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Apostila - Calculo I - Frederico

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0
0
)()(
lim
xx
xfxf
xx
−
−
→
=
+
 , 
 
 caso este limite exista. Analogamente, a derivada à esquerda de f em 0x , denotada por )( 0xf−′ , é 
definida por 
 
h
xfhxf
h
xf )()(
0
)( 000 lim
−+
→
=′
−
−
 
 
0
0
0
)()(
lim
xx
xfxf
xx
−
−
→
=
−
, 
desde que este limite exista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: A função xxf =)( não é derivável em 0=x , embora seja contínua aí 
 
Solução: À direita da origem ( 0>x ) 
 
( ) 1)( == x
dx
d
x
dx
d
 
Considerações sobre a Definição: 
 
(a) Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais à direita e à 
esquerda nesse ponto existem e são iguais; 
 
(b) Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda existem e são diferentes em um 
ponto 0x , dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função )(xfy = . Neste 
caso, f não é derivável em 0x ; 
 
(c) Se uma das derivadas laterais não existe em um ponto 0x , então f não será derivável 
em 0x . 
 193 
 
e 
 
 1
0
)0()0(
0
)0( limlim =
→
=
−+
→
=′
++
+ h
h
hh
fhf
h
f 
À esquerda da origem )0( <x , 
 
 
( ) 1)( −=−= x
dx
d
x
dx
d
 
 
e 
 
 1
0
)0()0(
0
)0( limlim −=−
→
=
−+
→
=′
−−
− h
h
hh
fhf
h
f 
 
Como )0()0(
−+ ′≠′ ff , tem-se que f não é derivável 0=x 
 
(Veja Figura 10). 
 
 
Figura 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 194 
3.5 Regras de Derivação 
 
Teorema 3.5. Se f e g são funções deriváveis em x , então as seguintes combinações são 
deriváveis em x 
1. Soma: gf + e ( ) )()()( xgxfxgf ′+′=′+ ; 
2. Diferença: gf − e ( ) )()()( xgxfxgf ′−′=′− ; 
3. Produto: )( gf ⋅ e )()()()()()( xgxfxgxfxgf ′+′=′⋅ ; 
4. Quociente 





g
f
 e 
[ ]2)(
)()()()()(
xg
xgxfxfxg
x
g
f ′−′
=
′






 , desde que 0)( ≠xg ; 
5. Constantes Múltiplas: fk ⋅ e )()()( xfkxfk ′⋅=′⋅ , para todo número real k . 
 
No Moodle... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá pessoal, visite a plataforma MOODLE e resolva os seguintes exercícios: 
 
 (i) Prove o Teorema 3.5 (Regras de Derivação) 
 
 (ii) Mostre que 1)( −= nn nxx
dx
d
 , onde n é um número real 
(Derivada da Potência) 
 (iii) Mostre que ( ) 0=C
dx
d
, onde C é uma constante. 
 195 
 
 
Exemplo: Aplicando as regras de derivação 
 
Determine as derivadas das seguintes funções: 
 
(a) )1)(2()( 32 ++= xxxxf 
 
(b) 
1
2)( 3
5
+
=
x
x
xg 
 
(c) xxxxh 2)( 34 ++= 
 
(d) xxy = 
 
 
Solução: (a) 
 
 [()2()1(])2()[( 3232 ⋅+++⋅′+′= xxxxxx
 )03()2()1()22( 223 +⋅+++++= xxxxx 
 
)3()2()1()22( 223 xxxxx ⋅+++++=
 
 
 (b) 
 
23
3535
)1(
)1()2()1()2()(
+
′+⋅−+⋅′
=′
x
xxxx
xg 
 
23
2534
)1(
)03()2()1(10
+
+⋅−+⋅
=
x
xxxx
 
 
 23
2534
)1(
)3()2()1(10
+
⋅−+⋅
=
x
xxxx
 
 
 (c) 
 
)2()()()( 34 ′+′+′=′ xxxxh
 
 
234 23 ++= xx
 
 
 
 
)1)(2()1()2()( 3232 ′++++⋅′+=′ xxxxxxxf
 196 
 
 
 (d) )( ′=′ xxy 
)()( ′⋅+⋅′= xxxx 
 ])[(1 21 ′⋅+⋅= xxx 
 






−
⋅⋅+= 2
11
2
1
xxx 
 
x
x
x
2
+= 
 
x
x
x
x
x ⋅+=
2
 
 ( )22 x
xx
x += 
 
x
xx
x
2
+= 
 
2
x
x += 
3.6. Derivada das Funções Elementares do Cálculo 
Nesta seção apresentaremos as derivadas das funções elementares: exponencial, logarítmica e 
trigonométricas. 
 
 
 
 Função Derivada 
 )(xf )(xf ′ 
01 xe xe 
02 xln 0 x,
1
>
x
 
03 senx xcos 
04 xcos senx− 
05 tgx x2sec 
06 gxcot x2seccos− 
07 xsec tgxx ⋅sec 
08 xseccos gxx cotseccos ⋅− 
 197 
 
 
Exemplo: Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções: 
 
(a) senxxy += 2 
 
(b) xetgxy 2+= 
 
(c) xxy ln= 
 
(d) xxxy cossec += 
 
Solução: 
 (a) 
)( 2 ′+=′ senxxy 
xx cos2 += 
 
 (b) 
)2( ′+=′ xetgxy 
)2()( ′+′= xetgx 
xex 2sec2 += 
 
 (c) 
)(lnln)()ln( ′+′=′=′ xxxxxxy 
x
x
xx ln11ln +=⋅+= 
 
 (d) 
)cos()(sec ′+′=′ xxxy 
)(cos1sec senxxxtgxx −⋅+⋅+⋅= 
 
senxxxtgxx ⋅−+⋅= cossec 
 
 
 
 198 
 
3.7. Regras de L’Hospital 
 
Nesta seção apresentaremos um método para levantar indeterminações do tipo 
∞
∞
ou 
0
0
. Esse 
método é dado pelas Regras de L’Hospital dadas a seguir. 
 
Teorema 3.7.(Regras de L’hospital): Sejam g e f funções deriváveis num intervalo aberto I , 
exceto, possivelmente, em um ponto Ia ∈ . Suponhamos que I em ax ,0)( ≠∀≠′ xg . 
(i) Se L
xg
xf
xg
xfL
xg
xf
xg
ax
xf
ax
=
′
′
→
=
→
=
′
′
→
=
→
=
→ )(
)(
ax
)(
)(
ax
 então ,)(
)(
ax
 e 0)()( limlimlimlimlim 
(ii) Se L
xg
xf
xg
xfL
xg
xf
xg
ax
xf
ax
=
′
′
→
=
→
=
′
′
→
∞=
→
=
→ )(
)(
ax
)(
)(
ax
 então ,)(
)(
ax
 e )()( limlimlimlimlim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine os seguintes limites: 
 
(a) 
23
6
 
2
2
2
lim
+−
−+
→ xx
xx
x
 
 
(b) 
2
 
0
lim
−+
+−
→
−xx ee
senxx
x
 
 
Considerações sobre o Teorema 3.7: 
(i) Se L(x)g
(x)f
 
ax
xg
ax
xf
ax
=
′′
′′
→
=′
→
=′
→
limlimlim e 0)()( , então L
xg
xf
=
′
′
→ )(
)(
ax
lim 
e assim sucessivamente... 
(ii) Se L(x)g
(x)f
 
ax
xg
ax
xf
ax
=
′′
′′
→
∞=′
→
=′
→
limlimlim e )()( , então 
L
xg
xf
=
′
′
→ )(
)(
ax
lim e assim sucessivamente... 
 199 
(c) 
xx
e
x
x
4
1
 3lim +
−
∞→
 
 
Solução: Aplicando as Regras de L’hospital, temos 
 
(a) 5
1
5
322
122
32
12
 
2
 
23
6
 
2
limlim 2
2
==
−⋅
+⋅
=
−
+
→
=
+−
−+
→ x
x
x
xx
xx
x
 
 
 (b) 0 
0
cos1
 
02
 
0
limlimlim =
+
−
→
=
−
+−
→
=
−+
+−
→
−−− xxxxxx ee
senx
x
ee
x
x
ee
senxx
x
 
 
 (c) +∞=
+∞→
=
+∞→
=
++∞→
=
+
−
+∞→ 6
 
6
 
43
 
4
1
 limlimlimlim 23
xxxx e
x
x
e
x
x
e
x
xx
e
x
 
 
 
 
3.8. Derivação de Função Composta 
 
Consideremos duas funções f e g onde )(xgu = . Para todo x tal que

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