F428 Aula08 1S2014

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Aula 8
Fótons e ondas de matéria II
Física Geral F-428
1
2
Resumo da aula anterior:
• Planck e o espectro da radiação de um corpo negro: introdução 
do conceito de estados quantizados de energia para os 
osciladores nas paredes, e de emissão/absorção de quanta de luz 
de energia E=hν ;
• Einstein e a explicação do efeito fotoelétrico: hν = Ecin +φ
(conceitos de quantum de luz, frequência/comprimento de onda 
de corte, potencial de corte);
• Compton e o espalhamento de raios-X em alvo de carbono: 
λ’-λ = ∆λ= h/mc (1-cosθ). Os quanta de radiação têm 
momento. Comprimento de onda Compton do elétron
• O nome ‘fóton’ para o quantum de energia hν só foi introduzido 
por G. Lewis em 1926 .
A experiência de Young
A teoria ondulatória da radiação eletromagnética nos ensinou que, 
depois de passar radiação eletromagnética de um dado λ por duas 
fendas, ela apresenta uma figura de interferência ao ser detectada 
num anteparo.
3
A experiência de Young
Como conciliar a teoria ondulatória com a corpuscular ?
Por outro lado, corpúsculos clássicos apresentariam uma figura 
da forma:
I=I1+I2
4
A experiência de Young
1- feixe de luz intenso: 
figura de interferência na 
medida de intensidade no 
anteparo
5
A experiência de Young
2- feixe de luz intenso + 
detector no anteparo: 
figura de interferência na 
medida de intensidade no 
anteparo, mas... 
contagem discreta da 
chegada dos fótons; 
apesar de muitos por 
segundo
detector 6
A experiência de Young
3- feixe de luz não intenso
+ detector no anteparo: 
1 fóton por segundo 
atravessa uma das fendas 
e 1 fóton por segundo é 
registrado em algum ponto
do anteparo. 
(Experiência de 1 fóton)
detector 7
A experiência de Young
Mas, no decorrer de um 
intervalo de tempo muito longo: 
o histograma apresenta um 
perfil de interferência...
... compatível com a sobreposição
dos resultados de N >>1
experiências envolvendo 
apenas 1 fóton!
8
A experiência de Young
Por onde passou o fóton?
Bloqueador de 
fenda
A informação (bloqueada) destrói a figura de interferência!
9
• Interpretação probabilística: é a 
densidade de probabilidade de se encontrar um fóton (ou 
partícula) no ponto , de modo que:
A teoria quântica
O objeto principal da teoria é a função de onda, ou amplitude 
de probabilidade , com as seguintes propriedades:),( trrψ
r
r
Então, no caso de fótons, não podemos somar as probabilidades
dele ser oriundo de uma fenda ou outra. Devemos somar as 
amplitudes de probabilidade (superposição) para depois tomar o 
seu módulo quadrado (intensidade) !
),(),(),( 21 trtrtr rrr ψψψ +=• Princípio da superposição:
1),( 3 =∫
V
rdtrrρ
2|),(|),( trtr rr ψρ =
10
A hipótese de de Broglie
Baseado no fato da radiação eletromagnética propagar-se como 
onda e, ao interagir com a matéria, apresentar características 
corpusculares, Louis de Broglie (em 1924) considerou a 
possibilidade de partículas materiais também apresentarem, em 
determinadas circunstâncias, um comportamento ondulatório.
Louis de Broglie (7.º duque de Broglie, 1892 – 1987)
11
de Broglie associou um comprimento de onda e uma freqüência 
a uma partícula de momento p e energia E, através das relações:
νλ
p
h
=λ
h
E
=ν
Usando as relações de Planck – Einstein:
kp
r
h
r
= ωh=E
Louis de Broglie recebeu o prêmio Nobel em 1929
A hipótese de de Broglie
12
Difração de elétrons
• A confirmação da hipótese de de Broglie veio 
em 1927, através das observações de C. J. 
Davisson e L. H. Germer; e de G. P. Thomson,
que fizeram experimentos com feixes de 
elétrons incidindo sobre amostras cristalinas de 
níquel (os dois primeiros) ou amostras 
policristalinas de vários materiais (o segundo).
Thomson
Davisson e Germer 
13
Difração de elétrons
mE
h
mEp
m
pE
2
2
2
2
=⇒=⇒= λ
s.J106.6
kg101.9
eV1J106.1
34
31
19
−
−
−
×=
×=
=×=
h
m
E
ο
)eV1( A2.12=λ
φ=λ sind
ο
ο
ο
A65.150A15.2 =λ=φ=d
Experimento de Davisson-Germer
Difração de Bragg:
( ~ 54 eV)2
2
2 λm
hE =
14
Difração de elétrons Experimento de Thomson
Davisson e Thomson 
receberam o prêmio 
Nobel em 1937
• Os resultados aqui 
apresentados para 
elétrons são compatíveis 
com os dos fótons 
através da fenda dupla
raios – X elétrons
15
A experiência de Young
• Os experimentos de difração eletrônica indicam que, depois de 
passar por duas fendas, partículas suficientemente pequenas (como 
elétrons, por exemplo) apresentam uma figura de interferência ao 
serem detectadas num anteparo.
16
A experiência de Young
Como conciliar a teoria ondulatória com a corpuscular ?
Mas corpúsculos clássicos apresentariam uma figura da forma:
I = I1+I2
I1
I2
17
A experiência de Young
1- feixe eletrônico intenso: figura 
de interferência na medida do 
número de partículas que chegam 
no anteparo
18
A experiência de Young
2- feixe eletrônico intenso + 
detector no anteparo: figura de 
interferência na medida de 
intensidade no anteparo, 
mas...contagem discreta da 
chegada dos elétrons, apesar de 
muitos por segundo
detector
19
A experiência de Young
3- feixe eletrônico não intenso + 
detector no anteparo: 1 elétron por 
segundo atravessa uma das fendas 
e 1 elétron por segundo é 
registrado em algum ponto do 
anteparo.
detector
20
A experiência de Young
Mas, no decorrer de um intervalo de tempo muito longo:
o histograma apresenta um perfil de interferência...
... compatível com a sobreposição dos resultados de N >>1
experiências envolvendo apenas 1 elétron!
21
A experiência de Young
Intensidade do 
feixe de 
elétrons 
wavemechanics-duality
22
A experiência de Young
Por onde passou o elétron?
Bloqueador de 
fenda
Esta informação destrói a figura de interferência!
23
Interferência de objetos complexos 
Em 1999, foi mostrado que moléculas 
com um grande número de átomos 
também podem apresentar uma figura 
de interferência.
24
Interferência de objetos complexos 
Nature 401 (1999) 1131
25
Em 2012 : 
Interferência, com moléculas bem maiores !
26
27
PcH2 (58 atoms)
t = 0 t = 2 min
t = 20 min t = 40 min
t = 90 min
28
PcH2 (58 atoms) F24PcH2 (114 atoms)
29
Dualidade e complementaridade
• Propriedades ondulatórias e corpusculares podem 
coexistir. Esta é a chamada dualidade partícula – onda
• Entretanto, não há nenhuma forma dessas duas 
propriedades serem testadas simultaneamente. 
• Ou fazemos um esquema de medida onde o aspecto 
corpuscular seja evidenciado, ou um que revele o caráter 
ondulatório do sistema em questão. 
• Este é o chamado princípio da complementaridade.
30
• Interpretação probabilística: é a 
densidade de probabilidade de se encontrar um fóton (ou 
partícula) no ponto , de modo que:
A teoria quântica
O objeto principal da teoria é a função de onda, ou amplitude 
de probabilidade , com as seguintes propriedades:),( trrψ
r
r
Então, no caso de fótons, não podemos somar as probabilidades
dele ser oriundo de uma fenda ou outra. Devemos somar as 
amplitudes de probabilidade (superposição) para depois tomar o 
seu módulo quadrado (intensidade) !
),(),(),( 21 trtrtr rrr ψψψ +=• Princípio da superposição:
1),( 3 =∫
V
rdtrrρ
2|),(|),( trtr rr ψρ =
31
32
Radiação Eletromagnética
Partículas 
( ) ( )t.sintz,y,x, ω−= rkEE rrrr 0
( ) ( )tkxsintz,y,x, ω−= 0EE rr
I eintensidad, Poyting de vetor S
r
kp
r
h
r
h
 
hE
=
== ων
kp
E
r
h
r
h
 
h
=
== ων
???????
_____________________________________________________
33
Introduzindo a função de onda 
( )tz,y,x,Ψ
a qual é uma solução de uma equação diferencial, 
a equação de Schrödinger.
,
• Em resumo, dada uma partícula atômica, este objeto pode ser 
descrito pela chamada amplitude de probabilidade , ou 
função de onda, à qual podemos aplicar:
A função de onda
),( trrψ
),(),(),( 21 trtrtr rrr ψψψ +=
2|),(|),( trtr rr ψρ =
• Princípio da superposição:
• Interpretação probabilística:
(Max Born)
1),( 3 =∫
V
rdtrrρ
A função de onda carrega a informação máxima
que podemos ter sobre o sistema em questão.
34
Max Born
http://www.youtube.com/watch?v=jvO0P5-SMxk 35
1. Max Planck: 1918
2. Albert Einstein: 1921
3. Louis de Broglie: 1929
4. Erwin Schrödinger:1933
5. Arthur Compton: 1927
6. Werner Heisenberg: 1932
7. Clinton Davisson & George Thomson: 1937
8. Max Born: 1954
36
Físicos mencionados no capítulo que receberam o 
Prêmio Nobel de Física
Prob. 11:
Uma lâmpada de sódio de 100 W (λ = 589 nm) irradia 
energia uniformemente em todas as direções. 
a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela 
lâmpada?
b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente 
absorvente absorve fótons à razão de 1,00 fóton/(cm2 s) ?
c) Qual é o fluxo de fótons (número por unidade de área 
e de tempo) em uma pequena tela situada a 2,00 m da 
lâmpada?
r
37
Prob. 11:
Uma lâmpada de sódio com potência (P) de 100 W radia energia (λ = 589 nm) 
uniformemente em todas as direções. 
a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela lâmpada?
b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à razão 
(ou fluxo F) de 1,00 fóton/(cm2 s) ?
c) Qual é o fluxo de fótons, F (número por unidade de área por unidade de tempo), em 
uma pequena tela situada a 2 m da lâmpada?
fótons/s1096,2
)m/s103)(sJ1063,6(
)W100()m10589( 20
834
9
×≈
××
××
==
−
−
hc
PR λ
s)fótons/(m1089,5
m)(24
fótons/s1096,2
4
218
2
20
2 ×≈
×
==
pipi r
RFc)
→= 24 r
RF
pi
m1085,4
s)fótons/(m104
fótons/s1096,2
4
7
2/1
24
202/1
×≈







×
×
=





=
pipi F
R
r
onde: F = 1 fóton/(cm2s) = 104 fótons/(m2s)
b)
→=== λν
chRhRERP f
a)
r
38
Prob. 22:
Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos 
luz monocromática e um fotocatodo de sódio, encontramos 
um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de 
onda de 3000 Å e de 0,82 V para um comprimento de onda 
de 4000 Å. Destes dados determine:
a) O valor da constante de Planck.
b) A função trabalho do sódio.
c) O comprimento de onda de corte do sódio.
39
0
2
02
0
1
01
φλ
φλ
−=
−=
hc
eV
hc
eV
)(
)()()( 1
2
1
1
02011
2
1
10201
−−
−−
−
−
=→−=− λλλλ
VV
c
ehhcVVe
a) e b) 
seV10136,4)083,0(103
eV03,1
10)43(103
eV82,0eV85,1 15
157118
−
−−
×≈
××
=
×−××
−
=h
eV28,2eV85,1
103
10310136,4
7
815
01
1
0 ≈−
×
×××
=−=
−
−
eVhcλφ
→==
max
0
0 λ
φ
ν
c
h
c) 
0ν maxλ
nm544m1044,5
28,2
10310136,4 7815
0
max =×≈
×××
==
−
−
φλ
hc
: frequência de corte : comprimento de onda de corte
Prob. 22:
Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos luz monocromática e um fotocatodo 
de sódio, encontramos um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de onda de 3000 
Å e de 0,82 V para um comprimento de onda de 4000 Å. Destes dados determine:
a) O valor da constante de Planck.
b) A função trabalho do sódio.
c) O comprimento de onda de corte do sódio. m 104 V82,0
m 103 V85,1
7
0202
7
0101
−
−
×==
×==
λ
λ
V
V
40
Efeito Compton:
Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de 
1,00 Å. Se a radiação espalhada pelos elétrons livres é observada
a 90o do feixe incidente, determine:
a) O deslocamento Compton.
b) A energia cinética fornecida ao elétron.
c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao 
elétron.
41
Efeito Compton:
Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de 1,00 Å. Se a radiação espalhada 
pelos elétrons livres é observada a 90o do feixe incidente, determine:
a) O deslocamento Compton.
b) A energia cinética fornecida ao elétron.
c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao elétron.
a)
→=°−=∆
cm
h
cm
h
00
)90cos1(λ pm43,2m1043,2)m/s103)(kg1011,9(
Js1063,6 12
831
34
=×≈
××
×
=∆ −
−
−
λ
°==
− 90;m10 10 θλi if λλλ −=∆
0; ≈+≈→+=+ iecinfi
f
e
f
f
i
e
i
f EEhhEEEE ννb)
( )[ ] ( )[ ]1101083411 0243,11010)103)(1063,6( −−−− −××=∆+−=








−= λλλλλ iificin
hccchE
[ ] eV295eV102,95J1072,41037,210989,1 217215 =×≈×≈××≈ −−−cinE
c) Variação da energia do fóton: 






−=







−=






 −
=∆
−
−
111
1
f
i
i
f
i
f
i
f
f
f
f hc
hc
E
EE
E λ
λ
λ
λ
( ) %4,21976,01001
100243,1
10100(%) 10
10
−≈−≈





−
×
≈∆
−
−
fE (cedida ao elétron)42
Prob. 42:
Se o comprimento de onda de de Broglie de um próton é 100 fm,
a) qual é a velocidade do próton?
b)A que diferença de potencial deve ser submetido o próton para chegar a esta 
velocidade?
a)
λλ pp m
h
v
h
vmp =→==
b)
e
vm
V
vm
eV pp
22
22
=→=
43