Estática dos corpos rigidos , sistemas de vetores

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Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura 
ESTÁTICA – Arquitectura – 2006/07 
 
3. Estática dos Corpos Rígidos. Sistemas de vectores 
3.1 Generalidades 
 
Conceito de Corpo rígido (ponto material). 
 
Situações em que se torna necessário considerar as deformações 
internas (sistemas estaticamente indeterminados, problemas de 
dimensionamento, efeitos geometricamente não lineares, etc.). 
 
As condições de repouso ou movimento de um corpo rígido não 
são unicamente descritas pela resultante (esta nada diz sobre a 
tendência do sistema de forças comunicar um movimento de 
rotação ao corpo). 
 
O objectivo do capítulo consiste na introdução do conceito do 
sistema força-conjugado equivalente que descreve 
univocamente as condições de repouso ou de movimento do 
corpo rígido sob a acção dum determinado sistema de forças. 
 
3.2 Princípio da Transmissibilidade. Forças equivalentes 
 
Enunciado: “.. as condições de equilíbrio ou de movimento de um 
corpo rígido permanecem inalteradas se a força F, aplicada num 
dado ponto do corpo rígido, for substituída por uma força F´ com 
a mesma intensidade, a mesma direcção e o mesmo sentido, 
aplicada num outro ponto, desde que estas duas forças tenham a 
mesma linha de acção.” 
 
 
 
 
 
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As duas forças F e F´ produzem o mesmo efeito sobre o corpo 
rígido e dizem-se forças equivalentes. 
 
As forças aplicadas em corpos rígidos constituem vectores 
deslizantes. 
 
Limitações do princípio da transmissibilidade. Avaliação das 
deformações e das forças interiores. 
 
3.3 Momento de uma força em relação a um ponto 
 
Definição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FrFAOM FO
rrrrr ×=×=
Trata-se de um vector com as seguintes características: 
• Direcção – Perpendicular ao plano definido por AO r e Fr 
• Sentido – de acordo com a regra da mão direita, ou, 
equivalentemente, de tal forma que AO
r
, F
r
 e M FO
r
 constituam, 
por essa ordem, um triedro directo 
• Intensidade – ( ) dFsenFAOM FO rrrr == θ 
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Significado físico 
O momento de uma força (aplicada num corpo rígido) 
relativamente a um ponto dá uma indicação sobre a tendência 
que a força tem de provocar a rotação ao corpo em torno de um 
eixo. Esse eixo contem o ponto, sendo perpendicular ao plano 
definido pela força e pelo seu vector de posição. 
 
 
Teorema de Varignon 
 
( ) N21N21 Fr...FrFrF...FFrRr srrrrrrrrrrr ×++×+×=+++×=× 
 
Ou seja, o momento resultante de um sistema de forças 
concorrentes pode ser obtido somando vectorialmente os 
momentos provocados isoladamente por cada uma dessas 
forças. 
Este teorema permite determinar o momento de uma força 
mediante a soma vectorial dos momentos provocados 
isoladamente pelas suas componentes cartesianas. 
 
Componentes cartesianas do momento de uma força. 
Nota: rever o conceito de produto externo (ou vectorial) de dois 
vectores. 
 
( ) ( ) ( )kFyFxjFzFxiFzFy
FFF
zyx
kji
M xyxzyz
zyx
F
O
rrr
rrr
−+−−−== 
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Problema 3.6 (Beer e al., 7ª Edição, 2006) 
 
 
 
Soluções: 
a) M=80 Nm 
b) P=205,3 N 
c) Pmin=177,8 N 
 
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3.4 Momento de uma força em relação a um eixo 
Em muitas aplicações práticas os corpos estão constrangidos a 
rodar em torno de um eixo determinado (ex: porta). Nesses casos 
introduz-se o conceito de momento de força relativamente a eixo. 
 
Definição 
 
( )FAOλMλ rrrrr ו=•= FOFOLM
Nota: o momento de uma força relativamente a um eixo é 
independente do ponto (sobre o eixo) no qual é determinado o 
momento da força (relativamente a um ponto). Demonstrar. 
 
Significado físico. Traduz a tendência da força provocar um 
movimento de rotação ao corpo em torno desse eixo. 
 
Notas: 
(1) rever conceito de produto interno entre dois vectores 
( )θcosQPQP rrrr =• 
(2) rever conceito de produto misto (ou produto triplo) entre três 
vectores 
( )
zyx
zyx
zyx
QQQ
PPP
SSS
=ו QPS rrr 
Componentes cartesianas de o momento de uma força. 
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Problema 3.59 (Beer e al., 7ª Edição, 2006) 
 
 
 
Beer, Prob. 3.59
Coordenadas dos pontos relevantes (m)
A 0 0 0
F 2.4 0.3 2.4
E 2.1 -0.9 0
D 7.2 0.9 0
EF 0.3 1.2 2.4 Norma 2.7
lambda EF 0.111111 0.444444 0.888889 Norma 1
AD 7.2 0.9 0 Norma 7.256032
lambda AD 0.992278 0.124035 0 Norma 1
MAF 0.992278 0.124035 0 Lambda AD MAF -24916.1 Nm
2.4 0.3 2.4 AF
2700 10800 21600 FEF
MA -19440 -45360 25110 0.992278 MAF -24916.1 Nm
ex ey ez 0.124035
0
lambda AD
 
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3.5 Momento de um conjugado 
 
Um conjugado é um sistema de forças cuja resultante é nula mas 
cujo momento, determinado em qualquer ponto (Momento do 
conjugado), é não nulo. Trata-se de um sistema de forças que 
tende a provocar um movimento de rotação ao corpo rígido no 
qual está aplicado. 
 
Conjugado (binário) – duas forças, F e F´=-F, com a mesma 
intensidade, linhas de acção paralelas e sentidos opostos. 
 
 
 
 
Momento de um conjugado 
( ) ( ) FrFrrFrFrM BABAO rrrrrrrrrr ×=×−=−×+×=
 
• Direcção – perpendicular ao plano definido pelas duas l.a. 
• Sentido – de acordo com a regra da mão direita 
• Intensidade – F r senθ = F d 
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Nota: O momento de um conjugado é independente do ponto no 
qual é determinado. 
 
Dado ser independente do ponto O no qual é determinado diz-se 
constituir um vector livre (desvinculado quer do ponto de 
aplicação quer da linha de acção). 
 
 
Exemplo de conjugado 
 
Dois conjugados dizem-se equivalentes se e só se têm o mesmo 
momento – o efeito dum conjugado aplicado num corpo rígido é 
univocamente descrito pelo seu momento do conjugado. 
 
O efeito de dois conjugados é ainda um conjugado cujo momento 
se obtém somando vectorialmente os momentos dos conjugados 
 
Os momentos dos conjugados constituem vectores. 
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Problema 3.69 (Beer et al., 7ª Edição, 2006) 
 
 
Resolução: 
Beer, Prob. 3.59 M=13.5 Nm
Forças em A e D distância 0.25 m Forças 54 N
Forças em A e D delta x 0.25 m distância 0.2915 m
delta y 0.15 m Forças 46.30 N
Forças em A e C delta x 0.25 m distância 0.4717 m
delta y 0.4 m Forças 28.62 N
 
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3.6 Equação de propagação do momento de uma força 
 
Substituição duma força aplicada num ponto (A) por uma força 
aplicada em outro ponto (O) e por um conjugado. 
 
 
 
 
FrFAOM FO
rrrrr ×=×=
 
“..qualquer força F aplicada num corpo rígido pode ser deslocada 
para um ponto O, exterior à sua linha de acção, desde que seja 
acrescentado um conjugado de momento igual ao momento de F 
em relação a O...” 
 
 
caso se tivesse deslocado a força F para outro ponto O´, ter-se-ia 
 ( ) FOFÓ MFOÓFAOOÓFAÓM rrrrrrrrr +×=×+=×=
 
que constituia equação de propagação do momento de uma 
força num corpo rígido. 
 
 
 
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3.7 Elementos de redução de um sistema de forças 
 
Considere-se um corpo rígido sujeito à acção de um conjunto de 
forças Fi (i=1,2,..N) aplicadas em pontos distintos Ai. Pode-se, de 
acordo com os resultados anteriores, substituir a acção individual 
de cada força pelo sistema força-conjugado aplicado em O. As 
forças podem ser somadas – obtendo-se a resultante R, e os 
momentos dos conjugados podem ser somados – obtendo-se o 
momento resultante MoR. 
 
∑
=
+++== N
1i
N21i F..FFFR
rrrrr
 
 
∑
=
×++×+×=×= N
1i
NN2211ii
R
O FAO..FAOFAOFAOM
rrrrrrrr
 
 
 
 
 
 
 
Estes dois vectores (resultante e momento resultante) constituem 
os designados elementos de redução, em O, do sistema de 
forças. Traduzem, duma forma mais sintética, as condições de 
movimento que o sistema de forças tende a provocar no corpo 
rígido. 
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Uma vez determinados num ponto O, os elementos de redução 
estes podem ser extrapolados para qualquer outro ponto. Com 
efeito, num outro ponto O´, os elementos de redução são: 
∑
=
+++== N
1i
N21i F...FFFR
rrrrr
 
ROÓMM RO
R
Ó
rrrr ×+= 
 
A segunda equação, que descreve o campo vectorial de 
momentos resultantes num corpo rígido, é designada por 
equação de propagação do momento resultante. Trata-se duma 
equação que faz corresponder a cada ponto P do espaço, 
descrito pelas suas coordenadas (xp, yp, zp), o momento 
resultante MRP, descrito pelas suas componentes cartesianas. 
 
 
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3.8 Sistemas estaticamente equivalentes de forças 
 
Dois sistemas de forças dizem-se estaticamente equivalentes 
quando tendem a provocar o mesmo tipo de movimento (ou 
repouso) ao corpo em que se encontram aplicados. 
 
Uma vez que os elementos de redução (determinados num 
ponto) sintetizam o tipo de movimento que o sistema de forças 
tende a comunicar ao corpo, pode afirmar-se que dois sistemas 
de forças são estaticamente equivalentes se, e só se, 
apresentarem os mesmos elementos de redução num mesmo 
ponto. 
 
21 RR
rr = 
21 R
P
R
PP MM
rr =∃ 
 
Nota: Demonstre que sendo os elementos de redução de dois 
sistemas de forças iguais num determinado ponto, estes sê-lo-ão 
iguais em quaisquer outros pontos. 
 
Problema 3.80 (Beer et al., 7ª Edição, 2006) 
 
 
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3.9 Invariantes de um sistema de forças 
 
Invariantes de um sistema de forças. No caso geral, embora os 
elementos de redução variem consoante o ponto de redução, 
existem determinadas grandezas que permanecem inalteradas. 
 
Tratam-se dos invariantes do sistema de forças. Estes são: 
 
• 1º invariante (invariante vectorial) – Resultante. 
R
r
 
 
• 2º invariante (invariante escalar) – Projecção do momento 
resultante segundo a direcção da resultante. 
Ó,O
R
O
R
Ó R.MR.M ∀=
rrrr
 
 
Nota: demonstre que é invariante a componente do momento 
resultante segundo a direcção da resultante. 
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3.10 Classificação de sistemas de forças 
 
Considerem-se os elementos de redução determinados num 
ponto genérico O (caso geral). Decomponha-se o momento 
resultante MOR em duas componentes: (1) paralela à resultante; e 
(2) perpendicular à resultante. 
 
 
 
Determinem-se os elementos de redução num outro ponto Q. 
 
( )sR =r 
ROQMM RO
R
Q
rrrr ×+= 
 
ou, graficamente, 
 
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Da análise do procedimento anterior conclui-se: 
• A propagação de momentos não altera a componente 
paralela, ou seja a componente paralela é invariante (para um 
determinado sistema de forças). 
• A propagação de momentos afecta a componente 
perpendicular, sendo conceptualmente possível eliminá-la em 
certos pontos. Nestes pontos (em que a componente 
perpendicular é nula o momento resultante reduz-se á sua 
componente paralela (invariante). O momento resultante é 
mínimo nos mesmos pontos. 
 
O raciocínio anterior foi elaborado no caso geral dum sistema de 
forças. Existem, contudo, casos particulares que se distinguem 
com base nos seus invariantes. 
 
Os invariantes permitem a classificação do sistema de forças com 
base no quadro seguinte. 
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1. Sistema equivalente a vector (força mais conjugado). Caso 
mais geral. 
 
0RM RO ≠•
rr
 
 
A componente paralela é não nula. O sistema de forças na sua 
forma mais simples reduz-se a uma força (resultante) e um 
conjugado cujo momento tem a direcção da resultante. 
 
 
2. Sistema equivalente a vector único (ou força única). 
 
0R0RM RO
rrrr ==• 
 
A componente paralela é nula mas a resultante é não nula. O 
momento resultante é sempre perpendicular à resultante. Na sua 
forma mais simples o sistema de forças reduz-se à resultante 
aplicada numa determinada linha de acção (sem momento). 
 
 
3. Sistema equivalente a conjugado (campo uniforme de 
momentos). 
 
0M0R RO
rrrr ≠= 
 
A resultante é nula, pelo que o momento resultante é constante, 
mas não nulo. A acção do sistema de forças é um conjugado cujo 
momento é o momento resultante (determinado em qq ponto). 
 
 
4. Sistema equivalente a zero (equilíbrio). 
 
0M0R RO
rrrr == 
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3.11 Sistemas redutíveis a força única. Linha de acção da 
resultante. 
 
 
Sistemas de forças complanares 
 
 
Sistemas de forças paralelas 
 
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A Linha de Acção (l.a.) da resultante é determinada por forma a 
que esta (resultante) quando aí colocada produza o momento 
resultante determinado no ponto de redução. Considerando-se os 
pontos O (ponto de redução) e Q (ponto sobre a linha de acção 
da resultante). 
 
R
OMROQ
rrr =× 
 
 
Problema: Aplicam-se quatro forças a uma treliça como indicado. Determine 
a intensidade e a direcção da resultante. Assim como a distância da sua 
linha de acção ao ponto A. 
 
 
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(Outro) Problema: Uma placa horizontal encontra-se sujeita a um sistema 
constituído por seis forças verticais. Determine a intensidade das forças F1 a 
F3 tal que o sistema seja equivalente ao conjugado MR=200i+350j (Nm). 
 
 
Figuras extraídas de Engineering Mechanics: Statics. RILEY, William F.; STURGES, 
Leroy. John Wiley and Sons, 1996.