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Diagramas Fasoriais

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REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS 
Podemos representar sinais de tensão e de corrente alternadas senoidais 
através das seguintes expressões matemáticas: 
 
• Tensão instantânea: v(t) = Vp .sen (w.t ± θV) 
• Corrente instantânea: i(t) = Ip .sen (w.t ± θI) 
 
Estas expressões matemáticas para tensões e correntes, na forma 
trigonométrica do domínio do tempo, não permitem métodos práticos para a 
análise de circuitos elétricos. 
 
Exemplo: Sabemos que potência elétrica é o produto da tensão pela 
corrente. Obtenha a equação da potência elétrica multiplicando a tensão 
instantânea v(t)=10sen(100t) pela corrente instantânea i(t)=2sen(100t-60°). 
 
Resolvendo, temos: 
 
P(t) = v(t) x i(t) = 10 sen (100t) x 2 sen(100t + 60°) 
 
P(t) = 20 sen(100t) x sen (100t + 60°) 
 
Como multiplicar os dois senos sem o uso das identidades trigonométricas? 
 
 
 
FASOR 
 
Um movimento harmônico giratório pode ser descrito por uma senóide e vice-versa. 
 
 
 
Quando a senóide completa um ciclo, o vetor descreveu um giro 
completo e se encontra na mesma posição inicial novamente. 
 
Assim, podemos concluir que para uma dada frequência f do sinal 
senoidal, o movimento harmônico (giratório) do vetor possui a mesma 
frequência e, portanto o vetor gira no sentido anti-horário com a mesma 
frequência ou velocidade angular ω da senóide. 
 
A cada período ou ciclo completado o vetor radial girante está 
sempre na mesma posição angular inicial θ. 
 
Se o ciclo da senóide iniciar adiantado, o ângulo de fase inicial θ é 
positivo. Se ociclo da senóide iniciar atrasado, o ângulo de fase inicial θ é 
negativo, conforme ilustra a figura abaixo: 
 
 
 
Considerando que este vetor radial: 
• gira à mesma frequência angular ω constante da senóide de origem; 
• possui mesma frequência f e período que a senóide de origem; 
• a cada volta se encontra na mesma posição inicial correspondente ao ângulo 
de faseinicial θ da senóide de origem; 
• possui um módulo constante e igual ao valor de pico Vp da senóide de 
origem; 
 
Então esse vetor girante possui os mesmos parâmetros que descrevem a 
senóide e considerando uma dada frequência, para defini-lo basta o seu módulo 
e o seu ângulo de fase inicial. 
 
 
A este vetor radial girante chamamos de Fasor. Fasor é um vetor radial 
girante com frequência ω, com módulo igual ao valor de pico VP e com ângulo 
de fase inicial θ, que representa uma senóide de iguais parâmetros. 
 
Exemplo: Do diagrama fasorial da figura abaixo, obter a defasagem entre os 
sinais senoidais correspondentes aos fasores V e I: 
 
 
 
 
 
 
Solução: o fasor corrente I está adiantado de 45° do fasor tensão, pois φ=45°-
0°=45°. Também podemos dizer que a tensão está atrasada de 45° da 
corrente. 
 
 
Exemplo: Um fasor de tensão de módulo 10 descreve uma rotação completa 
em 0,02s partindo da posição inicial -30°. Determine: 
 
a) o diagrama fasorial para o instante inicial e obtenha o comportamento 
senoidal desse sinal; 
b) o ângulo em que a tensão é 10V; 
c) a frequência angular e a expressão matemática para as variações 
instantâneas desse sinal; 
d) o valor da tensão no instante t=0s; 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) O fasor tem módulo de 10V e parte de -30°. Sua representação gráfica 
fica como apresentada na figura abaixo(a). Como a fase inicial é de θ=-
30°, a senóide começa o seu semi-ciclo positivo no ângulo α=+30o. 
 
b) O valor de pico positivo (10V) ocorrerá em 90°+α=120° e assim por 
diante, como mostra o gráfico da figura abaixo(b): 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) No instante t=0 a função senoidal assume o valor: 
 
V(t) = 10 sen(314,16t – 30°) = 10 sen(314,16x 0 – 30°) 
V(t) = 10 sen(-30°) = -5 V 
 
Também podemos obter o valor inicial de v(t) para t=0 através da projeção do 
fasor sobre o eixo vertical (y) do diagrama fasorial: 
 
V(0) = y(0) = 10 x sen(-30°) = -5 V 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS 
 
 
 
 
Domínio do tempo Domínio Fasorial 
 
Ex: v(t)=10 sen(20t + 40°) Ex: V = 10 40° 
 
 
 
 
 Operações Algébrica de 
 Números Complexos 
 
 
 
 
É possível transformar números complexos da forma polar para a 
forma retangular e vice-versa: 
 
 
 
 
 
O diagrama fasorial permite somente operações gráficas de adição e 
subtração. Elas podem ser realizadas pelo mesmo processo usado para soma e 
subtração de vetores através do Método do Paralelogramo. Assim como para os 
vetores, podemos efetuar a soma de dois fasores de forma gráfica ou analítica, 
como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
VR = V1
2 + V2
2 + 2.V1.V2.cos α 
 
 
 
φ = arc tan { V1.sen α/(V2 + V1.cos α)} 
 
 
β = arc tan { V2.sen α/(V1 + V2.cos α)} 
 
 
 
Exemplo 1: Some e subtraia os sinais senoidais: 
 
V1 = 20 sen (377t + 45°) e V2 = 40 sen (377t - 30°) 
 
 
 
 
 
 
 
φ 
β 
 
 
 
 
Reescrevendo na forma senoidal, temos: 
 
V1 + V2 = 49,13 sen (377t – 6,85°) 
 
V1 - V2 = 39,82 sen (377t + 120,9°) 
 
 
Exemplo 2: Repita as operações utilizando Diagramas Fasoriais 
 
 
 
120,9°

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