Lista de exercicios 4 Capitulo 24 Tipler & Mosca

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Lista de exercı´cios 4 – Capı´tulo 24 Tipler & Mosca
1. Treˆs cargas puntiformes sa˜o posicionadas sobre o eixo x: q1 na origem, q2 em x = 3m e q3 em x = 6m.
Determine a energia potencial eletrosta´tica do sistema para (a) q1 = q2 = q3 = 2µC; (b) q1 = q2 = 2µC
e q3 =−2µC; (c) q1 = q3 = 2µC e q2 =−2µC.
2. Quatro cargas puntiformes com mo´dulo de 2µC sa˜o posicionadas nos ve´rtices de um quadrado com 4m
de lado. Determine a energia potencial eletrosta´tica se (a) todas as cargas forem negativas, (b) treˆs das
cargas forem positivas e uma for negativa, e (c) duas cargas forem positivas e duas negativas.
3. Quatro cargas sa˜o posicionadas nos ve´rtices de um quadrado com centro geome´trico na origem da
seguinte forma: q no ponto de coordenadas (−a;+a); 2q em (+a;+a), −3q em (+a;−a) e 6q em
(−a;−a). Uma quinta carga +q e´ colocada na origem e abandonada a partir do repouso. Determine sua
velocidade quando estiver a uma grande distaˆncia da origem.
4. Em um capacitor de placas paralelas, a a´rea das placas e´ de 2m2 e a distaˆncia de separac¸a˜o entre elas
e´ de 1,0mm. O capacitor e´ carregado por um potencial de 100V . (a) Qual e´ o valor do campo ele´trico
entre as placas? (b) Qual e´ a energia por unidade de volume no espac¸o entre as placas? (c) Determine
a energia total multiplicando a resposta do item (b) pelo volume total entre as placas. (d) Determine a
capacitaˆncia C. (e) Calcule a energia total a partir da equac¸a˜o U = CV
2
2 , e compare a resposta com o
resultado do item (c).
5. Duas esferas meta´licas conceˆntricas possuem raios r1 = 10cm e r2 = 10,5cm, respectivamente. A esfera
interna tem uma carga Q= 5nC distribuı´da uniformemente sobre sua superfı´cie, e a esfera externa possui
uma carga −Q sobre sua superfı´cie. (a) Calcule a energia total armazenada no campo ele´trico interno
a`s esferas. Sugesta˜o: as esferas podem ser tratadas como placas planas paralelas separadas de uma
distaˆncia de 0,5cm - por queˆ? (b) Determine a capacitaˆncia desse sistema de duas esferas e mostre que
a energia total armazenada no campo e´, aproximadamente, igual a U = Q2/2C.
6. Um capacitor de placas paralelas com a´rea de 500cm2 e´ carregado por uma diferenc¸a de potencial V e,
em seguida, desconectado da fonte de tensa˜o. Quando as placas sa˜o movidas, afastando-se de 0,4cm, a
tensa˜o entre as placas aumenta de 100V . (a) Qual e´ o valor da carga Q na placa positiva do capacitor?
(b) Qual e´ o valor da energia armazenada no capacitor devido ao movimento das placas?
7. Para o circuito mostrado, determine (a) a capacitaˆncia equiva-
lente total entre os terminais, (b) a carga armazenada em cada
capacitor, e (c) a energia total armazenada.
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8. Para o circuito mostrado, determine (a) a capacitaˆncia equiva-
lente total entre os terminais, (b) a carga armazenada em cada
capacitor, e (c) a energia total armazenada.
9. Um capacitor de placas paralelas com ar entre elas possui capacitaˆncia de 0,14µF . As placas esta˜o
afastadas de 0,5mm. (a) Qual e´ a a´rea de cada placa? (b) Qual e´ a diferenc¸a de potencial se o capacitor
possui uma carga de 3,2µC? (c) Qual e´ a energia armazenada? (d) Qual e´ o valor da carga que o
capacitor pode armazenar antes de ocorrer a ruptura diele´trica do ar entre suas placas?
10. Um capacitor cilı´ndrico consiste em um fio longo com raio R1 e comprimento L com uma carga +Q e
uma casca cilı´ndrica externa de raio R2 e comprimento L com uma carga −Q. (a) Determine o campo
ele´trico e a densidade de energia em um ponto qualquer do espac¸o. (b) Qual e´ a energia presente em uma
casca cilı´ndrica de raio r, espessura dr e volume 2pirLdr? (c) Integre a expressa˜o obtida no item (b) para
obter a energia total armazenada no capacitor e campare o resultado com aquele obtido pela expressa˜o
U =CV 2/2.
11. Um capacitor esfe´rico consiste em duas cascas esfe´ricas conceˆntricas de raios R1 e R2. (a) Mostre que a
capacitaˆncia pode ser expressa porC= 4piε0R1R2/(R2−R1). (b) Mostre que quando os raios das cascas
sa˜o aproximadamente iguais, a capacitaˆncia pode ser expressa, com boa aproximac¸a˜o, pela expressa˜o da
capacitaˆncia de um capacitor de placas paralelas, C = ε0A/d, onde A e´ a a´rea da esfera e d = R2−R1.
12. Um capacitor esfe´rico e´ constituı´do de uma esfera interna de raio R1 com carga +Q e uma casca esfe´rica
externa conceˆnctrica de raio R2 e carga −Q. (a) Determine o campo ele´trico e a densidade de energia
em um ponto qualquer do espac¸o. (b) Calcule a energia no campo eletrosta´tico em uma casca esfe´rica de
raio r, espessura dr e volume 4pir2dr entre os condutores. (c) Integre a expressa˜o obtida no item (b) para
obter a energia total armazenada no capacitor e campare o resultado com aquele obtido pela expressa˜o
U =CV 2/2.
13. A membrana do axoˆnio de uma ce´lula nervosa pode ser reprentada por uma casca cilı´ndrica fina de raio
R= 10−5m, comprimento L= 0,1m e espessura d = 10−8m. A membrana possui carga positiva em um
de seus lados e carga negativa no outro, e atua como capacitor de placas paralelas de a´rea A = 2pirL e
distaˆncia de separac¸a˜o d. A constante diele´trica da membrana e´ aproximadamente κ = 3. (a) Determine
a capacitaˆncia da membrana. Se a ddp entre os terminais da membrana e´ de 70mV , determine (b) a carga
em cada lado da membrana, (c) o campo ele´trico que a atravessa.
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14. Determine a capacitaˆncia equivalente do capacitor de placas
paralelas mostrado na figura ao lado.
15. As placas de um capacitor de placas paralelas possuem uma a´rea A= 1m2 e uma distaˆncia de separac¸a˜o
d = 0,5cm. Preenchendo completamente o espac¸o entre as placas condutoras existe uma placa de vidro
cuja constante diele´trica vale κ = 5. O capacitor e´ carregado por uma diferenc¸a de potencial de 12V e,
em seguida, removido da fonte de carga. Qual e´ o trabalho necessa´rio para retirar a placa de vidro do
capacitor?
16. Um capacitor de placas paralelas possui capacitaˆncia C0 e separac¸a˜o d entre suas placas. Duas cama-
das de diele´tricos com constantes κ1 e κ2, espessuras ideˆnticas d/2 e com a´reas iguais sa˜o inseridas
entre as placas, conforme mostrado na Figura abaixo. Quando a carga nas placas e´ Q, determine (a) o
campo ele´trico em cada diele´trico e (b) a diferenc¸a de potencial entre as placas. (c) Mostre que a nova
capacitaˆncia e´ dada por C = κ1κ2/(κ1 +κ2)C0. (d) Mostre que esse sistema pode ser considerado como
sendo uma combinac¸a˜o em se´rie de dois capacitores de espessura d/2 preenchido com diele´tricos de
constantes κ1 e κ2.
17. Um capacitor de placas paralelas e´ preenchido com dois diele´tricos de dimenso˜es ideˆnticas, conforme
mostrado na Figura abaixo. (a) Mostre que esse sistema pode ser considerado como sendo de dois
capacitores com a´rea igual a A/2 conectados em paralelo. (b) Mostre que a capacitaˆncia e´ aumentada
pelo fator (κ1 +κ2)/2.
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18. Um capacitor de placas paralelas com a´rea A e distaˆncia de separac¸a˜o x recebe uma carga Q e, em
seguida, a fonte de carga e´ removida. (a) Determine a energia eletrosta´tica armazenada em func¸a˜o de
x. (b) Determine o aumento da energia dU decorrente de um aumento dx na distaˆncia de separac¸a˜o das
placas utilizando dU = (dU/dx)dx. (c) Se F e´ a forc¸a exercida por uma das placas sobre a outra, o
trabalho necessa´rio para mover uma placa de uma distaˆncia dx e´ Fdx= dU . Mostre que F = Q2/2ε0A.
(d) Mostre que a forc¸a citada no item (c) e´ igual a EQ/2, onde Q e´ a carga sobre uma das placas e E e´ o
campo ele´trico entre as placas. Discuta as razo˜es do fator 1/2 nesse resultado.
19. Um capacitor de placas paralelas retangulares com comprimento a e largura b possui um diele´trico de
largura b parcialmente inserido entre as placas (distaˆncia x), conforme mostrado na Figura. (a) Determine
a capacitaˆncia em func¸a˜o de x. Despreze os efeitos nas bordas. (b) Mostre que a resposta fornece os
resultados esperados para x= 0 e x= a.
20. Um capacitor e´fabricado a partir de dois cilindros conceˆntricos cujos raios sa˜o a e b(b > a) e cujo
comprimento e´ L� b. O cilindro interno possui carga +Q e o cilindro externo possui carga −Q. A
regia˜o entre os dois cilindros e´ preenchida com um diele´trico cuja constante diele´trica e´ κ . (a) Determine
a diferenc¸a de potencial entre os cilindros. (b) Determine a densidade de carga livre σliv nos cilindros
interno e externo. (c) Determine a densidade de carga ligada σlig nas superfı´cies cilı´ndricas interna e
externa do diele´trico. (d) Determine a energia eletrosta´tica total armazenada. (e) Qual sera´ o trabalho
mecaˆnico necessa´rio para remover a casca cilı´ndrica diele´trica, considerando que na˜o haja atrito?
21. Dois capacitores de placas paralelas possuem a mesma distaˆncia de separac¸a˜o e a mesma a´rea das placas.
Inicialmente, a capacitaˆncia de ambos e´ de 10µF . Quando um diele´trico e´ inserido, de modo que
preenche totalmetne o espac¸o entre as placas de um dos capacitores, a capacitaˆncia desse capacitor
aumenta para 35µF . Os capacitores de 35µF e 10µF sa˜o conectados em paralelo e carregados por uma
tensa˜o de 100V . A fonte enta˜o e´ removida. (a) Qual e´ a energia armazenada nesse sistema? (b) Quais
sa˜o os valores das cargas nos dois capacitores? (c) O diele´trico e´ enta˜o removido do capacitor. Quais
sa˜o as novas cargas nas placas dos capacitores. (d) Qual e´ a energia ginal armazenada no sistema?
22. Um capacitor de placas paralelas com a´rea A e distaˆncia de separac¸a˜o d e´ carregado por uma diferenc¸a
de potencial V e, em seguida, desconectado da fonte de carga. Um material diele´trico de constante
κ = 2, espessura d e a´rea A/2 e´ inserido entre as placas, conforme mostrado na Figura abaixo. Seja σ1
a densidade de carga livre na superfı´cie do condutor na interface com o diele´trico e σ2 a densidade de
carga livre no condutor na interface com o ar. (a) Por que o campo ele´trico deve ter o mesmo valor no
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material diele´trico e no espac¸o livre entre as placas? (b) Mostre que σ1 = 2σ2. (c) Mostre que a nova
capacitaˆncia e´ 3ε0A/2d e que a nova diferenc¸a de potencial e´ 2V/3.
23. Uma esfera condutora de raio R1, e´ carregada com carga Q. A esfera e´ circundada por uma camada
diele´trica esfe´rica conceˆntrica que tem raio interno R1, e raio externo R2, e um diele´trico cuja constante
e´ κ . O sistema e´ colocado bem distante de outros corpos. (a) Determine o campo ele´trico em um ponto
qualquer do espac¸o. (b) Qual e´ o potencial da esfera condutora relativamente a V = 0 no infinito? (c)
Determine a energia potencial eletrosta´tica total do sistema.
Respostas
1. (a) 30mJ, (b)−5,99mJ, (c) −18,0mJ.
2. (a) 48,7mJ, (b)0mJ, (c) −12,7mJ (se q1 = q2 = 2µC) ou −23,2mJ (se q1 = q3 = 2µC).
3. v= q
√
6
√
2k
ma .
4. (a) 100kV/m, (b) 44,3mJ/m3, (c) 88,6µJ, (d) 17,7nF , (e) 88,5µJ.
5. (a) U = uV ≈ Q28piε0
r2−r1
r21
= 56,0nJ (aproximac¸a˜o), (b) C = 4piε0 r2r1r2−r1 = 0,234nF , U =
Q2
2C = 53,4nJ
(exato).
6. (a) Q= ε0A∆V∆d = 11,1nC, (b) ∆U =
Q∆V
2 = 0,553µJ.
7. (a) 15,2µF , (b) Q12 = 2,4mC, Q4 = Q15 = 0,632mC, (c) U =
CeqV 2
2 = 0,304J.
8. (a) 0,24µF , (b) Q0,3 = Q1,25 = 2,4µC, Q0,25 = 0,48µC, (c) U =
CeqV 2
2 = 12,1µJ.
9. (a) A= Cdε0 = 7,91m
2, (b) V = QC = 22,9V , (c) U =
CV 2
2 = 36,7µJ, (d) Qm = 210µC.
10. (a) E =

0, r < R1
2kλ
r , R1 < r < R2
0, r > R2
e u=

0, r < R1
ε0E2
2 =
2k2ε0Q2
r2L2 , R1 < r < R2
0, r > R2
, (b) dU = 2pirLdru(r) = kQ
2
rL dr,
(c) U = kQ
2
L ln
(
R2
R1
)
.
12. (a) E =

0, r < R1
kQ
r2 , R1 < r < R2
0, r > R2
e u=

0, r < R1
ε0E2
2 =
k2ε0Q2
2r4 , R1 < r < R2
0, r > R2
, (b) dU = 4pir2dru(r) = kQ
2
2r2 dr, (c)
U = kQ
2
2
(
R2−R1
R2R1
)
.
13. (a) C = κrL2kd = 16,7nF , (b) Q= 1,2nC, (c) E = 7×6V/m.
14.
(
κ3 + 2κ1κ2κ1+κ2
)
ε0A
2d .
15. W = ε0κ
2AV 2
2d
(
1− 1κ
)
= 2,5µJ .
16. (a) E = Qκε0A , (b) V =
Qd
2ε0A
(
1
κ1 +
1
κ2
)
, (c) C = 2C0
(
κ1κ2
κ1+κ2
)
.
18. (a) U = Q
2
2ε0Ax, (b) dU =
Q2
2ε0Adx, (c) F =
Q2
2ε0A , (d) F =
QE
2 .
19. (a) C (x) = ε0bd (a+(κ−1)x), (b) C (0) = ε0bad =C0 e C (a) = κε0abd = κC0.
20. (a) V = 2kQκL ln
(b
a
)
, (b) σliv (a) = Q2piaL e σliv (b) = − Q2pibL , (c) σlig (a) = −Q(κ−1)2piaLκ e σlig (b) = Q(κ−1)2pibLκ ,
(d) U = kQ
2
κL ln
(b
a
)
, (e) W = ∆U = kQ
2(κ−1)
κL ln
(b
a
)
.
5
21. (a) U = 12CeqV
2 = 0,23J, (b) Q1 = 3,5mC e Q2 = 1,0mC, (c) Q1 = Q2 = 12Q = 2,25mC, (d) U =
1
2
Q2t
Ceq
= 0,51J.
23. (a) E =

0, r < R1
kQ
κr2 , R1 < r < R2
kQ
r2 , r > R2
, (b) V (R1) =
kQ
κ
(
R1(κ−1)+R2
R1R2
)
, (c) U = 12QV (R1) =
kQ2
2κ
(
R1(κ−1)+R2
R1R2
)
.
6