7aListaIBM_2010

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Lista de Ca´lculo Diferencial e Integral I
IBM/ 2010
Exerc´ıcio 1. Encontre y′ e y′′ para:
a) y = ln(x) b) y = log10(x) c) y = ln(1 + e
2x) d) y = e3x+1ln(x2 − 2).
Exerc´ıcio 2. Use diferenciac¸a˜o logar´ıtmica para encontrar a derivada de :
a)f(x) = (2x+ 1)5(x4 − 3)6 b)f(x) = 4
√
x2 + 1
x2 − 1 c)f(x) = x
sen(x)
d)f(x) = (ln x)x e)f(x) = xe
sen(2x)
f)f(x) =
√
xex
2
(x2 + 1)10
Exerc´ıcio 3.Deˆ uma fo´rmula para f (n)(x) se f(x) = ln(x− 1).
Exerc´ıcio 4. Sejam as func¸o˜es f e g deriva´veis em R tais que f(g(x)) = x, para
todo x ∈ R. Sabendo que f ′(1) = 2 e g(0) = 1, calcule g′(0).
Exerc´ıcio 5.Encontre em cada um dos itens abaixo
dy
dx
, onde y = y(x) e´ dada
implicitamente pelas equac¸o˜es:
a)cos2(x+ y) = 1/4 b)y3 =
x− y
x+ y
c)(y2 − 9)4 = (4x2 + 3x− 1)2
d)x3 + x2y − 2xy2 + y3 − 1 = 0 e)sen(xy) + y − x2 = 0 f)xy + 16 = 0
Exerc´ıcio 6. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva dada, no ponto
indicado:
a) y2 = x3(2−x), ponto (1,1) b) 2(x2+y2)2 = 25(x2−y2), ponto (3,1).
Exerc´ıcio 7. Calcule a derivada segunda das func¸o˜es abaixo:
a) y =
x
1− x , b) y = x
2 − 1
x2
.
Exerc´ıcio 8. Sejam f(x) = ex + ln(x) e h(x) = f−1(x). Ache h′(e).
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