Equilíbrio estático de forças

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Universidade Federal de São Paulo 
Instituto de Ciência e Tecnologia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equilíbrio estático de forças 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Andressa Morais Vieira 
 Carlos Alberto P.de Souza 
Gabriela Ferrão Capelli 
Jean-Lucas Silva 
Matheus Tavares Santos 
Samir Ribeiro Salim 
Thamires Carvalho Torres 
 
 120191 
 120222 
 102181 
 120443 
 102084 
 120608 
 102233 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos Mecânicos Experimental 
Professora Dra. Thaciana Malaspina 
 
 
São José dos Campos, SP 
Fevereiro de 2018 
thaciana
Nota
Capa: 0.25nullÍndice: 0.25nullResumo: 0.25nullIntrodução: 1.00nullObjetivos: 0.25nullMateriais: 0.25nullProcedimento: 0.25nullResultados e Discussões: 5.0nullConclusão: 1.50nullReferências: 0.25nullnullNOTA: 9.25
 
ÍNDICE 
 
 
 
RESUMO 2 
ABSTRACT 2 
1.INTRODUÇÃO 3 
1.1 Histórico do conceito de força 3 
1.2 Primeira Lei de Newton, equilíbrio estático e decomposição de forças 4 
1.3 Mesa de forças, painel com tripé, dinamômetro e goniômetro 8 
2.OBJETIVOS 10 
3.MATERIAIS 10 
4.PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 11 
5.RESULTADOS E DISCUSSÕES 13 
6.CONCLUSÃO 18 
7.REFERÊNCIAS 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
RESUMO 
 
O conceito de força vem sendo desenvolvido desde a antiguidade. O inglês Isaac 
Newton, nos século XVII e XVIII, definiu princípios fundamentais para o estudo das 
forças e fenômenos relacionados. Um corpo é dito em equilíbrio quando a soma 
vetorial das forças nele atuantes é nula. Já o equilíbrio estático é a situação de 
equilíbrio em um corpo em estado de repouso. Neste experimento teve-se como 
proposta calcular o módulo de forças coplanares e como elas se inter-relacionam na 
manutenção do equilíbrio estático do corpo, bem como sua decomposição em eixos 
ortogonais. Os resultados atingidos foram satisfatoriamente próximos dos desejados 
a partir do cálculo teórico. 
 
 
ABSTRACT 
 
The concept of force has been developed since antiquity. The british Isaac Newton, 
on XVII and XVII centuries, defined primordial elements to the study of forces and 
related phenomenons. An object is declared in equilibrium state when the vectorial 
addition of the acting forces is zero. Static equilibrium is a situation of equilibrium of 
an object in state of rest. On this experiment the purpose was to calculate the module 
of coplanar forces and how they are related to themselves on the conservation of the 
static equilibrium, as its decomposition in orthogonal axes. The results were 
satisfactorily close to the desired values obtained by the theoretical calculus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1.INTRODUÇÃO 
 
1.1 Histórico do conceito de força 
 
Historicamente falando, o conceito de força é bastante antigo, sendo que 
desde a Antiguidade o movimento e as grandezas físicas já eram estudadas. 
Aristóteles, a partir da análise de movimento dos corpos, enunciou uma lei sobre a 
força, que diz que “a velocidade de um corpo que se desloca num meio é 
diretamente proporcional à força aplicada ao corpo e inversamente proporcional à 
resistência do meio.” [1] Matematicamente, essa expressão é representada pela 
Equação 1 abaixo, em que F equivale à intensidade da força aplicada ao corpo, R a 
resistência do meio no qual ocorre o movimento e v a velocidade do corpo em 
questão: 
 
v ​∝ R
F 
Equação 1: ​Relação de Aristóteles sobre força [1] 
 
No século VI, foi desenvolvida pelo filósofo francês Buridan e proposta por 
Philoponus a teoria medieval do Impetus. Segundo essa teoria, “quando um corpo é 
colocado em movimento por um agente externo, ele imprime ao corpo um certo 
impetus, ou seja, uma força que permite ao corpo se mover na direção que o agente 
externo o submeteu inicialmente, seja para cima, para baixo, para o lado ou em 
círculo”. [2] 
Durante os séculos XVI e XVII, Galileu, em um tratado realizado no início de 
sua carreira ​De motu ​(Do movimento), considerou necessária a associação de uma 
força a um objeto em movimento para que esse continuasse em movimento. 
Inicialmente, Galileu considerava que no lançamento de um corpo para o alto, 
imprimia-se uma força ao corpo. Quando essa força diminui, o corpo desacelera em 
direção ao alto. A aceleração seria então o resultado da diferença do peso do corpo 
3 
 
e a diminuição da força impressa. Então, “toda a força impressa desapareceria em 
algum momento da queda, a partir do qual o corpo cairia com velocidade uniforme, 
sob ação do próprio peso” [1]. Posteriormente, Galileu chegou à conclusão de que a 
queda dos corpos se dava de forma acelerada em todo trajeto e não apenas em 
parte dele (aceleração constante). 
A consolidação da mecânica necessária para explicar os fenômenos 
terrestres e celestes se deu com a publicação de “Princípios Matemáticos de 
Filosofia Natural”, de Isaac Newton. Nessa obra, Newton definiu conceitos 
fundamentais para a mecânica, como: quantidade de matéria (massa), quantidade 
de movimento, inércia, força centrípeta, tempo absoluto e relativo, espaço absoluto e 
relativo, movimentos absolutos e relativos [1]. 
Isaac Newton ainda determinou três forças: a primeira força inata (poder de 
resistência ao movimento), a força imprimida (“ação exercida sobre o corpo de modo 
a mudar seu estado”), e por fim, a força centrípeta. Também publicou as três leis de 
Newton (Princípio da Inércia, Princípio Fundamental da Dinâmica e Princípio da 
Ação e Reação). 
Atualmente, a força é definida como um “agente capaz de modificar o estado 
de repouso ou de movimento de um determinado corpo”. 
 
1.2 Primeira Lei de Newton, equilíbrio estático e decomposição de forças 
A força e massa são conceitos utilizados para analisar os princípios da 
dinâmica. Esses princípios são conhecidos como as leis de Newton do 
movimento.[3] 
A definição de força é uma interação entre dois corpos ou entre o corpo e 
seu ambiente. É uma grandeza vetorial, ou seja, o corpo pode interagir em direções 
diferentes. Para representarmos o vetor força, precisamos descrever a direção e o 
sentido em que ele age, além do seu módulo que mostra a intensidade com que a 
força puxa ou empurra. A unidade de força no SI é Newton (N). [3] 
O efeito sobre o movimento de um corpo produzido por um número qualquer 
de forças é o mesmo que é produzido por uma força única igual à soma vetorial de 
4 
 
todas as forças, esse conceito é chamado de superposição das forças. Então, 
qualquer força pode ser substituída pelos seus vetores componentes que atuam em 
um mesmo ponto. [3] 
Para determinarmos o vetor que soma todas as forças resultantes que 
atuam sobre um corpo, devemos achar as forças resultantes nas componentes x e y. 
Após isso, podemos achar o módulo, a direção e o sentido da força resultante. Para 
encontrarmos a força resultante é realizada uma somatória das forças. [3] 
 
R = ∑
 
 
F 
Equação 1: Força Resultante [3] 
 
O módulo da força resultanteé dado pela equação: 
 R = √R2x + R2y 
Equação 2: Módulo da Força Resultante [3] 
 
O ângulo entre a força resultante e o eixo + Ox pode ser determinado pela 
relação: 
gθt = Rx
R y 
Equação 3: Ângulo da Força Resultante [3] 
 
A primeira lei de Newton enuncia que: Quando a força resultante sobre um 
corpo é igual a zero, ele se move com velocidade constante ( que pode ser nula) e 
aceleração nula. Na primeira lei de Newton é importante conhecer a força 
resultante. Quando não existe nenhuma força atuando sobre um corpo ou quando 
existem diversas forças com uma resultante igual a zero, significa que o corpo está 
em equilíbrio. ​No equilíbrio, o corpo pode estar em repouso ou em movimento com 
velocidade constante, para isso a força resultante deverá ser igual a zero:[3] 
∑
 
 
F = 0 
Equação 4: Equilíbrio de um corpo [3] 
5 
 
 
Para o equilíbrio de um corpo ser real, ambos componentes da força 
resultante deverá ser igual a zero:[3] 
 
 e ∑
 
 
F x = 0 ∑
 
 
F y = 0 
Equação 5: Equilíbrio de um corpo [3] 
 
Essas equações são válidas apenas para uma partícula pontual. Se o corpo 
possuir um tamanho finito, as forças que estão aplicadas sobre o corpo devem ser 
consideradas. [3] 
“Os diagramas de corpo livre são essenciais para ajudar a identificar as 
forças relevantes. É um diagrama que mostra o corpo “livre” das suas vizinhanças, 
com vetores desenhados para mostrar o módulo, a direção e o sentido de todas as 
forças que atuam sobre o corpo e que são resultantes de vários outros corpos que 
interagem com ele.” É necessário que sejam incluídas todas as forças que atuam 
sobre o corpo e não as forças que o corpo exerce sobre outros corpos. As forças 
que um corpo exerce sobre si mesmo nunca devem aparecer, porque forças internas 
não afetam o movimento do corpo. [3] Na Figura 1 abaixo, está representado um 
exemplo de diagrama de corpo livre: 
 
Figura 1:​ Diagrama de corpo livre de carro sobre rampa [3] 
 
 
 
6 
 
Considera-se o triângulo retângulo representado pela Figura 2 abaixo: 
 
 
Figura 2: ​Forças coplanares e ângulo formado pela força resultante F. Disponível 
em: 
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/upload/conteudo/images/decomposicao%20d
o%20vetor%20f.jpg> Acesso em 27 de abril de 2018. 
A partir da análise de sua porção amarela , temos as equações 6 e 7: 
 
sen = = ∴α hipotenusa
cateto oposto
F
Fy 
 ​ ​F​y ​= F. ​sen α 
Equação 6: Decomposição de forças no eixo y para ângulo [4]α 
 
cos = = ​∴α hipotenusa
cateto adjacente
F
Fx 
 ​F​x ​= F. ​cos α 
Equação 7: Decomposição de forças no eixo x para ângulo [4]α 
 
Analisando a porção branca do triângulo retângulo, temos as equações 8 e 
9: 
sen = = ​∴β hipotenusa
cateto oposto
F
Fx 
 ​ ​F​x ​= F. ​sen β 
Equação 8: Decomposição de forças no eixo x para ângulo [4]β 
 
7 
 
cos = = ∴β hipotenusa
cateto adjacente
F
Fy 
 ​F​y ​= F. ​cos α 
Equação 9: Decomposição de forças no eixo y para ângulo [4]β 
 
1.3 Mesa de forças, painel com tripé, dinamômetro e goniômetro 
 
De forma experimental, há alguns meios de determinar as forças presentes 
no equilíbrio. A mesa de forças, representada pela Figura 3, é um dispositivo que 
torna possível a verificação experimental da soma de vetores. É composta por um 
disco circular graduado em graus, no qual é possível fixar roldanas móveis. Nas 
roldanas são penduradas massas por um fio, sendo que este vai encontrar um anel 
metálico fixo ao pino no centro da mesa, sendo que o peso das massas 
correspondem às forças a serem equilibradas. O equilíbrio ocorre quando o anel fica 
centralizado em relação ao pino. 
 
 
Figura 3: ​Mesa de forças. Disponível em: 
<https://www.3bscientific.com.br/thumblibrary/U52004/U52004_01_1200_1200_Mes
a-de-forcas.jpg> Acesso em 27 de abril de 2018. 
 
8 
 
No presente experimento, foi utilizado um painel de força com tripé, 
dinamômetro e goniômetro para realizar a determinação das forças coplanares. 
“O goniômetro é um instrumento de medição e verificação de medidas 
angulares. O goniômetro simples, também conhecido como transferidor de grau, é 
utilizado em medidas angulares que não necessitam extremo rigor. Sua menor 
divisão é de 1º (um grau).” [5] No experimento, o goniômetro (Figura 4) foi utilizado 
para determinar as inclinações. 
 
 
 
 Figura 4: ​Goniômetro utilizado para a medição. ​Acervo pessoal. 
 
 
 
Um instrumento utilizado para medir o módulo de uma força é o 
dinamômetro, representado na Figura 5, que funciona como uma balança de molas. 
Possui uma mola protegida no interior de uma caixa cilíndrica com um ponteiro 
ligado em sua extremidade. Ao aplicar força na extremidade da mola, ela se deforma 
e o valor da deformação é proporcional à força aplicada. [3] 
 
 
9 
thaciana
Realce
thaciana
Nota
Porque bom humor cabe em todo lugar! ;)
 
 
Figura 5: ​Dinamômetro. Disponível em: 
<http://www.homelab.com.br/loja/images/temp/450_conjunto-de-dinamometro-com--
unidades---n-n-n-n-1.jpg> Acesso em 27 de abril de 2018. 
 
 
2.OBJETIVOS 
 
Estes experimento tem como objetivo a aplicação das leis de newton para o estudo 
do equilíbrio estático, com o cálculo da resultante de duas forças coplanares, através de 
suas decomposições nos eixos ortogonais. Além da análise da influência da angulação na 
composição das forças. 
 
 
 
3.MATERIAIS 
 
Para a realização do procedimento experimental, foram previstas as 
utilizações dos seguintes itens: 
● Painel de forças; 
● Régua milimetrada; 
● Dinamômetro; 
● Goniômetro; 
● Fios com anéis nas extremidades; 
● Massas acopláveis 
10 
 
● Ganchos, parafusos e suportes. 
 
 
Tabela 1: ​Caracterização dos instrumentos de medição 
Instrumento Marca e 
modelo 
Tipo 
(anal/digital) 
Faixa nominal 
de operação 
Incerteza (𝛿) 
Régua 
milimétrica 
Cidepe Analógica 0-500 mm 0,50 
Dinamômetro Cidepe 
EQ007-08C 
Analógico 0-2N 0,10 N 
Goniômetro Cidepe Analógico 0-90° 
quadrante 
0,5° 
4.PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Para a realização do experimento foram seguidos os seguintes passos: 
 
No início, analisou-se as forças que o dinamômetro mostrava para o gancho 
com duas massas acopláveis de 50 gramas, nas distribuições seguintes: 
1. Com o dinamômetro posicionado horizontalmente, ;FH 
2. Com o dinamômetro na posição unicamente vertical, ;F V 
3. Com o dinamômetro marcando 45º com a horizontal, ;F 45 
 
Posteriormente, foram montadas duas distribuições, com o auxílio de dois 
dinamômetros, de forma mais elaborada: 
1. Alocar os dinamômetros de modo que ambos formassem um ângulo de 45º; 
11 
 
 
Figura 6: ​Diagrama de forças, tal que 5º θ = Ⲫ = 4 
 
2. Alocar um dinamômetro em 40º e outro em 60º. 
 
Figura 7:​ Diagrama de forças, tal que e 0º θ = 6 0º Ⲫ = 4 
 
A medição dos ângulos foi feita com o auxílio do goniômetro. Os dados 
obtidos foram devidamente anotados para discussão. 
 
 
 
12 
 
5.RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Inicialmente os pesos foram medidos para encontrar (posição FH 
horizontal),(posição vertical) e (inclinação à 45º). Os valores encontrados F V F 45 
foram: como esperado, já que ação da força se encontra em um eixo ,FH = 0 
perpendicular ao eixo de medição, , valor esperado devido a , 2 , 1 N F V = 1 0 ± 0 0 
soma dos dois pesos de mais o gancho e . O valor , N 0 5 , 0 , 1 N F 45 = 0 5 ± 0 0 
esperado para seria . Há uma diferença de entre o F 45 os45º 0, 2 N F V * c = 7 , 2 N 0 2 
valor esperado e o teórico. Porém, podemos associar o erro à força de atrito que 
pode ter havido entre a carcaça do dinamômetro e a escala de medição do mesmo, 
que pode ter impedido uma medida precisa. 
A segunda parte do experimento consiste na montagem de duas disposições 
diferentes no painel de forças, onde apenas o ângulo dos Dinamômetros com a 
horizontal é alterado. 
A análise analítica da questão considera o equilíbrio em duas dimensões. Na 
Figura 6​, as Massas Acopláveis estão suspensas por dois fios. O intuito é achar as 
tensões nesses dois fios em função do peso do corpo formado por duas Massas 
Acopláveis de 50g. O peso dos fios é desprezível, pois é muito pequeno em 
comparação com as grandezas do peso do corpo, e com a faixa nominal de 
operação do Dinamômetro. 
O diagrama de corpo livre é indispensável para a execução da análise. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
thaciana
Realce
thaciana
Nota
????
 
 
Figura: Diagrama de corpo livre da Disposição 1 
 
 
As variáveis alvo são as tensões F1’ e F2’. Como todos os corpos estão em 
equilíbrio no experimento, usaremos a primeira lei de Newton para determinar F1’ e 
F2’. Para um corpo em equilíbrio a força resultante é igual a zero: 
 
 
Cada uma dos componentes da força resultante deve ser igual a zero, logo: 
 
 
Com a análise das forças gerada pelo diagrama de corpo livre, as forças de 
tensão aferidas pelos Dinamômetros, F1’ e F2’, são em módulo, respectivamente 
iguais a F1 e F2, tendo direções opostas. O diagrama de corpo livre demonstra que 
a soma vetorial da tensão F1 e F2 tem como resultante a força vertical denominada 
F. 
14 
 
 
Logo, se desprende que o Peso do corpo é diretamente proporcional a soma 
vetorial da tensão F1 e F2. Assim, adotando a aceleração gravitacional na Terra 
como tendo valor de 9,80m/s²: 
 
 
Agora as variáveis alvo podem ser agora desprendidas da relação vetorial 
com a força vertical, dado o método de decomposição vetorial, já ilustrado no 
diagrama de corpo livre: 
 
De forma análoga se calcula a força representada pelo vetor F2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
O mesmo método de analise analitica pode ser aplicado na Disposição 2 
montada no Painel de Forças. Apesar da mudança dos ângulos dos Dinamômetros 
na horizontal e consequentemente das forças de tensão, o princípio de análise é o 
mesmo, se supõe uma situação que obedeça o equilíbrio estático em duas 
dimensões. 
O Diagrama de corpo livre da Disposição 2 é esquematizado da seguinte 
forma: 
 
Figura: Diagrama de corpo livre da Disposição 2 
 
 
O peso do corpo não é alterado, logo a primeira análise das forças se 
apresenta de maneira idêntica. Porém, como os ângulos dos Dinamômetros com a 
horizontal são alterados, agora e , a decomposição vetorial da força 0 θ = 4 0Φ = 6 
vertical não é a mesma, e consequentemente as forças de tensão F1 e F2 se 
apresentam com os seguintes cálculos: 
16 
 
 
Em comparativo nas situações demonstrada com corpo suspenso por dois 
fios, teoricamente, quando os ângulos são diferentes, a tensão maior ocorre no fio 
que possuir menor ângulo com a componente vertical do corpo. 
Os dados aferidos pelos Dinamômetros que eram conectados aos fios 
tensionados, solidificam a análise teórica. As tabelas a seguir comparam os 
resultados obtidos por meio das análises teóricas e pela aferição experimental. 
 
Tabela: Dados Teóricos 
 
Resultados obtidos pela análise teórica 
Painel de forças F1 (N) F2(N) 
Disposição 1 0,70 0,70 
Disposição 2 0,63 0,85 
 
Tabelas: Dados Experimentais 
 
Resultados obtidos pela leitura dos Dinamômetros 
Painel de forças [F1 ] (N) ± δ [F2 ] (N) ± δ 
Disposição 1 0,74 0,01 ± 0,74 0,01 ± 
Disposição 2 0,62 0,01 ± 0,90 0,01 ± 
 
 
A diferença existente entre as análises da Disposição 1 demonstram a 
influência de uma fonte de erro. Apesar da aferição concluir que quando o ângulo 
17 
 
, as forças F1 e F2 também são iguais, a força está 0,04 0,01 acima do valor θ = Φ ± 
exibido pelo cálculo teórico. Como a falta de aferição dos Dinamômetros pode ser 
descartada (já que F1=F2), a fonte de erro pode ser dada como responsabilidade da 
dificuldade de manuseio do Goniômetro, já os operadores do experimento não 
estavam familiarizados com tal aparato. 
 
 
 
6.CONCLUSÃO 
 
O experimento conseguiu familiarizar a precisão dos conceitos demonstrados 
pela Primeira e Terceira leis de Newton e da utilidade prática da decomposição 
vetorial durante a análise de forças. A proposta de calcular o módulo de forças 
coplanares e como elas se inter-relacionam na manutenção do equilíbrio estático do 
corpo foi atingida com êxito. Os resultados atingidos foram satisfatoriamente 
próximos dos desejados a partir do cálculo teórico. 
O experimento também demonstra que a relevância de um estudo 
experimental é dada pela repetibilidade dos resultados obtidos e aferidos. Todo 
experimento possui uma incerteza intrínseca, porém é dever do cientista diminuir ao 
máximo as fontes de erro grosseiro, erros sistemáticos e erros aleatórios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
thaciana
Nota
É esperado aparecerem valores das grandezas físicas obtidas, mais importantes, na conclusão.
 
7.REFERÊNCIAS 
 
 
[1] NASCIMENTO, W. E. História do desenvolvimento do conceito de força: um 
estudo visando contribuições para o ensino de Física no nível médio. Disponível em: 
<http://200.145.6.238/bitstream/handle/11449/120162/nascimento_we_tcc_guara.pdf
?sequence=1&isAllowed=y> Acesso em 27 de abril de 2018. 
 
[2] REZENDE, F. Teoria Aristotélica, Teoria do Impetus ou Teoria nenhuma: um 
panorama das dificuldades conceituais de estudantes de Física em mecânica básica. 
Disponível em:<​https://seer.ufmg.br/index.php/rbpec/article/download/2386/1786​> 
Acesso em 27 de abril de 2018. 
 
[3] YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A., Física I - Mecânica, 12a ed., Addison 
Wesley, 2008. 
 
[4] SILVA, D. C. M. Decomposição de forças. Disponível em: 
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/decomposicao-forcas.htm> Acesso em 
27 de abril de 2018. 
 
[5] Goniômetro. Disponível em: 
<https://www.etecfernandoprestes.com.br/Uploads/Files/Courses/16/Downloads/195-
Goniometro%20-%20Apost.pdf> Acesso em 27 de abril de 2018. 
19