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REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS Podemos representar sinais de tensão e de corrente alternadas senoidais através das seguintes expressões matemáticas: • Tensão instantânea: v(t) = Vp .sen (w.t ± θV) • Corrente instantânea: i(t) = Ip .sen (w.t ± θI) Estas expressões matemáticas para tensões e correntes, na forma trigonométrica do domínio do tempo, não permitem métodos práticos para a análise de circuitos elétricos. Exemplo: Sabemos que potência elétrica é o produto da tensão pela corrente. Obtenha a equação da potência elétrica multiplicando a tensão instantânea v(t)=10sen(100t) pela corrente instantânea i(t)=2sen(100t-60°). Resolvendo, temos: P(t) = v(t) x i(t) = 10 sen (100t) x 2 sen(100t + 60°) P(t) = 20 sen(100t) x sen (100t + 60°) Como multiplicar os dois senos sem o uso das identidades trigonométricas? FASOR Um movimento harmônico giratório pode ser descrito por uma senóide e vice-versa. Quando a senóide completa um ciclo, o vetor descreveu um giro completo e se encontra na mesma posição inicial novamente. Assim, podemos concluir que para uma dada frequência f do sinal senoidal, o movimento harmônico (giratório) do vetor possui a mesma frequência e, portanto o vetor gira no sentido anti-horário com a mesma frequência ou velocidade angular ω da senóide. A cada período ou ciclo completado o vetor radial girante está sempre na mesma posição angular inicial θ. Se o ciclo da senóide iniciar adiantado, o ângulo de fase inicial θ é positivo. Se ociclo da senóide iniciar atrasado, o ângulo de fase inicial θ é negativo, conforme ilustra a figura abaixo: Considerando que este vetor radial: • gira à mesma frequência angular ω constante da senóide de origem; • possui mesma frequência f e período que a senóide de origem; • a cada volta se encontra na mesma posição inicial correspondente ao ângulo de faseinicial θ da senóide de origem; • possui um módulo constante e igual ao valor de pico Vp da senóide de origem; Então esse vetor girante possui os mesmos parâmetros que descrevem a senóide e considerando uma dada frequência, para defini-lo basta o seu módulo e o seu ângulo de fase inicial. A este vetor radial girante chamamos de Fasor. Fasor é um vetor radial girante com frequência ω, com módulo igual ao valor de pico VP e com ângulo de fase inicial θ, que representa uma senóide de iguais parâmetros. Exemplo: Do diagrama fasorial da figura abaixo, obter a defasagem entre os sinais senoidais correspondentes aos fasores V e I: Solução: o fasor corrente I está adiantado de 45° do fasor tensão, pois φ=45°- 0°=45°. Também podemos dizer que a tensão está atrasada de 45° da corrente. Exemplo: Um fasor de tensão de módulo 10 descreve uma rotação completa em 0,02s partindo da posição inicial -30°. Determine: a) o diagrama fasorial para o instante inicial e obtenha o comportamento senoidal desse sinal; b) o ângulo em que a tensão é 10V; c) a frequência angular e a expressão matemática para as variações instantâneas desse sinal; d) o valor da tensão no instante t=0s; Solução: a) O fasor tem módulo de 10V e parte de -30°. Sua representação gráfica fica como apresentada na figura abaixo(a). Como a fase inicial é de θ=- 30°, a senóide começa o seu semi-ciclo positivo no ângulo α=+30o. b) O valor de pico positivo (10V) ocorrerá em 90°+α=120° e assim por diante, como mostra o gráfico da figura abaixo(b): c) d) No instante t=0 a função senoidal assume o valor: V(t) = 10 sen(314,16t – 30°) = 10 sen(314,16x 0 – 30°) V(t) = 10 sen(-30°) = -5 V Também podemos obter o valor inicial de v(t) para t=0 através da projeção do fasor sobre o eixo vertical (y) do diagrama fasorial: V(0) = y(0) = 10 x sen(-30°) = -5 V OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS Domínio do tempo Domínio Fasorial Ex: v(t)=10 sen(20t + 40°) Ex: V = 10 40° Operações Algébrica de Números Complexos É possível transformar números complexos da forma polar para a forma retangular e vice-versa: O diagrama fasorial permite somente operações gráficas de adição e subtração. Elas podem ser realizadas pelo mesmo processo usado para soma e subtração de vetores através do Método do Paralelogramo. Assim como para os vetores, podemos efetuar a soma de dois fasores de forma gráfica ou analítica, como mostra a figura: VR = V1 2 + V2 2 + 2.V1.V2.cos α φ = arc tan { V1.sen α/(V2 + V1.cos α)} β = arc tan { V2.sen α/(V1 + V2.cos α)} Exemplo 1: Some e subtraia os sinais senoidais: V1 = 20 sen (377t + 45°) e V2 = 40 sen (377t - 30°) φ β Reescrevendo na forma senoidal, temos: V1 + V2 = 49,13 sen (377t – 6,85°) V1 - V2 = 39,82 sen (377t + 120,9°) Exemplo 2: Repita as operações utilizando Diagramas Fasoriais 120,9°
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