Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ – UFPA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA - FEM CÁLCULO NUMÉRICO Doscente: Jadus Marques de Sales Discentes: Auricélia da Silva Sousa Matrícula: 201534040018 Druscilla Mafalda Zaghetti Matrícula: 201534040012 Data de Entrega: 21/11/2016 Novembro - 2016 1. Método de Newton Raphson. 1.1 Objetivo: Determinar a nova aproximação como a intersecção do eixo x com a tangente a curva no ponto da atual aproximação. Exemplo: A partir da função f(x), atribui-se um valor inicial, e desse valor inicial, trabalhando com o algortimo do método de Newton Raphson, irá fazer com que caminhe na direção da intersecção do eixo x, utilizando o algoritmo a seguir: Resumo do método: Melhor extremo: Para decidir qual o melhor extremo do intervalo (a, b) a iniciar o método, basta verificar qual dos extremos possui função e segunda derivada com mesmo sinal. Exemplo: Calcular a raiz positiva da equação f(x) = 2x – sen(x) – 4 = 0, com erro ≤ 10 -3, usando o método de Newton-Raphson sabendo que existe uma raiz no intervalo [2;3]. Solução: f(x) = 2x – sen(x) – 4 Obs: a calculadora deve estar em Radianos. f’(x) = 2 – cos(x) f’’(x) = sen(x) Escolha do intervalo: f(2) = - 0,9093 f(3) = 1,8589 f(2) . f(3) < 0 Melhor extremo (valor inicial): f(2) = - 0, 9093 f(3) = 1,8589 f’’(2) = 0, 9093 f’’(3) = 0,1411 Portanto, x0 = 3 Primeira iteração: |x1 – x0| = |2,3783 – 3| = 0,6217 > Erro Segunda iteração: |x2 – x1| = |2,3543 – 2,3783| = 0,0240 > Erro Terceira iteração: |x3 – x2| = |2,3542 – 2,3543| = 0,0001 < Erro 2. Método da Bissecção. 2.1 Definição: É a forma mais intuitiva de se obter a raiz de uma função. Seja y = f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém uma, e só uma, raiz, , da equação f(x) = 0. Este método consiste em dividir o intervalo [a, b], de forma iterativa, ao meio. Para verificar se a raiz está contida na primeira ou na segunda metade do intervalo inicial, é utilizado o teorema de Bolzano. Em seguida, o processo é repetido para aquela metade que contém a raiz de f(x) = 0, ou seja, aquela em que a função, y = f(x), tem valores numéricos com sinais opostos nos seus extremos. A figura ilustra o processo. 2.1.1 – Função de iteração Considerando que em cada iteração é atualizado o ponto “a” ou “b”, tem-se que a função de iteração desse método é dada por: 2.1.2 - Critério de parada Dada uma precisão , o processo iterativo é finalizado quando se obtém um intervalo cujo tamanho é menor ou igual a , então qualquer ponto nele contido pode ser tomado como uma estimativa para a raiz; ou quando for atingido um número máximo de iterações. 2.1.3 - Critério de convergência Se y = f(x) for contínua em [a, b] e f(a).f(b) < 0, então o método da Bisseção gera uma seqüência que converge para uma raiz de f(x) = 0. 2.1.4 - Estimativa do número de iterações O método da Bisseção permite que seja estimado, a priori, o número mínimo de iterações para calcular uma raiz ξ com uma precisão a partir de um intervalo [a, b]. As iterações geram uma seqüência de intervalos encaixados da forma Como cada intervalo gerado, tem tamanho igual à metade do intervalo anterior, tem-se que: Tendo em vista estes resultados, chega-se a Como se deseja obter k tal que bk – ak , então: Exemplo: Dada a equação f(x) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0, pede-se: (a) isolar as suas raízes reais sabendo-se que são duas negativas e três positivas nos intervalos (-4, 0) e (0, 8), respectivamente. (b) considerar o intervalo que contém a menor raiz positiva e estimar o número, k, de iterações necessário para calculá-la utilizando o método da bisseção com precisão 0,040. (c) utilizando o método da bisseção, calcular a sua menor raiz positiva com precisão 0,040 e um máximo de (k + 1) iterações. Solução: Isolamento das raízes reais Raízes negativas Raízes positivas Verifica-se, então, que cada intervalo, a seguir, contém uma raiz: (-3, -2), (-2, -1), (0, 1), (1, 2) e (3, 4). b) Estimativa do número de iterações necessário para calcular a menor raiz positiva utilizando o método da Bisseção com precisão 0,040. c) Cálculo da menor raiz positiva Para a precisão estabelecida, qualquer ponto do intervalo [0,563; 0,594] pode ser tomado como uma estimativa para a menor raiz positiva da equação. 3. Teorema de Bolzano 3. 1 Definição: O Teorema de Bolzano também conhecido por “Teorema dos Valores Intermédios” ou ainda por “Teorema de Bolzano-Cauchy” é muito usado na matemática por causa do seu corolário que permite verificar a existência ou de não de zeros numa função contínua num intervalo. O teorema refere o seguinte: Se f é uma função contínua num intervalo [a,b], qualquer que seja o valor k compreendido entre f(a) e f(b), existe pelo menos um valor c compreendido entre a e b tal que f(c)=k. Exemplo: 1 – Seja f uma função de domínio [ 0, + ∞[ . definida por Em qual do intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo menos, um zero da função f ? ] 0, 1[ b) ]1,4[ c) ]4,6[ d) ]6,7[ Solução: f(0) = 20 – 9 = 1 – 9 = - 8 f(1) = 21 – 9 = 2 – 9 = - 7 f(4) = 24 – 9 = 16 – 9 = 7 Encontramos um intervalo onde o valor da função nos extremos desse intervalo têm sinais contrários, portanto a alternativa correta é a b. 4. SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN 4. 1 Definição: Suponhamos que f seja uma função que pode ser representada por uma série de potencias, isto é, f(x) = C0 + C1 (x – a) + C2 (x – a)2 + C3 (x – a)3 + C4 (x – a)4+ .... |x – a| < R Queremos tentar determinar os coeficientes Cn. Se colocarmos x = a na equação acima, obtemos o resultado: f(a) = C0 Diferenciamos a função f(x) termo a termo, pois anulamos a constante C0, que já calculamos para calcular a próxima C1. f '(x) = C1 + 2C2 (x – a) + 3C3 (x – a)2 + 4C4 (x – a)3+ .... |x – a| < R Novamente faço a substituição x = a, e sobra o termo: f '(a) = C1 Diferenciamos a função f(x) termo a termo, pois anulamos a constante C1 que já calculamos para calcular a próxima C2. f ''(x) = 2 C2 + 2 . 3 C3 (x – a) + 3 . 4 C4 (x – a)2 + .... |x – a| < R Novamente faço a substituição x = a, e sobra o termo: f ''(a) = 2 C2 Diferenciamos a função f(x) termo a termo, pois anulamos a constante C2 que já calculamos para calcular a próxima C3. f '''(x) = 2 . 3 C3 + 2 . 3 . 4 C4 (x – a)+ .... |x – a| < R Novamente faço a substituição x = a, e sobra o termo: f ''(a) = 2 C2 Diferenciamos a função f(x) termo a termo, pois anulamos a constante C2 que já calculamos para calcular a próxima C3. f '''(x) = 2 . 3 C3 + 2 . 3 . 4 C4 (x – a)+ .... |x – a| < R Novamente faço a substituição x = a, e sobra o termo: f '''(a) = 2 . 3 C3 = 3!C3 Este é o ponto que quero chegar, agora, você nota o padrão. Se continuarmos a diferenciar e substituir x = a, obtemos: Essa fórmula permanecerá válida mesmo para n = 0, pois consideramos (0 fatorial) 0! = 1 e f(0) = f (consideramos a própria função quando n = 0), podemos montar nosso teorema. TEOREMA 1: Se f tiver uma representação (expansão) em série de potências em a, isto é, se: Vamos substituir na expansão da série para você visualizar como montamos a série, observe abaixo que substituindo essa fórmula para Cn de volta na série, observamos que, se f tiver uma expansão em série de potências em a, a expansão em série de potência deve ser da forma a seguir: A série na equação acima é chamada série de Taylor da função f em a (ou ao redor de a ou centrada em a). SÉRIE DE MACLAURIN Para o caso especial em que a = 0 a série de Taylor se torna: Esse caso surge com frequência, e lhe foi dado o nome especial de série de Maclaurin. Exemplo 1: Encontre a série de Mac - Laurin da função f(x) = ex e seu raio de convergência. Solução: Primeiro, vamos determinar a série. Para usar a série de Mac - Laurin, observe quesubstituímos na função as derivadas formando a série e, em cada derivada, aplicamos o valor no x que é igual a 0, no caso da série de Mac - Laurin. Observe que calculamos separado a derivada, e, após o cálculo, substitui na fórmula. Depois analisamos o padrão de formação dos termos da série para montar a fórmula (a derivada de ex será sempre ex). Calculamos o raio de convergência. Usaremos o teste da razão para a convergência absoluta para verificar os valores que x converge. O termo 1/(n +1) tirei do módulo, pois n é sempre positivo. Uma vez que c < 1 para todo x, a série converge, absolutamente, em todo x. Portanto, o intervalo de convergência é (-∞,+∞) e o raio de convergência é R = ∞. Se você quiser descobrir o valor de e (número neperiano), basta fazer x = 1, e quanto mais termos você utilizar para calcular a série mais preciso o número fica. Exemplo 2: Encontre a série de Taylor para f(x) = ex em a = 2. Solução: Usando o mesmo procedimento do exemplo 1. Agora, temos duas expansões em séries de potências para ex, a série de Mac -Laurin exemplo 1 e a série de Taylor centrada em 2 calculada neste exemplo. A primeira é melhor se estivermos interessados em valores de x próximos de 0, e a segunda é melhor se x estiver próximo de 2. 5. POLINÔMIO INTERPOLADOR DE LAGRANGE 5. 1 Definição: Sejam x0, x1,⋯,xn,(n+1) pontos distintos e y1= f(xi) sendo i= 0,1,⋯,n. Seja Pn(x) o polinômio de grau ≤n que interpola f em x0,x1,⋯,xn. Podemos representar o polinômio Pn(x) como: Pn(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+⋯+ynLn(x) onde os polinômios Lk(x) são de grau n. Para cada i queremos que a condição Pn(xi)=yi seja satisfeita: Pn(x)=y0L0(xi)+y1L1(xi)+⋯+ynLn(xi)=yi Para que essa condição seja satisfeita é necessário impor que: Podemos, assim, definir Lk(x) como: Polinômio de Lagrange de grau 1 O polinômio de Lagrange de grau 1 é dado por: Polinômio de Lagrange de grau 2 O polinômio de Lagrange de grau 2 é dado por: Polinômio de Lagrange de grau 3 O polinômio de Lagrange de grau 3 é dado por: Polinômio de Lagrange de grau n O polinômio de Lagrange de grau n é dado por: Exemplo teórico: Encontrar o polinômio interpolador na forma de Lagrange que interpole [x0,f(x0)],[x1,f(x1)]. Solução: Temos que n=1. Então podemos dizer que será uma interpolação linear. Pela forma de Lagrange, podemos utilizar o polinômio interpolador de grau 1: Que é exatamente a equação da reta que passa pelos pontos [x0,f(x0)],[x1,f(x1)]. Exemplo numérico: Considere a tabela abaixo. Encontre o polinômio interpolador pela forma de Lagrange e calcule f(x) no ponto x=1. Solução: Pela forma de Lagrange, temos que: Para calcularmos f(x) no ponto x=1, fazemos: 6. POLINÔMIO INTERPOLADOR FÓRMULA DE NEWTON 6. 1 Definição: Seja uma função tabelada em pontos distintos . Define-se o operador diferenças divididas por Dizemos que é a diferença dividida de ordem da função sobre os pontos. Conhecidos os valores que assume nos pontos distintos , podemos construir a tabela: Cada coeficiente do polinômio interpolador de Newton corresponde ao operador de grau de diferenças divididas. Exemplo: Dados os pontos abaixo, calcular o polinômio interpolatório, usando a fórmula de Newton. Solução: Usando o método prático, temos: Referências http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/amartins/aulas/numerico/bissec.pdf https://www.youtube.com/watch?v=JGPKzxzXI_4 LAhttp://www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/114/arquivos/matematica/calculo_numerico/met_ http://www.professores.uff.br/diomar_cesar_lobao/material/Metodos_Numericos/UFF_Metodos_Numericos https://www.youtube.com/watch?v=vmhifjYi7mc http://www.decom.ufop.br/bcc760/material_de_apoio/notas_de_aulas/notas_raizes.pdf http://blogengenhariarodrigo.blogspot.com.br/2014/11/serie-de-taylor.html http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/03/polinomio-interpolador-de-lagrange.html http://www.luisam.utad.pt/Interpolation.pdf professor.pucgoias.edu.br/.../Interpolação%20por%20diferenças%20divididas.doc
Compartilhar