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Apostila - Calculo I - Frederico

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)(xg está no domínio de 
f , podemos escrever ))(()( xgfufy == , isto é, podemos considerar a função composta 
))(())(( xgfxgf =o . Por exemplo, uma função tal como 72 )25( ++= xxy pode ser vista como a 
composta das funções )(7 ufuy == e )(252 xgxxu =++= 
(Ver Figura 2.29 Thomas página 180) 
 
Teorema 3.8. A Regra da Cadeia 
Se )(uf é derivável no ponto )(xgu = e )(xg é derivável em x , então a função composta 
))(())(( xgfxgf =o è derivável em x e 
uufxgxgfxgf ′⋅′=′⋅′=′ )()())(()()( o 
Na notação de Leibniz, se )(ufy = e )(xgu = , então 
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅= , 
onde 
du
dy
 é calculado em )(xgu = . 
Observação: As Regras de 
L’hospital são válidas para limites 
laterais e limites no infinito. 
 200 
Exemplo: Dada a função 72 )25( ++= xxy , determinar 
dx
dy
. 
Solução: Vimos anteriormente que podemos escrever 
 
)(7 ufuy == , onde )(252 xgxxu =++= 
 
Assim, pela Regra da Cadeia, 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅= 
 
 
)52(7 6 +⋅= xu
 
 
 )52()25(7 62 +⋅++= xxx . 
 
Exemplo: Dada a função xxseney x 2cos)2(3 ++= , determinar 
dx
dy
 
Solução: Sejam xvxu 2,2 == e xw cos= . Assim, podemos escrever 
 
2wsenvey u ++= 
 
Assim, pela Regra da Cadeia, 
 
)()cos)2(( 223 ′++=′++=′ wsenvexxseney ux 
 wwvvuewsenve uu ′⋅+′⋅+′=′+′+′= )2()(cos)()()( 2 
)()cos2(2))2(cos(3 23 senxxxxe x −⋅+⋅+⋅= 
 xsenxxex
x cos2)2cos(23 32 ⋅−+⋅= 
3.9. Derivada da Função Inversa 
 
Teorema 3.9. Derivada da Função Inversa 
Seja )(xfy = uma função definida em um intervalo aberto ),( ba . Suponhamos que )(xf Admita 
uma função inversa )(ygx = contínua. Se )(xf ′ existe e é diferente de zero para qualquer ponto 
),( bax ∈ , então 1−= fg é derivável e vale 
))((
1
)(
1)(
ygfxfyg ′=′=′ ou )(
1))((
xfxfg ′=′ 
 
 
 
 
 201 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.9: Seja 12)( −== xxfy , 0>x . Determine )3(g ′ , onde 1−= fg . 
 
Solução 1: 2
1
)1(1)( +=+== yyygx
 (Verifique !). Daí, 
 
12
12
1
1
2
1
 
+
=
−
+=′
y
)(y(y)g . 
 
Em particular, 
4
1
 
132
1
 )3( =
+
=′g 
 
 
Solução 2: Pelo Teorema 3.8 , 
 
xxfxfgyg 2
1
 )(
1
 ))(( )( =
′
=′=′ 
Em particular, 
 
3 2 =⇔= yx 
Assim, 
 
4
1
 
22
1
 )2(
1
 )3( =
⋅
=
′
=′ fg . 
 
3.9. Derivada da Função Implícita 
 
3.9.1. Função na Forma Implícita 
 
Dizemos que a função )(xfy = é definida implicitamente pela equação 0 ),( =yxF se ao 
substituirmos y por )(xf nesta equação obtemos uma identidade, isto é, 0 ))(,( =xfxF . 
 
 
Exemplo: A equação 01
2
12
=−+ yx define implicitamente a função )21(2 xy −⋅= . 
Prova: Sendo 1−= fg , tem-se que xxfg =))(( , para todo ),( bax ∈ e usando a 
Regra da Cadeia, conclui-se 
 
)(
1))((1)())((
xfxfgxfxfg ′=′⇔=′⋅′ 
 202 
De fato, substituindo )1(2 2xy −⋅= na equação 01
2
12
=−+ yx , obtemos a identidade 
01)1( 2 
2
12 2
=−−⋅+ xx . 
 
3.9.2. A Derivada de uma Função na Forma Implícita 
 
Suponhamos que a equação 0 ),( =yxF define implicitamente uma função derivável )(xfy = . 
Usaremos a Regra da Cadeia para determinar y′ sem explicitar y . 
 
 
Exemplo: Sabendo que )(xfy = é definida implicitamente pela equação 
 
yxyxy 2322 +=+ , determinar y′ . 
 
 
Solução: Derivando ambos os membros desta equação em relação à x e supondo que )(xfy = é 
derivável, obtém-se: 
 
)2()322( ′+=′+ yxyxy 
c 
)2()()32()2( ′+′=′+′ yxyxy 
 
c 
 
yyyyyxy ′+=′⋅+′⋅⋅+ 212622 
 
Isolando y′ na última igualdade, temos 
2262
21
−+
−
=′
yxy
yy
 
 
Em particular, o ponto )1,1(P está na curva )(xfy = e aí, 
 
0)1,1( =′y 
 
E a equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por 
 
 
 
 
1)1(01 =⇔−⋅=− yxy 
 
 
 
 
 203 
 
 
 
 se 
Co cime
nto 
 
Ampliando o seu Conhecimento Ampliando 
 
 
 
 
 
 
Você sabia que só no século XVII, quando Decartes e Pierre Fermat 
introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar 
problemas geométricos em problemas algébricos e estudar 
analiticamente funções? A Matemática recebeu assim um grande 
impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os 
cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a 
procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em 
estudo. A partir daí, todo o estudo se desenvolve em torno das 
propriedades de tais funções. Por ouro lado, a introdução de 
coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu 
a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas 
por relações entre variáveis. 
Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que 
Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a 
uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. 
Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um 
processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto. Esta 
dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema 
da Tangente”. 
 Fermat notou que, para certas funções nos pontos onde a curva 
assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta 
horizontal, já que ao comparar o valor assumido num desses pontos 
))(,( xfxP com valor assumido no outro ponto ))(,( hxfhxQ ++ 
próximo de P , a diferença entre )( hxf + e )(xf era muito pequena, 
quase nula, quando comparada com o valor de h , diferença das abcisssas 
de Q e P . Assim, o problema de determinar extremos e de determinar 
tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados. 
 
 Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e 
levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo 
Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o 
conceito de limite não estava ainda claramente definido. 
 
 No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Diferencial, 
introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a 
notação de dx e dy , para designar os infinitésimos em x e em y . Desta 
notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como 
“Cálculo Infinitesimal” 
 204 
4. Avaliando o que foi construído 
 
No Moodle... 
 
 
 
 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
5.Referências 
 
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÀLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E 
INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987. 
2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 
3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 
2002. 
 
 
 
 
 
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