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Aula: Vetores
Prof. Nelson A. Silva
Gex102: Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
UFLA
Prof. Nelson A. Silva Aula: Vetores
Objetivo:
O objetivo principal e´ apresentar a definic¸a˜o de
vetores de forma geome´trica, sem coordenadas.
- Definic¸a˜o de segmentos orientados ;
- Definic¸a˜o de vetores;
- Operac¸a˜o com vetores (Soma e Multiplicac¸a˜o
por escalar);
- Exemplos.
Prof. Nelson A. Silva Aula: Vetores
Escalar vs Vetorial
Grandezas escalares: grandezas caracterizadas
por nu´meros. Por exemplo: peso, altura,
comprimento etc.
Grandezas vetoriais: grandezas caracterizadas
por mais de uma componente. Por exemplo, para
descrever uma forc¸a ou velocidade, damos a
direc¸a˜o, a intensidade e o sentido.
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Escalar vs Vetorial
Grandezas escalares: grandezas caracterizadas
por nu´meros. Por exemplo: peso, altura,
comprimento etc.
Grandezas vetoriais: grandezas caracterizadas
por mais de uma componente. Por exemplo, para
descrever uma forc¸a ou velocidade, damos a
direc¸a˜o, a intensidade e o sentido.
Prof. Nelson A. Silva Aula: Vetores
fonte:
https://www.estudopratico.com.br/grandezas-fisicas-escalares-e-vetoriais/
Usamos uma flecha para descrever a forc¸a que o
homem faz para puxar a caixa. Ela indica que a
forc¸a e´ feita no sentido da direita para esquerda, na
horizontal e o tamanho da flecha indica a
intesidade. Importa onde eu desenho a flecha?
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fonte:
https://www.estudopratico.com.br/grandezas-fisicas-escalares-e-vetoriais/
Usamos uma flecha para descrever a forc¸a que o
homem faz para puxar a caixa.
Ela indica que a
forc¸a e´ feita no sentido da direita para esquerda, na
horizontal e o tamanho da flecha indica a
intesidade. Importa onde eu desenho a flecha?
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fonte:
https://www.estudopratico.com.br/grandezas-fisicas-escalares-e-vetoriais/
Usamos uma flecha para descrever a forc¸a que o
homem faz para puxar a caixa. Ela indica que a
forc¸a e´ feita no sentido da direita para esquerda, na
horizontal e o tamanho da flecha indica a
intesidade.
Importa onde eu desenho a flecha?
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fonte:
https://www.estudopratico.com.br/grandezas-fisicas-escalares-e-vetoriais/
Usamos uma flecha para descrever a forc¸a que o
homem faz para puxar a caixa. Ela indica que a
forc¸a e´ feita no sentido da direita para esquerda, na
horizontal e o tamanho da flecha indica a
intesidade. Importa onde eu desenho a flecha?
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O que desenhamos na˜o e´ o vetor e sim um
representante do vetor, que chamamos de
segmento orientado.
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O que desenhamos na˜o e´ o vetor e sim um
representante do vetor, que chamamos de
segmento orientado.
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Segmentos Orientados
Dados dois pontos A e B no espac¸o, um segmento e´
um trecho de reta ligando os dois pontos.
Se indicarmos o ponto inicial e final, daremos uma
orientac¸a˜o para o segmento. Digamos que A seja o
ponto inicial e B o ponto final. Geomentricamente
colocamos uma seta sobre B .
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Segmentos Orientados
Dados dois pontos A e B no espac¸o, um segmento e´
um trecho de reta ligando os dois pontos.
Se indicarmos o ponto inicial e final, daremos uma
orientac¸a˜o para o segmento. Digamos que A seja o
ponto inicial e B o ponto final. Geomentricamente
colocamos uma seta sobre B .
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Segmentos Orientados
Dados dois pontos A e B no espac¸o, um segmento e´
um trecho de reta ligando os dois pontos.
Se indicarmos o ponto inicial e final, daremos uma
orientac¸a˜o para o segmento. Digamos que A seja o
ponto inicial e B o ponto final. Geomentricamente
colocamos uma seta sobre B .
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Segmentos Orientados
Dados dois pontos A e B no espac¸o, um segmento e´
um trecho de reta ligando os dois pontos.
Se indicarmos o ponto inicial e final, daremos uma
orientac¸a˜o para o segmento. Digamos que A seja o
ponto inicial e B o ponto final. Geomentricamente
colocamos uma seta sobre B .
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Segementos Orientados
Um segmento orientado e´ determinado por um
par ordenado de pontos, o primeiro chamado de
origem (ponto inicial) e o segundo de extremidade
do segmento (ponto final).
Denotamos o segmento orientado com origem A e
extremidade B por AB .
Dois segmentos orientados AB e CD sa˜o iguais se, e
somente se, A = C e B = D.
OBS: Enta˜o AB e´ diferente de BA.
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Segementos Orientados
Um segmento orientado e´ determinado por um
par ordenado de pontos, o primeiro chamado de
origem (ponto inicial) e o segundo de extremidade
do segmento (ponto final).
Denotamos o segmento orientado com origem A e
extremidade B por AB .
Dois segmentos orientados AB e CD sa˜o iguais se, e
somente se, A = C e B = D.
OBS: Enta˜o AB e´ diferente de BA.
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Segementos Orientados
Um segmento orientado e´ determinado por um
par ordenado de pontos, o primeiro chamado de
origem (ponto inicial) e o segundo de extremidade
do segmento (ponto final).
Denotamos o segmento orientado com origem A e
extremidade B por AB .
Dois segmentos orientados AB e CD sa˜o iguais se, e
somente se, A = C e B = D.
OBS: Enta˜o AB e´ diferente de BA.
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Segmento Nulo: Quando os pontos de origem e
extremidade tem um segmento orientado nulo.
Exemplo: AA. O representamos simplesmento pelo
ponto A.
Segmento Oposto: Dado um segmento orientado
AB , o segmento orientado BA e´ o segmento oposto
de AB . o oposto.
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Segmento Nulo: Quando os pontos de origem e
extremidade tem um segmento orientado nulo.
Exemplo: AA. O representamos simplesmento pelo
ponto A.
Segmento Oposto: Dado um segmento orientado
AB , o segmento orientado BA e´ o segmento oposto
de AB . o oposto.
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Segmento Nulo: Quando os pontos de origem e
extremidade tem um segmento orientado nulo.
Exemplo: AA. O representamos simplesmento pelo
ponto A.
Segmento Oposto: Dado um segmento orientado
AB , o segmento orientado BA e´ o segmento oposto
de AB . o oposto.
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Caracter´ısticas do segmento orientado
Comprimento. Fixada uma unidade de
comprimento, a cada segmento orientado
associamos um nu´mero real. Dado o segmento
orientado AB , indicamos o seu comprimento por
AB .
Por exemplo, AA = 0. Tambe´m AB = BA.
Direc¸a˜o. A direc¸a˜o de um segmento orientado
seria sua inclinac¸a˜o. Dois segmentos orientados AB
e CD tem mesma direc¸a˜o quando as retas que
passam por AB e CD sa˜o paralelas (ou
coincidentes).
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Caracter´ısticas do segmento orientado
Comprimento. Fixada uma unidade de
comprimento, a cada segmento orientado
associamos um nu´mero real. Dado o segmento
orientado AB , indicamos o seu comprimento por
AB . Por exemplo, AA =
0. Tambe´m AB = BA.
Direc¸a˜o. A direc¸a˜o de um segmento orientado
seria sua inclinac¸a˜o. Dois segmentos orientados AB
e CD tem mesma direc¸a˜o quando as retas que
passam por AB e CD sa˜o paralelas (ou
coincidentes).
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Caracter´ısticas do segmento orientado
Comprimento. Fixada uma unidade de
comprimento, a cada segmento orientado
associamos um nu´mero real. Dado o segmento
orientado AB , indicamos o seu comprimento por
AB . Por exemplo, AA = 0.
Tambe´m AB = BA.
Direc¸a˜o. A direc¸a˜o de um segmento orientado
seria sua inclinac¸a˜o. Dois segmentos orientados AB
e CD tem mesma direc¸a˜o quando as retas que
passam por ABe CD sa˜o paralelas (ou
coincidentes).
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Caracter´ısticas do segmento orientado
Comprimento. Fixada uma unidade de
comprimento, a cada segmento orientado
associamos um nu´mero real. Dado o segmento
orientado AB , indicamos o seu comprimento por
AB . Por exemplo, AA = 0. Tambe´m AB = BA.
Direc¸a˜o. A direc¸a˜o de um segmento orientado
seria sua inclinac¸a˜o. Dois segmentos orientados AB
e CD tem mesma direc¸a˜o quando as retas que
passam por AB e CD sa˜o paralelas (ou
coincidentes).
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Caracter´ısticas do segmento orientado
Comprimento. Fixada uma unidade de
comprimento, a cada segmento orientado
associamos um nu´mero real. Dado o segmento
orientado AB , indicamos o seu comprimento por
AB . Por exemplo, AA = 0. Tambe´m AB = BA.
Direc¸a˜o. A direc¸a˜o de um segmento orientado
seria sua inclinac¸a˜o.
Dois segmentos orientados AB
e CD tem mesma direc¸a˜o quando as retas que
passam por AB e CD sa˜o paralelas (ou
coincidentes).
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Caracter´ısticas do segmento orientado
Comprimento. Fixada uma unidade de
comprimento, a cada segmento orientado
associamos um nu´mero real. Dado o segmento
orientado AB , indicamos o seu comprimento por
AB . Por exemplo, AA = 0. Tambe´m AB = BA.
Direc¸a˜o. A direc¸a˜o de um segmento orientado
seria sua inclinac¸a˜o. Dois segmentos orientados AB
e CD tem mesma direc¸a˜o quando as retas que
passam por AB e CD sa˜o paralelas (ou
coincidentes).
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Exemplo de segmentos orientados com mesma
direc¸a˜o.
Sentido. O segmento orientado AB tem sentido de
A para B . Quando dois segmentos orientados sa˜o
paralelos podemos comparar os sentidos. Na
ilustrac¸a˜o acima, os segmentos AB e DC tem
sentidos opostos. Numa direc¸a˜o temos dois
sentidos.
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Exemplo de segmentos orientados com mesma
direc¸a˜o.
Sentido. O segmento orientado AB tem sentido de
A para B .
Quando dois segmentos orientados sa˜o
paralelos podemos comparar os sentidos. Na
ilustrac¸a˜o acima, os segmentos AB e DC tem
sentidos opostos. Numa direc¸a˜o temos dois
sentidos.
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Exemplo de segmentos orientados com mesma
direc¸a˜o.
Sentido. O segmento orientado AB tem sentido de
A para B . Quando dois segmentos orientados sa˜o
paralelos podemos comparar os sentidos.
Na
ilustrac¸a˜o acima, os segmentos AB e DC tem
sentidos opostos. Numa direc¸a˜o temos dois
sentidos.
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Exemplo de segmentos orientados com mesma
direc¸a˜o.
Sentido. O segmento orientado AB tem sentido de
A para B . Quando dois segmentos orientados sa˜o
paralelos podemos comparar os sentidos. Na
ilustrac¸a˜o acima, os segmentos AB e DC tem
sentidos opostos.
Numa direc¸a˜o temos dois
sentidos.
Prof. Nelson A. Silva Aula: Vetores
Exemplo de segmentos orientados com mesma
direc¸a˜o.
Sentido. O segmento orientado AB tem sentido de
A para B . Quando dois segmentos orientados sa˜o
paralelos podemos comparar os sentidos. Na
ilustrac¸a˜o acima, os segmentos AB e DC tem
sentidos opostos. Numa direc¸a˜o temos dois
sentidos.
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Equivaleˆncia de segmentos orientados
Dois segmentos orientados sa˜o ditos equivalentes
ou equipolentes se, e somente se, tem mesmo
comprimento, direc¸a˜o e sentido. Notac¸a˜o:
AB ∼ CD.
Exemplo. Quais segmentos orientados sa˜o
equivalente?
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Equivaleˆncia de segmentos orientados
Dois segmentos orientados sa˜o ditos equivalentes
ou equipolentes se, e somente se, tem mesmo
comprimento, direc¸a˜o e sentido. Notac¸a˜o:
AB ∼ CD.
Exemplo. Quais segmentos orientados sa˜o
equivalente?
Prof. Nelson A. Silva Aula: Vetores
Equivaleˆncia de segmentos orientados
Dois segmentos orientados sa˜o ditos equivalentes
ou equipolentes se, e somente se, tem mesmo
comprimento, direc¸a˜o e sentido. Notac¸a˜o:
AB ∼ CD.
Exemplo. Quais segmentos orientados sa˜o
equivalente?
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Observe que todos os segmentos nulos sa˜o
equipolentes. Isto e´, AA ∼ BB ∼ CC . . .
Podemos “empacotar”todos os segmentos
orientados num “pacote”so´ e chamaremos este
pacote de um vetor.
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Observe que todos os segmentos nulos sa˜o
equipolentes. Isto e´, AA ∼ BB ∼ CC . . .
Podemos “empacotar”todos os segmentos
orientados num “pacote”so´ e chamaremos este
pacote de um vetor.
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Definic¸a˜o de vetor
Vetor. Um vetor determinado pelo segmento
orientado AB e´ o conjunto de todos os segmentos
orientados que sa˜o equipolentes a AB . Denotamos
este vetor por
−→
AB .
De forma gene´rica, denotamos um vetor usando as
letras minu´sculas do alfabeto com uma seta em
cima. Por exemplo, −→u , −→v , . . .
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Definic¸a˜o de vetor
Vetor. Um vetor determinado pelo segmento
orientado AB e´ o conjunto de todos os segmentos
orientados que sa˜o equipolentes a AB . Denotamos
este vetor por
−→
AB .
De forma gene´rica, denotamos um vetor usando as
letras minu´sculas do alfabeto com uma seta em
cima. Por exemplo, −→u , −→v , . . .
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Um vetor e´ uma classe que tem uma infinidade de
representantes. Um representante e´ um segmento
orientado, digamos AB .
Se CD e´ um segmento orientado equipolente a AB ,
enta˜o
−→v = −→AB = −→CD.
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Um vetor e´ uma classe que tem uma infinidade de
representantes. Um representante e´ um segmento
orientado, digamos AB .
Se CD e´ um segmento orientado equipolente a AB ,
enta˜o
−→v = −→AB = −→CD.
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Um vetor e´ uma classe que tem uma infinidade de
representantes. Um representante e´ um segmento
orientado, digamos AB .
Se CD e´ um segmento orientado equipolente a AB ,
enta˜o
−→v = −→AB = −→CD.
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Vetor nulo e Vetor oposto
Vetor nulo. O vetor nulo
−→
0 e´ aquele
representado pelos segmentos orientados nulos, AA,
BB , etc. Eles sa˜o geometricamente representados
por pontos.
Vetor oposto. Dado um vetor −→u , indicamos por
−−→u , o vetor cujo representantes tem sentido oposto
aos de −→u .Por exemplo, −→u = −→AB , enta˜o −−→u = −→BA.
Denotamos por V 3 o conjunto de todos os vetores
do espac¸o.
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Vetor nulo e Vetor oposto
Vetor nulo. O vetor nulo
−→
0 e´ aquele
representado pelos segmentos orientados nulos, AA,
BB , etc. Eles sa˜o geometricamente representados
por pontos.
Vetor oposto. Dado um vetor −→u , indicamos por
−−→u , o vetor cujo representantes tem sentido oposto
aos de −→u .
Por exemplo, −→u = −→AB , enta˜o −−→u = −→BA.
Denotamos por V 3 o conjunto de todos os vetores
do espac¸o.
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Vetor nulo e Vetor oposto
Vetor nulo. O vetor nulo
−→
0 e´ aquele
representado pelos segmentos orientados nulos, AA,
BB , etc. Eles sa˜o geometricamente representados
por pontos.
Vetor oposto. Dado um vetor −→u , indicamos por
−−→u , o vetor cujo representantes tem sentido oposto
aos de −→u .Por exemplo, −→u = −→AB , enta˜o −−→u = −→BA.
Denotamos por V 3 o conjunto de todos os vetores
do espac¸o.
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Vetor nulo e Vetor oposto
Vetor nulo. O vetor nulo
−→
0 e´ aquele
representado pelos segmentos orientados nulos, AA,
BB , etc. Eles sa˜o geometricamente representados
por pontos.
Vetor oposto. Dado um vetor −→u , indicamos por
−−→u , o vetor cujo representantes tem sentido oposto
aos de −→u .Por exemplo, −→u = −→AB , enta˜o −−→u = −→BA.
Denotamos por V 3 o conjunto de todos os vetores
do espac¸o.
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Transporte. Sejam um ponto qualquer P e um
vetor −→u .
Existe um u´nico ponto B , talque −→u = −→PB .
Obs: O ponto B
chama-se soma do
ponto P com o vetor−→u . Podemos denotar−→
PB por B − P .
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Transporte. Sejam um ponto qualquer P e um
vetor −→u .
Existe um u´nico ponto B , talque −→u = −→PB .
Obs: O ponto B
chama-se soma do
ponto P com o vetor−→u . Podemos denotar−→
PB por B − P .
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Transporte. Sejam um ponto qualquer P e um
vetor −→u .
Existe um u´nico ponto B , talque −→u = −→PB .
Obs: O ponto B
chama-se soma do
ponto P com o vetor−→u . Podemos denotar−→
PB por B − P .
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Operac¸a˜o com vetores
Soma de dois vetores. Dados dois vetores −→u e−→v . Definimos a soma −→u +−→v como sendo o vetor
obtido da seguinte forma:
Seja −→u = −→AB . Tome um ponto C tal que −→v = −→BC .
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Operac¸a˜o com vetores
Soma de dois vetores. Dados dois vetores −→u e−→v . Definimos a soma −→u +−→v como sendo o vetor
obtido da seguinte forma:
Seja −→u = −→AB . Tome um ponto C tal que −→v = −→BC .
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O vetor −→u +−→v e´ o vetor −→AC .
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Podemos somar dois vetores −→u e −→v de outra
forma. Desta vez colocando os dois vetores com
mesmo ponto inicial A.
Em seguida, copiamos −→v no extremo final de −→u e
copiamos −→u no extremo final de −→v , obtendo um
paralelogramo.
A diagonal que parte do ponto A forma um
segmento que representa a soma −→u +−→v .
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Multiplicac¸a˜o por escalar
Dado um nu´mero real α e um vetor −→u , definimos
um novo vetor α−→u que geometricamente expressa a
operac¸a˜o de esticar, contrair ou trocar o sentido de
um vetor.
Definic¸a˜o. Se α = 0 ou −→u = −→0 , enta˜o
α−→u = −→0 . Se α 6= 0 e −→u 6= −→0 enta˜o:
- Direc¸a˜o: mesma que −→u ;
- Comprimento: |α| vezes o comprimento do
vetor −→u ;
Sentido: se α > 0, enta˜o mesmo que de −→u ; se
α < 0, enta˜o sentido oposto ao de −→u .
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Exerc´ıcio. Mostre que dado um triaˆngulo qualquer
ABC, o segmento MN formado pelos pontos me´dio
M e N de AB e BC , respectivamente, e´ paralelo a
AC e tem comprimento igual a metade de AC .
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