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Ministério da Educação UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Curitiba Diretoria de Graduação e Educação Profissional Departamento Acadêmico de Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1 – Profª Silvana Heidemann Rocha LISTA DE EXERCÍCIOS – Valor: 0 a 1,5 – Entrega em 29/05/2018 DERIVADA E DIFERENCIAL DE FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL (Obs.: Usar um software matemático para conferir suas resoluções. Sugestão: Symbolab) 01) Usando a definição de derivada, determinar a derivada 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 das funções reais definidas por: a) y = f(x) = 3 b) y = f(x) = 2x3 4x2 + 5 c) y = h(x) = cos 2x d) 𝑦 = ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) , com 𝑔(𝑥) ≠ 0 02) Mostre as igualdades abaixo e compare o domínio de y´= y´(x) com o de y = y(x): a) y = tg x y’= sec2 x b) y = cossec x y’= cossec x cotg x c) y = arc cos x y’= 21 1 x d) y = cosh x y’= senh x e) )1ln(senh arg 2 xxxy y’= 21 1 x f) y = sen x y ’= cos x g) y = cos x y’ = sen x 03) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V = 50(80 – t)2 . Determine: a) a taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento; b) a quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. c) a taxa de variação do volume de água no reservatório no instante t ; d) a taxa de variação do volume de água no reservatório no instante t = 8 h. 2 04) Usando as regras de derivação, a regra da cadeia, o teorema da derivada da função inversa, o teorema da derivada de função implícita, obtenha a derivada y’= dx dy das seguintes funções reais dadas na forma explícita, implícita ou paramétrica. Dar o domínio de y e de y’: i) y = 3 2 1 7 xx ii) y = 5x2(2x3 +4)4 iii) y = (1-x)(2x-4)2(2-x4)3 iv) y = 12 3 4 x v) y = x x 1 2 vi) y = 3 2 1 32 x xx vii) y = 3432 x viii) y = xsene 3 ix) y = )(2cos 3 xtgx e xsenx x) y = 5sen3x2 xi) y = sec 3 x 3 52 2cos x + cotg2x -1 - cossec3x xii) y = lnx2 xiii) y = x2ln xiv) y = eln(2-x) xv) y = x5 log xvi) y = ( xxe )4 2 xvii) y = senh(-2x)-2cosh3(1+x) xviii) y = sen(2x)sech(x) xix) y = arctg (lnx) xx) y = arg senh(2x3) xxi) y = yx yx xxii) tg y = xy xxiii) 5cos2(x + y) = 7 xxiv) xy2+2y3=x4 - 2y xxv) x2y2 + x.sen y = 0 xxvi) *3 2 R t ,ty tx xxvii) 2 0, t sen2t, 2cos y tx 05) Usando as regras de derivação, determinar, caso exista, a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso: a) f(x) = x2 – 1; x= 0, x = -1 b) f(x) = x 1 ; x = -3, x = 3 1 . c) g(x) = x2 ; x= 0, x= 3. d) h(x) = sen x; x = , 2 x = . 06) Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por f(t) = 16t + t2, com 80 t , onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros. a) Achar a velocidade média durante os intervalos 3,001 3; e 1,3 ;3 ; b) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3; c) Determinar a aceleração no instante t. 3 07) Uma usina de britagem produz pó de pedra que, ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica, na qual a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base. a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base. b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m? 08) Verifique se cada função é derivável nos pontos indicados. Esboce o gráfico: a) f(x) = 2 x se ,7 2 x se ,13 x x ; x= 2 b) g(x) = 2 x se , 4 3 7 2 x se ,103 2x x ; x = 2 09) Seja a função real definida por: f(x) = 1 x se ,1 1 x se ,1 2 2 x x a) Esboçar o gráfico de f(x); b) Verificar se f é contínua nos pontos x = – 1 e x =1; c) Verifique se f é derivável em x = –1 e x =1; d) Determinar f’(x), obter o seu domínio e esboçar o gráfico de f´(x); e) Determinar os intervalos onde f’(x) >0, f’(x)<0 e f’(x) = 0. 10) Determine as derivadas sucessivas nos pontos indicados: a) f(x) = 5 + x3 – 7x4 ; f’(2); f’’(–3); f’’’(0); f(4) (–2) b) g(x) = (2x3 – 1) 28 x ; f’(0); f’’(–1); f’’’(4) c) h(x) = sen x ; f(n)(x) d) I(x) = cos x ; f(n)(x) 11) Mostre que y = ex + e2x + 2x)2sen -2x (cos 10 xe verifica a equação diferencial y’’– 3y’ + 2y = ex sen2x 12) Calcular a diferencial das seguintes funções reais: a) y = ln(3x2 - 4x) b) y = xe x 1 c) y = sen(5x2 + 6) d) y = sec(e3x+1) 13) Usando diferencial, calcular um valor aproximado para: a) 50 b) 3 5,63 c) sen61º d) tg 46º e) 4 13 4 14) Calcule, por meio de diferenciais, o aumento aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta varia de 10 cm para 10,1 cm. Qual a variação exata do volume? 15) Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se, em dado instante, o raio é de 12 cm, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de 2 cm3 no volume da pilha. 16) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas com 40 cm de lado. Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham 0,5 cm a mais. Usando diferencial, encontrar o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada. 17) Mede-se como 12 cm o raio de um balão esférico, com erro máximo de 06,0 cm. Aproxime o erro máximo no cálculo do volume da esfera. Determine o erro médio na medida do raio e no cálculo do volume. 18) Usando a teoria sobre derivadas, em cada item abaixo, determine: a) O domínio da função real dada; b) Os pontos de interseção com os eixos coordenados, se não der muito trabalho; c) A primeira e a segunda derivadas; d) Os pontos críticos; e) Os intervalos de crescimento e de decrescimento da função dada; f) Os pontos de máximo e de mínimo da função dada; g) Os pontos de inflexão; g) As assíntotas horizontais e verticais, caso haja; h) Esboce o gráfico da função dada; i) Dê o conjunto-imagem da função dada. a) y = x3 + 1 b) y = x3 – 7x + 6 c) y = x4 – x2 d) f(x) = 12 x x e) f(x) = x + x 2 f) y = 22 x x g) y = x2 x16 h) f(x) = 4 1 2 2 1 2 xx i) y = 2xxe j) y = ln (x 2 + 1) 5 19) Uma área retangular com 280 m2 dever ser cercada. Em dois lados opostos será usada uma cerca que custa R$ 10,00 o metro e, nos outros dois lados restantes, uma cerca que custa R$ 20,00 o metro. Ache as dimensões do retângulo com o menor custo. 20) Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V, de forma que a sua área total seja mínima. 21) Um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base. A que distância da base deve ser feito esse corte, para que o cone reto de base na secção determinada, e de vértice no centroda base do cone dado, tenha volume máximo? 22) Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital: a) 2 44 lim 2 2 2 xx xx x b) xx e x99 lim c) ] gcot)cos1[(lim 0 xx x d) x x x 1 1 1 lim e) x x x 2 )12(lim f) 6 5 3 1 lim 23 xxxx g) ]2sec) tg1[(lim 4 xx x 23) Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções reais: a) f(x) = 2xe ; c = 0 e n = 5 b) f(x) = e -x; c = 1 e n = 4 c) f(x) = ln (1 x); c = ½ e n = 4 d) f(x) = sen x; c = 2 e n = 8 24) Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f(x) 1 + cos x no ponto c = . Usar esse polinômio para determinar um valor aproximado para cos 6 5 . Fazer uma estimativa para o erro. ____________________ Pré-Cálculo Diferencial e Integral - Use um software matemático como apoio 25) Dê o domínio, esboce o gráfico e dê a imagem das seguintes funções reais, definidas abaixo. 25.1) Após, classifique cada caso em função par, função ímpar ou nem par, nem ímpar. 25.2) Verifique se a função dada é bijetora em todo seu domínio. a) 𝑓(𝑥)= 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 2 b) 𝑔(𝑥)= cosh 𝑥 = 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 2 𝑐) ℎ(𝑥)= 𝑡𝑔ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 cosh 𝑥 = 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 d) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 senh 𝑥 = 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 e) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = 1 cosh 𝑥 = 2 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 f) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = 1 senh 𝑥 = 2 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 6 26) Verifique as seguintes identidades hiperbólicas: a) 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1 b) 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎 cosh 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑏 cosh 𝑎 c) 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎 cosh 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑏 cosh 𝑎 d) 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎 cosh 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑏 e) 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎 cosh 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑏 f) 𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 g) 𝑐𝑜𝑠ℎ 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 h) 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 = cosh 2𝑥 + 1 2 i) 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = cosh 2𝑥 − 1 2 j) 𝑡𝑔ℎ2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 k) 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ2 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 7 27) A partir das funções hiperbólicas diretas (dadas no exercício 1, anterior), obtenha as funções hiperbólicas inversas, definidas abaixo. Quando necessário, restrinja o domínio da função hiperbólica direta para que a mesma seja bijetora, no maior intervalo possível, a fim de definir a respectiva função inversa. Dê o domínio, esboce o gráfico e dê a imagem em cada caso: a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = ln (𝑥 + √𝑥2 + 1) b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg cosh 𝑥 = ln (𝑥 + √𝑥2 − 1) c) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg 𝑡𝑔ℎ 𝑥 = 1 2 ln ( 1+𝑥 1−𝑥 ) d) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 = 1 2 ln ( 𝑥+1 𝑥−1 ) e) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg sech 𝑥 = ln ( 1+√1−𝑥2) 𝑥 ) f) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = arg 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = ln ( 1 𝑥 + √1+𝑥2) |𝑥| ) 28) Verifique as seguintes identidades hiperbólicas: a) arg 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = arg cosh 1 𝑥 b) arg 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = arg senh 1 𝑥 c) arg 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 = arg tgh 1 𝑥 Referências FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 5 ed. São Paulo: Makron, 1992. MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. V 1, 2 ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1983. RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. Cálculo diferencial e integral. V 1. São Paulo: Instituto Brasileiro de Edições Científicas, 1981. SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2 ed. V 1. São Paulo: Makron Books, 1994.
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