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Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m � n ("m vezes n" ou "m por n") a uma aplicação A : f1; 2; :::;mg � f1; 2; :::; ng ! R: (i; j) ! A (i; j) Para simpli car, em vez de A (i; j) ; escreve-se habitualmente ai;j: Uma matriz A pode ser representada numa das formas: � A = 266666664 a1;1 a1;2 a1;3 � � � a1;n a2;1 a2;2 a2;3 � � � a2;n a3;1 a3;2 a3;3 � � � a3;n ... ... ... . . . ... am;1 am;2 am;3 � � � am;n 377777775 . � A = [ai;j]i=1;:::;m j=1;:::;n ou A = [ai;j]m�n Atendendo à representação em forma de quadro, quando uma matriz é do tipo m � n; considera-se que a matriz temm linhas e n colunas e, sem = n; a matriz diz-se quadrada, dizendose nesse caso que a matriz é de ordem n. Os elementos ai;j dizem-se as entradas da matriz, concretamente o elemento ai;j está posicionado na linha de índice i e na coluna de índice j e é a entrada (i; j) da matriz A: Os elementos com o mesmo índice de linha e coluna, isto é, os elementos ai;i; dizem-se entradas principais da matriz. Duas matrizes A e B são iguais se forem do mesmo tipo e as entradas correspondentes forem iguais. Exemplos de matrizes: 1. A = " �2 1 0 5 1 3 1 0 �1 �1 2 # - matriz de tipo 2� 5: 2. A = [ai;j]4�4 em que ai;j = ( 1 se i+ j é par 0 se i+ j é ímpar é a matriz quadrada de ordem 4, que pode ser representada por A = 266664 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 377775 Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 2 Matrizes particulares � Se a matriz é do tipo 1� n diz-se uma matriz linha. � Se a matriz é do tipo n� 1 diz-se uma matriz coluna. (Às vezes chamam-se vectores às matrizes linha ou às matrizes coluna) � Se A = [ai;j]n�n é uma matriz quadrada, então: � a diagonal principal de A é constituída pelas suas entradas principais (elementos com índice de linha igual ao índice de coluna). � a matriz diz-se triangular superior se ai;j = 0; sempre que i > j; � a matriz diz-se triangular inferior se ai;j = 0; sempre que i < j; � a matriz diz-se diagonal se é triangular superior e inferior, ou seja se ai;j = 0; sempre que i 6= j; � Matriz nula de tipo m� n é a matriz Om�n = [oij]m�n ; em que oij = 0, ou seja, Om�n = 266664 0 0 � � � 0 0 0 � � � 0 ... ... . . . ... 0 0 � � � 0 377775 m�n . � Matriz identidade de ordem n é a matriz In = [ai;j]m�n em que ai;j = ( 1 se i = j 0 se i 6= j ; ou seja, In = 266664 1 0 � � � 0 0 1 � � � 0 ... ... . . . ... 0 0 � � � 1 377775 n�n : � A simétrica da matriz A = [ai;j]m�n é a matriz �A = [bi;j]m�n ; onde bi;j = �ai;j. � Se k é um número real, então a matriz 266664 k 0 � � � 0 0 k � � � 0 ... ... . . . ... 0 0 � � � k 377775 n�n diz-se uma matriz es- calar. Uma matriz escalar é uma matriz diagonal em que todas as entradas principais são iguais. Nota: A matriz nula de ordem n e a matriz identidade de ordem n são casos partic- ulares de matrizes escalares, com k = 0; no caso da matriz nula, e k = 1 ,no caso da matriz identidade. Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 3 Exemplos: 1. Matriz linha: � �3 5 0 0 �2 8 5 27 � 2. Matriz coluna: 266664 2 �1 0 3 377775 3. Matriz triangular superior: 264 0 �2 40 3 0 0 0 5 375 : 4. Matriz triangular inferior: 266664 0 0 0 0 �2 3 0 0 4 0 5 0 0 0 0 0 377775 : 5. Matriz diagonal: 264 5 0 00 0 0 0 0 �2 375 : 6. Matriz escalar: 266664 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 377775 : Operações com matrizes Transposição Se A = [ai;j]m�n é uma matriz de tipo m � n; a sua transposta é a matriz AT = [bi;j]n�m de tipo n�m tal que bi;j = aj;i: Uma matriz quadrada diz-se simétrica se AT = A. Exemplos: 1. Se A = " �2 1 0 3 7 2 # , então AT = 264 �2 31 7 0 2 375 : Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 4 2. A matriz A = 264 �2 1 01 7 2 0 2 �13 375 é simétrica pois A = AT : Soma Se A = [ai;j]m�n e B = [bi;j]m�n são matrizes de tipo m� n, de ne-se a matriz: A+B = [ci;j]m�n do mesmo tipo, onde ci;j = ai;j + bi;j: Exemplo: Se A = " �2 1 0 3 7 2 # e B = " �2 �1 5 �3 2 �1 # então A+B = " �4 0 5 0 9 1 # : Produto por um número real Se A = [ai;j]m�n é uma matriz de tipo m� n e � é um número real, de ne-se a matriz: �:A = [ci;j]m�n do mesmo tipo, onde ci;j = �ai;j: Exemplo: Se A = " �2 1 0 3 7 2 # então �2A = �2 " �2 1 0 3 7 2 # = " 4 �2 0 �6 �14 �4 # Produto Se A = [ai;j]m�q é uma matriz de tipo m � q e B = [bi;j]q�n é uma matriz de tipo q � n, de ne-se a matriz: A�B = [ci;j]m�n de tipo m� n, onde ci;j = qX k=1 ai;kbk;j = ai;1b1;j + ai;2b2;j + � � � ai;qbq;j: Seguindo a fórmula atrás, para obter o elemento (i; j) da matriz A� B, usa-se a linha i da matriz A e a coluna j da matriz B: Multiplica-se o primeiro elemento da linha i pelo primeiro elemento da coluna j; o segundo elemento da linha i pelo segundo elemento da coluna j, e assim sucessivamente até "esgotar" os elementos, e por m soma-se tudo. O resultado é a entrada (i; j) da matriz produto. Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 5 Exemplos: 1. Sejam A = " �2 1 0 3 7 2 # e B = 264 2 �1 3 64 3 0 �6 2 1 �1 �2 375 Entrada (1; 1) de A�B : Usa-se a primeira linha de A e a primeira coluna de B �2� 2 + 1� 4 + 0� 2 = 0 Entrada (1; 2) de A�B : Usa-se a primeira linha de A e a segunda coluna de B �2� (�1) + 1� 3 + 0� 1 = 5 Entrada (2; 1) de A�B : Usa-se a segunda linha de A e a primeira coluna de B 3� 2 + 7� 4 + 2� 2 = 38 Repetindo o procedimento para as outras entradas, obtêm-se A�B = " 0 5 �6 �18 38 20 7 �28 # : 2. Se A = " 1 2 3 4 # e B = " �2 3 1 5 # ; então A�B = " 0 13 �2 29 # e B�A = " 7 8 16 22 # : Observações: 1. Só é possível multiplicar matrizes se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. 2. No produto de matrizes omite-se habitualmente o sinal �; designando-se o produto da matriz A pela matriz B por AB: 3. Seja C = AB: O elemento ci;j obtém-se fazendo o "produto interno" da linha i de A pela coluna j de B: (i) Multiplicando a matriz A pela coluna j de B obtém-se a coluna j da matriz C: (ii) Multiplicando a linha i da matriz A pela matriz B obtém-se a linha i da matriz C: 4. O produto de matrizes não goza da propriedade comutativa. Dadas duas quaisquer matrizes A e B, pode não ser possível efectuar ambos os produtos AB e BA: Quando as duas matrizes são quadradas, da mesma ordem, é possível efectuar AB e BA; mas também não se veri ca a comutatividade (a não ser em alguns casos particulares), como se pode veri car com o exemplo 2 acima. Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 6 Propriedades Soma, produto por um número real e transposição Se A; B e C são matrizes de tipo m � n, Om�n é a matriz nula do mesmo tipo e �; � são números reais, veri cam-se: 1. A+B = B + A (comutatividade) 2. (A+B) + C = A+ (B + C) (associatividade) 3. A+Om�n = A (elemento neutro) 4. A+ (�A) = Om�n (existência de simétricos) 5. � (A+B) = �A+ �B 6. (�+ �)A = �A+ �A 7. � (�A) = (��)A 8. 1A = A 9. �Om�n = Om�n e 0A = Om�n 10. � AT �T = A 11. (A+B)T = AT +BT 12. (�A)T = �AT Produto Se A; B e C são matrizes, O é a matriz nula e � é um número real então, sempre que os produtos sejam possíveis, veri cam-se: 1. (AB)C = A (BC) : 2. Se A é do tipo m� n, então AOn�n = Om�n = Om�mA: 3. Se A é do tipo m� n, então AIn = A = ImA: 4. (A+B)C = AC +BC e A (B + C) = AB + AC: 5. � (AB) = (�A)B = A (�B) : 6. (AB)T = BTAT : Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 7 7. Se A e B sãomatrizes diagonais, AB é uma matriz diagonal. 8. Se A e B são matrizes triangulares superiores, AB é uma matriz triangular superior. 9. Se A e B são matrizes triangulares inferiores, AB é uma matriz triangular inferior. Inversa de uma matriz Seja A uma matriz de ordem n. Se existe uma matriz X tal que AX = XA = In; diz-se que a matriz A é invertível; A matriz X diz-se a inversa de A e denota-se X = A�1. Se a matriz A é invertível, a sua inversa é única. Exemplos: 1. A matriz A = " 1 2 �1 2 # é invertível e a sua inversa é A�1 = " 1 2 �1 2 1 4 1 4 # : 2. A matriz A = " 1 2 1 2 # não é invertível. Vejamos porquê: Considerando uma matriz arbitrária X = " a b c d # ; veri ca-se que a equação " 1 2 1 2 #" a b c d # = " 1 0 0 1 # , " a+ 2c b+ 2d a+ 2c b+ 2d # = " 1 0 0 1 # , 8>>>><>>>>: a+ 2c = 1 b+ 2d = 0 a+ 2c = 0 b+ 2d = 1 leva a um sistema impossível. Propriedades Se A e B são matrizes invertíveis de ordem n, veri cam-se: (i) A�1 é invertível e (A�1)�1 = A. (ii) AB é invertível e (AB)�1 = B�1A�1. (iii) AT é invertível e � AT ��1 = (A�1)T : (iv) Se A é invertível e � 6= 0 é um número real, então �A é invertível e (�A)�1 = ��1A�1. (v) Se A é diagonal, A�1 é também diagonal. (vi) Se A é triangular, A�1 é também triangular. Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 8 Matriz em forma de escada Seja A = [ai;j]m�n uma matriz real de tipo m� n: A matriz A está em forma de escada (ou em escada de linhas) se, para cada linha i 2 f1; 2; :::;mg ; se veri ca: Caso 1 A linha i é nula Então, para todo o r > i; a linha r é nula. Caso 2 A linha i não é nula Se ais é o primeiro elemento não nulo da linha i (denominado o pivot); então para todo o l > i e para todo o c � s; alc = 0. A matriz A = [ai;j]m�n está na forma condensada (ou em escada de linhas reduzida) se está em forma de escada e, para cada linha i 2 f1; 2; :::;mg se veri cam: 1. O pivot é igual a 1; 2. Se ais é o pivot, então para todo o l < i; als = 0. Exemplos: 1. A matriz 264 2 �2 0 19 0 �30 0 �4 �3 0 6 0 0 0 0 1 �2 375 está em forma de escada. 2. A matriz 264 1 �1 0 19 2 0 �3 2 0 0 1 3 4 0 �3 2 0 0 0 0 1 �2 375 está em forma condensada. Operações elementares sobre as linhas de uma matriz Tipos de operações elementares Tipo I Trocar duas linhas; Tipo II Multiplicar uma linha por um número real não nulo; Tipo III Somar a uma linha outra multiplicada por um número real qualquer. Observação: Podem-se de nir operações elementares análogas sobre as colunas. Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 9 Exemplos: 1. Tipo I: 266664 2 2 4 0 0 0 2 5 7 0 1 1 377775�����!L2 $ L4 266664 2 2 4 0 1 1 2 5 7 0 0 0 377775 : 2. Tipo II: 266664 2 2 4 0 1 1 2 5 7 0 0 0 377775 �������! L1 1 2 L1 266664 1 1 2 0 1 1 2 5 7 0 0 0 377775 : 3. Tipo III: 266664 1 1 2 0 1 1 2 5 7 0 0 0 377775������������!L3 �2L1 + L3 266664 1 1 2 0 1 1 0 3 3 0 0 0 377775������������!L3 �3L2 + L3 266664 1 1 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 377775 Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares nas linhas, numa matriz em forma de escada. Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares nas linhas, numa matriz condensada. Essa matriz diz-se a forma condensada da matriz inicial. Observação: A partir de uma matriz podem-se obter, por meio de operações elementares nas linhas, muitas matrizes em forma de escada, mas só uma matriz condensada, isto é, a forma condensada de uma matriz é única. Característica da matriz A característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas (e, portanto, o número de pivots) de uma qualquer matriz em forma de escada que possa ser obtida de A através de operações elementares nas linhas. A característica de uma matriz A pode-se representar por carA: Exemplos: 1. car 266664 2 2 4 0 1 1 2 5 7 0 0 0 377775 = 2, pois, como foi exempli cado atrás, por meio de operações ele- mentares obtém-se 266664 1 1 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 377775, que está em forma de escada e tem duas linhas não nulas. 2. 8m;n 2 N; carOm�n = 0: (Só a matriz nula, de qualquer tipo, tem característica 0) Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 10 Método de eliminação de Gauss Este método permite obter uma forma de escada ou a forma condensada de qualquer ma- triz. É de especial importância para a resolução de sistemas de equações lineares, que será estudada no capítulo seguinte Seja A = [ai;j] uma matriz de tipo m� n. 1a FASE - Eliminação descendente Esta fase permite obter uma matriz em forma de escada a partir da matriz inicial. 1. Efectuam-se as trocas de linhas necessárias (operação elementar de tipo I) de modo a que as primeiras k linhas da matriz sejam não nulas e as últimas m� k linhas sejam nulas. Exemplo: 26666664 0 0 0 1 �2 2 0 �2 �2 �3 1 �1 0 3 3 1 1 �2 0 0 0 0 0 0 0 5 5 4 0 �1 37777775 �����! L4 $ L5 26666664 0 0 0 1 �2 2 0 �2 �2 �3 1 �1 0 3 3 1 1 �2 0 5 5 4 0 �1 0 0 0 0 0 0 37777775. 2. Faz-se a primeira escolha de pivot. Para isso escolhe-se um elemento da primeira coluna não nula. Se esse elemento estiver na primeira linha, passa-se ao passo três. Se não estiver na primeira linha, efectua-se uma troca de linhas de modo a que passe a estar na primeira linha. Exemplo: 26666664 0 0 0 1 �2 2 0 �2 �2 �3 1 �1 0 3 3 1 1 �2 0 5 5 4 0 �1 0 0 0 0 0 0 37777775 �����! L1 $ L2 26666664 0 �2 �2 �3 1 �1 0 0 0 1 �2 2 0 3 3 1 1 �2 0 5 5 4 0 �1 0 0 0 0 0 0 37777775 3. Utilizando o pivot escolhido anulam-se todos os outros elementos da coluna respectiva, efectuando operações elementares de tipo III. Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 11 Exemplo: 26666664 0 �2 �2 �3 1 �1 0 0 0 1 �2 2 0 3 3 1 1 �2 0 5 5 4 0 �1 0 0 0 0 0 0 37777775 ������������! L3 3 2 L1 + L3 L4 5 2 L1 + L4 26666666664 0 �2 �2 �3 1 �1 0 0 0 1 �2 2 0 0 0 �7 2 5 2 �7 2 0 0 0 �7 2 5 2 �7 2 0 0 0 0 0 0 37777777775 4. Se necessário repete-se o passo 1 e, seguidamente, faz-se nova escolha de pivot, procu- rando, abaixo da linha 1 a primeira coluna não nula e nesta escolhendo um elemento não nulo. Escolhido o pivot, anulam-se os elementos abaixo dele, efectuando operações elementares de tipo III. Exemplo: 26666666664 0 �2 �2 �3 1 �1 0 0 0 1 �2 2 0 0 0 �7 2 5 2 �7 2 0 0 0 �7 2 5 2 �7 2 0 0 0 0 0 0 37777777775 ������������! L3 7 2 L2 + L3 L4 7 2 L1 + L4 26666666664 0 �2 �2 �3 1 �1 0 0 0 1 �2 2 0 0 0 0 �9 2 7 2 0 0 0 0 �9 2 7 2 0 0 0 0 0 0 37777777775 5. Repetem-se os passos anteriores, escolhendo sucessivos pivots, até a matriz estar em forma de escada. Exemplo: 266666666664 0 �2 �2 �3 1 �1 0 0 0 1 �2 2 0 0 0 0 �9 2 7 2 0 0 0 0 �9 2 7 2 0 0 0 0 0 0 377777777775 ������������! L4 �L3 + L4 266666664 0 �2 �2 �3 1 �1 0 0 0 1 �2 2 0 0 0 0 �9 2 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 377777775 6. Quando a matriz está em forma de escada termina a eliminação descendente. FASE INTERMÉDIA- Normalização dos pivots 7. Para cada pivot diferente de 1, multiplica-se a linha correspondente pelo inverso do pivot, isto é, sendo ai;s 6= 1 um pivot situado na linha i, efectua-se: Li 1 ai;s Li: Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 12 Com vista a obter uma forma condensada da matriz, esta fase do processo pode ser efectuada entre a fase descendente e a fase ascendente ou ao longo da eliminação ascendente, consoante for mais conveniente. Exemplo:2666666664 0 �2 �2 �3 1 �10 0 0 1 �2 2 0 0 0 0 �9 2 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3777777775 ���������! L1 �1 2 L1 L3 �2 9 L3 2666666664 0 1 1 3 2 �1 2 1 2 0 0 0 1 �2 2 0 0 0 0 1 �7 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3777777775 2a FASE - Eliminação ascendente Estando a matriz em forma de escada, esta fase do método permite obter uma matriz em forma condensada. 8. Usando o último pivot anulam-se todos os elementos não nulos na coluna onde esse pivot esteja situado, efectuando operações elementares de tipo III. Exemplo: 1. 2666666664 0 1 1 3 2 �1 2 1 2 0 0 0 1 �2 2 0 0 0 0 1 �7 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3777777775 ������������! L2 2L3 + L2 L1 1 2 L3 + L1 266666666664 0 1 1 3 2 0 1 9 0 0 0 1 0 4 9 0 0 0 0 1 �7 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 377777777775 9. O processo repete-se com os pivots seguintes (de baixo para cima), até a matriz estar em forma condensada. Exemplo: 266666666664 0 1 1 3 2 0 1 9 0 0 0 1 0 4 9 0 0 0 0 1 �7 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 377777777775 ��������������! L1 �3 2 L2 + L1 2666666666664 0 1 1 0 0 �5 9 0 0 0 1 0 4 9 0 0 0 0 1 �7 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3777777777775 10. No nal da eliminação ascendente a matriz obtida encontra-se em forma condensada. Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 13 Matrizes elementares Chama-se matriz elementar a uma matriz obtida a partir da matriz identidade por meio de uma operação elementar nas linhas. Há três tipos de matrizes elementares, de acordo com a operação elementar utilizada. Exemplos: � Tipo 1 - 264 0 0 10 1 0 1 0 0 375� troca das linhas 1 e 3 de I3: � Tipo 2 - 266664 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 �5 0 0 0 0 1 377775�multiplicação da linha 3 de I4 por �5: � Tipo 3 - 264 1 0 �20 1 0 0 0 1 375� soma da linha 3 de I3; multiplicada por �2; à linha 1: Usando matrizes elementares, veri ca-se que cada operação elementar que se efectua numa matriz corresponde a efectuar um produto de uma matriz elementar por essa matriz, como se enuncia no seguinte teorema: Teorema Se Em�m é uma matriz elementar e Am�n é uma matriz qualquer, então a matriz EA é a matriz obtida de A efectuando a mesma operação elementar nas linhas que foi utilizada para de nir E: Exemplo: Sejam A = 264 1 �1 2 32 9 3 �1 0 2 1 �3 375 e E a matriz elementar obtida de I3 adicionando à linha 2 a linha 1 multiplicada por �2; isto é I3 = 264 1 0 00 1 0 0 0 1 375������������!L2 �2L1 + L2 264 1 0 0�2 1 0 0 0 1 375 = E Então A = 264 1 �1 2 32 9 3 �1 0 2 1 �3 375������������!L2 �2L1 + L2 264 1 �1 2 30 11 �1 �7 0 2 1 �3 375 = EA Matemática - BM - 2014/2015 - Cap. 1 - Matrizes 14 Teorema Qualquer matriz elementar é invertível e a sua inversa é também uma matriz elementar. As inversas das matrizes elementares obtêm-se da seguinte forma: Tipo 1- A inversa é a própria matriz. Exemplo:264 0 0 10 1 0 1 0 0 375 �1 = 264 0 0 10 1 0 1 0 0 375 : Tipo 2- A inversa obtem-se substituindo o elemento eventualmente diferente de 1 da diago- nal pelo seu inverso. Exemplo:266664 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 �5 0 0 0 0 1 377775 �1 = 2666664 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 �1 5 0 0 0 0 1 3777775 : Tipo 3 - A inversa obtem-se substituindo o elemento não diagonal diferente de zero pelo seu simétrico. Exemplo:264 1 0 �20 1 0 0 0 1 375 �1 = 264 1 0 20 1 0 0 0 1 375
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