EXERCICIOS DE CALCULO II - LISTA 2

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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II – LISTA 2 
 
VOLUMES DE SÓLIDOS 
 
1. Secção Transversal ou Secção Plana. 
Definição. Uma secção transversal de um sólido S é a região plana formada pela intersecção 
entre S e um plano. 
2. Volumes por Cortes ou por Fatiamento. 
Definição 1. Seja S um sólido delimitado por dois planos perpendiculares ao eixo x em x = a e 
x = b. Se para cada x em [a, b] a área da secção transversal de S perpendicular ao eixo x for 
A(x), onde A é contínua em [a, b], então o volume V do sólido, em unidades cúbicas, será dada 
por 
 
 
 
 
Definição 2. Seja S um sólido delimitado por dois planos perpendiculares ao eixo y em y = c e 
y = d. Se para cada y em [c, d] a área da secção transversal de S perpendicular ao eixo y for 
A(y), onde A é contínua em [a, b], então o volume V do sólido, em unidades cúbicas, será dada 
por 
 
 
 
 
3.Sólido de Revolução. 
Definição. Sólido de revolução é um sólido obtido pela rotação de uma região plana em torno de 
um eixo no plano desse eixo. Esse eixo é chamado eixo de revolução. 
4. Volumes de Sólidos de Revolução. 
4.1. Por Disco perpendicular ao eixo de revolução. 
Teorema 1. Seja f uma função contínua e não negativa em [a, b]. Então o volume V do sólido de 
revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região R limitada por y = f(x), pelo eixo x 
e pelas retas x = a e x = b, em unidades cúbicas, será dado por 
 
 
 
 
Teorema 2. Seja g uma função contínua e não negativa em [c, d]. Então o volume V do sólido 
de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região R limitada por x = g(y), pelo 
eixo y e pelas retas x = c e x = d, em unidades cúbicas, será dado por 
 
 
 
 
4.2. Por Anel Circular perpendicular ao eixo de revolução. 
Teorema 1. Sejam f e g funções contínuas e não negativas em [a, b]. Supor que para 
todo x em [a, b]. Então, o volume V do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do 
eixo x, da região R limitada por y = f(x) e y = g(x) e pelas retas x = a e x = b, em unidades 
cúbicas, será dado por 
 
 
 
 
Teorema 2. Sejam f e g funções contínuas e não negativas em [c, d]. Supor que para 
todo y em [c, d]. Então, o volume V do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do 
eixo y, da região R limitada por x = f(y) e x = g(y) e pelas retas y = c e y = d, em unidades 
cúbicas, será dado por 
 
 
 
 
4.3. Por Invólucro Cilíndrico ou Camada Cilíndrica. 
Teorema 1. Seja f uma função contínua e não negativa em [a, b]. Então, o volume V do sólido 
de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região R limitada por y = f(x), pelo 
eixo x e pelas retas x = a e x = b, em unidades cúbicas, será dado por 
 
 
 
 
Teorema 2. Seja g uma função contínua e não negativa em [c, d]. Então, o volume V do sólido 
de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região R limitada por x = g(y), pelo 
eixo y e pelas retas y = c e y = d, em unidades cúbicas, será dado por 
 
 
 
 
NOTA. 
Camada cilíndrica é um sólido envolvido por dois cilindros retos concêntricos. 
Seu volume é V = , onde são, respectivamente, os raios interno e externo 
e h a altura. 
EXERCÍCIOS 
 
01. Cada sólido abaixo situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x = -1 e x = 1. Em 
cada caso, as secções transversais perpendiculares ao eixo x, entre esses planos, vão do 
semicírculo y = ao semicírculo (Ver figuras). 
Determinar o volume de cada sólido, em cada caso. 
a) As secções transversais são discos com diâmetros no plano xy. 
 
 
b) As secções transversais são quadrados com diagonais no plano xy. 
 
 
c)As secções transversais são triângulos equiláteros com bases no plano xy. 
 
RESPOSTAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Ache o volume do sólido que resulta quando a região limitada pelas curvas dadas é feita 
girar em torno dos eixos mencionados ao lado: 
a) y = x
2
 ; x = 2 ; y = 0 eixo x d) y = x
2
 e x = y
2
 eixo y 
b) y = 
225 x
 e y = 3 eixo x e) y = 9 – x2 e y = 0 eixo x 
c) x = 
y
 e x = y/4 ; eixo x f) y = cos x, y = sen x, x = 0 e x = 
 /4 eixo x 
 
 RESPOSTAS 
02. a) V = 
 
 
 u.c. b) 
 
 
 u.c. c) 
 
 
 u.c. d) 
 
 
 u.c. 
 d) 
 
 
 u.c. f) 
 
 
 u.c. 
03. Ache o volume do solido que resulta quando a região acima do eixo x e abaixo da elipse 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
(a>0, b>0 ) girando em torno do eixo x. R: 
 
 
 u.c. 
04. Seja V o volume do sólido que resulta quando a região limitada por y =
x
1
; y = 0 , x = 2 e 
x = b ( 0 < b < 2) gira em torno do eixo x. Ache o valor de b se o volume V = 3 . R: b = 
 
 
 
05. Ache o volume do sólido gerado quando a região limitada por y = 
x
; y = 6 - x e y = 0 
gira em torno do eixo x. Sugestão: Divida o sólido em duas partes. R: V = 32/3π u.c. 
06. Calcule o volume do sólido gerado em torno do eixo x, da região limitado pelas curvas 
y
2
 = 16x e y = 4x. R: 
 
 
 u.c. 
07. Calcular o volume do sólido obtido pela revolução, em torno da reta x = 6, da região R 
limitada pelos gráficos de y² = 4x e x = 4. R: 
 
 
 
08. Usar o método do invólucro cilíndrico para determinar o volume do sólido obtido com a 
rotação de cada região sombreada abaixo, em torno do eixo indicado. 
 R: V = 6 u.c; V = 6 u.c; V = 
 
 
 ; V = 2 
Nos exercícios de 09 a 12, usar o método do invólucro cilíndrico para: 
09. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pela 
curva y = x², pelo eixo x e pela reta x = 1. R: 
 
 
 
10. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada 
pelas curvas y = x² e y² = x. R: 
 
 
 
 
11. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada 
pelas curvas y = x² e y² = x. R: 
 
 
 
 
12. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo da reta y = 2, da região 
limitada pela curva y² = x, pelo eixo y e pela reta y = 1. R: V =