Quadripolos

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Circuitos de Duas Portas - Quadripolos ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
1 de 19 
 
CIRCUITOS DE DUAS PORTAS 
 
QUADRIPOLOS 
 
NOTAS DE AULA (CAP. 19 – LIVRO DO NILSON) 
 
 
 
0. CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
 
ƒ HIPÓTESES BÁSICAS 
 
 
 
1) Não pode haver nenhuma energia armazenada no circuito. 
2) Não pode haver fontes independentes no circuito, embora 
fontes dependentes sejam permitidas. 
3) A corrente que entra em um dos terminais de uma porta tem 
que ser igual à corrente que deixa o outro terminal da mesma 
porta. 
4) Todas as ligações externas devem ser feitas à porta de 
entrada ou à porta de saída; não é permitido fazer nenhuma 
ligação entre as portas, ou seja, entre os terminais a e c, a e 
d, b e c ou b e d. 
 
 
 
 
 
Quadripolo
a
b
c
d
i1 
i1 
i2 
i2 
v1 v2 Porta de Entrada (1) 
Porta de
 Saída (2)
Figura 1 
Circuitos de Duas Portas - Quadripolos ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
2 de 19 
 
1. MODELOS 
 
 
 
Parâmetros de Quadripolos 
 
1.1. Parâmetros IMITÂNCIA 
 
(a) Parâmetros Impedância 
 
i 1 11 12 1
2 21 22 2
V z z I
V Z I
V z z I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1) 
 
(b) Parâmetros Admitância 
 
i 1 11 12 1
2 21 22 2
I y y V
I Y V
I y y V
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2) 
 
 
1.2. Parâmetros de TRANSMISSÃO 
 
(a) Parâmetros A 
 
i1 2 1 11 12 2
1 2 1 21 22 2
V V V a a V
A
I I I a a I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3) 
 
(b) Parâmetros B 
 
i2 1 2 11 12 1
2 1 2 21 22 1
V V V b b V
B
I I I b b I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4) 
 
Quadripolo 
Dom. Freq. 
a
b
c
d
I1 
I1 
I2 
I2 
V1 V2 Porta de Entrada (1) 
Porta de 
 Saída (2)
Figura 2 
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3 de 19 
 
1.3. Parâmetros HÍBRIDOS 
 
(a) Parâmetros H 
 
i1 1 1 11 12 1
2 2 2 21 22 2
V I V h h I
H
I V I h h V
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5) 
 
(b) Parâmetros G 
 
i1 1 1 11 12 1
2 2 2 21 22 2
I V I g g V
G
V I V g g I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (6) 
 
 
2. DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS IMPEDÂNCIA 
 
Expandindo as equações (1) vem que 
 
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V z I z I
V z I z I
= +⎧⎨ = +⎩ (7) 
 
Desta forma, pode-se definir os parâmetros impedância da 
seguinte forma: 
 
 
2
1
11
1 0
Z
I
V
I =
= 
 
 
1
1
12
2 0I
Vz
I =
= 
 
 
2
2
21
1 0I
Vz
I =
= 
 
 
1
2
22
2 0I
Vz
I =
= 
 
 
Impedância do ponto de vista da porta 1 com a porta 2 aberta 
Impedância de transferência, definida como a relação entre a tensão na 
porta 1 e a corrente na porta 2 com a porta 1 aberta. 
Impedância de transferência, definida como a relação entre a tensão na 
porta 2 e a corrente na porta 1 com a porta 2 aberta. 
Impedância do ponto de vista da porta 2 com a porta 1 aberta. 
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4 de 19 
 
Exemplo: Determinar os parâmetros z 
do circuito ao lado. 
 
Sabe-se que 
 
1 11 12 1
2 21 22 2
V z z I
V z z I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (8) 
 
Então 
 
2
1
11
1 0
20 20 10
20 20I
Vz
I =
⋅= = = Ω+ (9) 
 
1
2
1
12
22 0
20
25 7,5
9,375
I
VVz VI =
= = = Ω (10) 
 
2
1
2
21
11 0
15
20 7,5
10
I
VVz VI =
= = = Ω (11) 
 
1
2
22
2 0
15 25 9,375
15 25I
Vz
I =
⋅= = = Ω+ (12) 
 
 
3. RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE UM QUADRIPOLO 
 
3.1. Relação entre os parâmetros z e os parâmetros y 
 
São válidas as seguintes equações para quadripolos em termos 
dos parâmetros z e y: 
 
1 11 12 1
2 21 22 2
1 11 12 1
2 21 22 2
V z z I
V z z I
I y y V
I y y V
⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩
 (13) 
 
V1 V2
5 Ω 
15 Ω 20 Ω 
I1 I2
Figura 3 
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5 de 19 
 
 
Pode-se notar pelas equações (13) que 
 
1
11 12 11 12
21 22 21 22
y y z z
y y z z
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (14) 
 
Resolvendo (14) vem que 
 
22 12 22 12
11 12 21 11 21 11
11 1221 22
21 22
z z z z
y y z z z z
z zy y z
z z
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦ (15) 
 
 
Exemplo: Determinar os parâmetros y do circuito do exemplo 
anterior 
 
No exemplo anterior foram determinados os parâmetros z do 
quadripolo definido pelo circuito elétrico da figura 1, dados por 
 
i 10 7,5
7,5 9,375
Z ⎡ ⎤= Ω⎢ ⎥⎣ ⎦ (16) 
 
Desta forma 
 
i
1
9,375 7,5
10 7,5 7,5 10
10 7,57,5 9,375
7,5 9,375
9,375 7,5
0, 25 0, 207,5 10
0, 20 0, 266737,5
Y
S
−
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎣ ⎦= = =⎢ ⎥⎣ ⎦
−⎡ ⎤⎢ ⎥ −− ⎡ ⎤⎣ ⎦= = ⎢ ⎥−⎣ ⎦
 (17) 
 
 
 
 
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6 de 19 
 
4. ANÁLISE DE CIRCUITOS DE DUAS PORTAS COM 
TERMINAÇÕES 
 
A figura 4 abaixo mostra um quadripolo com terminações Vg, Zg e 
ZL. 
 
 
 
Tal tipo de quadripolo pode ser analisado através do cálculo de 
seis características principais: 
1. Impedância de entrada ou admitância de entrada ; 
2. Corrente de saída I2; 
3. Tensão e impedância de Thévenin (VTh e ZTh) do ponto de vista da 
porta 2; 
4. Ganho de corrente ; 
5. Ganho de tensão ; 
6. Ganho de tensão . 
 
5. DETERMINAÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS DE CIRCUITOS 
DE DUAS PORTAS EM FUNÇÃO DOS PARÂMETROS z 
 
As equações (18) estabelecem as relações entre as grandezas 
terminais de um quadripolo, descrito pelos seus parâmetros z e 
pelos parâmetros da fonte Vg, Zg e da carga ZL. 
 
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
1 1
2 2
g g
L
V z I z I
V z I z I
V V Z I
V Z I
= +⎧⎪ = +⎪⎨ = −⎪⎪ = −⎩
 (18) 
 
 
Quadripolo 
Domínio da 
Freqüência 
a
b
c
d
I1 
I1 
I2
I2
V1 V2 
+
Vg 
− 
Zg 
ZL
Figura 4 
1 1inZ V I= 1 1inY I V=
2 1I I
2 1V V
2 gV V
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7 de 19 
 
A impedância de entrada vista da porta 1 Zin(1) é dada pela 
relação 
 
1
(1)
1
in
VZ
I
= (19) 
 
Da equação (18.b) vem que 
 
2 21 1
2
22
V z II
z
−= (20) 
 
Substituindo (18.d) em (20) resulta em 
 
2 21 1
2
22
LZ I z II
z
− −= (21) 
 
Ou seja 
 
21
2 1
22 L
zI I
z Z
= − + (22) 
 
Substituindo (22) em (18.a) vem que 
 
21
1 11 1 12 2 11 1 12 1
22 L
zV z I z I z I z I
z Z
= + = − + (23) 
 
Ou 
 
1 21
(1) 11 12
1 22
in
L
V zZ z z
I z Z
= = − + (24) 
 
Ou também que 
 
1 11
(1)
1 22
L
in
L
V z z ZZ
I z Z
∆ += = + (25) 
 
A corrente I2 pode ser obtida substituindo (18.c) e (18.d) nas 
equações (18.a) e (18.b), ou seja 
 
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
g g
L
V Z I z I z I
Z I z I z I
− = +⎧⎨ − = +⎩ (26) 
 
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8 de 19 
 
Rearranjando os termosem (26) resulta que 
 ( )
( )
11 1 12 2
21 1 22 2 0
g g
L
z Z I z I V
z I z Z I
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩ 
(27) 
 
Resolvendo (27) para I2 resulta que 
 
( )( )
11
2121
2
11 12 11 22 12 21
21 22
0
g g
g
g g L
L
z Z V
z Vz
I
z Z z z Z z Z z z
z z Z
+
= = −+ + + − ⋅
+
 (28) 
 
A tensão de Thevenin VTh vista da porta 2 é igual a V2 quando I2 é 
nula, ou seja 
 
( )
2
2 21 1 22 2 21 10Th I
V V z I z I z I== = + = (29) 
 
Utilizando as expressões (18.a) e (18.c) com I2 nula vem que 
 
1 11 1
1 1g g
V z I
V V Z I
=⎧⎨ = −⎩ (30) 
 
Rearranjando os termos vem que 
 
1 11 1
1 1
0
g g
V z I
V Z I V
− =⎧⎨ + =⎩ (31) 
 
Resolvendo para I1 vem que 
 
1
11 11
1 0
1
1
1
g g
g
g
V V
I
z Z z
Z
= =− + (32) 
 
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Substituindo (32) em (29) vem que 
 
21
11
Th g
g
zV V
Z z
= + (33) 
 
A impedância de Thevenin ZTh vista da porta 2 é igual à relação 
V2 / I2 quando Vg é nula. Para Vg = 0, a equação (18.c) fica na forma 
 
1 1gV Z I= − (34) 
 
Substituindo (34) em (18.a) vem que 
 
1 11 1 12 2gZ I z I z I− = + (35) 
 
Rearranjando os termos vem que 
 
12
1 2
11g
zI I
Z z
= − + (36) 
 
Substituindo (36) na equação (18.b) resulta que 
 
12 12
2 21 2 22 2 22 21 2
11 11g g
z zV z I z I z z I
Z z Z z
⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ 
(37) 
 
Ou finalmente que 
 
2 12
22 21
2 110g
Th
gV
V zZ z z
I Z z=
= = − + (38) 
 
O ganho de corrente I2 / I1 pode ser obtido diretamente a partir 
da equação (22), ou seja 
 
21
2 1
22 L
zI I
z Z
= − + 
2 21
1 22 L
I z
I z Z
= − + (39) 
 
Para se calcular o ganho de tensão V2 / V1 é necessário substituir 
o valor de I2 da equação (18.d) na equação (18.b), ou seja 
 
2 22
2 21 1 22 21 1 2
L L
V zV z I z z I V
Z Z
⎛ ⎞= + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ (40) 
 
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10 de 19 
 
Em seguida determinar o valor de I1 na equação (18.a), também 
utilizando (18.d), ou seja 
 
2
11 1 1 12 2 1 12
L
Vz I V z I V z
Z
⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠ (41) 
 
Rearranjando os termos em (41) e resolvendo para I1 vem que 
 
12
1 1 2
11
1
L
zI V V
z Z
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ (42) 
 
Substituindo (42) em (40) vem que 
 
12 22
2 21 1 2 2
11
1
L L
z zV z V V V
z Z Z
⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦ (43) 
 
A expressão (43) é função apenas de V1 e V2. Desta forma, 
rearranjando os termos vem que 
 
22 21 12 21
2 2 2 1
11 11L L
z z z zV V V V
Z z Z z
+ − = (44) 
 
Ou ainda que 
 
22 21 12 21
2 1
11 11
1
L L
z z z zV V
Z z Z z
⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ (45) 
 
Ou 
 
21 21
2 11 11
22 21 12 11 11 22 21 121
11 11
1 L
L L L
z z
V z z
z z z z Z z z z zV
Z z Z z Z
= = =+ −+ − (46) 
 
Ou finalmente 
 
( )2 21 211 11 22 21 12 11
L L
L L
V z Z z Z
V z z Z z z z Z z
= =+ − + ∆ (47) 
 
Fica a cargo do leitor provar que 
 
( )( )2 2111 22 21 12Lg g L
V z Z
V z Z z Z z z
= + + − (48) 
 
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Exemplo: Determinar as seis características básicas do circuito ao 
lado considerando que este quadripolo está sendo alimentado por 
uma fonte de tensão de 10 V com resistência interna de 2 Ω e está 
alimentando uma carga de 3 Ω. 
 
 
Inicialmente é necessário o cálculo dos parâmetros z do quadripolo 
em questão. Assim procedendo vem que: 
 
( )( )
2
1
11
1 0
3 // 9 10 // 8 4,840
I
Vz
I =
= = + = Ω (49) 
 ( )
( ) ( )
( )
2
1
2 1
21
1 1 10
3//9
3//9 10 3//9
0,184 4,84 0,889
3// 9 10I
V
V Vz
I I I=
+= = = ⋅ = ⋅ = Ω+ (50) 
 
( )( )
1
2
22
2 0
3//9 // 10 8 2,0
I
Vz
I =
= = + = Ω (51) 
 
1
2
1 2
12
2 2 20
8
88 10 0, 444 2, 0 0,889
8 10I
VV Vz
I I I=
+= = = ⋅ = ⋅ = Ω+ (52) 
 
 
Os valores das seis características são então obtidos utilizando-se 
as expressões determinadas anteriormente, ou seja: 
 
2
12 21
(1) 11
22
0,8894,84 4,68
2,0 3,0in L
z zZ z
z Z
= − = − = Ω+ + (53) 
 
( )( )2
0,889 10 0,266
4,84 2 2 3 0,889 0,889
I A⋅= − =+ + − ⋅ (54) 
 
V1 
10 Ω
8 Ω 9 Ω
I1 I2
V23 Ω
Figura 5 
+ 
10 V 
− 
2 Ω 
3 Ω 
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12 de 19 
 
 
21
11
0,889 10 1,30
2 4,84Th gg
zV V V
Z z
= = ⋅ =+ + (55) 
 
2
12
22 21
11
0,8892 1,884
2 4,84Th g
zZ z z
Z z
= − = − = Ω+ + (56) 
 
2 21
1 22
0,889 0,178
2 3L
I z
I z Z
= − = − = Ω+ + (57) 
 
2 21
1 11
0,889 3 0,114
4,84 3 8,89
L
L
V z Z
V z Z z
⋅= = =+ ∆ ⋅ + (58) 
 
( )( ) ( )( )2 21 211 22 21 12
0,889 3 0,080
4,84 2 2 3 0,889
L
g g L
V z Z
V z Z z Z z z
⋅= = =+ + −+ + − (59) 
 
 
6. CIRCUITOS DE DUAS PORTAS RECÍPROCOS 
 
Um quadripolo é dito recíproco quando seus parâmetros satisfazem 
as seguintes equações: 
 
12 21
12 21
11 22 12 21
11 22 12 21
12 21
12 21
1
1
z z
y y
a a a a a
b b b b b
h h
g g
=⎧⎪ =⎪⎪ ∆ = − =⎪⎨ ∆ = − =⎪⎪ = −⎪ = −⎪⎩
 (60) 
 
Nos quadripolos recíprocos, a troca de uma fonte ideal de tensão 
em uma das portas por um amperímetro na outra porta resulta na 
mesma leitura do amperímetro. Nestes circuitos são necessários 
apenas três cálculos ou medidas para determinar um conjunto de 
parâmetros. 
 
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13 de 19 
 
Um quadripolo recíproco é simétrico (ou bilateral) se seus 
parâmetros satisfazem as seguintes equações adicionais: 
 
11 22
11 22
11 22
11 22
11 22 12 21
11 22 12 21
1
1
z z
y y
a a
b b
h h h h h
g g g g g
=⎧⎪ =⎪⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ ∆ = − =⎪ ∆ = − =⎪⎩
 (61) 
 
Neste tipo de circuito, a troca de uma porta pela outra não tem 
nenhum efeito sobre as tensões e correntes e são necessários 
apenas dois cálculos ou medidas para se determinar seus 
parâmetros. 
 
NOTA: Linhas de transmissão de energia elétrica são exemplos de 
circuitos recíprocos e simétricos, também chamados de bilaterais. 
 
7. CIRCUITOS DE DUAS PORTAS INTERLIGADOS - FORMAS 
BÁSICAS 
 
A figura 6 abaixo mostra as formas de se interligar quadripolos. 
 
 
 
 Cascata 
Série Paralela 
 Série-Paralela Paralela-Série
Figura 6 
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14 de 19 
 
 
6.1. Análise da ligação em cascata de dois quadripolos 
 
Considere a ligação de dois quadripolos QA e QB em série, como 
mostra a figura 7 abaixo 
 
 
 
Utilizando os parâmetros de impedância Z, pode-se escrever para 
os dois quadripolos que 
 
i1 11 12 1
2 21 22 2
A A A A
A AA
A A A A
V z z I
V Z I
V z z I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⇒ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (62) 
 
i1 11 12 1
2 21 22 2
B B B B
B BB
B B B B
V z z I
V Z I
V z z I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⇒ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (63) 
 
Pela figura 7 o leitor pode verificar que 
 
1 1 1
2 2 2
A B
A B
A B
V V V
V V V
V V V
= +⎧ ⇒= +⎨ = +⎩ (64) 
 
1 1 1
2 2 2
A B
A B
A B
I I I
I I I
I I I
= =⎧ ⇒ = =⎨ = =⎩ (65) 
 
Figura 7 
1AV 
1AI 2 AI
2 AVQA
 
1AI 2 AI
2BVQB
1I 
1V 2V 
2I
Circuitos de Duas Portas - Quadripolos ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
15 de 19 
 
Assim, substituindo (62) e (63) em (64) vem que 
 
i iA A B BV Z I Z I= ⋅ + ⋅ (66) 
 
Substituindo (65) em (66) vem que 
 
i i i i( ) iA B A BV Z I Z I Z Z I Z I= ⋅ + ⋅ = + ⋅ = ⋅ (67) 
 
A equação (67) mostra que a matriz Z do quadripolo equivalente é 
a soma das matrizes Z dos quadripolos individuais ligados em 
série. 
 
 
6.2. Análise da ligação em cascata de dois quadripolos 
 
Considere a ligação de dois quadripolos QA e QB em cascata, como 
mostra a figura 8 abaixo 
 
 
 
Utilizando os parâmetros de transmissão, pode-se escrever para os 
dois quadripolos que 
 
1 11 12 2
1 21 22 2
A A A A
A A A A
V a a V
I a a I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (68) 
 
1 11 12 2
1 21 22 2
B B B B
B B B B
V a a V
I a a I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (69) 
 
onde 
 
i 11 12
21 22
A A
A
A A
a a
A
a a
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ (70) 
 
1AI 
1AV 
2 AI
2 AV
Figura 8 
QA 1BV
1BI 2BI 
2BV QB
1I 
1V 
2I 
2V 
Circuitos de Duas Portas - Quadripolos ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
16 de 19 
 
e 
 
i 11 12
21 22
B B
B
B B
a a
A
a a
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ (71) 
 
Substituindo (70) e (71) em (68) e (69) vem que 
 
i1 2
1 2
A A
A
A A
V V
A
I I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (72) 
 
i1 2
1 2
B B
B
B B
V V
A
I I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (73) 
 
Pela figura 8 o leitor pode verificar que 
 
1 2
1 2
B A
B A
V V
I I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (74) 
 
Substituindo (74) em (72) vem que 
 
i1 1
1 1
A B
A
A B
V V
A
I I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (75) 
 
Substituindo (73) em (75) vem que 
 
i i i1 1 2
1 1 2
A B B
A A B
A B B
V V V
A A A
I I I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (76) 
 
Pela figura 8 o leitor pode verificar que 
 
1 1
1 1
2 2
2 2
A
A
B
B
V V
I I
V V
I I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (77) 
 
Substituindo (77) em (76) resulta que 
 
i i i1 2 2
1 2 2
A B
V V V
A A A
I I I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (78) 
 
Circuitos de Duas Portas - Quadripolos ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
17 de 19 
 
A equação (78) mostra que a matriz de transmissão A do 
quadripolo resultante da associação em cascata dos quadripolos 
QA e QB é dada pela multiplicação das matrizes AA e AB dos 
quadripolos originais. 
 
 
Exemplo: Projetar um circuito LC terminado com um resistor de 
1 Ω que possua a função de transferência de um filtro passa-baixa 
de Butherworth dada por 
 
3 2
1( )
2 2 1
H s
s s s
= + + + (79) 
 
De início é adequado agrupar o denominador em partes pares e 
ímpares, ou seja 
 
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 2
3 3
23 2
33
1 1( )
2 2 1 2 2 1
1 1
2 2
2 12 2 1 1
22
H s
s s s s s s
s s s s
ss s s
s ss s
= = =+ + + + + +
+ += = ++ + + + ++
 (80) 
 
Utilizando os parâmetros y de um quadripolo pode-se escrever que 
 
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I y V y V
I y V y V
= +⎧⎨ = +⎩ (81) 
 
Com o quadripolo terminado por uma resistência YL tem-se também 
que 
 
2 2LI Y V= − (82) 
 
Substituindo (82) em (81.b) vem que 
 
2 21 1 22 2LY V y V y V− = + (83) 
 
 
i BAi AA
iA
Circuitos de Duas Portas - Quadripolos ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
18 de 19 
 
Ou seja, a função de transferência do filtro vai ser dada por 
 
21 21
2 21
22 221 22
( )( )
( ) 1
L L
LL
L L
y y
V s y Y YH s Y y yV s Y y
Y Y
= = − = − = −++ + (84) 
 
Desta forma 
 
21
3
2
22
3
1
2
2 1
2
L
L
y
Y s s
y s
Y s s
⎧ =⎪ +⎪⎨ +⎪ =⎪ +⎩
 (85) 
 
Como YL = 1 S, então 
 
21 3
2
22 3
1
2
2 1
2
y
s s
sy
s s
⎧ =⎪⎪ +⎨ +⎪ =⎪ +⎩
 (86) 
 
Como o filtro é de terceira ordem, será utilizado o circuito mostrado 
na figura 9 abaixo 
 
 
Para este filtro o valor de y22 é da forma 
 
1
2
1
1 2 1 22
22 2
2 10
1 2 1 2
11 1 1
11 1 1V
s L CsC
sL sL sL sLIy
V s L CsC
sL sL sL sL
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞++ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞++ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 (87) 
 
Fig. 9 – Filtro de Butherworth de 3ª ordem
V2(s)
L1 L2
CV1(s) 
Circuitos de Duas Portas - Quadripolos ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
19 de 19 
 
Desenvolvendo um pouco mais resulta em 
 
( )
( ) ( )
1
2
1
2
2 1 2
22 2
2 2 1 10
2
1 2
2 2
1 1
32
1 2 2 12 1 1
1
1
1 1
1
V
s L C
I s L Ly
V sL s L C sL
s L L
s L C s L C
s L L C s L LsL s L C sL
=
+
= = =+ +
+ += = + ++ +
 (88) 
 
Comparando as equações (88) e (80) vem que 
 
1
1 2
2 1
2
1
2
L C
L L C
L L
=⎧⎪ =⎨⎪ + =⎩
 (89) 
 
Resolvendo a equação (89) resulta finalmente que 
 
2
1
0,5
1,5
2 1,33
1.5
L H
L H
C F F
=
=
= =
 (90) 
 
Fica a cargo do leitor provar que a implementação de y22 irá 
implementar y21 automaticamente, visto que, como y22 é a 
admitância de curto-circuito vista da porta 2, ela já fornece uma 
informação integral de todo circuito.