Equações Diferenciais Ordinárias - Exercícios

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Primeira Lista de Exercı´cios - Introduc¸a˜o a` EDO
Prof. Dr. Ederson Braga
Email: eder mate@hotmail.com
Data de Entrega: 12/04/2016.
Problema 1 - (15pts) - Determine a soluc¸a˜o geral das seguintes EDO’s.
(a)
dx
dt
+ xcost =
1
2
sen(2t);
(b) e−x + x+ (y + ey)
dy
dx
= 0;
(c) βz2z′ − αz3 − y − 1 = 0, α, β ∈ R \ {0};
(d) 2(3xy2 + 2x3) + 3(2x2y + y2)
dy
dx
= 0;
(e) t2 + 3tx+ x2 − t2dx
dt
= 0;
(f) s− tds
dt
=
√
1 +
(
ds
dt
)2
;
(g)
dy
dx
− 6y = 10sen(2x);
(h)
dz
dy
− zcotg(y) = ey(1− cotg(y));
(i) x′ =
tx
t2 − x2 ;
(j)
ds
dt
+
s
t
= cost+
sent
t
;
(k) cos2y · senx+ seny · cosxdy
dx
= 0;
(l) t+ 2x+ 1− (2t+ 4x+ 3)x′ = 0;
(m)
ds
dt
· cost+ s · sent = 1;
(n)
dx
dt
− γx
t
=
t+ 1
t
, γ ∈ R \ {0, 1};
(o)
dy
dx
+ 2xy = 2xe−x
2
.
1
Problema 2 - (3pts) - Encontre uma famı´lia de soluc¸o˜es para as EDO’s abaixo a partir de uma
soluc¸a˜o particular dada.
(a) x′ + x2 = 1 + t2, φ(t) = t;
(b)
dy
dx
= cotg(x)y2cossec(x)− y + senx, φ(x) = senx;
Problema 3 - (3pts) - Encontre x0 ∈ R para o qual a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
dx
dt
− x = 1 + 3sent
x(0) = x0
permanece finita quando t→∞.
Problema 4 - (3pts) - Resolva a EDO
dy
dx
=
ay + b
cy + d
onde a, b, c, d ∈ R.
Problema 5 - (3pts) - A Lei de resfriamento/aquecimento de um corpo devida a Isaac Newton
e´ regida pela seguinte EDO
dT
dt
= α · (T − T0),
onde T (t) e´ a temperatura do corpo que varia em func¸a˜o do tempo t, T0 e´ a temperatura que
cerca o corpo, α e´ uma constante de proporcionalidadee dT
dt
e´ a taxa de variac¸a˜o de temperatura
do corpo em um dado intervalo de tempo t. Diante disto considere o seguinte problema:
Um bolo sai do forno a uma temperatura de 156◦C. Em cerca de treˆs minutos o bolo esfria
53◦C. Se a temperatura do ambiente e´ 25◦C, quanto tempo (em minutos) demorara´ aproxi-
madamente para que o bolo esteja a uma temperatura inferior a um grau da temperatura do
ambiente? (Use para ln(0, 6) = −0, 51 e conclua usando calculadora cientı´fica).
Problema 6 - (3 pts) - A EDO que determina a corrente ele´trica i(t) em um circuito ele´trico em
se´rie contendo apenas um resistor e´ dada por
L
di
dt
+Ri = E(t),
ondeL,R eE sa˜o respectivamente a indutaˆncia, a resisteˆncia e a voltagem no circuito. Estabelec¸a
a corrente i(t) se em um circuito deste tipo uma forc¸a eletromotriz de 30 V e´ aplicada uma vez
que a indutaˆncia e´ 0, 1H e a resisteˆncia e´ de 50 ohms. Assuma i(0) = 0.
2
Problema 7 - (3pts) - Considere a seguinte EDO
x = t
dx
dt
− 1
4
(
dx
dt
)2
.
Mostre que a reta
r(t) = Ct− 1
4
C2
e´ tangente a para´bola x(t) = t2 no ponto P =
(
C
2
,
C2
4
)
. Explique porque isto implica que
x(t) = t2 e´ soluc¸a˜o singular da EDO dada.
Problema 8 - (3pts) - Determine uma func¸a˜o x : I → R cujo gra´fico passa pelo ponto P0 =
(1, 1) e tal que sua reta tangente em um ponto gene´rico P = (t, x) tenha coeficiente angular
dado por
t2 + 2x
x− 2t .
Problema 9 - (4pts) - Uma EDO da forma
(0.1) x = tf
(
dx
dt
)
+ g
(
dx
dt
)
e´ chamada uma equac¸a˜o de Lagrange.
(a) Mostre que se considerarmos p =
dx
dt
e derivarmos (0.1) em t, e ainda, p = m for raiz de
H(p) = p− f(p), enta˜o
x(t) = tf(m) + g(m)
e´ soluc¸a˜o de (0.1).
(b) Se pensarmos em t = t(p) enta˜o (0.1) tem soluc¸a˜o na forma parame´trica (t(p), x(p)) deter-
minadas a partir do sistema
(
f(p)− p) dt
dp
+ f ′(p)t+ g′(p) = 0
x(p)− tf(p)− g(p) = 0.
3