Lista2009_01b

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2a. Lista de Exerc´ıcios de Vetores e Geometria Anal´ıtica
Prof. Benito Pires, Ramal , Sala 610, email: benito@ffclrp.usp.br
16 de Junho de 2009
1. Equac¸o˜es da reta
1.1 Encontrar a equac¸a˜o vetorial da reta r que
passa pelos pontos (2,−3, 4) e (1,−1, 2). Verificar
se os pontos (5/2,−4, 5) e (1,−3, 4) pertencem a r.
1.2 Escrever a equac¸a˜o parame´trica da reta que
passa pelo ponto (1,2,3) e e´ paralela a` reta descrita
pela equac¸a˜o (x, y, z) = (1, 4, 3) + t(0, 0, 1), t ∈ R.
1.3 Determinar m ∈ R e n ∈ R de tal forma que
o ponto (m, 1, n) pertenc¸a a` reta que passa por
(3,−1, 4) e (4,−3,−1).
1.4 Dado o triaˆngulo de ve´rtices A=(-1,4,-2),
B=(3,-3,6) e C=(4,-3,-1), encontrar a equac¸a˜o
parame´trica da reta que passao pelo ponto me´dio
do lado AB e pelo ve´rtice oposto C.
1.5 Encontrar as equac¸o˜es vetorial, parame´trica,
sime´trica e reduzida da reta que passa pelos pontos
A = (1, 2, 3) e B = (−2, 3, 0). Obter os pontos da
reta que distam 2
√
19 do ponto A.
1.6 A mediatriz de dois pontos A e B e´ definida
como sendo o conjunto de pontos que sa˜o equidis-
tantes (isto e´, esta˜o a` mesma distaˆncia) de A e B.
Mostrar que a mediatriz dos pontos A e B e´ a reta
que passa pelo ponto me´dio de A e B e e´ ortogonal
ao segmento AB.
1.7 Sejam A=(1,1,1), B=(0,0,1) e r : X = (1, 00)+
λ(1, 1, 1). Determinar os pontos de r equidistantes
de A e B.
1.8 Sejam A, B e C ve´rtices de um triaˆngulo. Defi-
nimos a mediana do ve´rtice C como sendo a reta
que passa por C e pelo ponto me´dio de A e B. A
altura do ve´rtice C e´ definida como sendo a reta
perpendicular ao segmento AB que passa por C.
Mostrar que um triaˆngulo e´ iso´sceles se e somente
se a altura e a mediana de algum ve´rtice sa˜o retas
coincidentes.
1.9 Calcular o cosseno do aˆngulo formado pelas re-
tas r : x = y−12 =
z+4
1 e s : (2, 2, 0) + t(0, 0, 1),
t ∈ R.
1.10 Mostrar que as equac¸o˜es abaixo descrevem
uma reta e encontrar um vetor diretor da reta.
2x− 1 = 3− 3y
2
= z + 1
2. Equac¸o˜es do plano
2.1 Escrever a equac¸a˜o vetorial do plano que passa
pelos pontos (1,1,0), (3,2,1) e (5,-1,3).
¤ Resp. X = (1, 1, 0) + λ(2, 1, 1) + µ(4,−2, 3)
2.2 Dar a equac¸a˜o geral do plano que passa pelos
pontos (1,1,1), (3,2,5) e (2,3,-1).
2.3 Encontrar uma equac¸a˜o parame´trica do plano
2x+ 3y + z − 2 = 0.
2.4 Qual a condic¸a˜o para que a equac¸a˜o ax+ by +
cz + d = 0 represente um plano que passa pela
origem (0, 0, 0) ?
2.5 Dar a equac¸a˜o geral do plano pi que conte´m as
retas r : x−23 =
y−1
2 =
z
5 e s :
x−2
5 = y − 1 = z.
1
2.6 Determinar o ponto de intersec¸a˜o da reta r :
X = (2,−1, 2) + t(4, 1, 2) com o plano pi : 2x+ y+
z − 4.
¤ Resp. (18/11,-12/11,20/11).
3. Posic¸o˜es relativas
3.1 Dados o ponto P = (1, 1, 1) e a reta r : X =
(1, 0, 1) + t(1, 1, 1), encontrar:
(a) O plano pi ortogonal a r passando por P ;
(b) pi ∩ r;
(c) A reta ortogonal a r que passa por P .
3.2 Encontrar a equac¸a˜o vetorial da reta r
dada pela intersec¸a˜o dos planos x + y = 0 e
x+ y + z − 4 = 0.
3.3 Dar a posic¸a˜o relativa entre a reta r : X =
(0, 0, 1) + t(1, 1, 1) e o plano pi : Y = (1, 0, 1) +
λ(1, 1, 1) + µ(1, 1, 0).
4. Distaˆncias e aˆngulos
4.1 Calcular a distaˆncia da origem a` reta y = 1−2x.
¤ Resp. 1/
√
5.
4.2 Determinar a distaˆncia da origem ao planoX =
(3,−1, 2) + λ(1, 2,−1) + µ(−1, 1, 3).
¤ Resp. 29/
√
62.
4.3 Calcular a distaˆncia entre os planos x+ y+ z−
2 = 0 e 2x+ 2y + 2z − 5 = 0.
¤ Resp. 1
2
√
3
.
4.4 Determinar a projec¸a˜o ortogonal do ponto P =
(1, 1, 1) sobre o plano x+ y + z − 2 = 0.
4.5 Calcular o seno do aˆngulo de uma reta com um
plano nos seguintes casos:
(a) X = (0, 4,−2) + t(2, 1, 2) e 3x− y + z − 2 = 0
(b) x−32 =
y+1
3 =
z−1
4 e X = (1, 0, 0) + t(1, 2, 3) +
µ(0,−1, 1)
¤ Resp. (a) sen (θ) = 7
3
√
11
, (b) sen (θ) = 3√
27
√
29
5. Problemas diversos
5.1 Achar a equac¸a˜o vetorial do plano que conte´m
a reta x = t, y = −t, z = t + 2, e e´ ortogonal ao
plano x− 2y + z − 1 = 0.
¤ Resp. X = (0, 0, 2) + t(1,−1, 1) + s(1,−2, 1).
5.2 Achar a equac¸a˜o vetorial do plano que passa
pelo ponto P = (2, 1, 3), e´ paralelo a´ reta X =
(1, 2,−3) + t(−2, 1, 2) e e´ perpendicular ao plano
x− y + 2z − 4 = 0.
¤ Resp. X = (2, 1, 3) + t(−2, 1, 2) + s(1,−1, 2).
5.3 Achar as equac¸o˜es da reta que passa pelo ponto
A = (2, 1,−1) e e´ perpendicular a´ reta r : X =
(2, 0, 0) + t(3, 1,−1).
¤ Resp. X = (2, 1,−1) + t(−2, 3,−2).
5.4 Determinar as equac¸o˜es parame´tricas da reta
que passa pelo ponto A = (1,−2,−1) e inter-
cepta as retas reversas r : (x, y, z) = (−1,−3, 0) +
t(1, 2, 1) e s : (x, y, z) = (−2, 1, 0) + µ(1,−1, 0).
¤ Resp. x = t+ 1, y = −t− 2, z = −1.
5.5 Determinar a equac¸a˜o do plano pi que passa
pelo ponto A = (−5, 2, 7) e intercepta os eixos Ox,
Oy, Oz nos pontos B,C e D respectivamente, de
modo que ‖−−→OB‖ = ‖−−→OC‖ = ‖−−→OD‖, onde O denota
a origem (0, 0).
¤ Resp. x+ y + z − 4 = 0.
5.6 Determinar a equac¸a˜o vetorial da reta b perpen-
dicular comum a`s duas retas reversas r : (x, y, z) =
(1,−1, 2) + t(1, 2,−3) e s : (x, y, z) = (2,−1, 3) +
µ(−1, 4, 1).
¤ Resp. X = ( 7261 ,
−83
61 ,
155
61 ) + t(14, 1, 6).
5.7 Determinar as equac¸o˜es da reta b perpendicular
comum a`s retas reversas x − 1 = y−12 = z−1 e x2 =
y = z−2 .
¤ Resp. (0, 0, 0) + t(1, 0, 1).
5.8 Dados os planos pi1 : x − y + z + 1 = 0 e pi2 :
x+ y − z − 1 = 0, pede-se a equac¸a˜o do plano que
2
conte´m a intersec¸a˜o de α e β e e´ perpendicular ao
plano pi3 : x+ y + z = 0.
¤ Resp. X = (0, 1, 0) + t(−1, 1, 1) + µ(1, 1, 1).
5.9 Decompor o vetor ~v = (2,−1, 3) como soma
de dois vetores ~v1 e ~v2 tais que ~v1 seja paralelo ao
plano:
pi : 2x− y + z − 3 = 0
e ~v2 seja ortogonal a pi.
¤ Resp. ~v1 = 13 (−2, 1, 5) e ~v2 = 43 (2,−1, 1).
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