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MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Matemática Financeira 
Introdução
A matemática financeira tem por função estudar as várias formas de evolução do valor do dinheiro no tempo. A partir dela podemos gerar análise e comparações que nos permitam definir as melhores alternativas para a aplicação ou obtenção de recursos financeiros.
No Brasil, principalmente, o conhecimento da Matemática Financeira é fundamental para o sucesso financeiro de uma organização, pois, com uma economia frágil é preciso ter cuidado para não sofrer perdas. Índices financeiros diversos, taxas altas, inflação, financiamentos longos ou curtos, enfim, toda essa mistura financeira deve ser bem administrada, por menor que seja a organização.
Razão centesimal e Porcentagem
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
    Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
		
Exemplos
João vendeu 10% dos seus 300 imóveis. Quantos imóveis ele vendeu?
02) Um equipamento cujo valor é R$ 8000,00 foi comprado com desconto de 12 %. Qual o valor pago?
03) Calcule 30% de 30%.
04) Em um teatro, cuja capacidade é para 1200 pessoas, foi registrado a presença de 960 num determinado espetáculo. Que porcentagem essas 960 pessoas representam da capacidade máxima?
Problemas propostos
01) Determine:
a) 4% de 32  =  
b) 15% de 180  =  
c) 18% de 150  =  
d) 35% de 126  =  
e) 100% de 715  =  
f) 115% de 60  =  
g) 200% de 48  =
h) (5%)² de 400 =
02) Em um lote de 1000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças defeituosas deve haver no lote?
03) Uma empresa possui em quadro de funcionários 288 brasileiros, 5% de japoneses e 15% de ingleses. Quantas pessoas trabalham nessa empresa?
04) Duzentos ingressos foram distribuídos entre três pessoas para serem vendidos: 90 para a primeira, 60 para a segunda e 50 para a terceira. No final, a primeira pessoa conseguiu vender 80%, a senda vendeu 40% e a terceira vendeu 60%. No computo geral, dos 200 ingressos, qual a porcentagem dos ingressos que foram vendidos?
05) A contribuição provisória sobre movimentação financeira (CPMF) é um imposto de 0,20% calculado sobre o valor de cada transação efetuada por um cliente de banco. Se em determinado mês esse cliente movimentou R$ 8500,00, quanto ele pagou de CPMF?
06) O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine o valor do depósito efetuado pelo empregador, calculado o FGTS sobre um salário bruto de R$ 1.200,00.
07) Comprando um objeto a vista, obtenho um desconto de R$ 9,00 correspondente a 20% do preço. Qual o preço real do objeto?
08) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 70% ao preço de custo, por que sabe que o cliente gosta de obter um desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de tabela, de modo a não ter prejuízo?
a) 15,3% b) 18% c) 20% d)25% e) N.D.A
09) Uma empresa, em Palmas, deu férias coletivas aos seus empregados. Se 48% dos empregados viajaram para São Paulo, 28% para Recife e 12 deles ficaram em Palmas, então, qual o número de empregados que viajaram para Recife?
10) O preço de custo de uma mercadoria é de $ 13,00. O produtor pretende colocar seu produto a venda com um lucro de 30% sobre o preço de custo. No entanto ele deve pagar 30% de impostos, calculados sobre o preço de venda. Para atingir seu objetivo, qual deve ser o preço mínimo de venda?
Transações Comerciais: Lucro e Prejuízo
Nas transações comerciais pode ocorrer lucro ou prejuízo. O lucro ocorre quando o valor de venda é maior do que o valor do custo (ou compra) e o prejuízo ocorre quando o valor de venda é menor que o valor de compra.
Para transações comerciais com lucro:
V = C + L
onde V – Preço de venda ; C – Preço de custo ; L – Lucro.
Transações comerciais com prejuízo
V = C – P
onde V – Preço de venda; C – Preço de custo ; P - Prejuízo 
Exemplos 
01) Um equipamento comprado por R$ 3000,00 deverá ser vendido a que preço , para que proporcione o lucro de 25% sobre o preço de venda?
Um equipamento comprado por R$ 3000,00 deverá ser vendido a que preço , para que proporcione o lucro de 25% sobre o preço de custo?
03) Mercedes vendeu uma bicicleta por R$ 300,00 tendo um lucro nessa transação de 30% sobre a venda. Quanto pagou pela bicicleta?
04) Vendi um aparelho eletrônico por R$ 300,00 com prejuízo de 25% do preço de custo. Quanto eu havia pago por ele?
Problemas propostos
01) O custo de um objeto é de R$ 200,00. Por quanto deve ser vendido esse objeto para que se obtenha um lucro equivalente a 40% do preço de custo? 
 
02) O custo de um objeto é de R$ 200,00.Por quanto deve ser vendido esse objeto para que se obtenha um lucro equivalente a 40% do preço de venda?
Nilva vendeu seu terreno por R$ 30000,00 com um prejuízo de 20% em relação ao preço de custo. Quanto ela havia pago pelo terreno?
Natália quer vender um apartamento que custou R$ 160000,00 lucrando 30% do preço de custo. Qual será o preço de venda do apartamento de Natália?
Vendi um carro por R$ 42 000,00 com lucro de 40% sobre a compra. Por quanto o comprei?
Um televisor vendido por R$ 720,00 deu um lucro de 40% sobre o preço de venda.Qual era o preço de custo deste televisor?
Um televisor vendido por R$ 720,00 deu um lucro de 40% sobre o preço de custo. Qual era o preço de custo deste televisor?
Vendi um aparelho eletrônico por R$ 800,00 com prejuízo de 25% do preço de custo. Quanto eu havia pago por ele?
Vendi um aparelho eletrônico por R$ 800,00 com prejuízo de 25% do preço de venda. Quanto eu havia pago por ele?
10) Luís comprou um carro por R$ 25000,00 e vendeu-o por R$ 30000,00. Calcule qual a porcentagem de lucro em relação ao:
a) Preço de Custo
b) Preço de Venda
11) Um componente eletrônico é comprado por R$ 400,00 e vendido por R$ 500,00.Nessa transação, determinar a taxa percentual de lucro relativa: 
a) ao preço de custo 
b) ao preço de venda
Juros, capital e taxa de juros
Juro (J) é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como aluguel pago pelo uso do dinheiro. Se aplicarmos um capital durante determinado período de tempo, ao fim do prazo obteremos um valor (montante) que será igual ao capital aplicado acrescido da remuneração obtida durante o período da aplicação.
Entende-se por capital (P), do ponto de vista da matemática financeira, qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época.
Taxa de juros (i) é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de certo período de tempo e o capital inicialmente aplicado (ou emprestado). Matematicamente essa razão é especificada como segue:
 i = 
em que i é a taxa de juros, J o valor dos pontos e P o capital inicial (também chamado de principal, valor atual ou valor presente).
	Usaremos a seguinte convenção para as taxasde juros:
a.d. = taxa ao dia;
a.m. = taxa ao mês;
a.t. = taxa ao trimestre;
a.s. = taxa ao semestre;
a.a. = taxa ao ano.
Exemplos
01) Determine a taxa de juros cobrada num empréstimo de R$ 2300,00 a ser resgatado por R$ 2700,00?
02) Qual é os juros de R$ 1600,00 aplicados por um ano à taxa simples de 50% a.a.?
03) Transforme 0,2% a.d em taxa a.m e a.a.
04) 54% a.a são equivalentes à quantos % a.m e a.t.
Problemas propostos
01) Qual a taxa de juros cobrada num empréstimo de R$ 1200,00 a ser resgatado por R$ 1400,00?
02) Obtenha a taxa simples que transforma R$ 4500,00 em um montante de R$ 8100,00 em um ano?
03) Determine o juros gerados por um empréstimo de R$ 2300,00 à taxa de 15% a.m.
04) Transformar:
2% a.m em taxa a.a; c) 0,1% a.d em taxa a.m e a.a;
18% a.a em taxa a.m e a.d; d) 12% a.t em taxa a.m e a.a;
05) 42% ao a.a são equivalentes a: 
Quantos % em um mês; c) Quantos % durante 0,5 ano;
Quantos % durante 13 meses; d) Quantos % durante 20 dias;
Capitalização simples (Juros Simples)
Capitalização simples (J) é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicarmos a taxa diária por 30 se desejarmos uma taxa anual, basta multiplicarmos a taxa anual, tendo a mensal, basta multiplicarmos esta por 12, e assim por diante.
O valor do juros é obtido da expressão:
J = P . i . n
Em que:
J = valor dos juros.
P = valor do capital inicial ou principal.
i = taxa de juros.
n = prazo.
Para o cálculo do montante (S) utilizaremos a fórmula:
S = P + J
Exemplos
01) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa simples cobrada é de 3% a.m.?
02) Uma aplicação de R$ 50000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8250,00. Indaga-se: Qual a taxa simples anual correspondente a essa aplicação?
03) Sabendo-se que os juros de R$ 6000,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 7500,00, à taxa de 8% a.t.. Determine o prazo anual dessa aplicação.
04) Qual o capital que, à taxa simples de 4% a.m., rende juros de R$ 9000,00 em um ano?
Problemas propostos
01) Determine quanto renderá de juros um capital de R$ 60000,00 aplicado à taxa simples de 24% a.a., durante sete meses.
02) Um capital de R$ 28000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 11200,00. Determine a taxa anual.
03) Qual o capital que, aplicado à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias?
04) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100000,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses?
05) Em quanto tempo um capital de R$ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% a.d., gera um montante de R$ 1000,00?
06) Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$ 125000,00, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 27% a.s.?
07) Um capital de R$ 50000,00 foi aplicado no dia 19/06/08 e resgatado em 20/01/09. Sabendo-se que a taxa de juros simples da aplicação foi de 56% a.a., calcule o valor dos juros, considerando-se o número de dias efetivo entre as duas datas.
08) Um empréstimo de R$ 40000,00 deverá ser quitado por R$ 73000,00 no final de 12 meses. Determine as taxas mensal e anual cobradas nessa operação.
09) Qual o montante de uma aplicação de R$ 550,00 a uma taxa de 12% ao trimestre, juros simples, se já se passou 1 ano e 4 meses?
10) Durante 155 dias certo capital gerou um montante de R$ 64200,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 4% a.m.. Determine o valor do capital aplicado.
Desconto Simples (ou Bancário ou Comercial)
	Desconto simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizada, principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou comercial. É obtido multiplicando-se o valor de resgate do titulo pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:
D = S . d . n
	E para se obter o valor presente, também chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue:
P = S - D
Em que:
D = desconto;
S = montante (ou valor nominal do título ou valor de resgate do título);
d = taxa de desconto;
n = prazo;
P = valor presente ou valor descontado ou principal ou valor atual.
Exemplos
01) Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 2000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% a.m.?
02) Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate e de R$ 1000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?
03) Uma duplicata no valor de R$ 6800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 6000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% a.m., determine o prazo de vencimento da duplicata.
Problemas propostos
01) Uma empresa descontou, em um banco, duplicatas no valor de $ 250.000,00, cujos vencimentos se darão daqui a 5 meses, a uma taxa de desconto de 180% ao ano. Qual o valor creditado pelo banco à empresa?
02) Calcule o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto de uma duplicata no valor R$ 34000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% a.m..
03) O desconto de uma duplicata gerou um crédito de R$ 70190,00 na conta de uma empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% a.m. nessa operação, calcule o valor da duplicata.
Cálculo do Valor do Desconto Simples para Séries de Títulos de Mesmo Valor
	A formula a seguir, somente é valida para o desconto de séries de títulos ou de prestações com valores iguais, de vencimentos sucessivos e de periodicidade final dos períodos unitários, a partir do primeiro vencimento.
D= S . N . d . 
Sendo que a expressão representa o prazo médio dos títulos descontados.
Em que:
D= valor do desconto total;
N = número de títulos (ou prestações);
S = montante (ou valor de cada título);
d = taxa de desconto;
t= prazo do título que vence primeiro;
t= o prazo do título que vence por último.
	E para calcularmos “o valor líquido total dos títulos” (P), utilizaremos a seguinte fórmula:
P= N . S - D
	OBS: Quando os vencimentos ocorrem no final dos períodos unitários, a partir do primeiro, a fórmula para determinar o desconto total de uma série de títulos pode ser escrita com segue:
D= S . N . d . 
em que t, que representa o prazo expresso em número de períodos unitários (mês, bimestre, ano, etc) referente ao título que vence por último, será sempre igual ao número de título N.
	 é importante lembrar que o período unitário da taxa deve estar sempre coerente com o período unitário do prazo, isto é, se na fórmula de cálculo os prazos forem representados em meses, trimestre ou anos, a taxa de desconto também deve ser representada em termos de taxa mensal, trimestral ou anual, respectivamente.
Exemplos
01) Calcule o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de R$ 1680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5%a.m..
02) Quatro duplicatas, no valor de R$ 32500,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150, e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3,45% a.m., calcule o valor do desconto.
03) Uma empresa apresenta 9 títulos de mesmo valor paraserem descontados em um banco. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,8% a.m., que os títulos vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do borderô (Relação de títulos de crédito entregues a um Banco para desconto ou cobrança), e que o valor líquido creditado a empresa foi de R$ 25000,00, calcule o valor de cada título.
04) Oito títulos, no valor de R$ 1000,00 cada um , são descontados por um banco, cujo líquido correspondente, no valor de R$ 6830,00, é creditado na conta do cliente. Sabendo-se que os vencimentos desses títulos são mensais e sucessivos a partir de 30 dias, calcule a taxa de desconto.
Problemas Propostos
01) Uma duplicata de R$ 70000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,7% a.m.. Calcule o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.
02) Calcule o valor do desconto de título de R$ 100000,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% a.m..
03) Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor de R$ 25000,00, com 150 dias a vencer, gerou um crédito de R$ 22075,06 na conta do cliente, determine a taxa mensal de desconto.
04) Sendo de R$ 3419,44 o valor do desconto,uma duplicata, descontada à taxa de 3,55% a.m., 120 dias antes do seu vencimento, calcule o valor creditado na conta do cliente.
05) Determine quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9800,00, que sofreu um desconto de R$ 548,50, à taxa de 32% a.a..
06) Considerando que um banco aplica uma taxa simples de desconto de 15% a.m. e libera R$ 18900,00 no desconto comercial de um título com vencimento para três meses, calcule o valor de resgate desse título.
07) Uma empresa apresenta a um banco, para desconto, 4 duplicatas no valor de R$ 32600,00 cada uma, com vencimento para 60, 120, 180 e 240 dias. Calcule o valor líquido creditado pelo banco na conta da empresa, sabendo-se que a taxa de desconto cobrada é de 2,4% a.m..
08) Determine o número de títulos com vencimentos sucessivos de 30 em 30 dias, descontados à taxa de 3,3 % a.m., sabendo-se que todos são do mesmo valor, igual a R$ 13000,00 cada um, e cujo desconto total é de R$ 12012,00.
09) Determine a que taxa deve ser descontados três títulos, no valor de R$ 6000,00 cada um, com vencimento para 30, 60 e 90 dias, para que se tenha um valor atual, global de R$ 16524,00.
Capitalização composta (Juros compostos)
	O regime de juros composto é o mais comum no dia-a-dia do sistema financeiro. Nesse regime os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Ou seja, o rendimento gerado pela aplicação é incorporado a ela, passando a participar da geração do rendimento no período seguinte; dizemos, então, que os juros são capitalizados. Chamamos de capitalização ao processo de incorporação dos juros ao principal.
	A simbologia e o conceito de montante são os mesmo já conhecidos, na Capitalização Simples, ou seja, S, o montante, P, o capital inicial, n, o prazo e i, a taxa.
	 A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é um pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples. 
Resolução
P = 1000,00
n = 3 meses
i = 4% a.m. = 0,04
S = ?
Sabendo que:
S = P + J e J = P.i.n
Portanto:
S = P + P . i . n
Sendo assim:
S= 1000,00
S= 1000,00 + 0,04 . 1000,00 = 1000,00.(1+0,04) = 1000,00.(1,04)
S= 1000,00.(1,04) + 0,04 . 1000,00.(1,04) = 1000,00.(1,04). (1,04) =
=1000,00 . (1,04)
S= 1000,00 . (1,04) + 0,04 . 1000,00 . (1,04) = 1000,00 . (1,04). (1,04) =
= 1000,00 . (1,04)
	O valor do montante no final do terceiro mês é dado pela expressão: S= 1000,00 . (1,04). Como (1,04)= 1,124864, o S= 1000,00 . 1,124864 = 1124,87. Substituindo cada número da expressão S= 1000,00 . (1,04) pelo seu símbolo correspondente, temos: S= P . (1 + i). Como não há possibilidade de confusão, para simplificar vamos fazer S= S. Assim, a fórmula final do montante é dada pela equação:
S = P . (1 + i)
em que a expressão (1 + i) é chamada fator de capitalização ou fator de acumulação de capital para pagamento simples ou único.
Exemplos
01) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 15000,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa composta de 3% a.m.
02) No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de R$ 200000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa composta de 4% a.m..Pergunta-se: Qual o valor emprestado?
Problemas Propostos
01) A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16000,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 22753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
02) Em que prazo um empréstimo de R$ 30000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 51310,18, sabendo-se que a taxa composta contratada é de 5% a.m.?
Equivalência de Taxas:
Existem alguns problemas que apresentam uma dificuldade: o período unitário do prazo (Ex: mês) não é compatível com o período unitário da taxa (Ex: ano). Quando isto ocorre, é necessário fazer a conversão da taxa ou do prazo. Para a conversão de taxas vamos utilizar o conceito de taxas equivalentes.
	Diz-se que a taxa mensal i é equivalente à taxa anual i quando: P (1 + ia) = P (1 + i ) , ou seja, duas ou mais taxas referenciadas a períodos unitários distintos são equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial. Da igualdade acima, deduz-se que: 
i = (1 + i ) - 1 (para determina a taxa anual conhecida a taxa mensal)
i = (1 + i) - 1 ( para determina a taxa mensal conhecida a taxa anual)
i = (1 + i ) - 1 ( para determinar a taxa anual conhecida a taxa diária)
Sendo assim: 
A taxa anual equivalente a 2% ao mês, é: 
i = (1 + i ) - 1 = (1,02 ) - 1 = 1,2682 - 1 = 0,2682 ou 26,82% a.a.
A taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano, é: 
i =(1+ i) - 1 = (1,60103) - 1 = 1,04 – 1 = 0,04 ou 4% a.m.
A taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia, é:
i = (1 + i ) - 1 = (1,0019442) - 1 = 2,0122 - 1 = 1,0122 ou 101,22% a.a.
	Como no dia-a-dia os períodos a que se referem as taxas que se tem e as taxas que se quer são os mais variados, vamos trabalhar com uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:
i= (1 + i) - 1
Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue:
i→ taxa para o prazo que eu quero;
i→ taxa para o prazo que eu tenho;
q → prazo que eu quero;
t → prazo que eu tenho.
Exemplos
Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre?
02) Qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano? 
03) Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
04) Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
05) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 10000,00 no seu vencimento, que ocorrerá dentre de três meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 40% a.a., determine o seu valor presente.
06) Uma pessoa aplica R$ 15000,00 num título de renda fixa com vencimento no final de 61 dias, a uma taxa de 72% a.a.. Calcule o seu valor de resgate.
07) Qual a taxa mensal de juros cobrada num empréstimo de R$ 64000,00 para ser quitado por R$ 79600,00 no prazo de 117 dias?
Problemas propostos
01) Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao semestre?
02) Uma taxa diária de 1%, equivalente a que taxa mensal?
03) Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia.
04) Qual a taxa semestral equivalente a 40% ao ano.
05) Determine o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 100000,00 à taxa composta de 3,75% a.a..
06) Uma pessoa empresta R$ 80000,00 hoje para receber R$ 507294,46 no final de dois anos. Calcule as taxas composta, mensal e anual, desse empréstimo.
07) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros compostos cobrada poruma instituição financeira é de 12,486%, determine qual o prazo em que um empréstimo de R$ 20000,00 será resgatado por R$ 36018,23.
08) Quanto devo aplicar hoje, à taxa composta de 51,107% a.a., para ter R$ 1000000,00 no final de 19 meses?
09) Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% a.s., calcule o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado.
10) Um investimento resultou um montante de R$ 43000,00 no prazo de três meses. Se a taxa de juros composta for de 10% a.m., calcule o valor do investimento.
11) Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ 100000,00 daqui a quatro anos, com o montante de uma aplicação financeira. Calcule o valor da aplicação necessária se a taxa de juros composto for de 13% a.t.
Descontos Compostos
O Conceito:
O desconto composto é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso financeiro antes de seu vencimento ou o valor que o banco recebe pela antecipação do resgate de um título, mas sob regime de juros compostos.
Na prática o que temos é o montante ou valor nominal do papel e o que queremos é o capital inicial, ou valor atual, o que pode ser obtido pela própria fórmula do cálculo do montante a juros compostos. A tal tipo de desconto denominamos desconto composto racional, sendo que o desconto composto bancário praticamente só existe na teoria, já que o que é utilizado em nosso País é o desconto bancário simples.
P = 
E assim como no desconto simples, podemos determinar o valor atual através da subtração do valor nominal pelo descontos adquirido. Ou seja:
P = S - P
Em que:
D = desconto;
S = montante (ou valor nominal do título ou valor de resgate do título);
d = taxa de desconto;
n = prazo;
P = valor presente ou valor descontado ou principal ou valor atual.
	Exemplos:
01) Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título cujo valor nominal é de R$1000,00. Sabendo-se que o banco credor utiliza uma taxa de desconto composto de 3% ao mês, ache o valor do desconto.
02) Um investidor, devedor de um título de R$ 1000,00, para 6 meses, deseja substituí-lo por outro com vencimento para 10 meses, sendo que a taxa de juro composto é de 4% ao mês. Achar o valor nominal do novo título.
03) Calcule o valor atual de um título, de valor nominal igual a R$ 9000,00, liquidado 2 meses antes do vencimento, sendo a taxa de desconto composto de 4% ao mês.
Problemas Propostos
01) Um título, de valor nominal igual a R$ 2000,00 , foi liquidado 6 meses antes do vencimento, por R$ 1332,68. Ache a taxa do desconto composto mensal utilizada nesta operação.
02) Uma pessoa, devedora de um título de R$ 8200,00 para 4 meses, deseja substituí-lo por outro com vencimento para 8 meses. Supondo uma taxa de desconto composto de 5% ao mês, calcule o valor nominal do novo título.
03) Um gerente de uma pequena empresa deveria pagar, hoje, a um banco, a importância de R$ 20 000,00. Não podendo efetuar o pagamento, propõe ao banco dois pagamentos iguais, dentro de 2 e 3 meses, respectivamente. Utilizando uma taxa de desconto composto de 7% ao mês, quais serão os valores nominais desses dois novos títulos?
Sistemas de Amortização
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma de uma parcela de amortização da dívida, com a parcela de juros. É importante destacar que: Os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!
Sistema de Amortização Francês (SAF ou Tabela Price):
A denominação Sistema de Amortização Francês origina-se do fato de esse sistema ter sido utilizado inicialmente na França, no século XIX. O sistema caracteriza-se por pagamento do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comercio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as prestações são pagas, eles são decrescentes e, consequentemente, as amortizações do principal são crescentes.
O Sistema ou Tabela Price tem esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou a teoria do juro composto às amortizações de empréstimos, no século XVIII.
O valor das prestações é de terminado com base na mesma fórmula utilizada para séries de pagamentos com termos vencidos (ou postecipados), isto é:
R = P . 
	 A parcela de juros é obtida multiplicando-se a taxa de juros (mensal, trimestral, semestral ou anual) pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior (mês, trimestre, semestre ou ano), ou seja:
J = P . i
	A parcela de amortização é determinada pela diferença entre o valor da prestação e o valor da parcela de juros, sendo assim:
A = R – J
	O saldo devedor será obtido através diferença entre o saldo devedor referente a prestação anterior pela amortização da prestação atual, por tanto:
P = P - A
Exemplos
01) Um empréstimo de R$ 200000,00 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais postecipadas. A juros compostos de 10% a.m., construa uma planilha de amortização.
02) Calcule os valores das parcelas de juros e amortização referentes à primeira prestação, de um empréstimo de R$ 8530,20, à taxa composta de 3% a.m., para ser liquidado em 10 prestações iguais.
03) Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 200000,00 que foi concedido para ser pago em 20 prestações trimestrais. Sabendo-se que a taxa de juros composto é de 7% a.t., calcule:
a) o saldo devedor após o pagamento da 5ª prestação;
b) o valor total das amortizações feitas até a época do pagamento acima.
04) No exemplo 01, considerando agora um período de carência de três meses em que os juros são capitalizados e incorporados ao principal, construa uma planilha de amortização considerando prestações antecipadas.
Problemas propostos
01) Sabendo-se que uma instituição financeira cobra uma taxa composta de 3% a.m. para liberação de um empréstimo consignado no valor de R$ 2000,00, para ser quitado em 6 prestações mensais. Construa uma Tabela Price referente a esse empréstimo.
02) Um empréstimo de R$ 400000,00 será pago em três prestações anuais iguais e consecutivas. Considerando uma taxa de juros composto de 40% a.a.. com capitalização anual, construa uma tabela de Amortização Francês. Determine:
a) o valor da 1ª prestação;
b) a parcela de amortização da segunda prestação;
c) o total dos juros pagos nos três meses.
03) Uma indústria firmou um contrato de financiamento com um Banco com as seguintes características: valor do empréstimo de R$ 1000000,00; reembolso pela Tabela Price em cinco prestações trimestrais antecipadas com carência de três trimestres; juros compostos de 28% a.a., capitalizados trimestralmente; e juros capitalizados e incorporados ao principal durante o período de carência. Construa uma Tabela Price e determine:
a) o saldo devedor após o pagamento da 4ª prestação;
b) o total de juros pago entre a terceira e sexta prestação;
c) a parcela de amortização embutida na quinta prestação.
04) Uma sociedade de credito imobiliário financia um apartamento no valor de R$ 40000,00 para ser quitado em 60 parcelas mensais, a uma taxa de 1,25% a.m.. Calcule o valor das prestações, dos juros e do total amortizado no primeiro, segundo e terceiro mês, separadamente.
05) Uma pessoa comprou um carro semi-novo, comprometendo-se a pagar 24 prestações mensais de R$ 1170,60 cada. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financiadora é de 1,67% a.m.. Determine o valor de compra deste carro.
06) Referente ao empréstimo citado na questão anterior, calcule:
a) a parcela de amortização da 2ª prestação;
b) o saldo devedor após o pagamento 4ª prestação;
c) o saldo devedor anterior ao pagamento da segunda prestação;
d) os juros referente a 3ª prestação;
e)o total de juros pagos da 1ª a quarta prestação.
Sistema de Amortização Constante (SAC):
Este sistema é extremamente simples. Sua denominação deriva da sua principal característica, ou seja, as amortizações periódicas são todas iguais ou constantes (no Sistema Francês, as amortizações crescem exponencialmente à medida que o prazo aumenta). O SAC consiste em um plano de amortização de uma divida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética, dentro do conceito de termos vencidos, em que o valor de cada prestação é composto por uma parcela de juros e outra parcela de capital (ou amortização).
A parcela de capital (Amortização) é obtida dividindo-se o valor do empréstimo (ou financiamento) pelo número de prestações, matematicamente:
A = 
O valor da parcela de juros é de terminado multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior, ou seja:
J = P . i
A prestação é obtida com a soma da amortização com a parcela de juros do mesmo período, sendo assim:
R = A + J
O saldo devedor será obtido através diferença entre o saldo devedor referente a prestação anterior pela amortização da prestação atual, por tanto:
P = P - A
	Esse tipo de sistema às vezes é usado pelos bancos comerciais em seus financiamento imobiliários e também, em certos casos, em empréstimos a empresas privadas, por meio de entidades governamentais.
Exemplos 
01) Elabore um plano de pagamentos, com base do Sistema de Amortização Constante, correspondente a um empréstimo de R$ 100000,00, à taxa de 3% a.m., a ser liquidado em 5 prestações mensais.
02) Uma empresa adquire um empréstimo no valor de R$ 200000,00, o qual vai ser reembolsado para o banco em quatro parcelas mensais pelo Sistema de Amortização Constante e com uma taxa de juros efetiva de 10% a.m.. Elabore a planilha de amortização deste financiamento.
03) Um empréstimo de 90000,00, contratado a juros de 7% a.m., será pago em três prestações mensais antecipadas com carência de três meses. Durante a carência, os juros são capitalizados e incorporados ao principal. Construa uma planilha de amortização pelo Sistema SAC e determine:
a) o total de juros incorporados nos dois primeiros meses;
b) o saldo devedor após o pagamento da 1ª prestação;
c) o valor da segunda prestação.
Problemas propostos 
01) Uma empresa contrai um financiamento para ampliar a sua produção no valor de R$ 80000,00, o qual vai ser quitado para o banco em 5 parcelas anuais pelo Sistema de Amortização Constante e com uma taxa de juros efetiva de 9% a.a.. Construa a planilha de amortização deste financiamento.
02) Uma indústria deseja obter um empréstimo no valor de R$ 350000,00 para ser pago em prestações anuais durante 4 anos, de acordo com o Sistema Francês de Amortização. Sabendo-se que a taxa de juros é de 6% a.a.. Determine:
a) uma tabela Price;
b) o valor da ultima prestação;
c) o valor da parcela de amortização referente à 2ª prestação;
d) o total dos juros a serem pagos;
e) o saldo devedor após o pagamento da quarta prestação.
03) Sabendo-se que a taxa de juros composto cobrado por um banco é de 1,2% a.m., para liberar um empréstimo imobiliário no valor de R$ 450000,00 e que o mesmo utiliza o Sistema de Amortização Constante, para dividir este empréstimo 96 prestações mensais. Determine:
a) o valor pago até a 3ª prestação;
b) o juro embutido na 2ª prestação;
c) o saldo devedor antes do pagamento da 3ª prestação.
04) Um terreno está sendo oferecido por R$ 12000,00, para ser quitado em 24 parcelas mensais, sabendo que a financeira cobra uma taxa de juros igual a 2% a.m. e que a mesma utiliza o Sistema de Amortização Constante.
a) Qual o valor a ser amortizado mensalmente;
b) Determine o valor da 2ª prestação;
c) Calcule as parcelas de juros pago na primeira e 3ª prestação;
d) Encontre o saldo devedor após o pagamento da 1ª prestação.
05) Uma casa no valor R$ 35000,00, está sendo financiada, para um funcionário público, em 168 parcelas mensais a uma taxa de juros igual a 0,8% a.m.. Sabendo que a financiadora utiliza o Sistema de Amortização Constante.
a) Determine o valor da 2ª prestação;
b) Calcule as parcelas de juros pago na primeira e terceira prestação;
c) Encontre o saldo devedor no quarto mês.
Sistema de Amortização Mista (SAM):
Cada prestação (pagamento médio) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC).
	Problemas Propostos
01) Uma empresa vende um apartamento cujo preço à vista é de R$ 100000,00, financiado em 5 prestações mensais , à taxa de juros compostos de 10% ao mês, pelo Sistema Amortização Mista (SAM). Construa uma planilha de amortização com as seis prestações desta venda.
02) Um empréstimo de R$ 2000,00 será saldado em 4 amortizações mensais iguais, Sistema de Amortização Mista, tendo sido contratada a taxa de juros compostos de 15% ao mês. Demonstre, em planilha, os dados deste empréstimo.
Referencias Bibliográficas
ASSAF, Neto, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 7ª edição. Editora
Atlas, São Paulo, 2002
MATHIAS, Washington Franco & GOMES, José Maria. Matemática Financeira. 3ª edição.
Editora Atlas, São Paulo, 2002
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com Utilização do Excel. 2ª edição. Editora
Atlas, São Paulo, 2002
GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. 3. ed. Santa Catarina: UFSC, 2006.
FARO, Clovis de. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1993, 387 p.
SPINELLI, Walter; QUEIROZ, Maria Helena de Souza. Matemática Comercial e Financeira. São Paulo: Ática.
VERAS, Lília Ladeira. Matemática financeira: Uso de calculadoras financeiras, aplicações no mercado financeiro, introdução à engenharia econômica, 300 exercícios resolvidos e propostos com respostas. São Paulo: Atlas, 2005. 268 p. 
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