Aula 1 Matrizes

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Aula 1: Matrizes e Determinantes
Professor: Franklin Angelo Krukoski.
Noção de Matriz
 Dados dois números naturais não nulos, m e n, chama-se matriz m por 
n (indica-se m x n) toda tabela formada por números reais distribuídos 
em m linhas e n colunas:
 Exemplos:
3 5 −1
0
1
2
2 é uma matriz 2 x 3
1 2 4
3 −9 75
4 −2 −1
é uma matriz 3 x 3
Noção de matrizes
 Em uma matriz M qualquer, cada elemento é indicado por 𝑎𝑖𝑗, onde i 
representa a linha e j a coluna que o elemento pertence.
𝑀 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31
…
𝑎𝑚1
𝑎32
…
𝑎𝑚2
𝑎33 … 𝑎3𝑛
… … …
𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛
Uma matriz M do tipo m X n, também pode ser indicada por 𝑀 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑋𝑛
Exemplo 1
 Determine a matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 , 3 x 3, tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 – 𝑗.
Igualdade entre matrizes
 Duas matrizes 𝑀 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑋𝑛 e 𝑁 = 𝑏𝑖𝑗 𝑚𝑋𝑛 são iguais quando 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗
para todo i e para todo j. Isto significa que para serem iguais, duas 
matrizes devem ser do mesmo tipo e apresentar todos os elementos 
correspondentes iguais.
 Exemplo: 
1 2
3 4
=
1 2
3 4
Exemplo 2
 Determine a e b para que a igualdade 𝑎 + 4 𝑏
2
1 2
=
2𝑎 𝑏
1 2
seja 
verdadeira.
Adição de matrizes
 Dada as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑋𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑋𝑛, chama-se soma de A+B
a matriz 𝐶 = 𝑐_𝑖𝑗 𝑚𝑋𝑛 tal que 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎ij + bij, para todo i e todo j. Isto 
significa dizer que a soma de duas matrizes de mesmo tipo é uma 
matriz em que cada elemento é a soma dos elementos 
correspondentes em A e B.
 Exemplo:
1 2 −3
−2 1 3
+
0 2 1
3 0 −1
=
1 4 −2
1 1 2
Exemplo 3
 Dada a matriz 𝐴 =
1 −2 0
2 4 3
2 1 −3
, obtenha 𝑥 = 𝐴 + 𝐴𝑡
Propriedades da adição
A operação de adição de matrizes do tipo m X n, possuem as seguintes propriedades:
1. (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) para quaisquer matrizes A, B e C, do tipo mXn.
2. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 para quaisquer matrizes A e B, do tipo mXn.
3. Existe o elemento neutro M tal que 𝐴 +𝑀 = 𝐴, para toda matriz A do tipo mXn.
4. Toda matriz A tem seu simétrico –A, tal que 𝐴 + (−𝐴) = 𝑀, para todo A do tipo mXn, 
sendo M o elemento neutro.
Dadas duas matrizes A e B, a diferença 𝐴 − 𝐵 pode ser entendida como a soma da matriz 
A com a matriz simétrica de B, ou seja:
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵)
Exemplo 4
 Calcular a diferença A – B, e a diferença B – A, sendo:
𝐴 =
1 2 −3
−2 1 3
e 𝐵 =
3 −2 1
3 0 −1
Produto de matriz por escalar
 Dado um número 𝑘 e uma matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑋𝑛 , chama-se produto 𝑘𝐴 a 
matriz 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑚𝑋𝑛 tal que 𝑏𝑖𝑗 = 𝑘𝑎𝑖𝑗 para todo i e todo j. Ou seja, 
multiplicar uma matriz por um número k significa construir uma matriz com 
elementos de A multiplicados por k.
 Exemplo:
𝑆𝑒 𝐴 =
1 2
3 4
5 6
2A =
2 4
6 8
10 12
3𝐴 =
3 6
9 12
15 18
Propriedades do produto por escalar
 O produto de um número por uma matriz segue as seguintes 
propriedades, sendo A e B, matrizes do tipo m x n; e a e b números 
reais quaisquer:
1. 𝑎. 𝑏. 𝐴 = 𝑎. 𝑏 . 𝐴
2. 𝑎. 𝐴 + 𝐵 = 𝑎. 𝐴 + 𝑎. 𝐵
3. 𝑎 + 𝑏 . 𝐴 = 𝑎. 𝐴 + 𝑏. 𝐴
4. 1. 𝐴 = 𝐴
Exemplo 5
 Resolva a equação matricial:
2
1 4
−2 5
+
3 1
5 2
= 𝑥 +
−1 3
4 2
Produto entre matrizes
 Dadas duas matrizes 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑋𝑝 e 𝐵 = 𝑏𝑗𝑘 𝑝𝑋𝑛, chama-se produto AB a matriz 
𝐶 = 𝑐𝑖𝑘 𝑚𝑋𝑛 tal que: 
𝑐𝑖𝑘 = ෍
𝑗=1
𝑝
𝑎𝑖𝑗𝑏𝑗𝑘
Para todo i e para todo j. 
Ou seja, o produto de duas matrizes A e B é obtido de forma que cada elemento da 
matriz C é o resultado da soma dos produtos de cada elemento da linha 
correspondente de A pelo elemento correspondente das linhas de B. 
Exemplo 6:
 Dadas as matrizes 𝐴 =
1 −2
3 4
e 𝐵 =
5 7
0 −8
, calcule AB e BA.
Produto de matrizes
 Observações:
 A definição dada garante que o produto AB existe somente se o 
número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da 
matriz B, pois A é do tipo mXp e B é do tipo pXn
 A definição garante que o produto AB tem o mesmo número de 
linhas que a matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B, 
pois C é do tipo mXn. 
Propriedades da Multiplicação
 Sejam A, B e C matrizes, que satisfaçam as condições de existência da 
multiplicação. Então:
1. (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶)
2. 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
3. 𝐶 𝐴 + 𝐵 = 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵
4. 𝑘𝐴 𝐵 = 𝐴(𝑘𝐵)
Importante: Note que a multiplicação entre matrizes não é comutativa, 
ou seja, AB nem sempre é igual a BA. Quando AB = BA, dizemos que A e B 
comutam (devem ser quadradas e de mesma ordem).
Exemplo 7
 Calcule os seguintes produtos, dadas 𝐴 =
1 −1 0
2 1 3
1 −2 1
e 𝐵 =
0 1 3
2 4 1
−2 1 1
.
a) 𝐴. 𝐵
b) 𝐵. 𝐴
c) 𝐴. 𝐵𝑡
Matrizes especiais - Transposta
 Matriz transposta:
Dada uma matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑋𝑛, chama-se transposta de A a matriz 𝐴
𝑡 =
𝑎 �´�𝑖 𝑛𝑋𝑚 tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎 �´�𝑖, para todo i e todo j. Isto significa dizer que 
cada coluna de A é igual a sua correspondente linha de 𝐴𝑡.
Exemplo: A =
1 5
2 7
3 9
𝑒 𝐴𝑡 =
1 2 3
5 7 9
Propriedades da matriz transposta
 A matriz transposta segue as propriedades a seguir:
1. 𝐴𝑡 𝑡 = 𝐴 para toda matriz A;
2. Se 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 𝑒 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛, então 𝐴 + 𝐵
𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡;
3. Se 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 𝑒 𝑘 ∈ 𝑅, então 𝑘𝐴
𝑡 = 𝑘𝐴𝑡;
4. 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 𝑒 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛𝑥𝑝, então 𝐴. 𝐵
𝑡 = 𝐵𝑡 . 𝐴𝑡;
Exemplo 8
 Sejam 𝐴 =
3 1
4 −2
e 𝐵 =
2 −5
1 −2
,
determine 𝐴𝐵 𝑡 e 𝐵𝑡𝐴𝑡.