Plano de aula poliédros e relação de euler

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Câmpus Toledo 
Curso de Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Geometria 2 
Professora: 
Período: 3o 
 
PLANO DE AULA 
 
 
Escola: Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Ano: 2014 Turma: 2 ano Turno: A 
Data da aula: 01/10/2014 Duração: 2 hora-aula 
Acadêmico: Francielli Aparecida de Araújo 
 
Tema 
 
Poliedros e Relação de Euler. 
 
Conteúdos 
 
- Poliedros convexos; 
- Relação de Euler; 
- Soma dos ângulos; 
- Poliedros de Platão; 
- Poliedros regulares. 
 
 
Objetivo geral 
 
- Analisar os principais componentes de um poliedro; 
- Efetuar a contagem de vértices, arestas e faces dos principais poliedros; 
- Reconhecer poliedros convexos e poliedros côncavos; 
- Reconhecer poliedros eulerianos; 
- Reconhecer poliedros platônicos; 
- Reconhecer poliedros regulares. 
 
Objetivos específicos 
 
- Distinguir poliedros convexos e identificar seus elementos (vértices, faces, arestas); 
- Resolver problemas utilizando a relação de Euler; 
- Reconhecer os poliedros Platão e os poliedros regulares, bem como as relações 
entre eles; 
- Identificar e construir a planificação de poliedros; 
- Aplicar os conhecimentos da geometria plana em problemas de Geometria espacial. 
 
 
 
 
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. 
Procedimentos Metodológicos 
 
Nos tópicos abaixo apresentam-se de forma sucinta uma previa descrição da aula elabora, 
no entanto a aula na integra encontra-se nos anexos, denominado como: Anexo I 
Sequencia didática. 
 
1. A professora iniciará a aula retomando os conceitos primitivos da geometria plana. 
- Distribuir um saquinho individual que contém uma foto do céu estrelado, um 
elástico de dinheiro e um pedaço de E.V.A.; 
- Questioná-los quais objetos temos dentro do pacote e que referencia possui 
na geometria; 
 
2. Posteriormente, com auxílio do multimídia será apresentado imagem de 3 poliedros; 
- Questioná-los qual a relação que podemos fazer das imagens com as noções 
primitivas; 
 
3. Com o auxílio de um retroprojetor e alguns sólidos geométricos apresentar os 
elementos que compõem um poliedro convexo; 
- Definir cada um dos elementos que compõem o solido geométrico; 
- Isto posto, solicitar que completem a tabela que consta no slide, quantas são 
as faces, arestas e vértices de cada uma das figuras apresentadas anteriormente 
(1 e 2). 
- E na figura 3 como sabemos quantas faces, arestas e vértices que a 
compõem? 
- Com o auxílio de três peças de distintas sobreposta formar a figura 3 e com 
uma folha sulfite contar, para posteriormente anotar na tabela e assim completando-
a; 
- Questioná-los qual a diferença entre a figura 1 e 3; 
- Definir poliedros convexos e poliedros não convexos; 
- Apresentar imagens para que os alunos a classifique. 
 
4. O que é a Relação de Euler e qual a sua aplicação; 
- Formula de Euler; 
- Provar a formula com as 3 imagens anteriores; (tabela) 
- Definição de poliedro euleriano; 
- Questioná-los sobre a afirmação; 
- Exercícios para demonstração. 
 
5. Soma dos ângulos das faces de um poliedro; 
 
6. Poliedros de Platão 
- Definição e propriedades; 
- Poliedros regulares; 
- Utilizando o software Poly. 
 
Ao termino da aula expositiva, a professora solicitará um relatório da aula apresentada, 
neste relatório o aluno deverá escrever com suas palavras o que compreenderam sobre o 
assunto. OBS: Nesse relatório poderá apresentar representações cartográficas contanto 
que esteja devidamente explicada; (Anexo II) 
 
Lista de exercícios: será distribuído uma relação de exercícios para fixação, desta lista os 
exercícios de números impares deveram ser entregues a professora no dia da avaliação, 
salientando que tal lista tem peso 1,0 na avaliação; (Anexo III) 
 
Avaliação (Anexo IV) 
 
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Recursos didáticos 
Retroprojetor, sólidos geométricos, quadro branco, pincel para quadro branco, 
computador, multimídia, software Poly. 
 
 
 
Avaliação 
Critérios 
- Participação nos questionamentos realizados pela professora; 
- Entrega do relatório ao termino da aula; 
- Resolução e entrega da lista de exercícios previamente solicitada; 
Instrumentos 
- Relatório da aula; 
- Lista de exercícios; 
- Avaliação. 
 
Referências 
 
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar 10: 
geometria espacial, posição e métrica. 6ª ed. São Paulo: Atual, 2005. 
 
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN David; PERIGO, Roberto; ALMEIDA Nilce 
de. Matemática Ciências e Aplicações, Vol. 2. 4ª ed. São Paulo: Atual, 2006. 
 
SANTOS, Carlos Alberto Marcondes. Matemática série novo ensino médio, Vol. Único. São 
Paulo: Ática, 2000. 
 
SMOLE Kátia Cristina Stocco; KIYUKAWA Rokusaburo. Matemática Ensino Médio Vol. 2 
1ª ed. São Paulo: Saraiva, 1998. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXOS 
 
 
Anexo 1 – SEGUENCIA DIDÁDICA 
 
1. NOÇÕES PRIMITIVAS 
 
Poucos tópicos de matemática têm vínculos tão fortes com a realidade 
concreta como a Geometria. O estudo da geometria nos permite compreender melhor 
as formas presentes no mundo em que vivemos, bem como as das medidas. É por 
isso, que áreas do conhecimento como Arquitetura, Engenharia, Física e Astronomia 
dão tanto valor a essa parte do saber matemático. 
A partir da observação do mundo real, matemáticos da antiguidade, como 
Euclides (séc. III a.C.), estabeleceram entes abstratos com os quais construíram a 
Geometria. Curiosamente, ainda que os pais da Geometria visassem enunciar cada 
ente geométrico de modo que fosse rigorosamente definido, três desses entes 
destacavam-se por serem conhecidos intuitivamente. São eles o ponto, a reta e o 
plano, chamados conceitos ou noções primitivas. 
 
Alguns objetos concretos podem nos dar a ideia de ponto, de reta e de plano. 
 
 Olhando-se à noite para o céu estrelado 
veem-se as estrelas, que intuitivamente, 
podem ser consideradas pontos. Em 
Geometria, o ponto, elemento concebido 
sem dimensão, massa nem volume, é uma 
noção primitiva. 
 
 
 Suponha agora que fosse possível esticar, 
infindavelmente e nos dois sentidos, um fio de 
elástico. Em nossa imaginação, e apenas nela, 
visualizaríamos o que chamamos de reta. Em 
geometria, conceito de reta – concebido 
intuitivamente – também é uma noção primitiva. 
 
 
 Consideremos o tampo liso de uma mesa, sem 
nenhum tipo de fresta ou ondulação. Esse tampo 
possibilita a visualização concreta de um plano. 
Entretanto, o conceito geométrico de plano 
implica que, por intuição ele seja estendido 
ilimitadamente em todas as direções. Plano é 
uma noção primitiva. 
 
 
2. POLIEDROS 
 
O estudo dos sólidos geométricos na Geometria espacial, permite ampliar 
nosso universo de conhecimentos e, com o uso de técnicas e estratégias apropriadas 
de resolução de problemas, estabelecer uma maior interrelação com situações do dia-
a-dia. 
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Podemos classificar os sólidos geométricos em dois tipos os Poliedros e os 
corpos arredondados, no entanto hoje trataremos apenas dos Poliedros. 
 
POLIEDROS CONVEXOS 
 
Observe os esquemas de alguns sólidos. Eles são chamados de poliedros. 
 
 
 
Temos que: 
 
 A superfície de cada poliedro é formada por polígonos planos, 
chamados faces do poliedro; 
 Os lados dos polígonos são chamados arestas do poliedro; 
 Os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro.Assim, os poliedros representados nas figuras 1, 2, 3 são tais que: 
 
 FACES ARESTAS VÉRTICES 
FIGURA 1 5 9 6 
FIGURA 2 6 12 8 
FIGURA 3 10 24 16 
 
Agora veja os mesmos poliedros anteriormente representados, nos quais 
destacamos os planos 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 que contêm, casa um, uma face de cada poliedro. 
 
 
 
 Note que 𝛼 𝑒 𝛽 deixam as outras faces dos poliedros em um mesmo semi-
espaço e que isso não ocorre com 𝛾, que deixa algumas faces em semi-espaços 
opostos. 
Nos poliedros 1 e 2, qualquer plano que contenha uma face deixa as demais 
faces no mesmo semi-espaço. Por isso esses poliedros são chamados de poliedros 
convexos. 
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No poliedro da figura 3, existe pelo menos um plano que contenha uma face 
mas deixa as demais faces em dois semi-espaços opostos. Por isso, esse poliedro é 
denominado poliedro não convexo. 
Podemos definir poliedro convexo como segue. 
 
Consideremos F polígonos plano convexo (F ≥ 4) dispostos no espaço de tal 
forma que: 
 
 Dois quaisquer desses polígonos não estejam num mesmo semi-
espaço. 
 Cada lado seja comum a dois, e somente dois, polígonos. 
 O plano que contém cada polígono deixe todos os demais em um 
mesmo semi-espaço. 
 
Nessas condições, ficam determinados F semi-espaços (aqueles que ficam 
as demais faces), cuja intersecção é um poliedro convexo de F faces. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. RELAÇÃO DE EULER 
 
Para todo poliedro convexo vale a seguinte relação: 
 
𝑽 + 𝑭 = 𝑨 + 𝟐 
 
na qual V é o número de vértices, F o número de faces e A o número de aresta 
do poliedro. Essa relação foi descoberta pelo matemático suíço Lelonhard Euler 
(1707-1783). 
Observação: 
A reunião das faces de um poliedro convexo é denominada 
superfície poliédrica fechada. 
 
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Considerando-se os poliedros convexos do exemplo anterior, temos: 
 
 V F A 𝑽 + 𝑭 = 𝑨 + 𝟐 
Poliedro 1 6 8 12 𝟔 + 𝟖 = 𝟏𝟐 + 𝟐 
Poliedro 2 8 6 12 𝟖 + 𝟔 = 𝟏𝟐 + 𝟐 
Poliedro 3 10 7 15 𝟏𝟎 + 𝟕 = 𝟏𝟓 + 𝟐 
 
Esses poliedros, para os quais é válida a relação de Euler, são chamados 
poliedros eulirianos. 
 
Note: todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro 
euleriano é convexo. 
 
Isso pode ser observado no poliedro representado abaixo: ele não é convexo, 
mas seus números de vértices, faces e arestas satisfazem a relação de Euler – ou 
seja, ele é um poliedro euleriano. 
 
 
}𝐹= 8
𝑉= 12 ⇒ 𝑽 + 𝑭 = 𝟏𝟐 + 𝟖 = 𝟐𝟎 
𝑨 = 𝟏𝟖 ⇒ 𝑨 + 𝟐 = 𝟏𝟖 + 𝟐 = 𝟐𝟎 
𝐶𝑂𝑀𝑂 𝑽 + 𝑭 = 𝑨 + 𝟐,
𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖é𝑑𝑟𝑜 é 𝑒𝑢𝑙𝑒𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 
 
 
𝐽á 𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑎𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜, 𝑛ã𝑜 é 𝑒𝑢𝑙𝑒𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑉
= 16, 𝐴 = 32 𝑒 𝐹 = 16. 𝐸𝑛𝑡ã𝑜: 
{
𝑉 + 𝐹 = 32
𝐴 + 2 = 34
 
 
4. SOMA DOS ÂNGULOS 
 
A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é 
𝑆 = (𝑉 − 2). 4𝑟 
 
em que V é o número de vértices e r é um ângulo reto. 
 
 
5. POLIEDROS DE PLATÃO 
 
Um poliedro é chamado poliedro de Platão quando satisfaz três condições: 
 
1. Condição: Todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas. 
2. Condição: Todos os vértices são pontos em que concorre o mesmo 
número (m) de arestas. 
3. Condição: O poliedro é euleriano, isto é, 𝑽 + 𝑭 = 𝑨 + 𝟐. 
 
Aplicando as condições, vejamos se os poliedros dos exemplos: abaixo são 
poliedros de Platão. 
 
 
 
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Todo paralelepípedo é um poliedro de 
Platão, pois: 
1. Todas as faces são quadriláteros 
(n=4); 
2. Em todos os seus vértices 
concorrem três arestas (m=3); 
3. 𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 8 − 12 + 6 = 2, 
portanto o poliedro é euleriano. 
 
 
 
 
Todo tetraedro é um poliedro de Platão, 
pois: 
1. Todas as faces são triângulos 
(n=3); 
2. Em todos os seus vértices 
concorrem três arestas (m=3); 
3. É euleriano, pois 𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 4 −
6 + 4 = 2. 
 
 
 
 
 
 
Uma pirâmide quadrangular não é um 
poliedro de Platão, pois sua base é um 
quadrilátero e suas faces laterais são 
triângulos. 
 
 
 
 
 
Um prisma pentagonal não é um poliedro 
de Platão, pois suas bases são 
pentágonos e suas faces laterais são 
quadriláteros. 
 
Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros de Platão. 
 
Vamos provar que isso é verdade usando as três condições que devem ser 
verificadas num poliedro de Platão. 
 
1. Condição: Todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas. 
2. Condição: Todos os vértices são pontos em que concorre o mesmo 
número (m) de arestas. 
3. Condição: O poliedro é euleriano, isto é, 𝑽 + 𝑭 = 𝑨 + 𝟐. 
 
Podemos resumir todas as possibilidades para m e n na tabela 
ao lado. Concluímos, assim que são apenas cinco tipos de poliedros 
de Platão, determinados pelos pares (m, n) dessa tabela. 
Para saber o número de faces F, o número de vértices V e o n 
úmero de arestas A de cada poliedro de Platão, basta substituir os 
calores de m e n em 1, 2 e 4. 
 
m n 
3 3 
3 4 
3 5 
4 3 
5 3 
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Em resumo, podemos apresentar os cinco poliedros de Platão e seus nomes. 
 
m n A V F NOME 
3 3 6 4 4 Tetraedro 
3 4 12 8 6 Hexaedro 
4 3 12 6 8 Octaedro 
3 5 30 20 12 Dodecaedro 
5 3 30 12 20 Icosaedro 
 
5. POLIEDROS REGULARES 
 
Um poliedro convexo é regular quando. 
 Suas faces são polígonos regulares e congruentes; 
 Em todos os seus vértices concorre o mesmo número de arestas. 
 
Num poliedro regular, percebe-se imediatamente que: 
 Todas as faces têm o mesmo número de arestas (pois as faces são 
congruentes); 
 Todos os vértices são pontos em que concorre o mesmo número de 
arestas; 
 O poliedro é euleriano (pois é convexo). 
 
Assim, todo poliedro regular é poliedro de Platão. Por isso existem cinco tipos 
de polígonos regulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Anexo II – Resumo 
 
 
Escola: Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Professora: Francielli Disciplina: Matemática 
Aluno:_____________________________ Série/turma:_______ Nota:______ 
 Data: ___/___/2014 
 
RESUMO DA AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Anexo III – LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
Escola: Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Professora: Francielli Disciplina: Matemática 
Aluno:_____________________________ Série/turma:_______ Nota:______ 
 Data: ___/___/2014 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1. Para cada poliedro representado nas figuras abaixo, pede-se: 
(a) Classificar em convexo ou não convexo; 
(b) Determinar os números de V, de vértices, F, de faces, e A, de arestas; 
(c) Dizer quais são eulerianos. 
 
 
2. Sabe-se que de cada um dos 16 vértices de um poliedro convexo saem 3 
arestas. Determine o número de arestas e faces desse poliedro. 
3. Um poliedro convexo tem 20 arestas e 10 vértices. Suas faces são 
quadrangulares e triangulares. Qual é o número de faces quadrangulares 
desse poliedro? 
4. Determine o número de vértices de um dodecaedro regular sabendo que suas 
faces são pentagonais. 
5. Uma bola de futebol foi feita a partir de um poliedro convexo composto de 32 
faces retangulares: 12 pentagonais e 20 hexagonais. Determine o número de 
arestas e o número de vértices desse poliedro. 
6. Três casas, 𝐶1, 𝐶2 e 𝐶3, acabaram de ser construídase só resta fazer em cada 
uma as ligações com os terminais de água (A), gás (G) e telefone (T). Faça um 
esquema dessas ligações, sabendo que elas devem ser feiras sem que duas 
conexões se cruzem. 
7. Observe o tetraedro regular representado na figura abaixo e a respectiva 
planificação. 
Em cada caso seguinte, coloque os vértices que estão faltando na planificação 
de modo que ela corresponda ao poliedro dado. 
8. Classifique cada uma das sentenças seguintes como verdadeiras (V) ou falsas 
(F): 
(a) Todo poliedro regular é poliedro de Platão. 
(b) Todo poliedro de Platão é regular. 
(c) Todos os poliedros regulares têm faces triangulares. 
(d) O icosaedro regular tem 20 faces triangulares. 
(e) As faces de um hexaedro regular são hexagonais. 
9. Determine, em graus, a soma dos ângulos das faces de um: 
(a) Tetraedro; 
(b) Hexaedro; 
(c) Octaedro. 
(d) Dodecaedro; 
(e) Icosaedro. 
 
10. Um marceneiro foi contratado para fazer 30 poliedros regulares, 10 dos quais 
serão pintados de azul, 10 de rosa e os restantes de amarelo. Sabendo que; 
 A aresta de cada poliedro deverá medir 4 cm; 
 Cada poliedro azul deverá ter 6 arestas e 4 vértices; 
 Cada poliedro rosa deverá ter 12 faces pentagonais; 
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 Cada poliedro amarelo deverá ter 8 faces triangulares; 
Pergunta-se 
(a) De que tipo serão os poliedros pintados de azul? 
(b) Qual o número de aresta de cada poliedro rosa? 
(c) Quantos vértices terá cada poliedro amarelo? 
 
OBS: juntamente com a lista deverá ser entregue um poliedro de cada cor, 
confeccionado pelo aluno em papel cartolina americana (referente ao exercício 
10). Note que os papeis encontram-se em anexo na lista de exercícios. 
 
Anexo IV – PROVA 
 
Escola: Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Professora: Francielli Disciplina: Matemática 
Aluno:_____________________________ Série/turma:_______ Nota:______ 
 Data: ___/___/2014 
 
AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 
 
Obs: a avaliação será aplicada bimestral nesta encontra-se somente possíveis 
exercícios sobre o assunto poliedros e relação de Euler. 
 
1. Um poliedro convexo, constituído de faces triangulares e quadrangulares, 
possui 20 arestas e a soma dos ângulos de suas faces é igual a 2880º. É 
correto afirmar que esse poliedro possui: 
(a) 8 faces triangulares. 
(b) 12 vértices. 
(c) 10 faces. 
(d) 8 faces quadrangulares. 
2. O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número 
de vértices. Então qual o número de faces do poliedro? 
 
3. Classifique cada uma das sentenças seguintes como verdadeiras (V) ou falsas 
(F) e justifique as falsas. 
 
a. (___) Todo poliedro regular é poliedro de Platão. 
b. (___) Todo poliedro de Platão é regular. 
c. (___) Todos os poliedros regulares têm faces triangulares. 
d. (___) O icosaedro regular tem 20 faces triangulares. 
e. (___) As faces de um hexaedro regular são hexagonais. 
 
4. Determine o número de vértices de um dodecaedro sabendo que suas faces 
são pentagonais. 
5. Um poliedro convexo tem 11 faces: 6 triangulares e 5 quadrangulares. 
Determine o número de arestas e o de vértices desse poliedro.