Resumo Equações Diferenciais Área 1

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PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – ÁREA 1 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
Problema de valor inicial 
 
Teorema Considere o problema de valor inicial (PVI) 
 {
 y´ = 𝑓(x, y)
y(x0) = y0
 
 
Então existe um intervalo aberto  que contém x0 e uma 
única função y definida em  que é solução do PVI. (Desde 
que f tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas). 
 
Fator integrante 
Se F(x, y) = C, pela regra da cadeia, 
d 
dx
𝐹(x, y) = 0 
Fx + Fy
d y
dx
= 0 
 
Fxdx + Fydy = 0 
 
Fazendo as contas de trás para frente, concluímos que a 
solução da equação (exata) 
 Fxdx + Fydy = 0 
 
é F(x, y) = C. Todavia, em geral, uma expressão 
M(x, y)dx + 𝑁(x, y)dy = 0 
 
não é exata. O que se faz é procurar um fator integrante  
que a torne assim. 
M(x, y)dx + 𝑁(x, y)dy = 0 
 
Para descobrir , fazemos 
 (M)y = (N)x 
 
Equação linear de 1ª ordem 
A EDO 
 y´ + 𝑓(x)y = 𝑔(x) 
 
admite o fator integrante  = e∫ 𝑓(x)dx. 
 
 Multiplicando a EDO por seu fator integrante, 
e∫ 𝑓(x)dxy´ = 𝑓(x)e∫ 𝑓(x)dxy = e∫ 𝑓(x)dx𝑔(x) 
 
(e∫ 𝑓(x)dxy)´ = e∫ 𝑓(x)dx𝑔(x) 
 
basta integrar para encontrar a solução. 
 
 
 
 
Equação de Bernoulli 
A EDO 
y´ + 𝑓(x)y = 𝑔(x)yn 
 
com n  ℝ – {0, 1} é transformada em uma EDO linear de 
1ª ordem através da substituição z = y1−n. 
 
Equação autônoma 
Uma equação diferencial de 2ª ordem sem a variável x é 
resolvida com a substituição 
y´ = 𝑝 
 
y´´ = 
d𝑝(y)
dx
=
d𝑝
dy
dy
dx
= 
d𝑝
dy
𝑝 
 
Método de D´Alembert 
Conhecida uma solução y1 de 
𝑓(x)y´´ + 𝑔(x)y´ + ℎ(x)y = 0 
 
procuramos uma segunda solução no formato 
 y2 = v(x)y1. 
 
EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes 
A EDO homogênea 
y´´ + 𝑎y´ + 𝑏y = 0 
 
tem solução no formato y(x) = elx, em que l é 
determinado na equação característica 
l2 + 𝑎l + 𝑏 = 0 
 
(Caso 1) Raízes reais distintas 
Com l1  l2 raízes da equação característica, 
 y(x) = C1e
l1x + C2e
l2x 
 
(Caso 2) Raízes reais iguais 
Com l raiz dupla da equação característica, 
 y(x) = C1e
lx + C2xe
lx 
 
(Caso 3) Raízes imaginárias 
Com l = 𝑎  𝑏i, 𝑏 ≠ 0, raízes da equação característica, 
 y(x) = eax[C1 cos(bx) + C2 sen(bx)] 
 
 
 
 
 
 
 
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Método dos coeficientes a determinar 
A solução da EDO não- homogênea 
 y´´ + 𝑎y´ + 𝑏y = h(x) 
 
é 
 y(x) = yH(x) + yp(x) 
 
em que y = yH(x) é a solução da EDO homogênea 
associada. 
 
(Caso 1) 𝐡(𝐱) = 𝐞𝐦𝐱 
Procuramos yp(x) = Ae
mx 
 
(Caso 2) 𝐡(𝐱) = 𝐬𝐞𝐧(𝐦𝐱) ou 𝐡(𝐱) = 𝐜𝐨𝐬(𝐦𝐱) 
Procuramos yp(x) = Acos(mx) + Bsen(mx) 
 
(Caso 2) 𝐡(𝐱) = 𝐏𝐧(𝐱) (polinômio de grau n) 
Procuramos yp = Qn(x) (polinômio de grau n) 
 
(Caso 3) 𝐡(𝐱) = 𝐏𝐧(𝐱)𝐞
𝐦𝐱 
Procuramos yp = Qn(x)e
mx 
 
Em qualquer caso, se o candidato a solução particular já 
for solução da homogênea, o multiplicamos por x. 
 
Método da variação dos parâmetros 
A solução da EDO não- homogênea 
 y´´ + 𝑎y´ + 𝑏y = h(x) 
 
é 
 y(x) = yH(x) + yp(x) 
 
em que y = yH(x) = C1y1(x) + C1y2(x) é a solução da 
EDO homogênea associada e 
yp(x) = u(x)y1(x) + v(x)y2(x) 
 
em que as funções u e v satisfazem 
{
𝑢´y1 + 𝑣´y2 = 0 
𝑢´𝑦1
´ + 𝑣´𝑦2
´ = ℎ