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Derivadas Exercicios

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Ministério da Educação 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Câmpus Curitiba 
Diretoria de Graduação e Educação Profissional 
Departamento Acadêmico de Matemática 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1 – Profª Silvana Heidemann Rocha 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – Valor: 0 a 1,5 – Entrega em 29/05/2018 
DERIVADA E DIFERENCIAL DE FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL 
(Obs.: Usar um software matemático para conferir suas resoluções. Sugestão: Symbolab) 
 
 
01) Usando a definição de derivada, determinar a derivada 𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 das funções reais definidas por: 
 
a) y = f(x) = 3 b) y = f(x) = 2x3  4x2 + 5 c) y = h(x) = cos 2x 
 
d) 𝑦 = ℎ(𝑥) = 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, com 𝑔(𝑥) ≠ 0 
 
 
02) Mostre as igualdades abaixo e compare o domínio de y´= y´(x) com o de y = y(x): 
 
 a) y = tg x 

y’= sec2 x b) y = cossec x 

y’=  cossec x cotg x 
 
c) y = arc cos x 

y’= 
21
1
x

 d) y = cosh x 

y’= senh x 
 
e) 
)1ln(senh arg 2  xxxy 
y’= 
21
1
x
 f) y = sen x 

y ’= cos x 
g) y = cos x 

y’ =  sen x 
 
03) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no 
reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V = 50(80 – t)2 . 
Determine: 
a) a taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de 
escoamento; 
b) a quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. 
c) a taxa de variação do volume de água no reservatório no instante t ; 
d) a taxa de variação do volume de água no reservatório no instante t = 8 h. 
 
 
 
 
 
 2 
04) Usando as regras de derivação, a regra da cadeia, o teorema da derivada da função inversa, 
o teorema da derivada de função implícita, obtenha a derivada y’= 
dx
dy
 das seguintes funções 
reais dadas na forma explícita, implícita ou paramétrica. Dar o domínio de y e de y’: 
 
i) y = 
3 2 1 7  xx
 ii) y = 5x2(2x3 +4)4 iii) y = (1-x)(2x-4)2(2-x4)3 
iv) y = 
12
3
4 

x
 v) y = 
x
x
1
2
 vi) y = 
3
2
1
32
x
xx


 
vii) y = 3432 x viii) y = xsene 3  ix) y = 
)(2cos
3 
xtgx
e xsenx

 
x) y = 5sen3x2 xi) y = sec






3
x 3 52 2cos x
+ cotg2x -1 - cossec3x 
xii) y = lnx2 xiii) y = 
x2ln
 xiv) y = eln(2-x) 
xv) y = 
x5 log
 xvi) y = (
xxe )4
2

 xvii) y = senh(-2x)-2cosh3(1+x) 
xviii) y = sen(2x)sech(x) xix) y = arctg (lnx) xx) y = arg senh(2x3) 
xxi) y =
yx
yx


 xxii) tg y = xy xxiii) 5cos2(x + y) = 7 
xxiv) xy2+2y3=x4 - 2y xxv) x2y2 + x.sen y = 0 
xxvi) 







*3
2
R t ,ty
tx xxvii) 













2
 0, t sen2t,
2cos

y
tx
 
05) Usando as regras de derivação, determinar, caso exista, a equação da reta tangente às 
seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso: 
a) f(x) = x2 – 1; x= 0, x = -1 b) f(x) = 
x
1
; x = -3, x = 
3
1
. 
c) g(x) = 
x2
; x= 0, x= 3. d) h(x) = sen x; x = 
,
2

 x = 
.
 
 
06) Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por 
 f(t) = 16t + t2, com 
80  t
, onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros. 
a) Achar a velocidade média durante os intervalos 
   3,001 3; e 1,3 ;3
; 
b) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3; 
c) Determinar a aceleração no instante t. 
 3 
07) Uma usina de britagem produz pó de pedra que, ao ser depositado no solo, forma uma pilha 
cônica, na qual a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base. 
a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base. 
b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o 
raio mede 2 m? 
 
08) Verifique se cada função é derivável nos pontos indicados. Esboce o gráfico: 
 
a) f(x) = 





2 x se ,7
2 x se ,13
x
x ; x= 2 b) g(x) = 







2 x se ,
4
3
7
2 x se ,103
2x
x
 ; x = 2 
 
09) Seja a função real definida por: f(x) = 






1 x se ,1
1 x se ,1
2
2
x
x 
a) Esboçar o gráfico de f(x); 
b) Verificar se f é contínua nos pontos x = – 1 e x =1; 
c) Verifique se f é derivável em x = –1 e x =1; 
d) Determinar f’(x), obter o seu domínio e esboçar o gráfico de f´(x); 
e) Determinar os intervalos onde f’(x) >0, f’(x)<0 e f’(x) = 0. 
 
10) Determine as derivadas sucessivas nos pontos indicados: 
a) f(x) = 5 + x3 – 7x4 ; f’(2); f’’(–3); f’’’(0); f(4) (–2) 
b) g(x) = (2x3 – 1)
28 x
; f’(0); f’’(–1); f’’’(4) 
c) h(x) = sen x ; f(n)(x) 
d) I(x) = cos x ; f(n)(x) 
 
11) Mostre que y = ex + e2x + 
2x)2sen -2x (cos
10
xe
 verifica a equação diferencial 
y’’– 3y’ + 2y = ex sen2x 
 
 
12) Calcular a diferencial das seguintes funções reais: 
a) y = ln(3x2 - 4x) b) y = 
xe
x 1
 c) y = sen(5x2 + 6) d) y = sec(e3x+1) 
 
 
13) Usando diferencial, calcular um valor aproximado para: 
 
a) 
50
 b) 
3 5,63
 c) sen61º d) tg 46º e) 
4 13
 
 
 4 
 
14) Calcule, por meio de diferenciais, o aumento aproximado do volume de um cubo, se o 
comprimento de cada aresta varia de 10 cm para 10,1 cm. Qual a variação exata do volume? 
 
15) Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é 
sempre igual ao raio da base. Se, em dado instante, o raio é de 12 cm, use diferenciais para 
obter a variação do raio que origina um aumento de 2 cm3 no volume da pilha. 
 
16) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas com 40 cm de lado. 
Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham 0,5 cm a mais. Usando 
diferencial, encontrar o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada. 
 
17) Mede-se como 12 cm o raio de um balão esférico, com erro máximo de 
06,0
 cm. Aproxime o 
erro máximo no cálculo do volume da esfera. Determine o erro médio na medida do raio e no 
cálculo do volume. 
 
18) Usando a teoria sobre derivadas, em cada item abaixo, determine: 
a) O domínio da função real dada; 
b) Os pontos de interseção com os eixos coordenados, se não der muito trabalho; 
c) A primeira e a segunda derivadas; 
d) Os pontos críticos; 
e) Os intervalos de crescimento e de decrescimento da função dada; 
f) Os pontos de máximo e de mínimo da função dada; 
g) Os pontos de inflexão; 
g) As assíntotas horizontais e verticais, caso haja; 
h) Esboce o gráfico da função dada; 
i) Dê o conjunto-imagem da função dada. 
 
a) y = x3 + 1 b) y = x3 – 7x + 6 c) y = x4 – x2 
 
d) f(x) = 
12 x
x
 e) f(x) = x + 
x
2
 f) y = 
22 x
x
 
g) y = x2
x16
 h) f(x) = 4
1
2
2
1 2  xx
 
 
i) y = 2xxe  j) y = ln (x
2 + 1) 
 
 
 5 
19) Uma área retangular com 280 m2 dever ser cercada. Em dois lados opostos será usada uma 
cerca que custa R$ 10,00 o metro e, nos outros dois lados restantes, uma cerca que custa R$ 
20,00 o metro. Ache as dimensões do retângulo com o menor custo. 
 
20) Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V, de forma que a sua 
área total seja mínima. 
 
21) Um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base. A que distância da base deve ser feito 
esse corte, para que o cone reto de base na secção determinada, e de vértice no centroda base 
do cone dado, tenha volume máximo? 
 
22) Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital: 
 
a) 
2
44
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
 b) 
xx e
x99
lim

 c) 
] gcot)cos1[(lim
0
xx
x


 
d) 
x
x
x 

1
1
1
lim
 e) 
x
x
x
2
)12(lim 

 f) 








 6
5
3
1
lim
23 xxxx
 
 
g) 
]2sec) tg1[(lim
4
xx
x



 
 
23) Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções reais: 
 
a) f(x) = 2xe ; c = 0 e n = 5 b) f(x) = e
-x; c = 1 e n = 4 
 
c) f(x) = ln (1  x); c = ½ e n = 4 d) f(x) = sen x; c = 
2

 e n = 8 
 
24) Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f(x) 1 + cos x no ponto c = 

. Usar esse 
polinômio para determinar um valor aproximado para cos
6
5
. Fazer uma estimativa para o erro. 
____________________ 
 
Pré-Cálculo Diferencial e Integral - Use um software matemático como apoio 
 
25) Dê o domínio, esboce o gráfico e dê a imagem das seguintes funções reais, definidas abaixo. 
25.1) Após, classifique cada caso em função par, função ímpar ou nem par, nem ímpar. 
25.2) Verifique se a função dada é bijetora em todo seu domínio. 
 
a) 𝑓(𝑥)= 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = 
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
 b) 𝑔(𝑥)= cosh 𝑥 = 
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
 
𝑐) ℎ(𝑥)= 𝑡𝑔ℎ 𝑥 = 
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥
cosh 𝑥
=
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
 d) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 = 
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥
senh 𝑥
=
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = 
1
cosh 𝑥
=
2
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
 f) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = 
1
senh 𝑥
=
2
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
 
 6 
26) Verifique as seguintes identidades hiperbólicas: 
 
a) 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1 
 
b) 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎 cosh 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑏 cosh 𝑎 
 
c) 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎 cosh 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑏 cosh 𝑎 
 
d) 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎 cosh 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑏 
 
e) 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎 cosh 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑏 
 
f) 𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 
 
g) 𝑐𝑜𝑠ℎ 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 
 
h) 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 = 
cosh 2𝑥 + 1
2
 
 
i) 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 
cosh 2𝑥 − 1
2
 
 
j) 𝑡𝑔ℎ2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 
 
k) 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ2 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
27) A partir das funções hiperbólicas diretas (dadas no exercício 1, anterior), obtenha as funções 
hiperbólicas inversas, definidas abaixo. Quando necessário, restrinja o domínio da função 
hiperbólica direta para que a mesma seja bijetora, no maior intervalo possível, a fim de definir a 
respectiva função inversa. Dê o domínio, esboce o gráfico e dê a imagem em cada caso: 
 
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = ln (𝑥 + √𝑥2 + 1) 
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg cosh 𝑥 = ln (𝑥 + √𝑥2 − 1) 
c) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg 𝑡𝑔ℎ 𝑥 =
1
2
ln (
1+𝑥
1−𝑥
) 
d) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 =
1
2
ln (
𝑥+1
𝑥−1
) 
e) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg sech 𝑥 = ln (
1+√1−𝑥2)
𝑥
) 
f) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = ln (
1
𝑥
+
√1+𝑥2)
|𝑥|
) 
 
28) Verifique as seguintes identidades hiperbólicas: 
 
a) arg 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = arg cosh
1
𝑥
 
 
b) arg 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = arg senh
1
𝑥
 
 
c) arg 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 = arg tgh
1
𝑥
 
 
 
Referências 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 5 ed. São Paulo: Makron, 
1992. 
MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. V 1, 2 ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1983. 
RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. Cálculo diferencial e integral. V 1. São Paulo: Instituto Brasileiro de Edições Científicas, 
1981. 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2 ed. V 1. São Paulo: Makron Books, 1994.

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