=
→
, 
quando este limite existe. Assim, 
)( 0xfmT ′= . 
Exemplo: Determine a equação da reta tangente à curva xy = em 4=x 
 
 Solução: Do Exemplo 3.1, vimos que 
x
xf
2
1)( =′ 
 Logo, o coeficiente angular da reta tangente a esta curva em 4=x é dado por 
4
1
42
1)4( ==′= fmT . 
 
 A reta tangente passa pelo ponto )2,4(P e tem como equação 
)4(
4
12 −⋅=− xy ⇔ 1
4
1
+= xy 
 
Figura 9 
 191 
3.3 Continuidade de Funções Deriváveis 
Teorema 3.3. Se f é derivável em 0xx = , então f é contínua 0xx = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corolário 3.3. Se f não é contínua em 0x , então f não é derivável em 0x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Nem toda função contínua é derivável. Vejamos a seguir 
 
Exemplo: A função xxf =)( , 0≥x é contínua em 0=x mas não é derivável aí, pois 
x
xf
2
1)( =′ x > 0 e 
hhh
h
hh
hf
hh
fhf
x
f 1
00
)(
0
)0()(
0
)0( limlimlimlim
→
=
→
=
→
=
−
→
=′ 
que não existe e, portanto, f não é derivável neste ponto. 
Prova: Como )( 0xf ′ existe, devemos mostrar que )()( 0
0
lim xfxf
xx
=
→
 ou , equivalentemente, 
que )()(
0
00lim xfhxf
h
=+
→
. 
Com efeito, se 0≠h , então 
h
h
xfhxf
xfhxf ⋅−++=+ )()()()( 0000 
Assim, 
h
hh
xfhxf
h
xf
h
hxf
h
limlimlimlim
0
)()(
0
)(
0
)(
0
00
00
→
⋅
−+
→
+
→
=+
→
 
 
)(0)()( 000 xfxfxf =⋅′+= 
 192 
3.4 Derivadas Laterais 
 
Definição Se a função )(xfy = está definida em 0x ,então a derivada à direita de f em 0x , 
denotada por )( 0xf+′ , é definida por 
h
xfhxf
h
xf )()(
0
)( 000 lim
−+
→
=′
+
+

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