Aulas 3 Tensões no Solo

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Mecânica dos Solos Aplicada – Aula 3 – Tensões no Solo 
Prof. Saulo Gutemberg Silva Ribeiro – D.Sc. 
Curso de Especialização em Engenharia e Tecnologia de Barragens (M.Eng.) – 2/2017 
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – Diretoria de Educação Continuada 
 
Engenharia e Tecnologia de 
Barragens 
 
Mecânica dos Solos Aplicada 
Prof. Saulo G S Ribeiro – D.Sc. 
Aplicação: 
 
• Compressibilidade; 
• Controle de recalques; 
• Avaliação da capacidade de carga das fundações; 
• Avaliação da estabilidade de taludes; 
• Interação Solo Estrutura. 
3 – Tensões no Solo 
 
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Tensões no Solo 
 Partículas granulares (siltes, areias e 
pedregulhos) transmitem esforços através 
do contato grão-grão. 
 
Pedregulho 
Areia 
Silte 
Partículas finas ou lamelares (argilas e siltes 
relativamente finos) possuem dimensões tão 
reduzidas que sofrem grande influência de 
forças eletrostáticas. A transmissão de esforços 
se dá, geralmente, através da água adsorvida. 
Tensões Efetivas em Solos Saturados 
σ - Tensão total; 
σ‘ - Tensão efetiva; 
R - Forças elétricas de repulsão; 
A - Forças elétricas de atração. 
 
Em argilas dispersas, altamente 
plásticas, saturadas, a tensão efetiva é a 
diferença de tensões elétricas 
transmitidas entre partículas. 
ARu' 
ARu 
Lambe & Whitman (1969). 
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Modelo real Modelo simplificado 
Tensões de Contato 
As tensões de contato são obtidas por uma simplificação, devido ao grande 
número de contatos e à impossibilidade de se definir precisamente, a área e a 
força transmitida em cada contato. Assim, considera-se que o solo seja um meio 
contínuo. 
 
h 




 h
A
Ah
A
V
A
N
v
Sendo: 
N = força normal; 
V = volume de solo; 
γ = peso específico ou peso 
por unidade de volume; 
A = área de aplicação; 
h = altura da camada de solo. 
Tensões de Contato - Quartzo 
Lambe e Whitman (1969). 
Quartzo polido. 
Quartzo áspero. 
30° 30° 
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Comportamento Areia – Quebra de Grãos 
 
4.000psi=28.000kPa 
Lambe e Whitman (1969). 
1psi=6,9kPa 
Comportamento Areias – Quebra de Grãos 
Roberts (1964, citado em Ortigão, 2007). 
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Arqueamento de Tensões - Filtro 
Efeito de arqueamento, 
filtro com tensões da ordem 
de 3.600kPa 
Divino (2010). 
Placas de Tensões 
Divino (2010). 
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Efeito da Plastificação do Filtro 
h=75m 
Bacia sedimentar de Aiurioca, MG. 
A condição geostática é encontrada, especialmente, em solos sedimentares. 
Nesta condição, as tensões em cada ponto do solo ocorrem apenas devido a seu 
peso próprio, ou seja, peso das camadas que se sobrepõem ao ponto de análise. 
Tensões in situ – Condição geostática 
 
Nível do terreno 
Solo I 
Solo II 
Solo III 
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  zv
z1 
z2 
zn 
Z 
Para solos estratificados, admitindo-se 
camadas uniformes de espessuras z1, z2, ..., 
e pesos específicos 𝛾1,𝛾2 , ... 
Tensões in situ – Variação do Peso Específico 
Se o solo for estratificado e o peso específico diferente para cada camada, a tensão 
vertical pode ser calculada pelo somatório das tensões de cada camada 
sobrejacente ao ponto em estudo. Logo: 
nn2211v zzz   
z
0
v dz
Em que: 
σv’ = tensão efetiva vertical; 
u = poropressão; 
σv = tensão total vertical. 
Para um solo seco, as tensões determinadas já são as tensões efetivas do solo. 
Para um solo saturado, as tensões normalmente definidas são as tensões totais e, 
somente a partir destas são calculadas as tensões efetivas, subtraindo-se a 
poropressão. 
Tensões in situ 
 
u' vv 
z 
zw 
u 
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satAwv HH 
σv = tensão vertical total no nível do ponto A; 
𝛾𝑤 = peso específico da água; 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = peso específico saturado do solo; 
H = altura do nível da água a partir do topo da 
coluna de solo; 
HA = altura da camada de solo acima do ponto A. 
Parcela devido à 
lâmina d’água 
Parcela devido ao 
solo saturado 
A 
H 
HA 
Tensões em Solo Saturado 
 A figura ao lado ilustra um perfil de solo saturado com lâmina d’água superficial. A 
tensão total em um plano que passa por um ponto A qualquer pode ser obtida a 
partir do peso específico total do solo saturado e do peso específico da água acima 
deste ponto. 
peso específico submerso 
)I(HH satAwv  )II(u
'
vv 
wAsatAwv )HH(]HH[' 
)(H' wsatAv 
Tensões em Solo Saturado 
Substituindo a equação (I) na equação (II) e lembrando que 𝑢 = (𝐻 + 𝐻𝐴)𝛾𝑤 
chega-se ao peso específico submerso. 
γ’ = γsat – γw 
'.H' Av 
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Tensões Horizontais 
As tensões horizontais são estimadas por meio do coeficiente de empuxo no 
repouso, definido como sendo a razão entre a tensão horizontal efetiva e sua 
correspondente vertical. 
 
 
 
 
 
v
h
0
'
'
K



σv σh 
v0h
v
h
0 'K'
'
'
K 



u'K v0h 
Lambe e Whitman (1969). 
σv 
Tensão 
z 
K0< 1 
K0> 1 
Tensões Horizontais 
Existe uma ampla faixa de valores 
possíveis para o coeficiente e empuxo 
lateral. 
 
O valor de K0 pode variar dentro de uma 
gama de valores em função de fatores, 
tais como: tipo de solo, história de 
tensões, plasticidade, dentre outros. 
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Estimativa deK0 
Pode-se estimar K0 por meio do 
coeficiente de Poisson. 



1
K0
'sen1K0 
Jaky (1944) – Areia: 
Lambe & Whitman (1969). 
Variação de k0 em 
função do índice de 
plasticidade (IP) para 
diferentes valores de 
OCR (Lambe & 
Whitman, 1969). 
OCR = razão de 
sobreadensamento. 
C
o
ef
ic
ie
n
te
 d
e 
em
p
u
xo
 n
o
 r
ep
o
u
so
, K
0 
Índice de Plasticidade, IP 
Tensões Horizontais 
'sen
0 )OCR)('sen1(K

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Estudo de Tensões 
 Para o perfil ao lado foram calculadas as tensões vertical e horizontal pelas 
equações definidas anteriormente e comparadas com aquelas calculadas pelo 
módulo Sigma do sistema computacional GeoStudio. 
B 
A 
h3=2,5m 
h4=7,5m 
h1=6,65m 
h2=3,25m 
Residual 
 Zonas Vadosa e Saturada 
Sg-guarani. 
Zona de 
aeração 
Zona de 
saturação 
Evapotranspiração 
Água vadosa 
Água subterrânea ou 
freática 
Franja capilar 
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após 10 min após 30 min 
após 1 min 
Ensaio de Capilaridade em Solo Coesivo 
hc 
u 
0 
+ - 
hcγw 
hγw 
h 
T T 
Definição da altura de ascensão da água em um tubo capilar 
A interpretação da ascensão 
capilar que ocorre em solos 
pode ser feita com base na 
análise da ascensão de água 
(elevação acima do nível 
freático) que ocorre em um 
tubo capilar devida a tensão 
superficial desenvolvida entre a 
água e a superfície do tubo, 
como ilustrado na figura. 
 
 
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 cosdTtensãoperímetroP
w
c
d
cosT4
h



Sendo: 
 T = tensão superficial (força/comprimento) 
α = ângulo de contato 
d = diâmetro do tubo capilar 
γw = peso específico da água. 
Admitindo o equilíbrio de forças na vertical, tem-se: 
Definição da altura de ascensão da água em um tubo capilar 
P 
T T 
α α 
W 
WP 
wc
2 hd
4
águada.esppesovolumeW 







 







cosdThd
4
wc
2
Por meio da equação da altura de ascensão pode-se concluir que hc é 
inversamente proporcional ao diâmetro do tubo: 
 
 
 
 
 
d
1
h c 
Altura de ascensão da água em um tubo capilar 
d
1
h c 
Logo, quanto menor for o 
diâmetro maior será a altura 
de ascensão. Por analogia, 
quanto menores os vazios ou 
poros do solo maior a altura 
de ascensão capilar. 
A
rg
ila
 
S
ilt
e
 
A
re
ia
 
Tipo de solo 
Intervalo de ascensão 
capilar (m) 
Areia grossa 0,1 - 0,2 
Areia fina 0,3 - 1,2 
Silte 0,75 - 7,5 
Argila 7,5 - 23 
Das, 2007 
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Raio do Poro versus Sucção Mátrica 
Fredlund e Rahardjo (1993). 
Argila: sucção > 100kPa 
Silte: 10kPa < sucção < 100kPa 
Areia: 0,5kPa < sucção < 10kPa 
Perfil de Sucção 
Fredlund e Rahardjo (1993). 
Perfil de sucção mátrica num 
talude inclinado de Hong Kong. 
 
A porção inclinada do talude é 
coberta por uma camada de solo-
cimento e argamassa de cal para 
evitar a infiltração de água no 
mesmo. 
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Capilaridade 
Lambe e Whitman (1969). 
≈18kPa 
≈36kPa 
Sucção Silte: 7,5kPa a 75kPa (Das, 2007). 
Capilaridade - Sucção 
As pressões de contato (pressões neutras 
negativas) formadas na zona capilar somam-se às 
tensões totais: 
σ ' = σ − (− u) = σ + u, fazendo com que a tensão 
efetiva atuante seja maior que a tensão total. 
 
 
Rejeito - areia fina siltosa. 
Duna. 
Castelo de areia. 
Esse acréscimo de tensão 
proporciona um acréscimo 
de resistência conhecido 
como coesão aparente, 
responsável, por exemplo, 
pela estabilidade de 
taludes de solos 
predominantemente 
arenosos. 
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Exercício 1 
Faça uma avaliação crítica entre as curvas características abaixo (Seep com 
θsat=0,5) e os estudos apresentados por Fredlund e Rahardjo (1993). 
Tensões Induzidas - Carga Circular 
Tensão vertical induzida por carga 
uniforme sobre área circular, 
Lambe e Whitman (1989). 
 
Em que, 
x = distância medida a partir do 
centro 
z = profundidade 
R = raio da área circular 
∆qs = acréscimo de tensão 
devido à tensão uniformemente 
distribuída aplicada sobre a área 
circular. 
z
R
 
x
R
 
∆qs 
Lambe e Whitman, 1969 
s
v
q

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Sapata Circular 
Lambe e Whitman (1969). 
s
1
q

Estudo Tensão Deformação - Sigma 
 
 
Diâmetro 
= 10m 
O tanque de óleo corresponde a uma tensão aplicada de 40kPa. 
 
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Isovalores de Acréscimos de Tensão 
Diagrama do Bulbo de tensões 
Configuração do recalque com uma 
magnitude de 20x. 
Recalques 
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Exercício 2 
1 – Estime o 
acréscimo de 
tensão vertical no 
eixo da obra para 
elevação (z) igual 
a 20m. 
2 – Idem para 
x=5m. 
3 – Comente os 
resultados. 
R=5m 
Estado triplo de tensões em um ponto 














zyzxz
zyyxy
zxyxx
zyxxy ]ttt[]T[ 
σx 
τxz 
σy 
τxy 
σz 
τyz 
τyx 
τzy τzx 
x 
z 
y 
Nove componentes 
de tensão 
Estado de Tensões 3D em uma Massa de Solo 
 
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Estado de Tensões 2D em uma Massa de Solo 
σx 
τyx 
τxy 
σy 
x 
y 
Estado plano de tensões em um ponto 









yxy
yxx
yxxy ]tt[]T[ 
Quatro componentes de tensão 
σx 
τyx 
τxy 
σy 
n 
θ t 
Tensões no plano de interesse 
Tensões nas direções de 
aplicação 
σx 
τyx 
τxy 
σy 
n 
α 
θ 
dS 
dS cosθ 
d
S
 s
e
n
θ
 
θ 
Considere um elemento, de espessura unitária, 
pelo qual passa um plano de ruptura de largura 
dS e cuja inclinação vale θ: 
Estado de Tensões em uma Massa de Solo 
 
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σx 
τxy 
τxy 
σy 
n 
α 
θ 
dS 
dS cosθ 
d
S
 s
e
n
θ
 
σxdS senθ 
τxydScosθ 
τxydS senθ 
σydS cosθ 
σdS 
θ 
τdS 
Estado de Tensões em uma Massa de Solo 
O produto das tensões que atuam nas faces 
vertical e horizontal deste elemento pelas 
respectivas áreas de atuação, representa as 
forças atuantes em cada face. 
τxydS sen²θ 
τxydS senθcosθ 
τdS 
θ 
θ 
τxydS cosθsenθ 
τxydS cos²θ 
θ 
Componentes advindas 
das tensões cisalhantes 
σxdS sen²θ 
σydS cosθsenθ 
σdS 
θ 
θ 
σxdS senθcosθ 
σydS cos²θ 
Componentes advindas 
das tensões normais 
Estado de Tensões em uma Massa de Solo 
22 
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A partir desta decomposição, pode-se fazer o somatório de forças nas direções 
normal e tangencial, para a condição de equilíbrio, isto é, ∑F=0: 
 
0Fn 
 cosdSsen2²cosdS²dSsendS xyyx
 cossen2²cos²sen xyyx
Aplicando as relações trigonométricas: 
 2sencossen2
2/)2cos1(²cos 
2/)2cos1(²sen 
Tem-se: 
 2sen2cos)(
2
1
)(
2
1
xyyxyx
Estado de Tensões em uma Massa de Solo 
Da mesma forma, para a direção tangencial ao plano: 
 
0Ft 
 ²dSsen²cosdScosdSsensencosdSdS xyxyyx
Aplicando as relações trigonométricas: 
 2sencossen2
 2cos²sen²cos
Tem-se: 
 ²sen²coscossensencos xyxyyx
 2cos2sen)(
2
1
xyyx
23 
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Desta forma, as equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permitem determinar as tensões normais (σθ) e tangencias (τθ), para um plano com 
uma inclinação qualquer (θ), a partir das tensões atuantes sobre o elemento 
considerado (σx, σy, τxy). 
 
 
 2sen2cos)(
2
1
)(
2
1
xyyxyx
 2cos2sen)(
2
1
xyyx
Estado de Tensões em uma Massa de Solo 


 2cos2sen
2
xy
xy
Estado de Tensões em uma Massa de Solo 
As equações anteriores podem ser reescritas em função das tensões principais, 
atuantes nos planos principais, quando se tem cisalhamento nulo. Neste caso: 
 




 2sen2cos
22
xy
xyxy
0 
0 




 2cos
22
3131 

 2sen
2
31
σy = σ1 
σx = σ3 
Lembrando que, Coeficiente de empuxo lateral: 
σy = σ3 
σx = σ1 
Se, K < 1 
v
hK



Se, K > 1 , portanto: 
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σ (kPa) 
τ 
(k
P
a
) 
0 
2θ 
θ 
τ(θ) 
σ(θ) 
C 
Estado de Tensões em uma Massa de Solo - Círculo de Mohr 
Qualquer ponto na 
circunferência, tal como o ponto 
C, representa o estado de 
tensão em um plano cuja 
normal está orientada em um 
ângulo θ em relação à direção 
da tensão principal maior. 
 
θ τ(θ) 
σ(θ) 
σ (kPa) 
τ 
(k
P
a
) 
0 
θ 
τ(θ) 
σ(θ) 
A 
τ m
á
x
 
σ3 σ1 
B 
Para traçar um Círculo de Mohr 
basta conhecer as tensões 
principais (σ1 e σ3) ou dois pares 
de tensões atuantes em dois 
planos ortogonais quaisquer, por 
exemplo (A e B). 
 
Estado de Tensões em uma Massa de Solo - Círculo de Mohr 
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1º.: Passa por R um plano 
paralelo ao plano no qual 
atuam suas tensões (neste 
caso plano vertical) 
 
2º.: Passa por M um plano 
paralelo ao plano no qual 
atuam suas tensões (neste 
caso plano horizontal) 
 
3º.: 1º ∩ 2º = P (Polo) 
Te
n
sã
o
 C
is
al
h
an
te
 
(σx,τxy) 
(σy,-τxy) 
σ3 σ1 N ≡ 
M 
R 
S ≡ 
O 
P 
A título de ilustração considere o exemplo onde R = tensões atuantes em um plano 
vertical; e M = tensões atuantes em um plano horizontal. 
 
Traçado do Polo em um Círculo de Mohr 
Tensão Normal (kPa) 
250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 
T
e
n
s
ã
o
 T
o
ta
l 
C
is
a
lh
a
n
te
 (
k
P
a
) 
-50 
-40 
-30 
-20 
-10 
0 
10 
20 
30 
40 
50 
316.03 
-41.722 
279.79 
252.42 343.4 
Polo 
Traçado do Polo em um Círculo de Mohr 
-41,722 
41,722 
26 
Mecânica dos Solos Aplicada – Aula 3 – Tensões no Solo 
Prof. Saulo Gutemberg Silva Ribeiro – D.Sc. 
Curso de Especialização em Engenharia e Tecnologia de Barragens (M.Eng.) – 2/2017 
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – Diretoria de Educação Continuada 
 
Tensões num Plano de Cisalhamento 
135° 
Sigma x 316,03
Sigma y 279,79
Tal xy 41,722
Teta 135
Sigma Teta 256,19
Tal Teta 18,12
Sigma 1 343,40
Sigma 3 252,42
18,12 
256,19 
Tensão Normal (kPa) 
250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 
T
e
n
s
ã
o
 T
o
ta
l 
C
is
a
lh
a
n
te
 (
k
P
a
) 
-50 
-40 
-30 
-20 
-10 
0 
10 
20 
30 
40 
50 
316.03 
-41.722 
279.79 
252.42 343.4 
Polo 
Traçado do Polo em um Círculo de Mohr 
-41,722 
41,722 
135° 
18,12 
256,19 
27 
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Tensão Normal 
Te
n
sã
o
 C
is
al
h
an
te
 
Inicialmente marcam-se os pontos correspondentes às tensões 
atuantes nos planos horizontal e vertical. A partir destes pontos 
traçam-se verticais com dimensões iguais ao módulo da tensão 
cisalhante. Note que na face vertical a tensão cisalhante é 
positiva. 
136 
92 
Exemplo: 
Determine graficamente as tensões principais para o elemento 
apresentado e compare com os resultados obtidos a partir da 
solução analítica. 
 
Tensão Normal 
Te
n
sã
o
 C
is
alh
an
te
 
136 
92 
A etapa anterior fornece dois pontos: R e M. Unindo estes 
pontos tem-se o diâmetro do Círculo de Mohr. 
R 
M 
Exemplo: 
Solução Gráfica: 
 
28 
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Tensão Normal T
en
sã
o
 C
is
al
h
an
te
 
R 
M 
O 
Desenha-se um círculo de centro em O e raio OR=OM, 
encontrando-se σ1 e σ3. 
σ1 σ3 
σ1 = 139 
σ3 = 90 
Exemplo: 
 Solução Gráfica: 
 
 
2
xy
2
xyxy
1n
22





 


 3 - 
 
6,13811
2
92136
2
92136 2
2
1 




 


   4,8911
2
92136
2
92136 2
2
3 




 



Exemplo: 
Solução Analítica: 
 
29 
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Exercício 3 
Para o estado de tensão abaixo, determine as tensões normal e cisalhante no 
plano de ruptura, sendo o ângulo de inclinação da base da fatia igual a -29,6°. 
Total Stress at Node 2.987
Total Normal Stress (kPa)
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280
To
ta
l S
he
ar
 S
tre
ss
 (k
Pa
)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
sx
sy
116,72
-54,816
226,69
94,065
249,35
Polo 
Sigma Teta 152,77
Tal Teta -75,30
Sigma 1 249,35
Sigma 3 94,06
Aula Prática – GeoStudio 2016 – Módulo Sigma