Apostila de Isostática

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Revisão: 0 Data: 07/2013 
____________________________________________________________________________________ 
Prof.: Rogério de Carvalho Paes de Andrade 
e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Apostila 
de 
Isostática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga biapoiada Viga Gerber 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pórtico biapoiado Treliça 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelo espacial de uma estrutura de rampa Perspectiva 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 1 de 40 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução ____________________________________________________________________ 2 
Condições de equilíbrio ________________________________________________________ 3 
Graus de liberdade____________________________________________________________ 3 
Apoios _____________________________________________________________________ 4 
Estabilidade e estaticidade _____________________________________________________ 4 
Lista de exercícios n.º 1 ________________________________________________________ 6 
Cargas _______________________________________________________________________ 8 
Cargas concentradas __________________________________________________________ 8 
Cargas distribuídas ___________________________________________________________ 8 
Carga momento ______________________________________________________________ 8 
Lista de exercícios n.º 2 ________________________________________________________ 9 
Esforços internos _____________________________________________________________ 11 
Definição __________________________________________________________________ 11 
Lista de exercícios n.º 3 _______________________________________________________ 17 
Pórticos simples ______________________________________________________________ 20 
Definição __________________________________________________________________ 21 
Lista de exercícios n.º 4 _______________________________________________________ 22 
Vigas Gerber _________________________________________________________________ 25 
Definição __________________________________________________________________ 25 
Lista de exercícios n.º 5 _______________________________________________________ 27 
Treliças simples ______________________________________________________________ 30 
Definição __________________________________________________________________ 30 
Lista de exercícios n.º 6 _______________________________________________________ 39 
Bibliografia __________________________________________________________________ 40 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 2 de 40 
 
Introdução 
A estrutura é um conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade 
de um objeto de projeto, por exemplo, uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise 
do comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a 
modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma 
determinada situação de projeto, devem ser considerados vários fatores. Os principais são: 
Projeto arquitetônico: 
-Aspectos funcionais (dimensão do espaço interno, iluminação, limitações do espaço 
exterior,...) 
-Aspectos estéticos (sistemas diferentes geram formas diferentes) 
Carregamento atuante: 
-Permanente 
-Acidental 
Condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, içamento) 
Material estrutural a ser utilizado (cada material possui características mecânicas 
peculiares): o material deve estar adequado ao tipo de esforços solicitantes as estrutura 
Para identificação do sistema estrutural mais adequado deve-se: 
1º.) Identificar as possíveis opções; 
2º.) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um ; 
 
Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e 
análise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta 
convenção pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto 
denominado sistema estrutural. 
Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que 
definem seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças 
estruturais: 
 
Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas. 
 
Barra de elementos delgados: as três dimensões principais são de diferentes ordens de 
grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da 
seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados 
são tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à 
solicitação por torção. 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 3 de 40 
 
Folhas ou lâminas: duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira 
dimensão. Subdividem-se em: 
 
 
Placas: carregamento perpendicular ao plano médio. 
Chapas: carregamento contido no plano médio. 
Cascas: superfície média curva. 
 
Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza. 
 
 
Condições de equilíbrio 
Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, é necessário que 
elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo. 
Equações universais da estática: 
∑Fx = 0 ∑Mx = 0 
∑Fy = 0 ∑Mx = 0 
∑Fz = 0 ∑Mx = 0 
 
A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio, submetido a 
um sistema de forças, é que satisfaça as equações universais da estática. 
 
Graus de liberdade 
No espaço, uma translação pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos 
triortogonais e, uma rotação, como a resultante de 3 rotações, cada uma em torno de um eixos, 
dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de 6 graus de liberdade (3 translações e 3 
rotações, segundo 3 eixos triortogonais). 
É evidente que estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar 
toda tendência de movimento da estrutura, a fim de ser possível seu equilíbrio. Esta restrição é 
dada por apoios, que devem impedir as diversas tendências possíveis de movimento, através do 
aparecimento de reações destes apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que eles 
impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem. 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 4 de 40 
 
Apoios 
A função dos apoios é a de restringir os graus de liberdade das estruturas, despertando com 
isto reações nas direções dos movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do 
número de graus de liberdade impedidos. Para o caso das estruturas planas carregadas no 
próprio plano, que é o mais frequente da análise estrutural, existem 3 graus de liberdade a 
combater. 
 
a) apoio do 1º gênero ou charriot 
 
 
b) apoio do 2º gênero, articulação ou rótula 
 
 
c) apoio do 3º gênero ou engaste 
 
 
 
Estabilidade e estaticidade 
Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos 
possíveis da estrutura. Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual ao número 
de equações de equilíbrio disponíveis, isto é, número de incógnitas igual ao números de 
equações, chegando-se a um sistema de equações determinado
que resolverá o problema. 
Dizemos, então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. 
Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos 
possíveis da estrutura. Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas, 
chegando-se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura será dita 
hipostática e será, então instável. As estruturas hipostáticas são, então, inadmissíveis para as 
construções. 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 5 de 40 
 
Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos 
possíveis da estrutura. Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, 
conduzindo a um sistema indeterminado. As equações universais da estática não será, então, 
suficientes para a determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de 
compatibilidade de deformações, conforme será visto na cadeira de Teoria da estruturas. 
A estrutura será dita hiperestática, continuando o equilíbrio a ser estável, aliás, poderíamos dizer, 
um pouco impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável. 
RESUMO: 
• N.º INCÓGNITAS < N.º EQUAÇÕES = → HIPOSTÁTICA 
• N.º INCÓGNITAS = N.º EQUAÇÕES = → ISOSTÁTICA 
• N.º INCÓGNITAS > N.º EQUAÇÕES = → HIPERESTÁTICA 
 
Ex.: classificar as estruturas abaixo quanto a sua estabilidade e estaticidade. 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 6 de 40 
 
Lista de exercícios n.º 1 
 
Classifique as estruturas abaixo quanto a sua estabilidade e estaticidade. 
 
a) 
 
 
Resp.: Isostática 
 
 
 
 
b) 
 
 
Resp.: Isostática 
 
 
 
 
c) 
 
 
Resp.: Hipostática 
 
 
 
 
d) 
 
 
Resp.: Hipostática 
 
 
 
 
e) 
 
 
Resp.: Hiperestática 
 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 7 de 40 
 
 
f) 
 
Resp.: Hiperestática 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
Resp.: Isostática 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
Resp.: Hiperestática 
 
 
 
 
 
i) 
 
 
Resp.: Hiperestática 
 
 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 8 de 40 
Cargas 
Classificação das cargas em relação à sua lei de distribuição. 
Não estudaremos, por ora, a classificação das cargas quanto à sua ocorrência em relação ao 
tempo. 
 
Cargas concentradas 
As cargas concentradas são uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas segundo 
áreas de contato tão pequenas. 
 
Cargas distribuídas 
Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática são as cargas 
uniformemente distribuídas (constante) e as cargas triangulares (casos de empuxo de terra e de 
água) indicadas abaixo. 
 
 
Carga uniformemente distribuída Carga linearmente distribuída 
 
A resultante de um carregamento distribuído é igual à área compreendida entre a linha 
que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qual está aplicado, sendo seu ponto de 
aplicação o centro de gravidade da referida área. 
 
 
Carga momento 
A estrutura também pode, além de estar solicitada por cargas-forca (concentrada e ou 
distribuídas), estar solicitada por cargas-momento. A carga-momento é caracterizada pelo seu 
módulo, direção,sentido e ponto de aplicação. 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 9 de 40 
 
Lista de exercícios n.º 2 
 
Calcular as reações de apoio das estruturas abaixo: 
Obs.: considerar todas as cotas em metro. 
 
 
1 – 
 
 
VA = 3,0 KN (↑) / HA = 0 
VC = 3,0 KN (↑) 
 
 
 
2 – 
 
VA = 15,0 KN (↑) / HA = 0 
VB = 15,0 KN (↑) 
 
 
 
3 – 
 
MA = 3,0 kN.m (↶) / VA = 0 / HA = 0 
 
 
 
 
4 – 
 
VA = 41,25 KN (↑) / HA = 8,66kN (→) 
VE = 43,75 KN (↑) 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 10 de 40 
 
5 – 
 
 
VA = 250 KN (↑) / HA = 0 
VC = 380 KN (↑) 
 
 
 
 
6 – 
 
VB = 363,75 KN (↑) / HB = 43,3 kN (→) 
VD = 341,25 KN (↑) 
 
 
 
 
7 – 
 
 
VB = 300 KN (↑) / HB = 34,64 kN (←) 
VD = 340 KN (↑) 
 
 
 
 
8 – 
 
MA = 652,5 kN.m (↶) / VA = 205 KN (↑) / HA = 43,3 kN (→) 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 11 de 40 
 
Esforços internos 
 
Definição 
 
Considera-se a barra abaixo com um plano de carga paralelo ao plano xy e passando pelo centro 
de cisalhamento. Desta forma os esforços solicitantes se resumem a: força normal (N), força 
cortante (Q) e momento fletor (M). 
 
As equações dos esforços solicitantes são determinadas efetuando-se cortes ao longo do 
comprimento da barra em equilíbrio, e equilibrando-se a parte à esquerda ou à direita do corte 
 
 
 
 
 
Deve-se considerar um novo corte toda vez que as equações forem alteradas, ou seja, toda vez 
que se modificar o carregamento. 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 12 de 40 
Devido ao carregamento que atua na parte à esquerda ou à direita do corte, surgem esforços 
resultantes da força Frl na direção x, do eixo longitudinal da barra, de força Frt na direção y, 
transversal ao eixo da barra, e de momento Mr. 
Conhecendo-se os esforços ativos e reativos, é possível determinar os esforços resultantes (Frl, 
Frt e Mr), que são equilibrados pelos respectivos esforços solicitantes (N, Q e M) através das 
equações de equilíbrio da estática (∑Fx = 0; ∑Fy = 0 e ∑M = 0). 
Para traçar os diagramas dos esforços solicitantes é necessário determinar, em cada corte, as 
respectivas equações, considera-se um novo corte toda vez que as equações dos esforços 
solicitantes forem alterados, ou seja, toda vez que surgir um novo esforço, ativo ou reativo. Além 
disso, deve-se respeitar as convenções de sinais adotados, a fim de definir os sentidos dos 
esforços solicitantes em cada seção transversal da barra. 
 
Convenções de sinais 
Admitem-se os esforços positivos conforme os sentidos indicados abaixo. 
 
Força normal (N) → é positiva se tracionar o trecho considerado. 
 
 
 
 
Força cortante (Q) → é positiva desde que o binário provoque giro no sentido horário. 
 
 
Momento fletor (M) → é positivo se provoca tração nas fibras inferiores. 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 13 de 40 
 
Resumo da convenção de sinais positivos 
 
+
N N
 
 
 Através de relações diferenciais (p, Q e M) é possível prever as formas dos diagramas de 
momento fletor (M) e da força cortante (Q) em função da carga (p). 
 
Tipo de carga Cortante (Q) Fletor (M) 
Concentrada Constante Função do 1º 
Uniformemente distribuída Função do 1º Função do 2º 
Linearmente distribuída Função do 2º Função do 3º 
 
Exemplos: 
Ex.: 1 - Viga biapoiada submetida a uma carga concentrada. 
 
 
 
1º Passo - Cálculo das reações de apoio 
∑Fx=0 (→+) 
HA = 0 
∑Fy=0 (↑+) 
VA
+VC - P = 0 
VA = P - VC 
∑MA=0 (+) 
P.a - VC.l = 0 
- VC.l = - P.a x(-1) 
VC = P.a / l 
como b = l - a 
VA = P.b / l 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 14 de 40 
 
2º Passo - Cálculo dos esforços internos 
 
Ponto B (esquerda) 
∑Fx=0 
N = 0 
∑Fy=0 
Q + P.b / l = 0 
Q = - P.b / l 
∑MA=0 
M - (P.b / l).x = 0 
M = (P.b / l).x 
 
 
3º Passo - Diagrama dos esforços solicitantes 
 
 
 
 
Obs.: ao se criar uma seção sob uma carga concentrada haverá a necessidade de se analisar a 
seção sem e com a carga concentrada para os esforços que serão afetados com o surgimento da 
força. 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 15 de 40 
 
Ex.: 2 - Viga biapoiada submetida a um carregamento uniformemente distribuído. 
 
 
 
1º Passo - Cálculo das reações de apoio 
∑Fx=0 (→+) 
HA = 0 
∑Fy=0 (↑+) 
VA +VB - q.l = 0 
VA = q.l - VB 
 
∑MA=0 (+) 
(q.l).(l/2) - VB.l = 0 
- VB.l = - q.l²/2 x(-1) 
VB = q.l/2 
logo: 
VA = q.l / 2 
 
 
2º Passo - Cálculo dos esforços internos 
 
Seção S (ao meio do vão) 
∑Fx=0 
N = 0 
∑Fy=0 
Q + q.l/2 – q.l/2 = 0 
Q = 0 
∑M=0 
M + (q.l/2).(l/4) – (q.l/2).(l/2) = 0 
M + (q.l²/8) - (q.l²/4) = 0 
M + (q.l² - 2q.l²)/8 = 0 
M = q.l²/8 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 16 de 40 
 
3º Passo - Diagrama dos esforços solicitantes 
 
 
²
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 17 de 40 
 
Lista de exercícios n.º 3 
 
Calcular o que se pede para as estruturas abaixo: 
Obs.: considerar todas as cotas em metro. 
 
a) as reações de apoio; 
b) os esforços internos; 
c) o diagrama dos esforços solicitantes. 
 
1 – 
 
 
 
DEC (kN) 
 
VA = 3,0 KN (↑) / HA = 0 
VC = 3,0 KN (↑) 
DMF (kN.m) 
 
 
2 – 
 
 
DEC (kN) 
 
VA = 15,0 KN (↑) / HA = 0 
VB = 15,0 KN (↑) 
 
DMF (kN.m) 
 
3 – 
 
 
DMF (kN.m) 
MA = 3,0 kN.m (↶) / VA = 0 / HA = 0 
 
 
 
4 – 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 18 de 40 
 
DEN (kN) 
 
VA = 41,25 KN (↑) / HA = 8,66kN (→) 
VE = 43,75 KN (↑) 
 
DEC (kN) 
 
 
DMF (kN.m) 
 
 
 
5 – 
 
 
DEC (kN) 
 
VA = 250 KN (↑) / HA = 0 
VC = 380 KN (↑) 
 
DMF (kN.m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 – 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 19 de 40 
 
 
 
DEN (kN) 
 
VB = 363,75 KN (↑) / HB = 43,3 kN (→) 
VD = 341,25 KN (↑) 
 
DEC (kN) 
 
 
DMF (kN.m) 
 
 
7 – 
 
 
DEN (kN) 
 
VB = 300 KN (↑) / HB = 34,64 kN (←) 
VD = 340 KN (↑) 
 
DEC (kN) 
 
 
DMF (kN.m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 – 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 20 de 40 
 
 
DEN (kN) 
 
MA = 652,5 kN.m (↶) / VA = 205 KN (↑) / HA = 43,3 
kN (→) 
 
DEC (kN) 
 
 
DMF (kN.m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pórticos simples 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 21 de 40 
Definição 
 
Os pórticos planos são estruturas formadas por elementos (ou barras) cujos eixos, com 
orientações arbitrárias, pertencem todos a um único plano (plano da estrutura). 
O carregamento atuante também pertence ao plano da estrutura. Os nós que 
interconectam os elementos dos pórticos podem ser rígidos ou articulados. 
Existem quatro tipos fundamentais de pórticos isostáticos planos, aos quais chamamos 
pórticos simples, quando ocorrem isoladamente e que, associados entre si, da mesma forma com 
que associamos vigas simples para constituir as vigas Gerber, formam os assim chamados 
pórticos compostos. 
Para se traçar o diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro, basta marcar os 
momentos fletores atuantes em seus nós, ligá-los por uma linha reta tracejada, a partir da qual 
penduramos os diagramas de viga biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre cada 
uma das barras que constituem o quadro. Os diagramas são marcados, como no caso das vigas, 
perpendicularmente ao eixo de cada barra. 
Para a obtenção dos diagramas de esforços cortantes e esforços normais é imediata, a partir do 
conhecimento das reações de apoio, sendo indiferente o lado para o qual marcamos os valores, 
interessando apenas o sinal (positivo se o esforço é de tração e negativo no caso de compressão). 
A fim de evitar confusão com as linhas que definem o eixo do quadro e com linhas auxiliares 
usadas para o traçado dos diagramas, pode-se hachurar, se julgado útil para maior clareza, a área 
compreendida entre o diagrama final e o eixo do quadro. 
São os seguintes os tipos estáticos de quadros simples isostáticos. 
 
a) Pórtico biapoiado b) Pórtico engastado e livre 
A
B
D
C
 
A
B C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Pórtico triarticulado d) Pórtico biapoiado, com articulação e tirante 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 22 de 40 
(ou escora) 
A
B
E
DC
 
A
B
D
C
 
 
 
A barra AC no pórtico da letra (d) estará submetida apenas a um esforço normal (N) constante, no 
caso de ser de tração, a barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será 
denominada de escora. 
 
Obs.: esta barra AC é descarregada e rotulada nas extremidades, possuindo em todas as seções 
M = Q = 0. 
 
 
Exemplo: 
 
2kN/m
A
B
D
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de exercícios n.º 4 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 23 de 40 
Para os pórticos abaixo, calcule: 
a) as reações de apoio; 
b) os esforços internos nas seções indicadas com a letra S; 
c) o diagrama dos esforços solicitantes. 
1) 
3kN/m
10kN
S2
S1
S3
2
,0
2,
0
2,5 2,5
5,0
1,
0
1
,0
A
B
D
C
 
2) 
S2
S1
1,5
5kN
2
,0
2
,0
1,5
A
B C
10kN/m
 
a) Reações de apoio 
VA = 3,55 kN (↑) / HA = 10 kN (←) 
VD = 11,5 kN (↑) 
 
b) Esforços internos 
 S1 S2 S3 
N (kN) -3,5 0 -11,5 
Q (kN) 0 / 10 -4 0 
M (kN.m) 20 19,4 0 
 
a) Reações de apoio 
VA = 5 kN (↑) / HA = 40 kN (←) 
MA = 95 kN.m (↶) 
 
b) Esforços internos 
 S1 S2 
N (kN) -5 0 
Q (kN) 20 5 
M (kN.m) -35 -7,5 
 
c) 
 
DEN (kN) 
c) 
 
DEN (kN) 
 
DEC (kN) 
 
DEC (kN) 
 
DMF (kN.m) 
 
DMF (kN.m) 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 24 de 40 
3) 
A
B C
3kN/m
S2
S1
1
,5
1,
5
3,0 3,0
 
4) 
5kN
S2
S1
S3
2,
0
2,
0
2,5
7,0
2,51,0 1,0
A
CB
F
D E
 
a) Reações de apoio 
VA = 9 kN (↑) / HA = 0 kN 
VC = 9 kN (↑) 
 
b) Esforços internos 
 S1 S2 
N (kN) -9 0 
Q (kN) 0 0 
M (kN.m) 0 13,5 
 
a) Reações de apoio 
VA = 9 kN (↑) / HA = 5 kN (→) 
VF = 5 kN (↑) 
 
b) Esforços internos 
 S1 S2 S3 
N (kN) -9 0 -5 
Q (kN) -5 / 0 2 0 
M (kN.m) -10 0,3 0 
 
c) 
 
DEN (kN) 
c) 
 
DEN (kN) 
 
DEC (kN) 
DEC (kN) 
 
DMF (kN.m) 
 
DMF (kN.m) 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 25 de 40 
Vigas Gerber 
 
Definição 
 As vigas Gerber recebem este nome em homenagem ao engenheiro alemão Heinrich 
Gerber (1832-1912). As vigas Gerber tiveram seu aparecimento ditado por motivos de ordem 
estrutural e construtiva. 
Estrutural → permitir deformações, evitando o surgimento de esforços internos devidos a 
recalques diferenciais nos apoios. 
Construtivos → permitir o lançamento de vigas pré-moldads em vãos sobre leitos de rio ou de 
difícil acesso. 
 
 
 
 Esta solução nos permite a execução em separado dos trechos ABE, EF e FCD, com o 
que poderíamos escorar inicialmente o trecho ABE e concretá-lo, a seguir, transferiríamos o 
escoramento para o trecho FCD que seria posteriormente concretado e encerrando a execução da 
estrutura, poderíamos pré-fabricar a viga EF, lançando-a atravéz de uma grua. 
 As vigas Gerber tem lugar de grande importância na Engenharia estrutural, e a tendência 
desta importância é aumentar, tendo em vista o desenvolvimento das técnicas de pré-fabricação e 
montagem de estruturas. 
 Os dentes Gerber nada mais são do que rótulas (M = 0) convenientemente introduzidas na 
estrutura de forma a, mantendo a sua estabilidade, torná-la isostática. As vigas Gerber podem, 
portanto, ser consideradas como uma associação de vigas simples (biapoiadas, biapoiadas com 
balanços ou engastadas e livres), umas com estabilidade própria (CEP) e outras sem estabilidade 
própria (SEP). 
 Importante ressaltar que as partes identificadas como SEP são também estáveis, 
entretanto a estabilidade delas depende da estabilidade das vigas sobre as quais se apoiam. 
 As vigas Gerber, por serem associações de vigas isostáticas simples, podem ser 
calculadas estabelecendo o equilíbrio de cada uma de suas partes, resolvendo inicialmente as 
vigas simples que não possuem estabilidade próprio (SEP). A determinação das forças reativas 
das vigas SEP permite pelo princípio da ação e reação a aplicação da ação destas sobre as vigas 
simples com estabilidade própria (CEP). 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 26 de 40 
 
Ex.: Separe as estruturas abaixo em trechos SEP e CEP. 
 
 
a) 
 
A B C 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
A B C D E F G H 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
A B C 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 27 de 40 
 
Lista de exercícios n.º 5 
 
Para as estruturas abaixo, faça: 
a) indique os trechos com estabilidade própria (CEP) e os trechos sem estabilidade própria 
(SEP); 
b) calcule as reações de apoio; 
c) o diagrama dos esforços solicitantes. 
 
1) 
 
11m
3m 2m 3m 2m 1m
60kN20kN/m
A B C D E F
 
 
a) 
CEP → Trecho CF 
SEP → Trecho AC 
b) 
VB = 125 kN (↑) 
VD = 60 kN (↑) 
VF = 35 kN (↑) 
 
C) 
 
 
 
DEC (kN) 
 
 
 
DMF (kN.m) 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 28 de 40 
 
 
2) 
 
19m
2m 4m 2m 5m
A B C D E
2m2m
10kN/m
H
10kN/m
20kN/m
30kN
2m
F G
 
 
a) 
CEP → Trecho CF 
SEP → Trechos: AC e FH 
b) 
VB = 45 kN (↑) 
VD = 101 kN (↑) 
VE = 109 kN (↑) 
C) 
 
 
 
DEC (kN) 
 
 
 
 
DMF (kN.m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 29 de 40 
 
 
3) 
 
12m
1m 1m 2,5m
A C D E
1m1m
I
2m
G H
10kN 20kN
5kN.m
1m 2,5m
B F
 
 
a) 
CEP → Trecho CG 
SEP → Trechos: AC e GI 
b) 
VA = 5 kN (↑) 
VD = 16,3 kN (↑) 
VF = 7 kN (↑) 
VI = 1,7 kN (↑) 
C) 
 
 
 
DEC (kN) 
 
 
 
 
DMF (kN.m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 30 de 40 
Treliças simples 
 
Definição 
Treliça ideal é um sistema reticulado indeformável cujas barras possuem todas as suas 
extremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas (nós). 
A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto 
pertencerem a um único plano. A sua utilização na prática pode ser observada em pontes, 
viadutos, coberturas, guindastes, torres, etc. 
Exemplo: 
 
 
 
 
Observações: 
 
• Qualquer polígono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus 
vértices é deformável (hipostático) com exceção dos casos abaixo: 
 
 
 
• As treliças surgiram como um sistema mais econômico que as vigas para 
vencerem vãos maiores ou suportar cargas maiores. 
• Embora o caso mais geral seja o de treliças espaciais, o mais frequente é o de 
treliças planas, que será o estudado em nosso curso. 
• Imaginam-se as barras rotuladas em suas extremidades (isto é, sendo livre sua 
rotação relativa nos nós), conforme figura (a). Não é frequente, no entanto, a 
união destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos nós 
através de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as 
barras concorrentes, conforme figura (b). 
 
 
Figura (a) Figura (b) 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 31 de 40 
• Estas ligações criarão sempre pequenas restrições à livre rotação relativa das barras nos 
nós, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras, sendo desprezado o seu 
efeito. 
• Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no 
mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um único ponto em cada nó (PT: ponto 
de trabalho), os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria 
que vamos desenvolver, sendo ela válida do ponto de vista prático. 
 
Solicitações internas 
 
Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas 
extremidades rotuladas, não absorvem momento, desenvolvem apenas esforços normais 
constantes ao longo da barra.Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça. 
Sabe-se que uma rótula não transmite momento, apenas esforços na direção do eixo e 
perpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós. 
A análise do equilíbrio mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem 
esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo, porém sentidos 
contrários. A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra (esforço cortante) é 
descartada pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades 
momentos nulos. 
 
Conclusão: A única solicitação
interna desenvolvida é o Esforço Normal constante ao longo da 
barra. Como o esforço normal é constante ao longo da barra, podemos calcular o seu valor em 
uma seção qualquer da barra. 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 32 de 40 
 
Classificação da estaticidade de uma treliça 
 
Sejam: 
b – número de barras; 
r – número de reações externas; 
n – número de nós ou rótulas. 
As incógnitas do problema serão em número de b + r, ou seja, o número de reações e o 
número de barras. 
O número de equações será de 2n, pois em cada nó se aplicam as equações de equilíbrio 
de um ponto material. (∑Fx=0 ∑Fy=0). 
 
Então, se 
 
r + b < 2n – Treliça hipostática; 
 
r + b = 2n – a princípio tratar-se de uma treliça isostática, porém não pode ser confirmado 
sem antes analisarmos os apoio externos (condições de equilíbrio estático); 
 
r + b > 2n – Treliça hiperestática, sendo válidas as observações anteriores para a treliça 
isostática. 
 
 
 
Exemplo: 
 
A B
 
 
b = 5 
 
r = 3 
 
n = 4 
 
b + r → 5 + 3 → 8 
 
2 n → 2 x 4 → 8 
 
 
Como b + r = 2 n, a treliça é externamente biapoiada e internamente possui a lei de 
formação de uma treliça simples (r + b = 2n), é então classificada como isostática. 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 33 de 40 
Métodos de análise das treliças 
 
 
Método dos Nós 
 
É o método natural de resolução que consiste em se estudar o equilíbrio de cada nó 
isolado. Deve-se INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que possuam apenas duas incógnitas à 
determinar (esforço normal de 2 barras). Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada 
nó: (∑Fx=0 ∑Fy=0). 
Note-se que se o nó tiver mais de 2 barras à serem determinadas, as 2 equações não são 
suficientes para a solução do sistema. 
ROTEIRO: 
1º Passo → cálculo das reações externas (se necessário); 
2º Passo → escolha do 1º nó à ser examinado; 
3º Passo → aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido; 
4º Passo → resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se 
ele acresce apenas duas incógnitas (2 barras à serem determinadas). 
Obs.: este método apresenta o problema de acumular os erros de cálculo que por acaso sejam 
cometidos. 
 
Método de Ritter ou Método das Seções 
 
O método de Ritter permite que se calculem os esforços normais apenas em algumas 
barras que possam nos interessar. 
ROTEIRO: 
1º Passo → cálculo das reações externas (se necessário); 
2º Passo → cortar a treliça por seções de Ritter que devem: 
a) atravessar toda a treliça dividindo-a em 2 partes 
b) interceptar no máximo 3 barras que não sejam ao mesmo tempo paralelas ou concorrentes. 
c) cortada a treliça em 2 partes, substitui-se a parte retirada pelos esforços normais 
desenvolvidos pelas barras cortadas, que devem ser calculados, de maneira que as partes 
ficam em equilíbrio; 
d) os esforços normais serão encontrados pelo equilíbrio das partes, podendo-se dispor além 
das equações fundamentais de equilíbrio estático, da condição de nó onde a soma dos 
momentos em qualquer nó da treliça deva ser zero, pois as rótulas não absorvem momento. 
Obs.: este método acrescenta mais condições as já conhecidas e são usadas as condições que 
nos parecerem mais convenientes, podendo-se facilmente mesclar os 2 métodos sem problema 
algum. 
 
 
Método de Cremona 
É um método gráfico que preconiza a justaposição dos polígonos de forças que traduzem 
o equilíbrio de cada nó. Está em desuso em função da mecanização dos cálculos. 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 34 de 40 
 
Exemplo de aplicação para o método dos nós 
 
Determinar as reações de apoio e os esforços internos das barras da treliça dada. 
 
 
 
1 º Passo - Reações de apoio 
ΣFx = 0 (→ +) 
-HA + 6 = 0 
-HA = - 6 x(-1) 
HA = 6 kN 
 
ΣFy = 0 (↑ +) 
VA + VB - 20 = 0 
VA + VB = 20 
 
ΣMA = 0 ( +) 
20 x 2 + 6 x 1,5 – VB x 4 = 0 
40 + 9 - 4VB = 0 
VB = 12,25 kN 
 
Logo 
VA = 20 – VB 
VA = 20 – 12,25 
VA = 7,75 kN 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 35 de 40 
 
2 º Passo – Esforços internos 
Tg = 1,5 / 2 = 0,75 → 37º (Sen 37º = 0,60 e Cos 37º = 0,80) 
Nó A 
ΣFy = 0 (↑ +) 
7,75 + NAC x Sen 37º = 0 
7,75 + NAC x 0,60 = 0 
NAC = -12,92 kN (compressão) 
 
ΣFx = 0 (→ +) 
- 6,0 + NAD + NAC x Cos 37º = 0 
- 6,0 + NAD + (- 12,92) x 0,80 = 0 
- 6,0 + NAD – 10,34 = 0 
NAD = 16,33 kN (tração) 
 
Nó D 
ΣFy = 0 (↑ +) 
NDC – 20 = 0 
NDC = 20,0 kN (tração) 
 
ΣFx = 0 (→ +) 
- NDA + NDB = 0 
NDB = NDA 
NDB = 16,33 kN (tração) 
 
 
Nó B 
ΣFy = 0 (↑ +) 
12,25 + NBC x Sen 37º = 0 
12,25 + NBC x 0,60 = 0 
NBC = - 20,42 kN (compressão) 
 
 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 36 de 40 
 
Exemplo de aplicação para o método de Ritter ou método das seções 
 
Determinar as reações de apoio e os esforços internos das barras da treliça dada. 
 
 
 
 
 
1 º Passo - Reações de apoio 
 
ΣFx = 0 (→ +) 
HA = 0 
 
 
ΣFy = 0 (↑ +) 
VA + VB – 18 – 36 = 0 
VA + VB = 54 
 
 
ΣMA = 0 ( +) 
18 x 2 + 36 x 4 – VB x 6 = 0 
180 – 6VB = 0 
VB = 30,0 kN 
 
 
Logo 
VA = 54 – VB 
VA = 54 – 30,0 
VA = 24,0 kN 
 
 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 37 de 40 
 
2 º Passo – Esforços internos 
Tg = 2 / 2 = 1,0 → 45º (Sen 45º = Cos 45º = 0,71) 
Seção 1-1 (a esquerda) 
 
ΣFy = 0 (↑ +) 
24 – 18 + NED x Cos 45 = 0 
6 + NED x 0,71 = 0 
NED = - 8,45 kN (compressão) 
 
ΣME = 0 ( +) 
24 x 2 + NCD x 2 = 0 
NCD = - 24,0 kN (compressão) 
 
ΣFx = 0 (→ +) 
NEF + NED x Cos 45º + NCD = 0 
NEF + (- 8,45) x 0,71 + (- 24) = 0 
NEF – 6 – 24 = 0 
NEF = 30,0 kN (tração) 
 
Nó A 
ΣFy = 0 (↑ +) 
24 + NAC x Cos 45º = 0 
24 + NAC x 0,71 = 0 
NAC = - 33,8 kN (compressão) 
 
ΣFx = 0 (→ +) 
NAE + NAC x Cos 45º = 0 
NAE + (- 33,8) x 0,71 = 0 
NAE = 24,0 kN (tração) 
 
Nó E 
ΣFy = 0 (↑ +) 
- 18 + NEC + NED x Cos 45º = 0 
- 18 + NEC + (- 8,45) x 0,71 = 0 
- 18 + NEC - 6 = 0 
NEC = 24,0 kN (tração) 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 38 de 40 
 
Nó B 
ΣFy = 0 (↑ +) 
30 + NBD x Cos 45º = 0 
30 + NBD x 0,71 = 0 
NBD = - 42,25 kN (compressão) 
 
ΣFx = 0 (→ +) 
– NBF – NBD x Cos 45º = 0 
– NBF – (– 42,25) x 0,71 = 0 
– NBF + 30 = 0 
NBF = 30,0 kN (tração) 
 
 
Nó F 
ΣFy = 0 (↑ +) 
NFD - 36 = 0 
NFD = 36 kN (tração) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 39 de 40 
 
Lista de exercícios n.º 6 
 
Determinar os esforços normais atuantes nas treliças abaixo. 
 
a) 
Respostas
Esforços externos:
VA = 40 kN (↓) HA = 20 kN (←)
VB = 60 kN (↑)
Esforços internos:
NAB = 0
NAC = + 20,0 kN (T)
NAD = + 28,3 kN (T)
NBD = - 60,0 kN
(C)
NCD = - 20,0 kN (C)
NCE = 0
NCF = + 28,3 kN (T)
NEF = - 20,0 kN (C)
NDF = - 40,0 kN (C) 
 
 
 
 
 
b) 
Respostas
Esforços externos:
VA = 40 kN (↑) HA = 0
VB = 40 kN (↑)
Esforços internos:
NAC = NCD = - 136,4 kN (C)
NAF = + 132,3 kN (T)
NFG = + 89,0 kN (T)
NCF = - 20,0 kN (C)
NFD = + 47,6 kN (T)
NDG = 0 
 
 
 
 
 
c) 
Respostas
Esforços externos:
HA = 100 kN (→)
VE = 60 kN (↑) HE = 70 kN (←)
Esforços internos:
NAB = - 75,0 kN (C)
NBC = NCD = - 50,0 kN (C)
NEF = + 78,2 kN (T)
NFG = + 61,4 kN (T)
NGD = + 44,4 kN (T)
NAE = + 25,0 kN (T)
NAF = - 35,2 kN (C)
NBG = - 28,2 kN (C)
NBF = + 12,6 kN (T)
NCG = 0 
20kN
20kN
 
10 kN
20 kN
20 kN
20 kN
10 kN
 
20 kN
20 kN 20 kN
20 kN 20 kN
20 kN
 
Curso de análise estrutural Prof.: Rogério de C. P. de Andrade 
Estruturas isostáticas e-mail: rogeriocpa@gmail.com 
 
Página 40 de 40 
 
 
Bibliografia 
 
• Análise Estrutural, José Carlos Sussekind, Vol I, Editora Globo, 1984; 
• Estruturas Isostáticas, Maria C. F. de Almeida, Editora Oficina de Textos, 2009; 
• Estruturas Isostáticas, Bernardo Gorfin e Myriam Marques de Oliveira, Editora LTC; 
• Apostila sobre treliças, professora Maria Regina C. Leggerini / Silvia B. Kalil, PUC-RS.