Topicos de equações diferenciais 2010

Prévia do material em texto

T ´OPICOS DE EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/˜regi
Marc¸o 2010
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais
Copyright c⃝ 2010 by Reginaldo de Jesus Santos (100225)
Nenhuma parte desta publicac¸a˜o podera´ ser reproduzida por qualquer meio sem a pre´via
autorizac¸a˜o, por escrito, do autor.
Ilustrac¸o˜es:
Reginaldo J. Santos
Ficha Catalogra´fica
Santos, Reginaldo J.
S237i To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais / Reginaldo J. Santos
- Belo Horizonte: Imprensa Universita´ria da UFMG, 2010.
1. Equac¸o˜es Diferenciais I. Tı´tulo
CDD: 515.3
Conteu´do
Prefa´cio viii
1 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem 1
1.1 Introduc¸a˜o a`s Equac¸o˜es Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Classificac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Soluc¸o˜es de Equac¸o˜es Ordina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Equac¸o˜es Ordina´rias de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Equac¸o˜es Lineares de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Equac¸o˜es em que 푝(푡) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Equac¸o˜es Lineares - Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Como chegar ao fator Integrante 휇(푡) = 푒
∫
푝(푡)푑푡 ? . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
iii
iv Conteu´do
1.3 Equac¸o˜es Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.1 Dinaˆmica Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.2 Datac¸a˜o por Carbono 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.3 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.4.4 Lei de Resfriamento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.4.5 Lei de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4.6 Resisteˆncia em Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.7 Circuitos Ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.4.8 Reac¸o˜es Quı´micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.5 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.5.1 Demonstrac¸a˜o do Teorema de Existeˆncia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . 98
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.6 Respostas dos Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2 Equac¸o˜es Diferenciais Lineares de 2a. Ordem 151
2.1 Equac¸o˜es Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.1.1 Soluc¸o˜es Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.1.2 Fo´rmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.1.3 Obtendo uma Segunda Soluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.1.4 Equac¸o˜es Homogeˆneas com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . 167
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2.2 Equac¸o˜es Na˜o-Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
Conteu´do v
2.2.1 Equac¸o˜es Na˜o-Homogeˆneas com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . 183
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2.3 Oscilac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
2.3.1 Oscilac¸o˜es Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
2.3.2 Oscilac¸o˜es Forc¸adas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.3.3 Circuitos Ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
2.4 Respostas dos Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
3 Transformada de Laplace 266
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
3.2 Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
3.3 Equac¸o˜es com Termo Na˜o-Homogeˆneo Descontı´nuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
3.4 Transformada de Laplace do Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
3.5 Convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
3.6 Tabela de Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
3.7 Respostas dos Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
4 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Lineares 385
4.1 A Matriz 퐴 e´ Diagonaliza´vel em ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
4.1.1 Sistema com 2 Equac¸o˜es e 2 Inco´gnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
vi Conteu´do
4.1.2 Sistema com 푛 Equac¸o˜es e 푛 Inco´gnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
4.1.3 Como Encontrar as Matrizes 푃 e 퐷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
4.2 A Matriz 퐴 e´ Diagonaliza´vel em ℂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
4.2.1 Sistema com 2 Equac¸o˜es e 2 Inco´gnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
4.2.2 Sistema com 푛 Equac¸o˜es e 푛 Inco´gnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
4.2.3 Como Encontrar as Matrizes 푃 e 퐷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
4.3 A Matriz 퐴 na˜o e´ Diagonaliza´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
4.3.1 Sistema com 2 Equac¸o˜es e 2 Inco´gnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
4.3.2 Sistema com 푛 Equac¸o˜es e 푛 Inco´gnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
4.3.3 Como Encontrar as Matrizes 푃 e 퐽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
4.4 Sistemas Na˜o-Homogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
4.4.1 A Matriz 퐴 e´ Diagonaliza´vel em ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
4.4.2 A Matriz 퐴 e´ Diagonaliza´vel em ℂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
4.4.3 A Matriz 퐴 na˜o e´ Diagonaliza´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
4.4.4 Usando a Transformada de Laplace . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 461
4.4.5 Demonstrac¸a˜o do Teorema de Existeˆncia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . 465
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
4.5 Respostas dos Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
5 Se´ries de Fourier e Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 524
5.1 Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
5.1.1 Func¸o˜es Pares e ´Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
Conteu´do vii
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
5.2 Equac¸a˜o do Calor em uma Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
5.2.1 Extremidades a Temperaturas Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
5.2.2 Barra Isolada nos Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
5.3 Corda Ela´stica com Extremidades Presas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
5.3.1 Com Velocidade Inicial Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
5.3.2 Com Deslocamento Inicial Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
5.3.3 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
5.4 Equac¸a˜o de Laplace num Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
5.4.1 Apenas 푘(푦) Na˜o Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
5.4.2 Apenas ℎ(푦) Na˜o Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
5.4.3 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
5.5 Respostas dos Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
Bibliografia 662
´Indice Alfabe´tico 664
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
Prefa´cio
Este e´ um texto para uma disciplina introduto´ria sobre Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias e Parciais
para alunos da a´rea de Cieˆncias Exatas.
O texto e´ dividido em cinco capı´tulos. No inı´cio do Capı´tulo 1 e´ feita uma introduc¸a˜o a`s equac¸o˜es
diferenciais em geral. Depois entre as equac¸o˜es de 1a. ordem sa˜o estudadas as equac¸o˜es lineares e
as separa´veis. Terminamos o capı´tulo com algumas aplicac¸o˜es.
As equac¸o˜es lineares de 2a. ordem e´ o assunto do Capı´tulo 2. Nele o estudo tanto das equac¸o˜es
homogeˆneas como das equac¸o˜es na˜o homogeˆneas e´ feito inicialmente no caso geral e depois no
caso particular em que os coeficientes sa˜o constantes. Como aplicac¸o˜es este capı´tulo traz tambe´m
oscilac¸o˜es.
No Capı´tulo 3 e´ estudada a Transformada de Laplace suas propriedades e aplicac¸a˜o na soluc¸a˜o
de problemas de valor inicial.
No Capı´tulo 4 sa˜o estudados se´ries de Fourier e Equac¸o˜es Diferenciais Parciais. Entre as
equac¸o˜es parciais sa˜o apresentadas a equac¸a˜o do calor, a equac¸a˜o da corda ela´stica e a equac¸a˜o
de Laplace.
viii
Prefa´cio ix
Todos os exercı´cios esta˜o resolvidos no final do capitulo correspondente. Os desenhos e gra´ficos
deste texto, foram feitos usando o MATLABⓇ∗ com o pacote GAAL disponı´vel na web no site do autor
deste texto e o Maxima tambe´m com o pacote GAAL tambe´m disponı´vel no site do autor. Neste site
tambe´m esta˜o disponı´veis pa´ginas interativas para o estudo de oscilac¸o˜es, equac¸o˜es parciais, se´ries
de Fourier e outros.
Gostaria de agradecer aos professores Joana Darc A. S. da Cruz, Grey Hercole, Soˆnia P. de
Carvalho e Helder C. Rodrigues pelas crı´ticas e sugesto˜es apresentadas.
Sugesta˜o de Cronograma para 60 Horas
Capı´tulo 1 09 aulas
Capı´tulo 2 11 aulas
Capı´tulo 3 10 aulas
Capı´tulo 4 10 aulas
Capı´tulo 5 20 aulas
Total 60 aulas
∗MATLAB e´ marca registrada de The Mathworks, Inc.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
x Prefa´cio
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
Capı´tulo 1
Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
1.1 Introduc¸a˜o a`s Equac¸o˜es Diferenciais
Uma equac¸a˜o alge´brica e´ uma equac¸a˜o em que as inco´gnitas sa˜o nu´meros, enquanto uma
equac¸a˜o diferencial e´ uma equac¸a˜o em que as inco´gnitas sa˜o func¸o˜es e a equac¸a˜o envolve de-
rivadas destas func¸o˜es. Numa equac¸a˜o diferencial em que a inco´gnita e´ uma func¸a˜o 푦(푡), 푡 e´ a
varia´vel independente e 푦 e´ a varia´vel dependente. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.1. O movimento de um peˆndulo simples de massa 푚 e comprimento 푙 e´ descrito pela
func¸a˜o 휃(푡) que satisfaz a equac¸a˜o diferencial
푑2휃
푑푡2
+
푔
푙
sen 휃 = 0.
1
2 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
휃
휃
푃 = 푚푔
푚푔 cos 휃
−푚푔 sen 휃
Figura 1.1: Peˆndulo Simples
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.1 Introduc¸a˜o a`s Equac¸o˜es Diferenciais 3
Nesta equac¸a˜o a inco´gnita e´ a func¸a˜o 휃(푡). Assim 휃 e´ a varia´vel dependente e 푡 e´ a varia´vel indepen-
dente.
Exemplo 1.2. Em um sistema massa-mola composto de um corpo de massa 푚 preso a uma mola
com constante ela´stica 푘, sujeita a uma forc¸a de resisteˆncia 퐹푟 = −훾푣 = −훾 푑푥푑푡 e uma forc¸a externa
퐹ext(푡) = 퐹0 cos(휔푡) o deslocamento da massa 푥(푡) satisfaz a equac¸a˜o diferencial
푚
푑2푥
푑푡2
+ 훾
푑푥
푑푡
+ 푘푥 = 퐹0 cos(휔푡).
Nesta equac¸a˜o a inco´gnita e´ a func¸a˜o 푥(푡). Assim 푥 e´ a varia´vel dependente e 푡 e´ a varia´vel indepen-
dente.
Exemplo 1.3. Numa regia˜o do plano em que na˜o ha´ cargas ele´tricas o potencial ele´trico 푢(푥, 푦) em
cada ponto (푥, 푦) da regia˜o satisfaz a equac¸a˜o diferencial
∂2푢
∂푥2
+
∂2푢
∂푦2
= 0.
Nesta equac¸a˜o a inco´gnita e´ a func¸a˜o 푢(푥, 푦). Assim 푢 e´ a varia´vel dependente e 푥 e 푦 sa˜o as
varia´veis independentes.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
4 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
0 x
F
r
 = −γ v
F
e
 = − k x
F
r
 = −γ v
F
r
 = −γ v
F
e
 = − k x
F
ext = Focos(ωt)
F
ext = Focos(ωt)
F
ext = Focos(ωt)
Figura 1.2: Sistema massa-mola
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.1 Introduc¸a˜o a`s Equac¸o˜es Diferenciais 5
퐶
푉 (푡)
푅
Figura 1.3: Circuito RC
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
6 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Exemplo 1.4. Um circuito 푅퐶 e´ um circuito que tem um resistor de resisteˆncia 푅, um capacitor de
capacitaˆncia 퐶 e um gerador que gera uma diferenc¸a de potencial 푉 (푡) ligados em se´rie. A carga
푄(푡) no capacitor satisfaz a equac¸a˜o diferencial
푅
푑푄
푑푡
+
1
퐶
푄 = 푉 (푡).
Nesta equac¸a˜o a inco´gnita e´ a func¸a˜o 푄(푡). Assim 푄 e´ a varia´vel dependente e 푡 e´ a varia´vel inde-
pendente.
1.1.1 Classificac¸a˜o
As equac¸o˜es sa˜o classificadas quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(a) Quanto ao tipo uma equac¸a˜o diferencial pode ser ordina´ria ou parcial. Ela e´ ordina´ria se as
func¸o˜es inco´gnitas forem func¸o˜es de somente uma varia´vel. Caso contra´rio ela e´ parcial. Por-
tanto as derivadas que aparecem na equac¸a˜o sa˜o derivadas totais. Por exemplo, as equac¸o˜es
que podem ser escritas na forma
퐹 (푡, 푦, 푦′, 푦′′, ...) = 0,
em que 푦 e´ func¸a˜o apenas de 푡, sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias, como as equac¸o˜es dos
Exemplos 1.1, 1.2 e 1.4. A equac¸a˜o do Exemplo 1.3 e´ parcial.
(b) Quanto a` ordem uma equac¸a˜o diferencial pode ser de 1a. , de 2a. , ..., de 푛-e´sima ordem depen-
dendo da derivada de maior ordem presente na equac¸a˜o. Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de
ordem 푛 e´ uma equac¸a˜o que pode ser escrita na forma
퐹 (푡, 푦, 푦′, 푦′′, ..., 푦(푛)) = 0.
To´picos de Equac¸o˜es DiferenciaisMarc¸o 2010
1.1 Introduc¸a˜o a`s Equac¸o˜es Diferenciais 7
As equac¸o˜es dos Exemplos 1.1, 1.2 e 1.3 sa˜o de 2a. ordem e a equac¸a˜o do Exemplo 1.4 e´ de
1a. ordem.
(c) Quanto a linearidade uma equac¸a˜o diferencial pode ser linear ou na˜o linear. Ela e´ linear se as
inco´gnitas e suas derivadas aparecem de forma linear na equac¸a˜o, isto e´, as inco´gnitas e suas
derivadas aparecem em uma soma em que cada parcela e´ um produto de alguma derivada
das inco´gnitas com uma func¸a˜o que na˜o depende das inco´gnitas. Por exemplo uma equac¸a˜o
diferencial ordina´ria linear de ordem 푛 e´ uma equac¸a˜o que pode ser escrita como
푎0(푡)푦 + 푎1(푡)
푑푦
푑푡
+ 푎2(푡)
푑2푦
푑푡2
+ . . .+ 푎푛(푡)
푑푛푦
푑푡푛
= 푓(푡).
As equac¸o˜es diferenciais ordina´rias que na˜o podem ser colocadas nessa forma sa˜o na˜o linea-
res. As equac¸o˜es dos Exemplos 1.2, 1.3 e 1.4 sa˜o lineares e a equac¸a˜o do Exemplo 1.1 e´ na˜o
linear.
1.1.2 Soluc¸o˜es de Equac¸o˜es Ordina´rias
Uma soluc¸a˜o (particular) de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de ordem 푛 em um intervalo
퐼 e´ uma func¸a˜o 푦(푡) definida no intervalo 퐼 tal que as suas derivadas de ordem ate´ 푛 esta˜o definidas
no intervalo 퐼 e satisfazem a equac¸a˜o neste intervalo.
Exemplo 1.5. Considere a equac¸a˜o
푎푦′′ + 푏푦′ + 푐푦 = 0, com 푎, 푏, 푐 ∈ ℝ, 푎 ∕= 0 tais que 푏2 − 4푎푐 = 0.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
8 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Vamos mostrar que 푦(푡) = 푒− 푏2푎 푡 e´ soluc¸a˜o desta equac¸a˜o para 푡 ∈ ℝ.
푦′(푡) = − 푏
2푎
푒−
푏
2푎
푡, 푦′′(푡) =
푏2
4푎2
푒−
푏
2푎
푡
Substituindo-se 푦(푡), 푦′(푡) e 푦′′(푡) no primeiro membro da equac¸a˜o obtemos
푎푦′′ + 푏푦′ + 푐푦 = 푎
푏2
4푎2
푒−
푏
2푎
푡 + 푏
(
− 푏
2푎
푒−
푏
2푎
푡
)
+ 푐푒−
푏
2푎
푡
=
(
푏2
4푎
− 푏
2
2푎
+ 푐
)
푒−
푏
2푎
푡
=
−푏2 + 4푎푐
4푎
푒−
푏
2푎
푡 = 0,
pois por hipo´tese 푏2 − 4푎푐 = 0. Assim 푦(푡) = 푒− 푏2푎 푡 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
1.1.3 Equac¸o˜es Ordina´rias de 1a. Ordem
As equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de 1a. ordem sa˜o equac¸o˜es que podem ser escritas como
퐹 (푡, 푦, 푦′) = 0.
Vamos estudar equac¸o˜es de primeira ordem que podem ser escritas na forma
푑푦
푑푡
= 푓(푡, 푦) (1.1)
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.1 Introduc¸a˜o a`s Equac¸o˜es Diferenciais 9
Uma soluc¸a˜o (particular) de uma equac¸a˜o diferencial (1.1) em um intervalo 퐼 e´ uma func¸a˜o
푦(푡) definida no intervalo 퐼 tal que a sua derivada 푦′(푡) esta´ definida no intervalo 퐼 e satisfaz a
equac¸a˜o (1.1) neste intervalo.
O problema ⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= 푓(푡, 푦)
푦(푡0) = 푦0
(1.2)
e´ chamado problema de valor inicial (PVI). Uma soluc¸a˜o do problema de valor inicial (1.2) em
um intervalo 퐼 e´ uma func¸a˜o 푦(푡) que esta´ definida neste intervalo, tal que a sua derivada tambe´m
esta´ definida neste intervalo e satisfaz (1.2).
Quando resolvemos uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de 1a. ordem obtemos uma famı´lia de
soluc¸o˜es que dependem de uma constante arbitra´ria. Se toda soluc¸a˜o particular puder ser obtida
da famı´lia de soluc¸o˜es que encontramos por uma escolha apropriada da constante dizemos que a
famı´lia de soluc¸o˜es e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o.
Exemplo 1.6. A equac¸a˜o
푑푦
푑푡
= 푒3푡
pode ser resolvida por integrac¸a˜o direta obtendo
푦(푡) =
∫
푒3푡 푑푡 =
푒3푡
3
+ 퐶,
que e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
10 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Para encontrarmos a soluc¸a˜o do PVI ⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= 푒3푡
푦(1/3) = 푒/3
Substituı´mos 푡 = 1/3 e 푦 = 푒/3 na soluc¸a˜o geral encontrada obtendo 퐶 = 0. Assim a soluc¸a˜o do
PVI e´
푦(푡) =
푒3푡
3
va´lida para −∞ < 푡 <∞, que e´ o maior intervalo em que a soluc¸a˜o e sua derivada esta˜o definidas.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.1 Introduc¸a˜o a`s Equac¸o˜es Diferenciais 11
−
10
−
10
−
10
−
8
−
8
−
8
−
6
−
6
−
6
−4
−
4
−
4
−
4
−2
−
2
−
2
−
2
0
0
0
2
2
2
t
y
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Figura 1.4: Soluc¸o˜es da equac¸a˜o e do PVI do Exemplo 1.6
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
12 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Exercı´cios (respostas na pa´gina 106)
1.1. Classifique as equac¸o˜es abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(a) 푦푦′ + 푡 = 0 (b) 푥2푦′′ + 푏푥푦′ + 푐푦 = 0
1.2. Determine qual ou quais das func¸o˜es 푦1(푥) = 푥2, 푦2(푥) = 푥3 e 푦3(푥) = 푒−푥 sa˜o soluc¸o˜es da
equac¸a˜o
(푥+ 3)푦′′ + (푥+ 2)푦′ − 푦 = 0
1.3. Sejam 푎, 푏, 푐 ∈ ℝ. Mostre que
(a) 푦(푡) = 푒푟푡, com 푟 raiz de 푎푟 + 푏 = 0, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 푎푦′ + 푏푦 = 0.
(b) 푦(푡) = 푒푟푡, com 푟 raiz de 푎푟2 + 푏푟 + 푐 = 0, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 푎푦′′ + 푏푦′ + 푐푦 = 0.
(c) 푦(푥) = 푥푟, com 푟 raiz de 푟2+(푏−1)푟+푐 = 0, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 푥2푦′′+푏푥푦′+푐푦 = 0.
1.4. Determine os valores de 푟 para os quais a func¸a˜o 푦(푡) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
(a) 푦(푡) = 푟
푡2 − 3 e 푦
′ + 푡푦2 = 0.
(b) 푦(푡) = 푟
푡2 + 1
e 푦′ − 2푡푦2 = 0.
(c) 푦(푡) = 푟
푡2 + 1
e 푦′ − 6푡푦2 = 0.
(d) 푦(푡) = 푟
푡2 + 2
e 푦′ − 푡푦2 = 0.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.2 Equac¸o˜es Lineares de 1a. Ordem 13
1.2 Equac¸o˜es Lineares de 1a. Ordem
As equac¸o˜es (diferenciais ordina´rias) lineares de 1a. ordem sa˜o equac¸o˜es que podem ser
escritas como
푑푦
푑푡
+ 푝(푡)푦 = 푞(푡). (1.3)
1.2.1 Equac¸o˜es em que 푝(푡) = 0
Se a func¸a˜o 푝(푡) = 0 a equac¸a˜o (1.3) torna-se
푑푦
푑푡
= 푞(푡), (1.4)
que e´ facilmente resolvida integrando-se os dois lados. Assim a soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o e´ dada
por
푦(푡) =
∫
푞(푡)푑푡+ 퐶.
Exemplo 1.7. A equac¸a˜o
푑푦
푑푡
= sen(2푡)
pode ser resolvida por integrac¸a˜o direta obtendo-se a soluc¸a˜o geral
푦(푡) =
∫
sen(2푡) 푑푡 = −cos(2푡)
2
+ 퐶.
Na subsec¸a˜o 1.2.2 e na sec¸a˜o 1.3 veremos te´cnicas de se encontrar soluc¸o˜es de equac¸o˜es de 1a.
ordem que se baseiam em transformar a equac¸a˜o inicial em uma equac¸a˜o do tipo (1.4).
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
14 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−
3
−
2
−2
−
2
−2
−
1
−1
−
1
−1
0
0
0 0
1
1
1 1
2
2
2 2
3
3
3
t
y
Figura 1.5: Soluc¸o˜es da equac¸a˜o do Exemplo 1.7
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.2 Equac¸o˜es Lineares de 1a. Ordem 15
1.2.2 Equac¸o˜es Lineares - Caso Geral
Vamos considerar equac¸o˜es da forma
푑푦
푑푡
+ 푝(푡)푦 = 푞(푡). (1.5)
Vamos definir uma func¸a˜o auxiliar, 휇(푡), de forma que ao multiplicarmos a equac¸a˜o (1.5) por esta
func¸a˜o a equac¸a˜o obtida e´ uma equac¸a˜o linear com 푝(푡) = 0, ou seja, do tipo (1.4), que ja´ resolvemos
anteriormente. Uma func¸a˜o com esta propriedade e´ chamada fator integrante da equac¸a˜o linear.
Seja
휇(푡) = 푒
∫
푝(푡)푑푡.
Vamos mostrar agora que 휇(푡) = 푒
∫
푝(푡)푑푡 e´ um fator integrante da equac¸a˜o (1.5).
Observe em primeiro lugar que
푑휇
푑푡
= 푒
∫
푝(푡)푑푡 푑
푑푡
(∫
푝(푡)푑푡
)
= 푒
∫
푝(푡)푑푡푝(푡) = 휇(푡)푝(푡). (1.6)
Assim multiplicando-se (1.5) por 휇(푡), obtemos
휇(푡)
푑푦
푑푡
+ 휇(푡)푝(푡)푦 = 휇(푡)푞(푡) (1.7)
mas como por (1.6), 휇(푡)푝(푡) = 푑휇
푑푡
, enta˜o (1.7) pode ser reescrita como
휇(푡)
푑푦
푑푡
+
푑휇
푑푡
푦 = 휇(푡)푞(푡). (1.8)
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
16 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Mas o lado esquerdo dessa equac¸a˜o e´ a derivada de um produto o que faz com que ela possa ser
reescrita na forma
푑
푑푡
(휇(푡)푦(푡)) = 휇(푡)푞(푡) (1.9)
A equac¸a˜o (1.9) e´ uma equac¸a˜o do tipo (1.4), ou seja,
푑푌
푑푡
= 푓(푡)
em que 푌 (푡) = 휇(푡)푦(푡) e 푓(푡) = 휇(푡)푞(푡). Assim, a soluc¸a˜o geral de (1.9) e´ dada por
휇(푡)푦(푡) =
∫
휇(푡)푞(푡)푑푡+ 퐶.
Como 휇(푡) ∕= 0, para todo 푡 ∈ ℝ, dividindo-se a equac¸a˜o anterior por 휇(푡) obtemos que a soluc¸a˜o
geral de (1.5) e´dada por
푦(푡) =
1
휇(푡)
(∫
휇(푡)푞(푡)푑푡+ 퐶
)
Mostraremos na Subsec¸a˜o 1.2.3 como podemos chegar a 휇(푡) = 푒
∫
푝(푡)푑푡 como fator integrante
da equac¸a˜o (1.5).
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.2 Equac¸o˜es Lineares de 1a. Ordem 17
Atenc¸a˜o: Na˜o se deve memorizar a fo´rmula obtida no final. O que fizemos aqui foi mostrar o caminho
que deve ser seguido para resolver uma equac¸a˜o linear de 1a. ordem.
No pro´ximo exemplo vamos seguir os mesmos passos que seguimos no caso geral.
Exemplo 1.8. Considere a equac¸a˜o
푑푦
푑푡
+
2
푡
푦 = 푡.
O fator integrante e´
휇(푡) = 푒
∫
2
푡
푑푡 = 푒2 ln 푡 = 푒ln 푡
2
= 푡2.
Multiplicando-se a equac¸a˜o acima por 휇(푡) obtemos:
푡2
푑푦
푑푡
+ 2푡푦 = 푡3.
O lado esquerdo e´ igual a derivada do produto 푡2푦(푡). Logo a equac¸a˜o acima e´ equivalente a
푑
푑푡
(
푡2푦(푡)
)
= 푡3.
Integrando-se obtemos
푡2푦(푡) =
푡4
4
+ 퐶
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
18 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Explicitando 푦(푡) temos que a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´
푦(푡) =
푡2
4
+
퐶
푡2
. (1.10)
Podemos esboc¸ar as soluc¸o˜es desta equac¸a˜o diferencial. Para 퐶 = 0 a soluc¸a˜o e´ a para´bola
푦(푡) =
푡2
4
.
Para 퐶 ∕= 0, temos que o domı´nio de 푦(푡) e´ o conjunto dos nu´meros reais tais que 푡 ∕= 0.
lim푡→±∞ 푦(푡) = +∞, se 퐶 ∕= 0. Ale´m disso
lim
푡→0
푦(푡) = +∞, se 퐶 > 0
e
lim
푡→0
푦(푡) = −∞, se 퐶 < 0.
Vamos analisar o crescimento e decrescimento das soluc¸o˜es
푑푦
푑푡
=
푡
2
− 2퐶
푡3
= 0
se, e somente se,
푡4 = 4퐶.
Assim se 퐶 > 0 as soluc¸o˜es teˆm somente pontos crı´ticos em 푡 = ± 4√4퐶 e se 퐶 < 0 elas na˜o teˆm
ponto crı´tico.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.2 Equac¸o˜es Lineares de 1a. Ordem 19
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−
16
−
16
−
16
−16
−16
−16
−
8
−
8
−
8
−8
−8
−8
0
0
0
0
8
8
8
8 1616
t
y
Figura 1.6: Soluc¸o˜es da equac¸a˜o do Exemplo 1.8 e a soluc¸a˜o do problema de valor inicial do Exemplo
1.9
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
20 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Exemplo 1.9. Considere o problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
+
2
푡
푦 = 푡.
푦(2) = 3
A equac¸a˜o e´ a mesma do Exemplo 1.8. Substituindo-se 푡 = 2 e 푦 = 3 em (1.10) obtemos
3 =
4
4
+
퐶
4
De onde obtemos que 퐶 = 8. Portanto a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
푦(푡) =
푡2
4
+
8
푡2
.
Observe que a soluc¸a˜o deste problema de valor inicial e´ va´lida no intervalo (0,+∞), que e´ o maior
intervalo contendo 푡 = 2 (pois a condic¸a˜o inicial e´ 푦(2) = 3) em que a soluc¸a˜o e sua derivada esta˜o
definidas. Se a condic¸a˜o inicial ao inve´s de 푦(2) = 3 fosse 푦(−2) = 3 a soluc¸a˜o teria a mesma
expressa˜o, mas o intervalo de validade da soluc¸a˜o seria (−∞, 0).
1.2.3 Como chegar ao fator Integrante 휇(푡) = 푒
∫
푝(푡)푑푡 ?
Vamos mostrar como podemos chegar ao fator integrante 휇(푡) = 푒
∫
푝(푡)푑푡
. Comparando-se as
equac¸o˜es (1.7) e (1.8) na pa´gina 15 vemos que o fator integrante 휇(푡) deve ser uma func¸a˜o que
satisfaz a equac¸a˜o diferencial
푑휇
푑푡
= 푝(푡)휇(푡).
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.2 Equac¸o˜es Lineares de 1a. Ordem 21
Esta e´ tambe´m uma equac¸a˜o linear, mas com 푞(푡) = 0. Supondo-se 휇(푡) ∕= 0, vamos multiplicar esta
equac¸a˜o por 1/휇(푡) obtendo a equac¸a˜o
1
휇(푡)
푑휇
푑푡
= 푝(푡).
Como 1
휇(푡)
= 푑
푑휇
(ln ∣휇(푡)∣) a equac¸a˜o anterior pode ser reescrita como
푑
푑휇
(ln ∣휇(푡)∣) 푑휇
푑푡
= 푝(푡).
Mas pela regra da cadeia esta equac¸a˜o e´ equivalente a
푑
푑푡
(ln ∣휇(푡)∣) = 푝(푡)
que e´ uma equac¸a˜o do tipo (1.4) que pode ser resolvida simplesmente integrando-se ambos os mem-
bros obtendo
ln ∣휇(푡)∣ =
∫
푝(푡)푑푡+ 퐶1
Aplicando-se a exponencial a ambos os membros e eliminando-se o valor absoluto obtemos
휇(푡) = ±푒푐1푒
∫
푝(푡)푑푡 = 퐶푒
∫
푝(푡)푑푡.
Como estamos interessados em apenas um fator integrante podemos tomar 퐶 = 1 e obtermos
휇(푡) = 푒
∫
푝(푡)푑푡.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
22 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Exercı´cios (respostas na pa´gina 108)
2.1. Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
{
푦′ + (1− 2푥)푦 = 푥푒−푥
푦(0) = 2
(b)
{
푦′ + 3푡2푦 = 푒−푡
3+푡
푦(0) = 2
(c)
{
푦′ − cos 푡 푦 = 푡푒푡2+sen 푡
푦(0) = 2
(d)
{
푦′ + 푥4푦 = 푥4푒
4푥5
5
푦(0) = 1
2.2. Resolva as equac¸o˜es:
(a) 푦′ − 4
푥
푦 = − 2
푥3
.
(b) 푦′ − 1
푥
푦 = −푥.
(c) 푦′ − 4
푥
푦 = 푥5푒푥.
2.3. (a) Resolva o problema de valor inicial:{
푦′ + 5푥4푦 = 푥4
푦(0) = 푦0
(b) Para quais valores de 푦0 a soluc¸a˜o e´ crescente e para quais valores de 푦0 a soluc¸a˜o e´
decrescente.
(c) Qual o limite de 푦(푥) quando 푥 tende a +∞. O limite depende de 푦0?
2.4. (a) Resolva o problema de valor inicial:{
(푥2 − 9)푦′ + 푥푦 = 0
푦(5) = 푦0
(b) Qual o intervalo de validade da soluc¸a˜o?
(c) Qual o limite de 푦(푥) quando 푥 tende a +∞. O limite depende de 푦0?
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.2 Equac¸o˜es Lineares de 1a. Ordem 23
2.5. Considere a equac¸a˜o
푑푦
푑푡
+ 푝(푡)푦 = 0
(a) Mostre que se 푦1(푡) e 푦2(푡) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o, enta˜o 푦(푡) = 푦1(푡)+ 푦2(푡) tambe´m
o e´.
(b) Mostre que se 푦1(푡) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o, enta˜o 푦(푡) = 푐푦1(푡) tambe´m o e´, para qualquer
constante 푐.
2.6. Considere as equac¸o˜es
푑푦
푑푡
+ 푝(푡)푦 = 0 (1.11)
푑푦
푑푡
+ 푝(푡)푦 = 푞(푡) (1.12)
Mostre que se 푦1(푡) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o (1.11) e 푦2(푡) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o (1.12), enta˜o
푦(푡) = 푐푦1(푡) + 푦2(푡) e´ soluc¸a˜o de (1.12), para qualquer constante 푐.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
24 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
1.3 Equac¸o˜es Separa´veis
As equac¸o˜es (diferenciais ordina´rias) separa´veis sa˜o equac¸o˜es que podem ser escritas na
forma
푔(푦)
푑푦
푑푥
= 푓(푥). (1.13)
Seja
ℎ(푦) =
∫
푔(푦)푑푦.
Enta˜o
푑ℎ
푑푦
= 푔(푦).
Substituindo-se 푔(푦) por 푑ℎ
푑푦
na equac¸a˜o (1.13) obtemos
푑ℎ
푑푦
푑푦
푑푥
= 푓(푥). (1.14)
Mas, pela regra da cadeia
푑
푑푥
ℎ(푦(푥)) =
푑ℎ
푑푦
푑푦
푑푥
,
o que implica que (1.14) pode ser escrita como
푑
푑푥
ℎ(푦(푥)) = 푓(푥) (1.15)
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.3 Equac¸o˜es Separa´veis 25
A equac¸a˜o (1.15) e´ do tipo (1.4) na pa´gina 13, ou seja, e´ da forma
푑푌
푑푥
= 푓(푥)
em que 푌 (푥) = ℎ(푦(푥)). Assim, integrando-se (1.15) dos dois lados obtemos que a soluc¸a˜o geral de
(1.13) e´ dada implicitamente por
ℎ(푦(푥))) =
∫
푓(푥)푑푥+ 퐶.
Tambe´m podemos obter a soluc¸a˜o da maneira mostrada a seguir. Integrando-se em relac¸a˜o a 푥
ambos os membros de (1.13) obtemos∫
푔(푦)
푑푦
푑푥
푑푥 =
∫
푓(푥)푑푥+ 퐶,
que pode ser reescrita como ∫
푔(푦)푦′ 푑푥 =
∫
푓(푥)푑푥+ 퐶.
Fazendo a substituic¸a˜o 푦′푑푥 = 푑푦 obtemos∫
푔(푦) 푑푦 =
∫
푓(푥)푑푥+ 퐶.
Atenc¸a˜o: Na˜o se deve memorizar a fo´rmula obtida no final. O que fizemos aqui foi mostrar o caminho
que deve ser seguido para resolver uma equac¸a˜o separa´vel.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
26 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
As curvas que sa˜o soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o separa´vel podem ser vistas como curvas de nı´vel
da func¸a˜o
푧 = 퐹 (푥, 푦) = ℎ(푦(푥)))−
∫
푓(푥)푑푥.
Exemplo 1.10. Vamos, agora, encontrar a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial
2푦
푑푦
푑푥
= −4푥 ou 2푦푦′ = −4푥
Integrando-se em relac¸a˜o a 푥 ambos os membros obtemos∫
2푦푦′ 푑푥 = −
∫
4푥푑푥+ 퐶.
Fazendo a substituic¸a˜o 푦′푑푥 = 푑푦 obtemos∫
2푦 푑푦 = −
∫
4푥푑푥+ 퐶.
Assim a soluc¸a˜o geral e´ dada implicitamente por
푦2 = −2푥2 + 퐶
As soluc¸o˜es sa˜o elipses (Figura 1.7) que sa˜o as curvas de nı´vel da func¸a˜o
푧 = 퐹 (푥, 푦) = 푦2 + 2푥2.
O gra´fico da func¸a˜o 퐹 (푥, 푦) = 푦2 + 2푥2 e´ um parabolo´ide elı´ptico (Figura 1.8).
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o2010
1.3 Equac¸o˜es Separa´veis 27
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
4
4
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
5
1
1
1
1
x
y
Figura 1.7: Soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial do Exemplo 1.10
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
28 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
y
z
x
Figura 1.8: Soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial do Exemplo 1.10 como curvas de nı´vel do parabolo´ide
elı´ptico 푧 = 퐹 (푥, 푦) = 2푥2 + 푦2
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.3 Equac¸o˜es Separa´veis 29
Exemplo 1.11. (a) Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑푦
푑푥
=
2푥− 1
3푦2 − 3
푦(1) = 0
(b) Determine o intervalo de validade da soluc¸a˜o, ou seja, o maior intervalo contendo 푥0 = 1
para o qual a soluc¸a˜o 푦(푥) e sua derivada
푑푦
푑푥
esta˜o definidas.
(c) Determine os pontos onde a soluc¸a˜o tem um ma´ximo local.
(d) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
(a) Podemos reescrever a equac¸a˜o como
(3푦2 − 3)푦′ = 2푥− 1
Integrando-se em relac¸a˜o a 푥 ambos os membros obtemos∫
(3푦2 − 3)푦′ 푑푥 =
∫
(2푥− 1)푑푥+ 퐶.
Fazendo a substituic¸a˜o 푦′푑푥 = 푑푦 obtemos∫
(3푦2 − 3) 푑푦 =
∫
(2푥− 1)푑푥+ 퐶.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
30 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Assim a soluc¸a˜o geral e´ dada implicitamente por
푦3 − 3푦 = 푥2 − 푥+ 퐶
Para encontrar a soluc¸a˜o que satisfaz a condic¸a˜o inicial 푦(1) = 0 substituı´mos 푥 = 1 e 푦 = 0
na soluc¸a˜o geral obtendo 퐶 = 0. Assim a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´ dada implicita-
mente por
푦3 − 3푦 − 푥2 + 푥 = 0
(b) Para determinar o intervalo de validade da soluc¸a˜o do PVI vamos determinar o maior intervalo
que contem 푥 = 1 em que a soluc¸a˜o e sua derivada esta˜o definidas. Pela equac¸a˜o 푑푦
푑푥
= 2푥−1
3푦2−3 ,
temos que os pontos onde a derivada na˜o esta´ definida sa˜o aqueles tais que 3푦2 − 3 = 0, ou
seja, 푦 = ±1. Como o ponto inicial e´ (1, 0), enta˜o a soluc¸a˜o do PVI esta´ contida na regia˜o
do plano −1 < 푦 < 1. Substituindo-se 푦 = −1 na equac¸a˜o que define a soluc¸a˜o obtemos a
equac¸a˜o 푥2− 푥− 2 = 0, que tem soluc¸a˜o 푥 = −1 e 푥 = 2. Substituindo-se 푦 = 1 na equac¸a˜o
que define a soluc¸a˜o 푦3 − 3푦 − 푥2 + 푥 = 0 obtemos a equac¸a˜o 푥2 − 푥 + 2 = 0, que na˜o tem
soluc¸a˜o real.
Como a soluc¸a˜o esta´ definida para todo 푥, mas a derivada na˜o esta´ definida para 푥 = −1 e
푥 = 2 e o ponto inicial 푥0 = 1 esta´ entre os valores 푥 = −1 e 푥 = 2 concluı´mos que o intervalo
de validade da soluc¸a˜o e´ o intervalo (−1, 2), que e´ o maior intervalo em que a soluc¸a˜o 푦(푥) e
a sua derivada esta˜o definidas.
(c) Nos pontos onde a soluc¸a˜o tem ma´ximo local a reta tangente a` curva e´ horizontal, ou seja,
pontos onde 푑푦
푑푥
= 0. Neste caso na˜o precisamos calcular a derivada da soluc¸a˜o, pois a derivada
ja´ esta´ dada pela equac¸a˜o diferencial, ou seja,
푑푦
푑푥
=
2푥− 1
3푦2 − 3
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.3 Equac¸o˜es Separa´veis 31
Assim, a reta tangente e´ horizontal para 푥 tal que 2푥− 1 = 0, ou seja, somente para 푥 = 1/2.
(d) Nos pontos 푥 = −1 e 푥 = 2 a reta tangente a` curva soluc¸a˜o 푦3 − 3푦 − 푥2 + 푥 = 0 e´ vertical,
ou seja, 푑푥
푑푦
= 0, pois pela equac¸a˜o diferencial,
푑푥
푑푦
=
1
푑푦
푑푥
=
3푦2 − 3
2푥− 1 ,
para 푥 ∕= 1/2. Assim ja´ sabemos pelo item (b) que a soluc¸a˜o esta´ contida em uma curva que
passa pelos pontos (−1,−1) e (2,−1) onde a tangente e´ vertical, e que passa pelo ponto
inicial (1, 0). Neste ponto a inclinac¸a˜o da tangente e´ −1/3, pois substituindo-se 푥 = 1 e 푦 = 0
na equac¸a˜o diferencial obtemos 푑푦
푑푥
= −1/3. Ale´m disso sabemos que o u´nico ponto em que
a tangente e´ horizontal ocorre para 푥 = 1/2. Deduzimos daı´ que a soluc¸a˜o e´ crescente ate´
푥 = 1/2 depois comec¸a a decrescer.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
32 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
y
Figura 1.9: Soluc¸a˜o do problema de valor inicial do Exemplo 1.11
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.3 Equac¸o˜es Separa´veis 33
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
−4
−
4
−4
−4
−
4
−4
−
4
−3
−
3
−3
−3
−
3
−3
−
3
−2
−2
−
2
−2
−2
−
2
−2
−
2
−1
−1
−
1
−
1
−
1
−1
−
1
−
1
−1
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
0
0
0
0
3
3
3
3
4
4
4
4
1
1
1
22
x
y
Figura 1.10: Soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial e do problema de valor inicial do Exemplo 1.11
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
34 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
y
z
x
Figura 1.11: Soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial do Exemplo 1.11 como curvas de nı´vel de uma func¸a˜o
de duas varia´veis 푧 = 푓(푥, 푦) = 푦3 − 3푦 − 푥2 + 푥
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.3 Equac¸o˜es Separa´veis 35
Exercı´cios (respostas na pa´gina 114)
3.1. Resolva as equac¸o˜es:
(a) (1 + 푥2)푦′ − 푥푦 = 0.
(b) 푦2 − 1− (2푦 + 푥푦)푦′ = 0.
(c) (푎푦푥2 + 푏푦)푦′ − 푥 = 0 para 푎, 푏 ∈ ℝ, 푎 ∕= 0.
(d) (푎푥2 + 푏)1/2푦′ − 푥푦3 = 0 para 푎, 푏 ∈ ℝ, 푎 ∕= 0.
(e) (푎푦2 + 푏)1/2 − 푥푦푦′ = 0 para 푎, 푏 ∈ ℝ, 푎 ∕= 0.
(f) 푎푦2 + 푏− 푥2푦푦′ = 0 para 푎, 푏 ∈ ℝ, 푎 ∕= 0.
3.2. (a) Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑푦
푑푥
=
2푥+ 1
3푦2 − 3
푦(0) = 0
(b) Determine o intervalo de validade da soluc¸a˜o.
(c) Determine os pontos onde a soluc¸a˜o tem um ma´ximo local.
(d) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da soluc¸a˜o.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
36 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
1.4 Aplicac¸o˜es
1.4.1 Dinaˆmica Populacional
Crescimento Exponencial
O modelo mais simples de crescimento populacional e´ aquele em que se supo˜e que a taxa
de crescimento de uma populac¸a˜o 푑푦
푑푡
e´ proporcional a populac¸a˜o presente naquele instante 푦(푡).
Podemos descrever o problema de encontrar 푦(푡) como o problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= 푘푦
푦(0) = 푦0
A equac¸a˜o e´ linear e pode ser reescrita como
푑푦
푑푡
− 푘푦 = 0. (1.16)
Para resolveˆ-la vamos determinar o fator integrante
휇(푡) = 푒
∫ −푘푑푡 = 푒−푘푡.
Multiplicando-se a equac¸a˜o (1.16) por 휇(푡) = 푒−푘푡 obtemos
푑
푑푡
(푒−푘푡푦) = 0.
Integrando-se ambos os membros obtemos
푒−푘푡푦(푡) = 퐶 ou 푦(푡) = 퐶푒푘푡.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 37
Substituindo-se 푡 = 0 e 푦 = 푦0, obtemos
푦0 = 퐶푒
푘 0 = 퐶.
Ou seja a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
푦(푡) = 푦0푒
푘푡.
Exemplo 1.12. Consideremos uma situac¸a˜o formada por uma populac¸a˜o de organismos zoo-
planctoˆnicos. Sa˜o colocadas em um be´quer 3 feˆmeas partenogene´ticas gra´vidas (na˜o ha´ necessi-
dade de fecundac¸a˜o pelo macho) de um microcrusta´ceo chamado clado´cero em condic¸o˜es ideais
de alimentac¸a˜o, temperatura, aerac¸a˜o e iluminac¸a˜o e auseˆncia de predadores. Sabendo-se que em
10 dias havia 240 indivı´duos determine a populac¸a˜o em func¸a˜o do tempo supondo-se que a taxa de
crescimento da populac¸a˜o e´ proporcional a` populac¸a˜o atual (crescimento exponencial).
A populac¸a˜o, 푦(푡), e´ a soluc¸a˜o do problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= 푘푦
푦(0) = 3
que como vimos acima tem soluc¸a˜o
푦(푡) = 푦0푒
푘푡 = 3푒푘푡.
Como em 10 dias a populac¸a˜o e´ de 240 indivı´duos, enta˜o substituindo-se 푡 = 10 e 푦 = 240 obtemos
240 = 3푒10푘 ⇒ 푘 = ln 80
10
.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
38 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Dias Populac¸a˜o Dias Populac¸a˜o
1 3 13 510
2 7 14 630
3 10 15 638
4 9 16 628
5 39 17 666
6 39 18 668
7 40 19 620
8 113 20 663
9 180 21 667
10 240 22 645
11 390 23 690
12 480 24 650
Tabela 1.1: Nu´mero de indivı´duos por litro de uma populac¸a˜ode clado´ceros (Daphnia laevis) em
experimento de laborato´rio (dados obtidos de [3])
Assim, a func¸a˜o que descreve como a populac¸a˜o de bacte´rias varia com o tempo e´
푦(푡) = 3푒
ln 80
10
푡 = 3 ⋅ 80푡/10.
Crescimento Logı´stico
Para levar em conta que a populac¸a˜o 푦(푡) tem um valor ma´ximo sustenta´vel 푦푀 podemos supor
que a taxa de crescimento ale´m de ser proporcional a populac¸a˜o atual, e´ proporcional tambe´m a`
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 39
−5 0 5 10 15 20 25 30
−100
0
100
200
300
400
500
600
700
t
y
Figura 1.12: Soluc¸a˜o do problema do Exemplo 1.12 e dados obtidos experimentalmente
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
40 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
−5 0 5 10 15 20 25 30
−100
0
100
200
300
400
500
600
700
t
y
Figura 1.13: Soluc¸a˜o do problema de valor inicial do Exemplo 1.13 e dados obtidos experimentalmente
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 41
diferenc¸a entre 푦푀 e a populac¸a˜o presente. Neste caso a populac¸a˜o como func¸a˜o do tempo, 푦(푡), e´
a soluc¸a˜o do problema de valor inicial ⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= 푘푦(푦푀 − 푦)
푦(푡0) = 푦0
A equac¸a˜o e´ separa´vel. Multiplicando-se a equac¸a˜o por 1
푦(푦푀−푦) obtemos
1
푦(푦푀 − 푦)푦
′ = 푘
Integrando-se em relac¸a˜o a 푡 obtemos∫
1
푦(푦푀 − 푦)푦
′푑푡 =
∫
푘푑푡+ 퐶1
fazendo-se a substituic¸a˜o 푦′푑푡 = 푑푦 obtemos∫
1
푦(푦푀 − 푦)푑푦 =
∫
푘푑푡+ 퐶1.
Vamos decompor 1
푦(푦푀−푦) em frac¸o˜es parciais:
1
푦(푦푀 − 푦) =
퐴
푦
+
퐵
푦푀 − 푦
Multiplicando-se a equac¸a˜o acima por 푦(푦푀 − 푦) obtemos
1 = 퐴(푦푀 − 푦) + 퐵푦
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
42 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Substituindo-se 푦 = 0 e 푦 = 푦푀 obtemos 퐴 = 1/푦푀 e 퐵 = 1/푦푀 . Assim,∫
1
푦(푦푀 − 푦)푑푦 =
1
푦푀
(∫
1
푦
푑푦 +
∫
1
푦푀 − 푦푑푦
)
=
1
푦푀
(ln ∣푦∣ − ln ∣푦푀 − 푦∣)
Logo a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´ dada implicitamente por
ln ∣푦∣ − ln ∣푦푀 − 푦∣ = 푘푦푀 푡+ 퐶2.
Usando propriedades do logaritmo podemos reescrever como
ln
∣∣∣∣ 푦푦푀 − 푦
∣∣∣∣ = 퐶2 + 푘푦푀 푡.
Aplicando a exponencial a ambos os membros e eliminando-se o valor absoluto obtemos
푦
푦푀 − 푦 = ±푒
퐶2푒푦푀푘푡 = 퐶푒푦푀푘푡
Substituindo-se 푡 = 푡0 e 푦 = 푦0 na equac¸a˜o acima obtemos
퐶 =
푦0
푦푀 − 푦0 푒
−푦푀푘푡0 .
Vamos explicitar 푦(푡).
푦 = (푦푀 − 푦)퐶푒푦푀푘푡 ⇒ 푦 + 퐶푒푦푀푘푡푦 = 푦푀퐶푒푦푀푘푡
Portanto a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
푦(푡) =
퐶푦푀푒
푦푀푘푡
1 + 퐶푒푦푀푘푡
=
푦0푦푀
푦푀−푦0 푒
푦푀푘(푡−푡0)
1 + 푦0
푦푀−푦0 푒
푦푀푘(푡−푡0) =
푦0푦푀푒
푦푀푘(푡−푡0)
푦푀 − 푦0 + 푦0푒푦푀푘(푡−푡0)
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 43
Dividindo-se numerador e denominador por 푒푦푀푘푡 obtemos
푦(푡) =
푦0푦푀
푦0 + (푦푀 − 푦0)푒−푦푀푘(푡−푡0)
Observe que
lim
푡→∞
푦(푡) = 푦푀 .
Exemplo 1.13. Consideremos a mesma situac¸a˜o do Exemplo 1.12, ou seja, sa˜o colocadas em um
be´quer 3 feˆmeas partenogene´ticas gra´vidas (na˜o ha´ necessidade de fecundac¸a˜o pelo macho) de
um microcrusta´ceo chamado clado´cero em condic¸o˜es ideais de alimentac¸a˜o, temperatura, aerac¸a˜o e
iluminac¸a˜o e auseˆncia de predadores. Sabendo-se que essa populac¸a˜o atinge o ma´ximo de 690 in-
divı´duos e que em 10 dias havia 240 indivı´duos determine a populac¸a˜o em func¸a˜o do tempo supondo-
se que a taxa de crescimento da populac¸a˜o e´ proporcional tanto a populac¸a˜o atual quanto a` diferenc¸a
entre a populac¸a˜o ma´xima e a populac¸a˜o atual (crescimento logı´stico).
A populac¸a˜o como func¸a˜o do tempo, 푦(푡), e´ a soluc¸a˜o do problema⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= 푘푦(690− 푦)
푦(0) = 3, 푦(10) = 240
A equac¸a˜o e´ separa´vel. Multiplicando-se a equac¸a˜o por 1
푦(690−푦) obtemos
1
푦(690− 푦)푦
′ = 푘 (1.17)
Integrando-se em relac¸a˜o a 푡 obtemos∫
1
푦(690− 푦)푦
′푑푡 =
∫
푘푑푡+ 퐶
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
44 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
fazendo-se a substituic¸a˜o 푦′푑푡 = 푑푦 obtemos∫
1
푦(690− 푦)푑푦 =
∫
푘푑푡+ 퐶.
Vamos decompor 1
푦(690−푦) em frac¸o˜es parciais:
1
푦(690− 푦) =
퐴
푦
+
퐵
690− 푦
Multiplicando-se a equac¸a˜o acima por 푦(690− 푦) obtemos
1 = 퐴(690− 푦) + 퐵푦
Substituindo-se 푦 = 0 e 푦 = 690 obtemos 퐴 = 1/690 e 퐵 = 1/690. Assim,∫
1
푦(690− 푦)푑푦 =
1
690
(∫
1
푦
푑푦 +
∫
1
690− 푦푑푦
)
=
1
690
(ln ∣푦∣ − ln ∣690− 푦∣)
Logo a equac¸a˜o (1.17) tem soluc¸a˜o dada implicitamente por
ln ∣푦∣ − ln ∣690− 푦∣ = 푘690푡+ 퐶1.
Usando propriedades do logaritmo podemos reescrever como
ln
∣∣∣∣ 푦690− 푦
∣∣∣∣ = 퐶1 + 푘690푡.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 45
Aplicando-se a exponencial a ambos os membros obtemos
푦
690− 푦 = ±푒
퐶2푒690푘푡 = 퐶푒690푘푡. (1.18)
Substituindo-se 푡 = 0 e 푦 = 3 na equac¸a˜o acima obtemos
퐶 =
3
690− 3 =
3
687
=
1
229
.
Vamos explicitar 푦(푡).
푦 = (690− 푦)퐶푒690푘푡 ⇒ 푦 + 퐶푒690푘푡푦 = 690퐶푒690푘푡
Portanto a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
푦(푡) =
690퐶푒690푘푡
1 + 퐶푒690푘푡
=
690푒690푘푡
1/퐶 + 푒690푘푡
=
690푒690푘푡
229 + 푒690푘푡
=
690
229푒−690푘푡 + 1
Substituindo-se 퐶 = 1/229, 푡 = 10 e 푦 = 240 em (1.18) obtemos
240
690− 240 =
1
229
푒6900푘 ⇒ −690푘 = ln
15
1832
10
Logo a populac¸a˜o de clado´ceros em func¸a˜o do tempo e´ dada por
푦(푡) =
690
229푒
ln 151832
10
푡 + 1
=
690
229
(
15
1832
)푡/10
+ 1
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
46 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
1.4.2 Datac¸a˜o por Carbono 14
A proporc¸a˜o de carbono 14 (radioativo) em relac¸a˜o ao carbono 12 presente nos seres vivos e´
constante. Quando um organismo morre a absorc¸a˜o de carbono 14 cessa e a partir de enta˜o o
carbono 14 vai se transformando em carbono 12 a uma taxa que e´ proporcional a quantidade presente.
Podemos descrever o problema de encontrar a quantidade de carbono 14 em func¸a˜o do tempo, 푦(푡),
como o problema de valor inicial ⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= −푘푦.
푦(0) = 푦0
A equac¸a˜o e´ a mesma do crescimento exponencial (trocando-se 푘 por −푘) e vimos na pa´gina 36
que este problema tem soluc¸a˜o
푦(푡) = 푦0푒
−푘푡,
em que 푦0 e´ a quantidade no instante 푡 = 0.
Exemplo 1.14. Em um pedac¸o de madeira e´ encontrado 1/500 da quantidade original de carbono
14. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 e´ de 5600 anos, ou seja, que em 5600 anos metade
do carbono 14 presente transformou-se em carbono 12. Vamos determinar a idade deste pedac¸o de
madeira.
O problema de valor inicial que descreve esta situac¸a˜o e´⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= −푘푦.
푦(0) = 푦0
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 47
que tem soluc¸a˜o
푦(푡) = 푦0푒
−푘푡
Substituindo-se 푡 = 5600 e 푦 = 푦0/2 (meia-vida) obtemos
푦0/2 = 푦0푒
−푘⋅5600 ⇒ 푘 = ln 2
5600
Agora substituindo-se 푦 = 푦0/500 obtemos
푦0
500
= 푦0푒
−푘푡 ⇒ 푡 = ln 500
푘
=
5600 ln 500
ln 2
≈ 50200 anos
1.4.3 Misturas
Vamos supor que um tanque contenha uma mistura de a´gua e sal com um volume inicial de 푉0
litros e 푄0 gramas de sal e que uma soluc¸a˜o salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa
de 푇푒 litros por minuto possuindo uma concentrac¸a˜o de 퐶푒 gramas de sal por litro. Suponha que a
soluc¸a˜o bem misturada sai a uma taxa de 푇푠 litros por minuto.
A taxa de variac¸a˜o da quantidade de sal no tanque e´ igual a taxa com que entra sal no tanque
menos a taxa com que sai sal do tanque.
A taxa com que entra sal no tanque e´ igual a taxa com que entra a mistura, 푇푒, vezes a
concentrac¸a˜o de entrada, 퐶푒. E a taxa com que sai sal do tanque e´ igual a taxa com que sai a
mistura do tanque, 푇푠, vezes a concentrac¸a˜o de sal que sai do tanque, 퐶푠. Como a soluc¸a˜o e´ bem
misturada esta concentrac¸a˜o e´ igual a concentrac¸a˜o de sal no tanque, ou seja,
퐶푠(푡) =
푄(푡)
푉 (푡)
.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
48 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
y0/2
y0
 500010000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000
t
y
Figura 1.14: Soluc¸a˜o do problema de valor inicial do Exemplo 1.14
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 49
Figura 1.15: Tanque
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
50 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Como o volume no tanque, 푉 (푡), e´ igual ao volume inicial, 푉0, somado ao volume que entra no tanque
menos o volume que sai do tanque, enta˜o
푉 (푡) = 푉0 + 푇푒푡− 푇푠푡 = 푉0 + (푇푒 − 푇푠)푡.
Assim, a quantidade de sal no tanque, 푄(푡), e´ a soluc¸a˜o do problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑푄
푑푡
= 푇푒퐶푒 − 푇푠 푄
푉0 + (푇푒 − 푇푠)푡
푄(0) = 푄0
Exemplo 1.15. Num tanque ha´ 100 litros de salmoura contendo 30 gramas de sal em soluc¸a˜o. ´Agua
(sem sal) entra no tanque a` raza˜o de 6 litros por minuto e a mistura se escoa a` raza˜o de 4 litros por mi-
nuto, conservando-se a concentrac¸a˜o uniforme por agitac¸a˜o. Vamos determinar qual a concentrac¸a˜o
de sal no tanque ao fim de 50 minutos.
O problema pode ser modelado pelo seguinte problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑푄
푑푡
= −4 푄
100 + 2푡
푄(0) = 30
A equac¸a˜o e´ linear e pode ser escrita como
푑푄
푑푡
+ 4
푄
100 + 2푡
= 0
Um fator integrante e´ neste caso
휇(푡) = 푒
∫
4
100+2푡
푑푡 = 푒2 ln(100+2푡) = 푒ln((100+2푡)
2) = (100 + 2푡)2.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 51
Multiplicando-se a equac¸a˜o por 휇(푡) = 푒
∫
4
100+2푡
푑푡 = (100 + 2푡)2 obtemos
푑
푑푡
(
(100 + 2푡)2푄
)
= 0.
Integrando-se obtemos
(100 + 2푡)2푄(푡) = 퐶
ou seja,
푄(푡) =
퐶
(100 + 2푡)2
.
Substituindo 푡 = 0 e 푄 = 30:
퐶 = 30 ⋅ 1002 = 3 ⋅ 105
Substituindo o valor de 퐶 encontrado:
푄(푡) =
3 ⋅ 105
(100 + 2푡)2
A concentrac¸a˜o e´ o quociente da quantidade de sal pelo volume que e´ igual a 푉 (푡) = 100+2푡. Assim
푐(푡) =
3 ⋅ 105
(100 + 2푡)3
e apo´s 50 minutos
푐(50) =
3 ⋅ 105
(200)3
=
3
80
= 0, 0375 gramas/litro
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
52 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
 5
 10
 15
 20
 25
 30
 35
 100 200 300 400 500
t
Q
Figura 1.16: Soluc¸a˜o do problema de valor inicial do Exemplo 1.15
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 53
 0.05
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.3
 0.35
 100 200 300 400 500
t
c
Figura 1.17: Concentrac¸a˜o como func¸a˜o do tempo para o problema do Exemplo 1.15
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
54 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
1.4.4 Lei de Resfriamento de Newton
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variac¸a˜o da temperatura 푇 (푡) de um corpo
em resfriamento e´ proporcional a` diferenc¸a entre a temperatura atual do corpo 푇 (푡) e a temperatura
constante do meio ambiente 푇푚, ou seja, a temperatura do corpo, 푇 (푡) e´ a soluc¸a˜o do problema de
valor inicial ⎧⎨
⎩
푑푇
푑푡
= 푘(푇 − 푇푚)
푇 (0) = 푇0
Exemplo 1.16. O cafe´ esta´ a 90∘ C logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 85∘ C, em
uma cozinha a 25∘ C. Vamos determinar a temperatura do cafe´ em func¸a˜o do tempo e o tempo que
levara´ para o cafe´ chegar a 60∘ C. ⎧⎨
⎩
푑푇
푑푡
= 푘(푇 − 25)
푇 (0) = 90, 푇 (1) = 85
Dividindo-se a equac¸a˜o por 푇 − 25:
1
푇 − 25푇
′ = 푘
Integrando-se em relac¸a˜o a 푡 ∫
1
푇 − 25푇
′푑푡 =
∫
푘푑푡∫
1
푇 − 25푑푇 =
∫
푘푑푡
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 55
ln ∣푇 − 25∣ = 푘푡+ 퐶1
푇 (푡) = 25± 푒퐶1푒푘푡 = 25 + 퐶푒푘푡
Substituindo 푡 = 0 e 푇 = 90:
90 = 25 + 퐶 ⇒ 퐶 = 65
푇 (푡) = 25 + 65푒푘푡
Substituindo-se 푡 = 1 e 푇 = 85:
85 = 25 + 65푒푘 ⇒ 푘 = ln(60
65
)
Assim a temperatura do cafe´ em func¸a˜o do tempo e´ dada por
푇 (푡) = 25 + 65푒ln(
60
65
)푡 = 25 + 65
(
60
65
)푡
Substituindo 푇 = 60:
60 = 25 + 65푒ln(
60
65
)푡
Logo o tempo necessa´rio para que o cafe´ atinja 60∘ e´ de
푡 =
ln(35/65)
ln(60/65)
≈ 8min
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
56 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
 20
 40
 60
 80
 100
 5 10 15 20 25 30 35 40
t
T
Figura 1.18: Soluc¸a˜o do problema de valor inicial do Exemplo 1.16
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 57
1.4.5 Lei de Torricelli
A lei de Torricelli diz que a taxa com que um lı´quido escoa por um orifı´cio situado a uma profun-
didade ℎ e´ proporcional a
√
ℎ. Ou seja,
푑푉
푑푡
= 푘
√
ℎ.
Existe uma relac¸a˜o entre 푉 e ℎ, 푉 = 푉 (ℎ), que depende da forma do tanque. Como
푑푉
푑푡
=
푑푉
푑ℎ
푑ℎ
푑푡
,
enta˜o a altura, ℎ(푡), e´ a soluc¸a˜o do problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑ℎ
푑푡
= 푘
√
ℎ
푑푉
푑ℎ
ℎ(0) = ℎ0
Exemplo 1.17. Um tambor cilı´ndrico, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, esta´ cheio
de a´gua. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a a´gua cair pela metade vamos determinar
a altura ℎ da a´gua dentro do tambor em func¸a˜o do tempo e em quanto tempo o tanque esvazia.
Como para o cilindro
푉 (ℎ) = 휋푅2ℎ = 휋ℎ
enta˜o
푑푉
푑ℎ
= 휋
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
58 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Figura 1.19: Tanque
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 59
 0.5
 1
 1.5
 2
 20 40 60 80 100
t
h
Figura 1.20: Soluc¸a˜o do problema do Exemplo 1.17
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
60 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
e o problema pode ser modelado por ⎧⎨
⎩
푑ℎ
푑푡
= 푘
√
ℎ
ℎ(0) = 2, ℎ(30) = 1
Multiplicando-se a equac¸a˜o por
1√
ℎ
obtemos
1√
ℎ
ℎ′ = 푘.
Integrando-se ambos os membros em relac¸a˜o a 푡 obtemos∫
1√
ℎ
ℎ′푑푡 =
∫
푘푑푡.
Fazendo-se a substituic¸a˜o ℎ′푑푡 = 푑ℎ obtemos∫
1√
ℎ
푑ℎ =
∫
푘푑푡.
Calculando-se as integrais obtemos a soluc¸a˜o geral na forma implı´cita
2
√
ℎ = 푘푡+ 퐶 (1.19)
ou explicitando-se a soluc¸a˜o:
ℎ(푡) = (
퐶 + 푘푡
2
)2.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 61
Substituindo-se 푡 = 0 e ℎ = 2 em (1.19):
2
√
2 = 퐶
Substituindo-se 푡 = 30 e ℎ = 1 em (1.19):
퐶 + 30푘 = 2 ⇒ 푘 = 2− 퐶
30
=
1−√2
15
Assim a func¸a˜o que descreve como a altura da coluna de a´gua varia com o tempo e´ dada por
ℎ(푡) = (
퐶 + 푘푡
2
)2 = (
√
2 +
1−√2
30
푡)2
Substituindo-se ℎ = 0:
푡 = −퐶
푘
=
30
√
2√
2− 1 ≈ 102min
1.4.6 Resisteˆncia em Fluidos
Um corpo que se desloca em um meio fluido sofre uma forc¸a de resisteˆncia que e´ proporcional a
velocidade do corpo. A velocidade, 푣(푡), e´ a soluc¸a˜o do problema de valor inicial⎧⎨
⎩ 푚
푑푣
푑푡
= 퐹 − 푘푣
푣(0) = 0
Para um corpo que cai a forc¸a 퐹 e´ igual ao peso do corpo. Para um barco que se desloca na a´gua
ou um carro em movimento a forc¸a 퐹 e´ igual a forc¸a do motor.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
62 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
P = − mg
Fr = − kv
P = − mg
Exemplo 1.18. Um pa´ra-quedista com o seu pa´ra-quedas pesa 70 quilogramas e salta de uma altura
de 1400 metros. O pa´ra-quedas abre automaticamente apo´s 5 segundos de queda. Sabe-se que a
velocidade limite e´ de 5 metros por segundo. Vamos determinar a velocidade que o pa´ra-quedista
atinge no momento que o pa´ra-quedas abre, quanto tempo demora para a velocidade chegar a 5,1
metros por segundo e como varia a altura em func¸a˜o do tempo.
Vamos convencionar que o sentido positivo e´ para cima e que a origem esta´ na superfı´cie da terra.
Ate´ o momento em que o pa´ra-quedas abre a velocidade e´ a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
⎧⎨
⎩ 푚
푑푣
푑푡
= 푃 = −푚푔
푣(0) = 0
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 63
Ou seja, ⎧⎨
⎩
푑푣
푑푡
= −10
푣(0) = 0
o que leva a soluc¸a˜o
푣(푡) = −10푡.
Quando o pa´ra-quedas abre a velocidade e´ enta˜o de
푣(5) = −50m/s
Ate´ este momento a altura do pa´ra-quedista em func¸a˜o do tempo e´ a soluc¸a˜o doproblema de valor
inicial ⎧⎨
⎩
푑ℎ
푑푡
= 푣(푡) = −10푡
ℎ(0) = 1400
cuja soluc¸a˜o e´
ℎ(푡) = 1400− 5푡2
Assim ate´ o momento que o pa´ra-quedas abre o pa´ra-quedista caiu
1400− ℎ(5) = 125m
Daı´ em diante a velocidade do pa´ra-quedista e´ a soluc¸a˜o do problema de valor inicial⎧⎨
⎩ 푚
푑푣
푑푡
= −푚푔 − 푘푣
푣(5) = −50
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
64 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
 5
 10
 15
 20
 25
 30
 35
 40
 45
 50
 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
t
|v|
Figura 1.21: Mo´dulo da velocidade do Exemplo 1.18
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 65
 200
 400
 600
 800
 1000
 1200
 1400
 50 100 150 200 250
t
h
Figura 1.22: Altura do Exemplo 1.18
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
66 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
A forc¸a de resisteˆncia e´ igual a −푘푣, o sinal menos com uma constante positiva indica que a forc¸a de
resisteˆncia e´ no sentido contra´rio ao da velocidade. Observe que a velocidade e´ negativa o que faz
com que a forc¸a de resisteˆncia seja positiva, ou seja, para cima como convencionamos no inı´cio.⎧⎨
⎩
푑푣
푑푡
= −10− 푘
70
푣 = −10−퐾푣, 퐾 = 푘/70
푣(5) = −50
A equac¸a˜o
푑푣
푑푡
= −10−퐾푣
pode ser reescrita como
1
10 +퐾푣
푣′ = −1
Integrando-se
ln ∣10 +퐾푣∣ = −퐾푡+ 퐶1
10 +퐾푣 = ±푒퐶1푒−퐾푡
푣(푡) = −10
퐾
+ 퐶푒−퐾푡
A velocidade limite e´ de −5 m/s, logo
lim
푡→∞
푣(푡) = −10
퐾
= −5 ⇒ 퐾 = 2
Substituindo-se 푡 = 5 e 푣 = −50 em 푣(푡) = −10
퐾
+ 퐶푒−퐾푡:
−50 = −5 + 퐶푒−5퐾 ⇒ 퐶 = −45푒5퐾
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 67
ou seja, a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
푣(푡) = −5− 45푒−2(푡−5)
Substituindo-se 푣 = −5,1 (lembre-se que e´ negativo por que e´ para baixo!) obtemos
−5,1 = −5− 45푒−2(푡−5) ⇒ 푡− 5 = ln 450
2
≈ 3 segundos,
ou seja, 3 segundos depois do pa´ra-quedas aberto a velocidade ja´ e´ de 5,1 m/s. Depois que o pa´ra-
quedas abre a altura em func¸a˜o do tempo e´ a soluc¸a˜o do problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑ℎ
푑푡
= 푣(푡) = −5− 45푒−2(푡−5)
ℎ(5) = 1400− 125 = 1275
a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e´
ℎ(푡) = −5(푡− 5) + 45
2
푒−2(푡−5) + 퐶
Substituindo-se 푡 = 5 e ℎ = 1275 obtemos 퐶 = 2505/2. Assim a soluc¸a˜o deste problema de valor
inicial e´
ℎ(푡) =
2505
2
− 5(푡− 5) + 45
2
푒−2(푡−5), para 푡 > 5
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
68 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
1.4.7 Circuitos Ele´tricos
Um circuito 푅퐶 e´ um circuito que tem um resistor de resisteˆncia 푅, um capacitor de capacitaˆncia
퐶 e um gerador que gera uma diferenc¸a de potencial ou forc¸a eletromotriz 푉 (푡) ligados em se´rie. A
queda de potencial num resistor de resisteˆncia 푅 e´ igual a 푅퐼 e num capacitor de capacitaˆncia 퐶 e´
igual a 푄
퐶
.
Pela segunda lei de Kirchhoff (lei das malhas) a soma da forc¸as eletromotrizes (neste caso apenas
푉 (푡)) e´ igual a soma das quedas de potencial (neste caso 푅퐼 na resisteˆncia e 푄/퐶 no capacitor),
ou seja,
푅퐼 +
푄
퐶
= 푉 (푡).
Como 퐼(푡) = 푑푄
푑푡
, enta˜o a carga 푄(푡) no capacitor satisfaz a equac¸a˜o diferencial
푅
푑푄
푑푡
+
1
퐶
푄 = 푉 (푡).
Exemplo 1.19. Em um circuito 푅퐶 uma bateria gera uma diferenc¸a de potencial de 10 volts enquanto
a resisteˆncia e´ de 103 ohms e a capacitaˆncia e´ de 10−4 farads. Vamos encontrar a carga 푄(푡) no
capacitor em cada instante 푡, se 푄(0) = 0 e o limite de 푄(푡) quando 푡 tende a mais infinito.
103
푑푄
푑푡
+ 104푄 = 10 ⇒ 푑푄
푑푡
+ 10푄 = 10−2.
A equac¸a˜o e´ linear. Multiplicando-se a equac¸a˜o pelo fator integrante 휇(푡) = 푒10푡 obtemos
푑
푑푡
(
푒10푡푄
)
= 10−2푒10푡
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 69
퐶
푉 (푡)
푅
Figura 1.23: Circuito RC
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
70 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
 0.0005
 0.001
 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
t
Q
Figura 1.24: Soluc¸a˜o do problema do Exemplo 1.19
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 71
integrando-se obtemos
푒10푡푄(푡) = 10−3푒10푡 + 푘
ou
푄(푡) = 10−3 + 푘푒−10푡
Substituindo-se 푡 = 0 e 푄 = 0 obtemos 푘 = −10−3 e assim a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
푄(푡) = 10−3
(
1− 푒−10푡) coulombs.
lim
푡→∞
푄(푡) = 10−3 coulombs.
1.4.8 Reac¸o˜es Quı´micas
Um composto 퐶 e´ formado da reac¸a˜o de duas substaˆncias 퐴 e 퐵. A reac¸a˜o ocorre de forma que
para cada 푚 gramas de 퐴, 푛 gramas de 퐵 sa˜o usadas. A taxa com que se obte´m a substaˆncia 퐶
e´ proporcional tanto a quantidade de 퐴 quanto a quantidade de 퐵 na˜o transformadas. Inicialmente
havia 훼0 gramas de 퐴 e 훽0 gramas de 퐵.
Sejam 훼(푡) e 훽(푡) as quantidades de 퐴 e 퐵 na˜o transformadas, respectivamente e 푦(푡) a quanti-
dade de 퐶 obtida. Enta˜o
푑푦
푑푡
∝ 훼(푡)훽(푡). (1.20)
Sejam 푎(푡) e 푏(푡) a quantidade de 퐴 e 퐵 transformadas. Enta˜o
푎(푡) + 푏(푡) = 푦(푡),
푎(푡)
푏(푡)
=
푚
푛
.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
72 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
De onde segue-se que
푎(푡) =
푚
푚+ 푛
푦(푡), 푏(푡) =
푛
푚+ 푛
푦(푡). (1.21)
Mas as quantidades de 퐴 e 퐵 na˜o transformadas e transformadas esta˜o relacionadas por
훼(푡) = 훼0 − 푎(푡), 훽(푡) = 훽0 − 푏(푡). (1.22)
Substituindo-se (1.21) em (1.22) e (1.22) em (1.20) obtemos
푑푦
푑푡
∝
(
훼0 − 푚
푚+ 푛
푦
)(
훽0 − 푛
푚+ 푛
푦
)
,
ou ainda,
푑푦
푑푡
∝
(
훼0
푚+ 푛
푚
− 푦
)(
훽0
푚+ 푛
푛
− 푦
)
.
Neste caso a quantidade da substaˆncia 퐶 como func¸a˜o do tempo, 푦(푡), e´ a soluc¸a˜o do problema
de valor inicial⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= 푘(훼′ − 푦)(훽′ − 푦)
푦(0) = 0
em que 푘 > 0, 훼′ = 훼0
푚+ 푛
푚
e 훽′ = 훽0
푚+ 푛
푛
.
(a) Se 훼′ = 훽′. Neste caso os reagentes foram colocados em quantidades estequiome´tricas, ou
seja, de forma que na˜o havera´ sobra de reagentes.
A equac¸a˜o e´ separa´vel. Multiplicando-se a equac¸a˜o por 1
(훼′−푦)2 obtemos
1
(훼′ − 푦)2푦
′ = 푘
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 73
Integrando-se em relac¸a˜o a 푡 obtemos∫
1
(훼′ − 푦)2푦
′푑푡 =
∫
푘푑푡+ 퐶
fazendo-se a substituic¸a˜o 푦′푑푡 = 푑푦 obtemos∫
1
(훼′ − 푦)2푑푦 =
∫
푘푑푡+ 퐶.
Logo a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´ dada implicitamente por
1
훼′ − 푦 = 푘푡+ 퐶.
Substituindo-se 푡 = 0 e 푦 = 0 na equac¸a˜o acima obtemos
퐶 =
1
훼′
.
Vamos explicitar 푦(푡).
훼′ − 푦 = 1
푘푡+ 퐶
Portanto a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
푦(푡) = 훼′ − 1
푘푡+ 퐶
Substituindo-se o valor de 퐶 obtido:
푦(푡) = 훼′ − 훼
′
훼′푘푡+ 1
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
74 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Observe que
lim
푡→∞
푦(푡) = 훼′ = 훽′,
lim
푡→∞
훼(푡) = lim
푡→∞
(훼0 − 푚
푚+ 푛
푦(푡)) = 0,
lim
푡→∞
훽(푡) = lim
푡→∞
(훽0 − 푛
푚+ 푛
푦(푡)) = 0.
(b) Se 훼′ ∕= 훽′. Neste caso os reagentes foram colocados em quantidades na˜o estequiome´tricas e
havera´ sobra de um dos reagentes.
A equac¸a˜o e´ separa´vel. Multiplicando-se a equac¸a˜o por 1
(훼′−푦)(훽′−푦) obtemos
1
(훼′ − 푦)(훽′ − 푦)푦
′ = 푘
Integrando-se em relac¸a˜o a 푡 obtemos∫
1
(훼′ − 푦)(훽′ − 푦)푦
′푑푡 =
∫
푘푑푡+ 퐶1
fazendo-se a substituic¸a˜o 푦′푑푡 = 푑푦 obtemos∫
1
(훼′ − 푦)(훽′ − 푦)푑푦 =
∫
푘푑푡+ 퐶1.
Vamos decompor 1
(훼′−푦)(훽′−푦) em frac¸o˜es parciais:
1
(훼′ − 푦)(훽′ − 푦) =
퐴
훼′ − 푦 +
퐵
훽′ − 푦
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 75
Multiplicando-se a equac¸a˜o acima por (훼′ − 푦)(훽′ − 푦) obtemos
1 = 퐴(훽′ − 푦) + 퐵(훼′ − 푦)
Substituindo-se 푦 = 훼′ e 푦 = 훽′ obtemos 퐴 = 1/(훽′ − 훼′) e 퐵 = 1/(훼′ − 훽′). Assim,∫
1
(훼′ − 푦)(훽′ − 푦)푑푦 =
1
훽′ − 훼′
(∫
1
훼′ − 푦푑푦 −
∫
1
훽′ − 푦푑푦
)
= − 1
훽′ − 훼′ (ln ∣훼
′ − 푦∣ − ln ∣훽′ − 푦∣)
Logo a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´ dada implicitamente por
ln ∣훼′ − 푦∣ − ln ∣훽′ − 푦∣ = −푘(훽′ − 훼′)푡+ 퐶1.
Usando propriedades do logaritmo podemos reescrever como
ln
∣∣∣∣훼′ −푦훽′ − 푦
∣∣∣∣ = 퐶1 − 푘(훽′ − 훼′)푡.
Aplicando-se a exponencial a ambos os membros e eliminando-se o valor absoluto obtemos
훼′ − 푦
훽′ − 푦 = ±푒
퐶1푒−(훽
′−훼′)푘푡 = 퐶푒−(훽
′−훼′)푘푡
Substituindo-se 푡 = 0 e 푦 = 0 na equac¸a˜o acima obtemos
퐶 =
훼′
훽′
.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
76 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Vamos explicitar 푦(푡).
훼′ − 푦 = (훽′ − 푦)퐶푒−(훽′−훼′)푘푡 ⇒ 푦 − 퐶푒−(훽′−훼′)푘푡푦 = 훼′ − 훽′퐶푒−(훽′−훼′)푘푡
Portanto a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
푦(푡) =
훼′ − 훽′퐶푒−(훽′−훼′)푘푡
1− 퐶푒−(훽′−훼′)푘푡
Substituindo-se o valor de 퐶 obtido:
푦(푡) = 훽′훼′
1− 푒−(훽′−훼′)푘푡
훽′ − 훼′푒−(훽′−훼′)푘푡
Observe que
lim
푡→∞
푦(푡) =
{
훼′ = 훼0푚+푛푚 , se 훽
′ > 훼′
훽′ = 훽0푚+푛푛 , se 훼
′ > 훽′
,
lim
푡→∞
훼(푡) = lim
푡→∞
(훼0 − 푚
푚+ 푛
푦(푡)) =
{
0, se 훽′ > 훼′
훼0 − 푚푛 훽0, se 훼′ > 훽′
,
lim
푡→∞
훽(푡) = lim
푡→∞
(훽0 − 푛
푚+ 푛
푦(푡)) =
{
훽0 − 푛푚훼0, se 훽′ > 훼′
0, se 훼′ > 훽′
.
Exemplo 1.20. Um composto퐶 e´ formado da reac¸a˜o de duas substaˆncias퐴 e퐵. A reac¸a˜o ocorre de
forma que para cada grama de 퐵, 2 gramas de 퐴 sa˜o usadas. A taxa com que se obte´m a substaˆncia
퐶 e´ proporcional tanto a quantidade de 퐴 quanto a quantidade de 퐵 na˜o transformadas. Inicialmente
havia 40 gramas de 퐴 e 50 gramas de 퐵. Vamos determinar a quantidade de 퐶 em func¸a˜o do tempo,
sabendo-se que em 10 minutos sa˜o formados 10 gramas de 퐶.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 77
Sejam 훼(푡) e 훽(푡) as quantidades de 퐴 e 퐵 na˜o transformadas, respectivamente e 푦(푡) a quanti-
dade de 퐶 obtida. Enta˜o
푑푦
푑푡
∝ 훼(푡)훽(푡). (1.23)
Sejam 푎(푡) e 푏(푡) a quantidade de 퐴 e 퐵 transformadas. Enta˜o
푎(푡) + 푏(푡) = 푦(푡), 푎(푡) = 2푏(푡).
De onde segue-se que
푎(푡) =
2
3
푦(푡), 푏(푡) =
1
3
푦(푡). (1.24)
Mas as quantidades de 퐴 e 퐵 na˜o transformadas e transformadas esta˜o relacionadas por
훼(푡) = 40− 푎(푡), 훽(푡) = 50− 푏(푡). (1.25)
Substituindo-se (1.32) em (1.33) e (1.33) em (1.31) obtemos
푑푦
푑푡
∝
(
40− 2
3
푦
)(
50− 1
3
푦
)
,
ou ainda,
푑푦
푑푡
∝ (60− 푦) (150− 푦) .
Neste caso a quantidade da substaˆncia 퐶 como func¸a˜o do tempo, 푦(푡), e´ a soluc¸a˜o do problema⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= 푘(60− 푦)(150− 푦)
푦(0) = 0, 푦(10) = 10
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
78 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
A equac¸a˜o e´ separa´vel. Multiplicando-se a equac¸a˜o por 1
(60−푦)(150−푦) obtemos
1
(60− 푦)(150− 푦)푦
′ = 푘
Integrando-se em relac¸a˜o a 푡 obtemos∫
1
(60− 푦)(150− 푦)푦
′푑푡 =
∫
푘푑푡+ 퐶1
fazendo-se a substituic¸a˜o 푦′푑푡 = 푑푦 obtemos∫
1
(60− 푦)(150− 푦)푑푦 =
∫
푘푑푡+ 퐶1.
Vamos decompor 1
(60−푦)(150−푦) em frac¸o˜es parciais:
1
(60− 푦)(150− 푦) =
퐴
60− 푦 +
퐵
150− 푦
Multiplicando-se a equac¸a˜o acima por (60− 푦)(150− 푦) obtemos
1 = 퐴(150− 푦) + 퐵(60− 푦)
Substituindo-se 푦 = 60 e 푦 = 150 obtemos 퐴 = 1/90 e 퐵 = −1/90. Assim,∫
1
(60− 푦)(150− 푦)푑푦 =
1
90
(∫
1
60− 푦푑푦 −
∫
1
150− 푦푑푦
)
= − 1
90
(ln ∣60− 푦∣ − ln ∣150− 푦∣)
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 79
Logo a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´ dada implicitamente por
ln ∣60− 푦∣ − ln ∣150− 푦∣ = −90푘푡+ 퐶2.
Usando propriedades do logaritmo podemos reescrever como
ln
∣∣∣∣ 60− 푦150− 푦
∣∣∣∣ = 퐶2 − 90푘푡.
Aplicando-se a exponencial a ambos os membros e eliminando-se o valor absoluto obtemos
60− 푦
150− 푦 = ±푒
퐶2푒−90푘푡 = 퐶푒−90푘푡
Substituindo-se 푡 = 0 e 푦 = 0 na equac¸a˜o acima obtemos
퐶 =
2
5
.
Substituindo-se 퐶 = 2
5
, 푡 = 10 e 푦 = 10 na equac¸a˜o acima obtemos
25
28
= 푒−900푘
ou
90푘 =
1
10
ln
(
28
25
)
.
Vamos explicitar 푦(푡).
60− 푦 = (150− 푦)퐶푒−90푘푡 ⇒ 푦 − 퐶푒−90푘푡푦 = 60− 150퐶푒−90푘푡
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
80 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Portanto a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
푦(푡) =
60− 150퐶푒−90푘푡
1− 퐶푒−90푘푡
Substituindo-se os valores de 퐶 e 푘 obtidos:
푦(푡) =
300(1− 푒− 110 ln( 2825)푡)
5− 2푒− 110 ln( 2825)푡
=
300(1− (28
25
)−푡/10
)
5− 2 (28
25
)−푡/10
Observe que
lim
푡→∞
푦(푡) = 60 gramas
lim
푡→∞
훼(푡) = lim
푡→∞
(40− 2
3
푦(푡)) = 0
lim
푡→∞
훽(푡) = lim
푡→∞
(50− 1
3
푦(푡)) = 30 gramas
Portanto a quantidade inicial de퐴 sera´ toda consumida na reac¸a˜o, entretanto sobrara´ ainda 30 gramas
de 퐵.
Exemplo 1.21. Nas mesmas condic¸o˜es de exemplo anterior, um composto 퐶 e´ formado da reac¸a˜o
de duas substaˆncias 퐴 e 퐵. A reac¸a˜o ocorre de forma que para cada grama de 퐵, 2 gramas de 퐴
sa˜o usadas. A taxa com que se obte´m a substaˆncia 퐶 e´ proporcional tanto a quantidade de 퐴 quanto
a quantidade de 퐵 na˜o transformadas. Mas agora vamos supor que havia inicialmente 40 gramas de
퐴 e 20 gramas de 퐵. Vamos determinar a quantidade de 퐶 em func¸a˜o do tempo, sabendo-se que em
10 minutos sa˜o formados 10 gramas de 퐶.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 81
 10
 20
 30
 40
 50
 60
 50 100 150 200
t
y
Figura 1.25: Func¸a˜o do Exemplo 1.20
Temos enta˜o
푑푦
푑푡
∝
(
40− 2
3
푦
)(
20− 1
3
푦
)
,
ou ainda,
푑푦
푑푡
∝ (60− 푦)2 .
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
82 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Neste caso a quantidade da substaˆncia 퐶 como func¸a˜o do tempo, 푦(푡), e´ a soluc¸a˜o do problema⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= 푘 (60− 푦)2
푦(0) = 0, 푦(10) = 10
A equac¸a˜o e´ separa´vel. Multiplicando-se a equac¸a˜o por 1
(60−푦)2 obtemos
1
(60− 푦)2푦
′ = 푘
Integrando-se em relac¸a˜o a 푡 obtemos∫
1
(60− 푦)2푦
′푑푡 =
∫
푘푑푡+ 퐶
fazendo-se a substituic¸a˜o 푦′푑푡 = 푑푦 obtemos∫
1
(60− 푦)2푑푦 =
∫
푘푑푡+ 퐶.
Logo a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´ dada implicitamente por
1
60− 푦 = 푘푡+ 퐶.
Substituindo-se 푡 = 0 e 푦 = 0 na equac¸a˜o acima obtemos
퐶 =
1
60
.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 83
Substituindo-se 퐶 = 1
60
, 푡 = 10 e 푦 = 10 na equac¸a˜o acima obtemos
푘 =
1
500
− 1
600
=
1
3000
.
Vamos explicitar 푦(푡).
60− 푦 = 1
푘푡+ 퐶
Portanto a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
푦(푡) = 60− 1
푘푡+ 퐶
Substituindo-se os valores de 퐶 e 푘 obtidos:
푦(푡) = 60− 3000
푡+ 50
lim
푡→∞
푦(푡) = 60,
lim
푡→∞
훼(푡) = lim
푡→∞
(40− 2
3
푦(푡)) = 0,
lim
푡→∞
훽(푡) = lim
푡→∞
(20− 1
3
푦(푡)) = 0.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
84 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
 10
 20
 30
 40
 50
 60
 50 100 150 200
t
y
Figura 1.26: Func¸a˜o do Exemplo 1.21
Exercı´cios (respostas na pa´gina 119)
4.1. Um tanque conte´m 100 litros de uma soluc¸a˜o a uma concentrac¸a˜o de 1 grama por litro. Uma
soluc¸a˜o com uma concentrac¸a˜o de 2푡푒− 1100 푡 gramas por litro entra no tanque a uma taxa cons-
tante de 1 litro por minuto, enquanto que a soluc¸a˜o bem misturada sai a` mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante 푡, onde 푡 e´ contado a partir do
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 85
inı´cio do processo.
(b) Calcule a concentrac¸a˜o de sal no tanque 푡 = 10 minutos apo´s o inı´cio do processo.
4.2. Um tanque conte´m inicialmente 100 litros de a´gua pura. Enta˜o, a´gua salgada, contendo
30 푒−
2
10
푡 gramas de sal por litro, passa a ser bombeada para o tanque a uma taxa de 10 litros
por minuto. Simultaneamente a soluc¸a˜o passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma
taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante 푡, onde 푡 e´ contado a partir do
inı´cio do processo.
(b) Calcule em que instante a concentrac¸a˜o de sal no tanque sera´ de 7,5 gramas por litro.
4.3. Um tanque conte´m inicialmente 100 litros de a´gua e 100 gramas de sal. Enta˜o uma mistura
de a´gua e sal na concentrac¸a˜o de 5 gramas de sal por litro e´ bombeada para o tanque a uma
taxa de 4 litrospor minuto. Simultaneamente a soluc¸a˜o (bem misturada) e´ retirada do tanque
na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante 푡, onde 푡 e´ contado a partir do
inı´cio do processo.
(b) Calcule a concentrac¸a˜o limite de sal no tanque quando 푡→∞ e o tempo necessa´rio para
que a concentrac¸a˜o atinja metade deste valor.
4.4. Suponha que um tanque contenha uma mistura de a´gua e sal com um volume inicial 100 litros
e 10 gramas de sal e que uma soluc¸a˜o salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa
de 3 litros por minuto possuindo uma concentrac¸a˜o de 1 grama de sal por litro. Suponha que a
soluc¸a˜o bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
86 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante 푡, onde 푡 e´ contado a partir do
inı´cio do processo.
(b) De qual valor se aproxima a concentrac¸a˜o quando o tanque esta´ enchendo, se a sua
capacidade e´ de 200 litros?
4.5. Suponha que um tanque contenha uma mistura de a´gua e sal com um volume inicial 100 litros
e 10 gramas de sal e que a´gua pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro
por minuto. Suponha que a soluc¸a˜o bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante 푡, onde 푡 e´ contado a partir do
inı´cio do processo.
(b) De qual valor se aproxima a concentrac¸a˜o quando o tanque se aproxima de ficar vazio?
4.6. Dentro da Terra a forc¸a da gravidade e´ proporcional a` distaˆncia ao centro. Um buraco e´ cavado
de polo a polo e uma pedra e´ largada na borda do buraco.
(a) Determine a velocidade da pedra em func¸a˜o da distaˆncia.
(b) Com que velocidade a pedra atinge o centro da Terra? Com que velocidade atinge o outro
polo?
(Sugesta˜o: 푑푣
푑푡
= 푑푣
푑푥
푑푥
푑푡
e 푣 = 푑푥
푑푡
)
4.7. A taxa com que uma gota esfe´rica se evapora (푑푉
푑푡
) e´ proporcional a sua a´rea. Determine o raio
da gota em func¸a˜o do tempo, supondo que no instante 푡 = 0 o seu raio e´ 푟0 e que em uma hora
o seu raio seja a metade.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 87
4.8. Num processo quı´mico, uma substaˆncia se transforma em outra, a uma taxa proporcional a`
quantidade de substaˆncia na˜o transformada. Se esta quantidade e´ 48 ao fim de 1 hora, e 27,
ao fim de 3 horas, qual a quantidade inicial da substaˆncia?
4.9. A populac¸a˜o de bacte´rias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao nu´mero de
bacte´rias no instante 푡. Apo´s treˆs horas, observou-se a existeˆncia de 400 bacte´rias. Apo´s 9
horas, 2500 bacte´rias. Qual era o nu´mero inicial de bacte´rias?
4.10. Uma populac¸a˜o de bacte´rias cresce a uma taxa proporcional a populac¸a˜o presente. Sabendo-
se que apo´s uma hora a populac¸a˜o e´ 2 vezes a populac¸a˜o inicial, determinar a populac¸a˜o como
func¸a˜o do tempo e o tempo necessa´rio para que a populac¸a˜o triplique. Fac¸a um esboc¸o do
gra´fico da populac¸a˜o em func¸a˜o do tempo.
4.11. Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja por-
tador de um vı´rus e que a taxa com que o vı´rus se espalha na comunidade seja proporcional
tanto ao nu´mero de pessoas infectadas como tambe´m ao nu´mero de pessoas na˜o infectadas.
Se for observado que apo´s 4 semanas 5 pessoas esta˜o infectadas. Determine o nu´mero de
pessoas infectadas em func¸a˜o do tempo. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da soluc¸a˜o.
4.12. Um tambor coˆnico com ve´rtice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro,
esta´ cheio de a´gua. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a altura da coluna de
a´gua cair pela metade determinar a altura ℎ em func¸a˜o do tempo e em quanto tempo o tanque
esvazia. A lei de Torricelli diz que a taxa com que um lı´quido escoa por um orifı´cio situado a
uma profundidade ℎ e´ proporcional a
√
ℎ.
4.13. Um termoˆmetro e´ levado de uma sala onde a temperatura e´ de 20∘ C para fora onde a tempe-
ratura e´ de 5∘ C. Apo´s 1/2 minuto o termoˆmetro marca 15∘ C.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
88 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
(a) Determine a temperatura marcada no termoˆmetro como func¸a˜o do tempo.
(b) Qual sera´ a leitura do termoˆmetro apo´s 1 minuto?
(c) Em quanto tempo o termoˆmetro ira´ marcar 10∘ C?
4.14. Um bote motorizado e seu tripulante teˆm uma massa de 120 kg e estava inicialmente no re-
pouso. O motor exerce uma forc¸a constante de 10 N, na direc¸a˜o do movimento. A resisteˆncia
exercida pela a´gua, ao movimento, e´, em mo´dulo, igual ao dobro da velocidade.
(a) Determine a velocidade do bote em func¸a˜o do tempo.
(b) Determine a velocidade limite do bote.
(c) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da velocidade em func¸a˜o do tempo.
4.15. Em um circuito 푅퐶 uma bateria gera uma diferenc¸a de potencial de 10 volts enquanto a re-
sisteˆncia e´ de 200 ohms e a capacitaˆncia e´ de 10−4 farads. Encontre a carga 푄(푡) no capacitor
em cada instante 푡, se 푄(0) = 0. Encontre tambe´m a corrente 퐼(푡) em cada instante 푡.
4.16. Considere o circuito ele´trico abaixo formado por um resistor, um indutor e uma fonte de tensa˜o
externa. A bateria gera uma diferenc¸a de potencial de 푉 (푡) = 10 volts, enquanto a resisteˆncia
푅 e´ de 100 ohms e a indutaˆncia 퐿 e´ de 0,5 henrys. Sabendo-se que a queda de potencial em
um indutor e´ igual a 퐿푑퐼
푑푡
, encontre a corrente 퐼(푡) em cada instante 푡, se 퐼(0) = 0.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 89
R
V(t)
L
Figura 1.27: Circuito RL
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
90 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
4.17. Um composto 퐶 e´ formado da reac¸a˜o de duas substaˆncias 퐴 e 퐵. A reac¸a˜o ocorre de forma
que para cada grama de 퐵, 4 gramas de 퐴 sa˜o usadas. A taxa com que se obte´m a substaˆncia
퐶 e´ proporcional tanto a quantidade de 퐴 quanto a quantidade de 퐵 na˜o transformadas. Inici-
almente havia 32 gramas de 퐴 e 50 gramas de 퐵.
(a) Determine a quantidade de 퐶 em func¸a˜o do tempo, sabendo-se que em 10 minutos sa˜o
formados 30 gramas de 퐶. Qual a quantidade limite de 퐶 apo´s um longo perı´odo. Quanto
restara´ de 퐴 e 퐵 apo´s um longo perı´odo.
(b) Repita o item anterior se esta˜o presentes inicialmente 32 gramas de 퐴 e 8 gramas de 퐵.
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 91
1.5 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es
Considere novamente o problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= 푓(푡, 푦)
푦(푡0) = 푦0
(1.26)
Nem sempre este problema tem uma u´nica soluc¸a˜o como mostra o pro´ximo exemplo.
Exemplo 1.22. Considere o problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
=
√
푦
푦(0) = 0
Este problema tem duas soluc¸o˜es (verifique!)
푦1(푡) =
푡2
4
, para 푡 ≥ 0
e
푦2(푡) = 0.
Se a func¸a˜o 푓(푡, 푦) e a sua derivada ∂푓
∂푦
forem contı´nuas em um retaˆngulo em torno de (푡0, 푦0)
o que ocorreu no exemplo anterior na˜o acontece como estabelecemos no pro´ximo teorema que sera´
demonstrado apenas ao final da sec¸a˜o.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
92 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t
y
Figura 1.28: Duas soluc¸o˜es do problema de valor inicial do Exemplo 1.22
To´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Marc¸o 2010
1.4 Aplicac¸o˜es 93
to
yo
t
y
Figura 1.29: Retaˆngulo em torno de (푡0, 푦0) onde o problema de valor inicial tem uma u´nica soluc¸a˜o
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
94 Equac¸o˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Teorema 1.1 (Existeˆncia e Unicidade). Considere o problema de valor inicial⎧⎨
⎩
푑푦
푑푡
= 푓(푡, 푦)
푦(푡0) = 푦0
(1.27)
Se 푓(푡, 푦) e ∂푓
∂푦
sa˜o contı´nuas no retaˆngulo
푅 = {(푡, 푦) ∈ ℝ2 ∣ 훼 < 푡 < 훽, 훿 < 푦 < 훾}
contendo (푡0, 푦0), enta˜o o problema (1.27) tem uma u´nica soluc¸a˜o em um intervalo contendo