dinamica Cap06

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6.1 ‐Determine o momento de inércia Iy para a barra esbelta mostrada na 
figura. A densidade de barra ρ e sua área de seção reta A são constantes. 
Expresse este resultado em função da massa total da barra m. 
 
Iy = ׬ ݔଶdm 
Iy = ׬ ݔଶ ௅଴ ߩ ݀ݔ 
Iy= ଵଷ ߩܣ݈ଷ 
M= ρAl 
Substituindo, onde m=ρAl 
Iy= ଵଷ ݈݉ଶ 
 
6.2 ‐Determine o momento de inércia de massa do anel fino mostrado na 
figura em relação ao eixo z. O anel tem massa m. 
 
Iz= ׬ ߩܣሺܴ ݀ߠሻଶగ଴ R2= 2πρܴଷ 
M= ׬ ߩܣܴ ݀ߠ ൌ 2ߨߩܣܴଶగ଴ 
Substituindo 
Iz= m R2 
 
6.3 ‐O cone circular reto mostrado na figura é formado pela revolução da área 
sombreada em torno do eixo x. Determine o momento de inércia de massa Ix 
e expresse em função da massa total m do cone. O cone tem uma densidade 
ρ constante. 
 
 
 
 
 
Dm= ρdv= ρ(xy2dx) 
M = ρ(π)(r2/h2)x2dx = 
ρπ(r2/h2)(1/3)h3 = ଵଷ ߩߨݎଶ݄ 
dIx = ଵଶ ݕଶሺߩߨݕଶ݀ݔሻ 
= ଵଶρ(π) (r4/ h4).x4.dx 
Ix= ׬ ଵଶ
௛
଴ ߩሺߨሻ ቀ
௥ర
௛రቁ . ݔସdx = 
ଵ
ଵ଴ρπݎସ݄ 
Substituindo 
Ix = ଷଵ଴ ݉ݎଶ 
 
6.4 ‐O parabolóide mostrado na figura é formado pela revolução da área 
sombreada em torno do eixo x. Determine o raio de giração kx. A 
densidade do material e ρ = 5mg/m3. 
 
 
 
 
 
dIx= ௬మଶ ݀݉ 
m= ׬ ߩ݀ݒ௩ 
m= ׬ ߩߨܾଶସ଴ ቀ1 െ
௫మ
௔మቁ ݀ݔ 
m= ଶଷ ߩߨܾܽଶ 
Ix= ଵଶ ߩߨ ׬ ܾସ
ସ
଴ ሺ1 െ
௫మ
௔మሻ2dx 
Ix= ସଵହ ߩߨܾܽସ 
Substituindo 
Ix= ଶହ ܾ݉ଶ 
6.5 ‐O sólido mostrado na figura é Formado pela revolução da área 
sombreada em torno do eixo y. Determine o raio de giração ky. O peso 
específico do material é γ= 380lb/ft3. 
 
 
 
 
 
 
 
Dm= ρπݔଶ݀ݕ ൌ ଵ଼ଵ ߩߨݕହ݀ݕ 
dIy= ଵଶ ݀݉ݔଶ 
= ଵଶ ሺߩߨݔଶ݀ݕሻݔଶ 
=ଵଶ ߩߨݔସ݀ݕ ൌ
 ଵ ଶ ሺଽరሻ ߩߨݕଵଶ݀ݕ 
= 29.632ρ 
M= 
׬ ݀݉௠ ൌ
ଵ
଼ଵ ߩߨ ׬ ݕ଺
ଷ
଴ ݀ݕ ൌ
12.117ߩ 
Ky= ට ூ௠ = ට
ଶଽ.଺ଷଶఘ
ଵଶ.ଵଵ଻ఘ ൌ 1.56݅݊
 
6.6 ‐A esfera mostrada na figura é formada pela revolução da área 
sombreada em torno do eixo x. Determine o momento de inércia de 
massa Ix e expresse o resultado em função da massa total m da esfera. O 
material tem uma densidade ρ constante. 
 
 
 
 
 
 
 
dIx= ௬మଶ ݀݉ 
dm= ρdv= ρ(πݕଶdx)= 
ρπ(ݎଶ െ ݔଶሻ݀ݔ 
dIx=ଵଶ ߩߨሺݎଶ െ ݔଶሻ2dx 
Ix= ׬ ଵଶ
௥
ି௥ ߩߨሺݎଶ െ ݔଶሻ2dx 
= ଼ଵହ ߨߩݎହ 
M= ׬ ߩߨ. ሺݎଶ௥ି௥ െ ݔଶሻ. ݀ݔ 
= ସଷ ߨߩݎଷ 
Substituindo 
 Ix= ଶହ ݉ݎଶ 
6.9 ‐A peça de concreto mostrada na figura é formada pela rotação da 
área sombreada em torno do eixo y. Determine o momento de inércia de 
massa Iy. O peso específico do concreto é γ = 150lb/ft3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dIy= ଵଶ ݀݉. ሺ10ሻଶ െ
ଵ
ଶ ݀݉. ݔଶ 
= 
ଵ
ଶ ሼߨߩ. ሺ10ሻଶ. ݀ݕሽ. ሺ10ሻଶ െ
ଵ
ଶ ߨߩ. ݀ݕ. ݔଶ 
Iy= ଵଶ ߩሾ׬ ሺ10ሻସ
ଷ
଴ . ݀ݕ െ
׬ ሺଽଶ
଼
଴ ሻ2.y2dy] 
= 
ഏ
మ.ଵଷ଴
ଷଶ.ଶ.ሺଵଶሻయ . ሾሺ10ሻସ. 8 െ
ሺଽଶሻ2.
ଵ
ଷ.8ଷ] 
= 324,1slug.in2 
= 2,25slug.ft2 
6.10 ‐O torno de cone mostrado na figura é formado pela rotação da 
área sombreada em torno do eixo x. Determine o momento de inércia de 
massa Ix e expresse o resultado em função de sua massa total m. O 
tronco de cone tem uma densidade constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dm= ߩ݀ݒ ൌ ߩߨݕଶ݀ݔ ൌ
 ߩߨሺ௕మ௔మ ݔଶ+2
௕మ
௔ ݔ ൅ ܾଶሻ݀ݔ 
dIx= ଵଶ ݀݉ݕଶ ൌ
ଵ
ଶ ߩߨݕସ݀ݔ 
dIx=ଵଶ ߩߨ( 
௕ర
௔ర ݔସ ൅
ସ௕ర
௔య ݔଷ ൅
଺௕ర
௔మ ݔଶ ൅
ସ௕ర
௔ ݔ ൅ ܾସሻ݀ݔ 
Ix= ׬ ݀ܫx= ଵଶ ߩߨ ׬ ሺ 
௕ర
௔ర ݔସ ൅
௔
଴
ସ௕ర
௔య ݔଷ ൅
଺௕ర
௔మ ݔଶ ൅
ସ௕ర
௔ ݔ ൅
ܾସሻ݀ݔ 
Ix= ଷଵଵ଴ ߩߨܾܽସ 
M=׬ ݀݉ ൌ௠
 ߩߨ ׬ ቀ௕మ௔మ ݔଶ ൅ 2
௕మ
௔ ݔ ൅
௔
଴
ܾଶቁ ݀ݔ ൌ ଻ଷ ߩߨܾଶ 
Ix= ଽଷଵ଴ ܾ݉ଶ 
 
 
6.12 ‐Determine o momento de inércia de massa da placa fina mostrada 
na figura em relação a um eixo perpendicular ao plano da placa e 
passando pelo ponto em O. A placa tem um furo em seu centro. Sua 
espessura é de 50mm e o material tem intensidade ρ= 50kg/m3. 
 
 
 
Mp = 50. ሺ1,4ሻଶ. ሺ0,050ሻ ൌ 4,90݇݃ 
Mk = ሺ50ሻ. ሺߨሻ. ሺ0,15ሻଶ .(0,050) = 0,1767kg 
Io = 
ଵ
ଵଶ ሺ4,90ሻ. ሾሺ1,4ሻଶ ൅ ሺ1,4ሻଶሿ ൅ 4,9. ሺ0,990ሻଶ െ ሾ
ଵ
ଵଶ ሺ0,1767ሻ൅. ሺ0,15ሻଶ ൅
 ሺ0,1767ሻ. ሺ0,99ሻଶሿ 
Io = 6,23kg.m2 
6.14 ‐Determine o momento de inércia de massa da peça composta 
mostrada na figura em relação a um eixo perpendicular à página e 
passando pelo ponto O. O material tem um peso especifico γ = 90lb/ft3. 
 
Ig=ଵଶ ሾሺ
ଽ଴
ଷଶ.ଶሻߨሺ2,5ሻଶሺ1)]ሺ2,5ሻଶ െ
ଵ
ଶ ሾሺ
ଽ଴
ଷଶ.ଶሻߨሺ2ሻଶሺ1)]ሺ2ሻଶ ൅
ଵ
ଶ ሾሺ
ଽ଴
ଷଶ.ଶሻߨሺ2ሻଶሺ0,25)]ሺ2ሻଶ െ 
ଵ
ଶ ሾሺ
ଽ଴
ଷଶ.ଶሻߨሺ1ሻଶሺ0,25)]ሺ1ሻଶ 
= 117,72slug.ft2 
Io=Ig+md2 
ቀ ଽ଴ଷଶ.ଶቁ ߨሺ2ଶ െ 1ଶሻሺ0,25)൅ ቀ
ଽ଴
ଷଶ.ଶቁ ߨሺ2.5ଶ െ 2ଶሻሺ1) 
= 26,343slug 
Io= 117,72+26,343ሺ2,5ሻଶ= 282slug.ft2 
 
6.15 ‐A roda mostrada na figura consiste em um anel fino com uma 
massa de 10kg e quatro raias constituídas por barras esbeltas, cada uma 
com uma massa de 2kg. Determine o momento de inércia de massa da 
roda em relação a um eixo perpendicular à página e passando pelo 
ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ia= Io + md2 
= [2.ሾ ଵଵଶ ሺ4ሻ. ሺ1ሻଶ]+10.ሺ0.5ሻଶሿ +.18ሺ0.5ሻଶ 
= 7.67kg.m2 
 
6.16 ‐O pendulo mostrado na figura consiste em uma barra esbelta de 
3kg e uma placa fina de 5kg. Determine a localizaçãoݕ do centro de 
massa G do pendulo e, em sequida, calcule seu momento de inércia em 
relação aum eixo perpendicular à pagina e passando pó G. 
 
 
 
 
= ݕത = ∑ ௬ത௠∑ ௠ = 
ଵ.ሺଷሻାଶ,ଶହ.ሺହሻ
ଷାହ = 
1,781m 
Ig= ∑ ܫ௚ ൅ md2 
= ଵଵଶ ሺ3ሻ. ሺ2ሻଶ ൅
 3. ሺ1,781 െ 1ሻଶ ൅
 5. ሺ2,25 െ 1,78ሻଶ 
= 4,45kg.m2
 
 
6.17 ‐Cada uma das três barras da estrutura triangular mostrada na 
figura tem uma massa m. Determine o momento de inércia de massa da 
estrutura em relação ao eixo perpendicular à página e passando pelo 
ponto central O. 
 
 
Io=3ሾ ଵଵଶ ݉ܽଶ ൅ ݉ ቀ
௔ ୡ୭ୱ ଺଴°
ଷ ሻଶቃ ൌ 
ଵ
ଶ ݉ܽଶ 
 
 
6.19 ‐O pêndulo mostrado na figura consiste em uma placa com peso de 
12lb e uma barra esbelta com peso de 4lb. Determine o raio de giração 
do pêndulo em relação a um eixo perpendicular à página e passando 
pelo ponto O. 
 
 
Io= ∑ ܫ௚ ൅ ݉݀ଶ 
= ଵଵଶ ቀ
ସ
ଷଶ.ଶቁ ሺ5ሻଶ ൅ ቀ
ସ
ଷଶ.ଶቁ . ሺ0.5ሻଶ ൅ 
ଵ
ଶ ቀ
ଵଶ
ଷଶ.ଶቁ ሺ1ଶ ൅ 1ଶሻ ൅ ሺ
ଵଶ
ଷଶ.ଶሻሺ3,5ሻଶ 
= 4,917slug.ft2 
K0= ටூ௚௠ ൌ ට
ସ,ଽଵ଻
଴,ସଽ଺ଽ ൌ 3,15݂ݐ 
 
 
6.22.Determine o momento de inércia de massa do dispositivo sólido de 
aço mostrado na figura em relação ao eixo x. O aço tem peso especifico 
γaço= 490lb/ft3. 
 
 
 
Ix = ଵଶ ݉1ሺ0,5ሻଶ ൅ 
ଷ
ଵ଴ . ݉2ሺ0,5ሻଶ െ
ଷ
ଵ଴ ݉3ሺ0,25ሻଶ 
 = [ଵଶ ߨ. ሺ0,5ሻଶ൅. ሺ3ሻ. ሺ0,5ሻଶ ൅ 
ଷ
ଵ଴ ቀ
ଵ
ଷቁ . ߨ. ሺ0,5ሻଶ. ሺ4ሻሺ0,5ሻଶ െ
 ଷଵ଴ ሺ
ଵ
ଷ).π.ሺ0,25ሻଶ. ሺ2ሻሺ0,25ሻଶሿ. ሺ
ସଽ଴
ଷଶ.ଶሻ 
= 5.64slug.ft2