Calculo I - Lista 3 - 2013 - Derivadas

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1 
 
 
3ª Lista de Exercícios – 2013 
 
Lembre que a derivada de uma função y = f(x) em um ponto xo, é a taxa de variação 
instantânea em xo , ou seja, 
o
o
oxx
oo
0x
o
xx
)x(f)x(f
lim
x
)x(f)xx(f
lim)x´(f







. 
 
1. Para cada uma das funções a seguir calcule f ´(a), usando a definição, caso exista. 
a) f(x) = senx; a = 0 b) y = x2 – 3x; a = 2 c) f(x) = 
3 x
; a = 0 d) y = 
1
3
x
; a = 2 
 
2. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir, usando definição: 
 a) f(x) = 2x2 – 3x +1 b) f(t) = 
1t 
 c) y = 2 d) y = 
x
1
 
 
Interpretação geométrica da derivada de uma função f no ponto xo : f´(xo) 
representa o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P0 = (xo ,f(xo)) 
 
3. Considere a função f(x) = x2 – 2x. 
a) Mostre, usando a definição, que f´(x) = 2x – 2 
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto em que xo = 2 
c) Determine o ponto desta curva onde a reta tangente é horizontal. 
d) Para que pontos desta curva a reta tangente forma um ângulo agudo? 
 
4. Use os resultados obtidos na questão 2 para determinar a equação das retas tangente ao 
gráfico da função f , em cada caso a seguir: 
 a) f(t) = 
1t 
 no ponto onde a reta tangente é paralela à reta r: y = (1/2) x + 1 
 b) f(x) = 1/x no ponto do 3º quadrante onde a reta tangente é perpendicular à 1ª 
bissetriz. 
 
Observação: A reta normal a uma curva num ponto Po é a reta que passa por Po e é 
perpendicular à reta tangente neste ponto. 
 
Interpretação física da derivada de uma função f no ponto x0: Suponha que um ponto 
P percorra uma reta de modo que a sua posição num instante t seja dada por s(t). A 
velocidade média do ponto P no intervalo de tempo de to a to + t é dada por 
t
)t(s)tt(s
v oom



 . A velocidade instantânea do ponto P no instante to é dada por v(to) 
= 
o
o
tt tt
)t(s)t(s
lim
o 


= 
t
)t(s)tt(s
lim oo
0t 


. 
 
 
UNIFACS - Cursos��6LVWHPD de Informação e Ciência da Computação 
Disciplina: Cálculo l
Ano: 2013
 2 
5. Uma bola é atirada no ar com uma velocidade de 
sm /40
e sua altura em metros após 
t
segundos é dada por: 
2t16t40y 
. 
a) Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quando 
2t
 e dura: 
 (i) 
s1,0
 (ii) 
s01,0
 
b) Encontre a velocidade instantânea quando 
2t
. 
 
 
6. O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado 
pela equação do movimento 
2t6t4)t(s 3 
, onde 
t
 é medido em segundos. Encontre a 
velocidade da partícula nos instantes 
2t,1t,at 
. 
 
 
7. Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das 
seguintes funções: 
a) f(x) =








3x5
3x5
 
3
2
 
b) f(x) =
   x2x513x 1x 32 
 
c) y = 
x
2x
1x
2



 + ln5 d) y = x
5 +
xsen
3
 – 
3
tgx
 
e) y = 
3xcos3
x
5
2

 f) y = 4 x – 
6
4
x
2
x
2
1
1xsec
2


 
g)








 x3
5
sen.xy
 
h) f(x) = sen x  cos x + x  cosec x 
i) 
5tg)xcos(xseny 55 
 j) 
   lnx3xy 52
 
k) 32
1x
x3x
y 








 l) 
2
2
)2x(
x3x
y



 
m) 








 x
5
cosy 2
 n) 2
x
5
cosy 








 
 
8. Determine a expressão da derivada indicada, e o seu valor no ponto dado: 
a)
 







ox
2
dx
dy
 e 
dx
dy
 ,xu ),u(senuy
 b) 
)1(' )uf( , 
1x
1x+
=(x)u , u)u(f
2
3 2 


 
c) 
)x(f ' , x1 )x(f 
 no ponto 
4xo 
 
 
 
9. Determine 
2x4x4)1x2(f)x25(f sendo ),3(f 22 
. 
 
10. Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: 
a) 
xcos
3
2
e
5y
tgx
xsec 
 
b) y = 2 ln x – (log x) / 2 + 
xlog ln5 5
 
c) y = 
)3x(log
3
2 x3
5
xarccos

 
 
d) 
x3x3 3.2y 
 
e) 
xxcos xeey 
 f)
5e.5x.5y x5x 
 
 3 
g) 
33x 3x3y 
 
h) 
4x3x2e2y 
 
 
i) 
 
3
2
3
x
5
x3xlogy 
 j) 
  x4x35y 2x4
2x3
 
k) 
arctgx.x.3y 3x
 l) 
)1xcos( arc( ln)x(f 3 
 
m) 
)x(gcotarcy 
 n) 
)]xcotg( arc[log)x(f 3
 
o) 
)x2(arcsen1)x(f 3
 
p) 
)2x(arctg3x)x(f 
 
 
11. (Derivadas de ordem superior) Encontre a expressão das derivadas indicadas 
a) 
3
2
y
x3

; 
y 
; b) 
xxey 
; 
y 
; 
c) 
)x()fou( 
 e 
)1()fou( 
, onde f(u) = u2 e u(x) = x3 – 4 
 
12. (Derivada na forma implícita) Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas 
indicadas abaixo: 
a) 
)3P(1, ponto no 
dx
dy
 , 4yx 22 
 e 
dy
dx
 
b) 
1x5x4y3y 24 
 ; 
dx
dy
 no ponto P (–1,0) 
c) 
2
π
 ordenada de ponto no ,
dx
dy
 , 0sen(y) 
4
1
 xy 
 
d) 
1 ordenada de ponto no , y , exyey 
 
13. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de 
 ,x1xy 3 
no ponto de 
abscissa x0 = 1. 
 
Respostas: 
1. a) 1; b) 1 ; c) não existe; d) –3 2. a) 4x – 3 b) 
1t2
1

 c) 0 d) 
2x
1
 
3. b) y = 2x – 4 c) P = (1, –1) d) P = (a, a2 – 2a) , onde a >1 
4. a) t: y = (1/2)x+1 ; (b) t: y = –x – 2 ; 
5. a) i) -25,6 m/s; ii) -24,16 m/s ; b) –24m/s 
6. v(a) = (12a2 + 6)m/s; v(1) = 18m/s; v(2) = 54m/s 
7. a) y´= 
  23x5
20


 
b) 
y´= (x2 – 1) (3x – 1) (15x2+2) + 3(x2 – 1) (5x3 +2x) + 2x(3x 
– 1) (5x3+2x) 
 
c) y´= 
x2
1
2)(x
22xx
22
2



 
d) y´= 5 4x – 3cossecx.cotgx – (sec
2x)/3 
 4 
e) y’=
3x10senx3 
 
f) y’ =
7
3
24 3 x
12
x2
)1x(sec
tgx.xsec2
x4
1



 
g)
















 x3
5
cosx3x3
5
seny
 
h) y´= cos2x – sen2x + cosec x – x cosec x cotg x 
 
i) 
)(cos. 544 xsenx5xxsen5y 
 
 
j) 
   3x2x3x5y 42 
 
k) 

















2
2
2
2
)1x(
3x2x
1x
x3x
3y
 
l) 
3)2x(
6x
y



 
m) 
















 x
5
sen.x
5
cos2y
 n) 
















 x
5
.x
5
sen2y
2 
 
8. a) 
)]xcos(x)x(sen[x2
dx
dy 222 
 ; 
 






ox
dx
dy
=
 2
; 
b)











22
2
3
2
)1x(
xx21
.
1x
1x
3
2
)x()uf( 
; 
3
1
)1()uf( 
; c) 
xxx4
1
)x(f


; 
24
3
)4(f 
 
9. 2 
10. a) 
 
2
xsec.e
35ln.5tgx.xsecy
2tgx
xsec 
 
b) y’=
x
1
ln102x
1
x
2



 
 
c)  
  5ln3x3ln3x3
x13
2ln2
y
x3
x2
2
xcosar





 d) 
1x3
x3x3
3
3ln22ln.2
y



 
e) 
xxxcos xeee.senxy 
 f) 
xx4x5 e55x55ln5xy 
 
g) 
2x x33ln3y 
 h) 
  4x3x
2
e3x22y 
 
i) 
42 x
15
3ln)x3x(
3x2
y 



 j) 4x65ln.5).4x6(y x4x3 2   
k) 
2
3x
23x
x1
x.3
arctgx)x3x.3(ln3y


 l) 
)1xarccos(.)1x(1
x3
)x(f
323
2


 
m) 
)x1(x2
1
y



 n) 
)x(arccotg).x1.(x).3ln(.2
1
)x(f


 
o) 
6
2
x41
x6
)x(f


 p) 
4
)xarctan(
x1
3).3ln(.x2
1)x(f
2


 
 
11. a) 
x32 2.)2(ln3y 
 b) 
)x3(ey x 
; c) 
)8x5(x6)x()fou( 3 
; 
18)1()fou( 
 
12. a) 
y
x
y 
; 
3
3
yp 
 ; 
x
y
x 
; 
3x q 
 b) 
3y4
5x8
dx
dy
3 


; 
1yp 
 
c) 
ycos4
4
y


 ; 
1yp 
 13. Tangente 
)1(89  xy
. 
 d) 
xe
y
y
y 

 ; 
e
1
yp 