Apostila Pre Calculo Prof Silvana 2018

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Ministério da Educação 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Câmpus Curitiba 
Diretoria de Graduação e Educação Profissional 
Departamento Acadêmico de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
Profª SILVANA HEIDEMANN ROCHA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRÉ-CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
• Sistematização de Conjunto 
• Sistematização dos Conjuntos Numéricos 
o Conjunto dos Números Naturais (N) 
o Conjunto dos Números Inteiros ( Z) 
o Conjunto dos Números Racionais (Q) 
o Conjunto dos Números Irracionais (RQ) 
o Conjunto dos Números Reais (R) 
o Conjunto dos Números Complexos (C) 
 
• Estudo dos Números Reais 
• Sistemas de Coordenadas 
• Relação Binária 
• Função Real de uma Variável Real 
• Gráfico de Função Real de uma Variável Real 
• Funções Trigonométricas Hiperbólicas 
 
 
 
 
 
 
Curitiba 
2018
 
Caro(a) estudante, 
 
 
 Estas notas de aulas têm o objetivo de auxiliá-lo(a) na revisão de conteúdos 
básicos para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral. No entanto, elas não o(a) 
dispensam de consultar livros. 
 Caso você encontre erros de quaisquer tipos ou tenha sugestões a fazer, favor 
comunicar-me; assim, poderei aperfeiçoar o material. 
 O conteúdo deste material pode ser usado por qualquer pessoa, desde que seja 
citada a fonte. 
 Grata por sua colaboração e bom estudo. 
 
Profª Silvana Heidemann Rocha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
SUMÁRIO 
 
PARTE 1 
 
1 INTRODUÇÃO SOBRE CONJUNTO 
1.1 NOÇÃO DE CONJUNTO 
1.2 FORMAS DE REPRESENTAR UM CONJUNTO 
1.3 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA (∈, ∉ ) 
1.4 CORRESPONDÊNCIA BIUNÍVOCA 
1.5 CONJUNTOS IMPORTANTES 
1.5.1 Conjunto Vazio 
1.5.2 Conjunto Unitário 
1.5.3 Conjunto Universo 
1.6 CONJUNTOS IGUAIS 
1.7 CONJUNTOS DISJUNTOS 
1.8 SUBCONJUNTO E RELAÇÃO DE INCLUSÃO ( ,  ) 
1.9 CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO 
1.10 PAR ORDENADO 
1.11 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
1.11.1 União (  ) 
1.11.2 Interseção (  ) 
1.11.3 Diferença (  ) 
1.11.4 Complementar ( c ) 
1.11.5 Produto Cartesiano (  ) 
1.12 PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM CONJUNTOS, 
1.13 PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO 
2 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
2.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) 
2.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) 
2.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
2.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (R Q) 
2.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) 
2.6 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS (C) 
3 ESTUDO DOS NÚMEROS REAIS (R) 
3.1 INTERVALOS 
3.2 MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
3.3 RAIZ QUADRADA EM R 
 
 4 
PARTE 2 
1 SISTEMAS DE COORDENADAS 
1.1 SISTEMA UNIDIMENSIONAL OU SISTEMA LINEAR 
1.1.1 Conceito e Representação 
1.1.2 Comprimento de um Segmento Retilíneo Orientado 
1.1.3 Distância entre Dois Pontos, no Sistema Linear 
1.1.4 Vizinhança e Ponto de Acumulação, na Reta Real 
1.2 SISTEMAS BIDIMENSIONAIS 
1.2.1 Conceito, Tipos e Representações 
1.2.2 Sistema Cartesiano Ortogonal ou Plano Cartesiano 
1.2.2.1 Distância entre Dois Pontos, no Plano Cartesiano 
1.2.2.2 Vizinhança e Ponto de Acumulação, no Plano Cartesiano 
2 INTRODUÇÃO À RELAÇÃO BINÁRIA E À FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL (Conceitos) 
3 RELAÇÃO BINÁRIA 
3.1 DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO 
3.2.DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO, IMAGEM DE UMA RELAÇÃO BINÁRIA 
3.3 RELAÇÃO INVERSA 
4 FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL 
4.1 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO 
4.2 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
4.3 FUNÇÕES IGUAIS 
4.4 REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO 
4.4.1 Diagrama de Venn 
4.4.2 Gráfico 
4.4.3 Função na Forma Explícita 
4.4.4 Função na Forma Implícita 
4.4.5 Função na Forma Paramétrica 
4.5 CLASSIFICAÇÃO DE UMA FUNÇÃO 
4.5.1 Função Injetora, Função Sobrejetora, Função Bijetora 
4.5.2 Função Par, Função Ímpar 
4.5.3 Função Periódica 
4.6 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
4.6.1 Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão 
4.6.2 Multiplicação de uma Função por um Escalar 
4.6.3 Composição de Duas Funções ou Função Composta 
4.6.4 Inversão ou Função Inversa 
4.7 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL 
4.7.1 Conceito, Definição e Representação, no Plano Cartesiano 
4.7.2 Sinais e Zeros de uma Função 
4.7.3 Intervalos de Crescimento e de Decrescimento 
4.7.4 Extremos Relativos e Extemos Absolutos 
4.7.5 Translação e Reflexão de Gráfico 
4.7.6 Função Algébrica, Função Transcendente, Função Elementar, Função Especial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE 3 
 
 
 
1 Funções Hiperbólicas Diretas 
2 Funções Hiperbólicas Inversas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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

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












ahiperbólic cossecante da argumento Função
ahiperbólic secante da argumento Função
ahiperbólic cotangente da argumento Função
ahiperbólic tangenteda argumento Função
ohiperbólic cosseno do argumento Função
ohiperbólic seno do argumento Função
inversas
ahiperbólic cossecante Função
ahiperbólic secante Função
ahiperbólic cotangente Função
ahiperbólic tangenteFunção
ohiperbólic cosseno Função
ohiperbólic seno Função
diretas
ashiperbólic ricasTrigonomét1
 

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
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
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
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


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



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




































etc
 integral Função
derivada Função
sinal Função
inteiromenor Função
inteiromaior Função
modulares Funções
 funções Outras
inversas
diretas
ashiperbólic ricasTrigonomét
cossecante arco Função
secante arco Função
cotangente arco Função
 tangentearco Função
cosseno arco função
seno arco Função
inversas
cossecante Função
secante Função
cotangente Função
 tangenteFunção
cosseno Função
seno Função
diretas
 circulares ricasTrigonomét
aLogarítmic
lExponencia
 entes transcendFunções
sIrracionai
Q(x)
P(x)
)( asFracionári
cúbicasou grau 3º
squadráticaou grau 2º
Afim
Linear
grau 1º
Constante
 is)(polinomia Inteiras
 Racionais
 algébricas Funções
 selementare Funções
1
xf
 
 
 
6 
PARTE 1 
 
1 INTRODUÇÃO SOBRE CONJUNTO 
 
 
1.1 Noção de conjunto 
 
 Em Matemática, existem várias teorias de conjuntos, por exemplo, a teoria ingênua 
de conjuntos e a teoria axiomática de conjuntos, e, em geral, adota-se o termo "conjunto" 
como um conceito primitivo, isto é, que não se define. Entretanto, intuitivamente, o termo 
"conjunto" significa agrupamento, classe ou coleção de elementos. 
 É convencionado nomear os conjuntos por letras maiúsculas e seus elementos por 
letras minúsculas. Os elementos ficam separados por vírgulas e delimitados entre chaves. 
Exemplo: A = { r, s, t }. 
 
1.2 Formas de representar um conjunto 
 As representações mais comuns de um conjunto são feitas por uma propriedade de 
seus elementos, pela enumeração desses elementos, por diagramas e, quando possível, 
geometricamente. 
 
Ex.: M = { x / x é onúmero de erros na página de um livro} (por uma propriedade) 
 M = {0, 1, 2, ..., n} (pela enumeração dos elementos) 
 M 
 
 
 (por diagrama) 
 
 Um conjunto é caracterizado pelos seus elementos e não pelo seu nome, nem pela 
forma de representar o conjunto, nem pela ordem dos elementos. 
 
 Ex.1: T = { 1, 3, 3, 5, 5, 5} = {1, 3, 5} 
 
Ex.2: S = {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0} 
 
 
Ainda, os elementos de um conjunto podem ser também conjuntos. 
 
Ex.: B = { 7, 1/2, 4, m, {2, 4, 7}, {a} } 
 
 
0 
1 
2 
n 
 
 
 
7 
1.3 Relação de pertinência 
 É convencionado usar os símbolos ∈ e ∉ para relacionar elementos com conjuntos, 
ainda que os elementos possam ser também conjuntos. Lê-se “pertence” para o símbolo 
∈ e “não pertence” para ∉. 
 
 Ex.: Dado o conjunto P = { 1, 2, {1, 2}, {{5}} }, tem-se: 
 
1 ∈ P ; 2 ∈ P ; {1, 2} ∈ P ; {{5}} ∈ P ; 5 ∉ P ; {1} ∉ P ; {5} ∉ P 
 
 
1.4 Correspondência biunívoca 
 É o tipo de correspondência entre dois conjuntos no qual cada elemento do 
primeiro conjunto é relacionado a um único elemento do segundo conjunto, e vice-versa. 
 Ex.: 
 
 
 
 
 
1.5 Conjuntos importantes 
 
1.5.1 Conjunto Vazio (

): É aquele que não possui elemento algum. 
 Ex.: A = 

 ou A = { }. 
Observação: O conjunto B = {

} não é vazio, pois possui o elemento 

. 
 
 
1.5.2 Conjunto Unitário: é aquele que possui um único elemento. 
 Ex.1: { 3 } (Lê-se: O conjunto unitário formado pelo algarismo 3) 
Ex.2: { {5} } (Lê-se: O conjunto unitário formado pelo unitário 5). 
 Ex.3: { {6, 7} } (Lê-se: O conjunto unitário formado pelo par não-ordenado 6 e 7). 
 
 
1.5.3 Conjunto Universo (U): é o conjunto ao qual pertencem todos os elementos do 
assunto sob análise. 
 
 
 Ex.1: Num problema de geometria plana, o conjunto universo é um plano 

. 
 Ex.2: Em resolução de equação algébrica, o conjunto universo é um conjunto 
numérico, geralmente. 
Ex.3: Em Álgebra Linear, vários problemas são resolvidos no universo das matrizes 
de ordem m × n (lê-se: 'm por n' ). 
Senha 1 
Senha 2 
Senha 3 
Senha 4 
Pessoa A 
Pessoa B 
Pessoa C 
Pessoa D 
M 
N 
 
 
8 
1.6 Conjuntos iguais 
 Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e todo 
elemento de B pertence a A. 
 Em símbolos, tem-se: A=B
BxAxx  ,
 
 Ex.: {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0} 
 
Observações: 
▪ O símbolo 

 significa “para todo” ou “qualquer que seja”. 
▪ Quando se escreve 
x
, lê-se “para todo 
x
” , e refere-se a todos os elementos 
do conjunto universo em questão. 
 
 
1.7 Conjuntos disjuntos 
 Dois conjuntos A e B são denominados conjuntos disjuntos quando não possuírem 
elemento comum. 
Ex.: A = {2, 4, 5} e B = {1, 3} são conjuntos disjuntos, mas 
M = {números pares} e A = {2, 4, 5} não são conjuntos disjuntos. 
 
1.8 Subconjunto 
 Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento 
de A pertence também a B. 
 Denota-se por A

B e lê-se “A está contido em B”. 
 Em símbolos, tem-se: 
BxAxxBA  ,
. 
 A notação 
BA
 significa que A é subconjunto de B ou que A está contido em B 
ou, ainda, que A é parte de B. 
 O símbolo 

 é denominado sinal de inclusão. 
 Sua negação é 

 (lê-se: “não está contido”) 
 Quando 
BA
 também pode-se escrever B
A
, que se lê “B contém A”. 
 
 Ex.: Dado o conjunto P = { 1, 2, {1, 3}, {{5}} }, tem-se: 
▪ {1} 

 P, pois 1 

 P; 
▪ {1, 2} 

 P, pois 1

P e 2

P; 
▪ {1, 3} 

 P, pois 3

 P, mas { { 1, 3 } } 

 P, pois { 1, 3 } 

 P ; 
▪ 

 P, pois pode-se provar que 

A, qualquer que seja o conjunto A; 
▪ { {{5}} } 

 P, pois {{5}} 

 P; 
▪ {5} 

 P , pois 5 

 P; 
▪ P 

 P, pois pode-se provar que qualquer conjunto está contido nele mesmo. 
 
 
9 
Observação: 
 Sendo A, B e C três conjuntos quaisquer, tem-se: 
a) (
BA
 e 
BAAB  )
 (propriedade anti-simétrica da inclusão ) 
b) (
BA
 e 
CACB  )
 (propriedade transitiva da inclusão) 
 
 
 
1.9 Conjunto das partes de um conjunto 
 Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A (denotado por P(A) ) é o conjunto 
formado por todos os subconjuntos de A. 
 Em símbolos, tem-se: P (A) = {X / X
A
}. 
 Observação: O número de elementos de A, denotado por n(A), é igual a 2n(A) 
 
 
Ex.: M = { a, b, c} 

 P (M) = { 

, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }, sendo o 
número de elementos de P (M) = 2n(M) = 23 = 8. 
 
 
 
1.10 Par ordenado 
 O par ordenado (
ba,
) é, por definição, igual ao par não-ordenado { {
a
}, {
ba,
} }. 
 Em símbolos, tem-se: 
}},{},{{) ,( baaba
def

. 
Observações: 
• (
ba,
) = 
}}{},,{{}}{},,{{}},{},{{ aabababaa 
 
• (
ba,
) =
}},{},{{),(}},{},{{ bababbaa 
 
• (
aa,
) = {{
a
}, {
aa,
}} = {{
a
}, {
a
}}={ {
a
} } 
• No par ordenado (
ba,
), 
a
 e 
b
 podem representar diversas estruturas matemáticas 
como, por exemplo, podem ser conjuntos, números, pares ordenados, matrizes, 
polinômios. 
 
Ex.1: { {3}, { 3, {{4}, {4, 5} } } } = { {3}, { 3, (4, 5) } } = (3, (4, 5) ) 
 
Ex.2: (1,-4) 
Ex3: (
ba,
), onde 
a
{
matrizes 2 x 2} e 
b
∈ { polinômios de grau 2} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
1.11 Operações com conjuntos 
 
1.11.1 União (

) 
 Dados dois conjuntos A e B, a união de A e B, denotada por A

B, é o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. 
Em notação matemática: 
AxxBA  /{
 ou 
}Bx
. 
Ex.: S = {2, 3, 5} e T = {1, 3, 5, 7}, então S

T = {1, 2, 3, 5, 7}. 
 
1.11.2 Interseção (

) 
 Dados dois conjuntos A e B, a interseção de A e B, denotada por A

B, é o 
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. 
Em notação matemática: 
AxxBA  /{
 e 
}Bx
. 
Ex.: S = {2, 3, 5} e T = {1, 3, 5, 7}, então S

T = {3, 5}. 
 
1.11.3 Diferença (  ) 
 Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre A e B, denotada por AB, é o 
conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. 
 Em notação matemática: A B = {
Axx /
 e 
}Bx
 
Ex.: S = {2, 3, 5} e T = {1, 3, 5, 7}, então ST = {2} e TS = {1, 7}. 
 
1.11.4 Complementar de B em relação a A (
C
AB
) 
 Dados dois conjuntos A e B, tal que B 

 A, o complementar de B em relação a A, 
denotado por 
C
AB
, é o conjunto A B . 
Em notação matemática: 
C
AB
 = A B, com B 

 A . 
Ex.1: D = {a, b, 2, 5, 10} e E = {a, b, 1, 2, 3, 5, 9, 10}, então 
CED
E D = {1, 3, 9}, 
pois D 

 E . 
Ex.2: S = {2, 3, 5} e T = {1, 3, 5, 7}, então 
C
TS
 não está definido, pois S

T . 
Ex3: 𝑀 = {a, d, -2, 1/3, 5} e 𝑁 = {d, a, 5, -2, 1/3}, então 𝑀𝑁
𝑐 = 𝑁𝑀
𝑐 = ∅ , pois 𝑀 = 𝑁. 
 
 
Observação: A notação CB representa o complementar de B em relação ao 
conjunto universo U, ou seja, CB = U B. Alguns autores denotam o 
complementar de B em relação ao conjunto universo U por 
B
. 
 
 
 
 
11 
1.11.5 Produto cartesiano () 
 Dados A e B dois conjuntos não vazios. O produto cartesiano de A por B , 
denotadopor AB (lê-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B) é o conjunto 
cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), onde x pertence a A e y pertence a B. 
 Em notação matemática: AB = { (x, y) / x

A e y 

B }. 
 
Ex.: Dados S = { a, 3, {1, 2} } e T = { 5, {6} }, tem-se: 
a) ST = { (a, 5), (a, {6}), (3, 5), (3, {6}), ({1,2}, 5), ( {1,2}, {6} ) } 
b) TS = { (5, a), (5, 3), (5, {1,2}), ({6}, a), ({6}, 3), ( {6}, {1,2} ) } 
 
 Se A ou B for o conjunto vazio, define-se o produto cartesiano de A por B como 
sendo o conjunto vazio. 
 Ex.: A
 
 , 

B = 

 , 



 = 

 . 
 
 Observações: 
• A  B

AB 

 BA. 
• Se A e B são conjuntos finitos, com m e n elementos, respectivamente, então AB 
é um conjunto finito com mn elementos. 
• Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio, então AB é um conjunto infinito.1 
 
 
1.12 Propriedades das operações com conjuntos 
 
 Sendo A, B e C três conjuntos quaisquer e U o conjunto universo, tem-se: 
i) 
AAA 
 
ii) 
AA 
 
iii) A
UU 
 
iv) 
AAA 
 
v) A
 
 
vi) 
AUA 
 
 
1 Conjunto finito é um conjunto que tem n elementos, sendo n um número natural. Um conjunto X é dito infinito 
se admitir subconjunto Y, com 
YX 
, tal que X e Y possam ser colocados em correspondência biunívoca, 
isto é, 
YXf :
 é uma bijeção. Um conjunto infinito pode ser enumerável ou não. Um conjunto é dito 
contável ou enumerável se puder ser colocado em correspondência biunívoca com o conjunto dos números 
naturais (N); caso contrário, o conjunto é não-contável ou não-enumerável. O conjunto N é infinito, pois, por 
exemplo, admite o subconjunto P = {0,2,4,6,...}, que pode ser colocado em correspondência biunívoca com N. 
(SANT’ANNA, A. S. O que é um conjunto. Barueri: Manole (no prelo)) 
 
 
 
12 
vii) 
ABBA 
 (comutativa em relação à união) 
viii) 
)()( CBACBA 
= 
CBA 
 (associativa em relação à união) 
ix) 
ABBA 
 (comutativa em relação à interseção) 
x) 
CBACBA  )()(
=
CBA 
 (associativa em relação à interseção) 
xi) 
)()()( CABACBA 
 (distributiva da união em relação à interseção) 
xii) 
)()()( CABACBA 
 (distributiva da intersecção em relação à união) 
xiii) 
)()()( CABACBA 
 (distributiva da interseção em relação à diferença) 
xiv) 
 AAC
, onde CA é o complementar de A em relação ao conjunto universo U. 
xv) 
CU
 e 
UC 
 
xvi) 
AA CC )(
 
xvii) CBABA  
xviii) CC ABBA  
xix)
CCC BABA  )(
 (Primeira Lei de Morgan) 
 Generalização: 
C
n
CC
n
i
C
i
C
n
i
i
C
n AAAAAAAA 







...)...( 21
11
21 
 
xx) 
CCC BABA  )(
 (Segunda Lei de Morgan) 
Generalização: 
C
n
CC
n
i
C
i
C
n
i
i
C
n AAAAAAAA 







...)...( 21
11
21 
 
xxi) 
CCC BABA )( 
 
xxii) 
)()(( BAABABABA C 
 
xxiii) 
CCC BABA )( 
 
xxiv) A=
)( BAA 
 
xxv) A=
)( BAA 
 
xxvi)
)()( BABAA 
 
xxvii) A=
)()( CBABA 
 
xxviii)
BA 
 

 CC BA   CC AB  onde  significa ou. 
xxix) 
BA 
 e 
DC 
 
) () ( DBCA 
 , onde  é o produto cartesiano. 
xxx) 
) ( ) ()( CABACBA 
 (distributiva do produto cartesiano em relação à união) 
xxi)
) ( ) ()( CABACBA 
 (distributiva do produto cartesiano em relação à interseção) 
xxxii) 
CACBBA  )()(
. onde 

 significa e 
 
 
 
 
13 
Observações: 
• As propriedades das operações com conjuntos, enunciadas anteriormente, são 
demonstráveis no contexto da teoria de conjuntos mais usual (aquela que faz uso do 
Cálculo Proposicional Clássico L e do Cálculo de Predicados). Para demonstrar uma 
dessas propriedades, deve-se ater às definições da teoria em questão, respeitando-se à 
simbologia, às fórmulas, às regras de inferência, etc. 
 
Ex.: Prove a lei comutativa da união de conjuntos 
ABBA 
. 
 
Prova: 
BUAxAxBxBxAxBAxx
sconjdoisdeuniãoda
definiçãoc
 Ll ClássicooposicionaCálculo 
verdadestabelasconforme
sconjdoisdeuniãoda
definiçãoc
 
.' 
 onforme
Pr 
do 
.' 
 onforme
)()()()( ,
 
Logo, 
ABBA 
. 
 
 Tabela verdade da disjunção 

 (ou) 
 do Cálculo Proposicional Clássico L (Cálculo L) 
A 
 
 B 
V V V 
V V F 
F V V 
F F F 
 1ºpasso 3º passo 2º passo 
 Notas: 1) V=verdade, F=falsidade. 2) A e B são fórmulas do Cálculo L. 
 3) A indicação “1º, 2º, 3º passos” na última linha da tabela serve apenas para 
 indicar a ordem em que a tabela deve ser preenchida. 4) Essa última linha não faz 
 parte de uma tabela verdade do Cálculo L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Em Matemática, o processo de demonstração (de uma propriedade, teorema, lema, 
proposição, corolário, etc) não é único. Na prática, muitos autores mesclam o uso da 
linguagem formal da teoria em questão com o uso da linguagem materna dos seus 
interlocutores; a fim de se fazerem compreender por aqueles que não estão habituados à 
linguagem formal daquela teoria. Ao desenvolver um processo de demonstração, deve-se 
estar atento para não contradizer a ideia que deseja provar. 
• Provar algo, mesmo em Matemática, é convencer o interlocutor, por meio do uso da razão, 
a respeito de uma ideia. 
 Tabela verdade da bicondicional 

 
 do Cálculo Proposicional Clássico L (Cálculo L) 
A 

 B 
V V V 
V F F 
F F V 
F V F 
 1º 3º 2º 
 
Tabela verdade 
) ( BA 
 

 
) ( AB 
 
 V V V V V V V 
 V V F V F V V 
 F V V V V V F 
 F F F V F F F 
 1º 3º 2º 5º 2º 4º 1º 
 Nota: Comparam-se os passos 3º e 4º para compor o 5º (conclusão). 
 Como os resultados do 5º passo (conclusão) foram todos V 
 (verdadeiro), então a fórmula ((A

 B) 

 (B 

A)) é uma 
 tautologia, ou seja, as fórmula (A

 B) e (B 

A) são equivalentes. 
 
 
14 
1.13 Partição de um conjunto 
 Definição: Os subconjuntos A1, A2, ..., An formam uma partição do conjunto U se: 
 i) Ai  ,  i = 1, 2, ..., n 
 ii) Ai  Aj = , para i  j (ou seja, Ai e Aj são conjuntos disjuntos), com j = 1, 2, ..., n. 
 iii) 
UA
n
i
i 


1
 
 Ex: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em resumo: 
 Uma partição de um conjunto U é uma coleção de subconjuntos não-vazios e 
disjuntos de U, cujas uniões são iguais a U.A1 
A3 
A2 
An 
... 
An-1 
U 
 
 
15 
2 PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
2.1 Conjunto dos números naturais (N) 
 
 N = { 0, 1, 2, 3, ... } ou . . . . . ... 
 0 1 2 3 4 
 
Subconjunto importante: 
 
N* = N  { 0 } = { 1, 2, 3, 4, ... } 
 
 
No conjunto dos números naturais, são definidas duas operações fundamentais, a 
adição e a multiplicação. 
O conjunto N é fechado em relação à adição e à multiplicação, mas não é fechado 
em relação à subtração nem à divisão. 
No conjunto N não há o simétrico aditivo "−𝑎 " nem o inverso multiplicativo " 
1 
𝑎
". 
Em símbolos, tem-se: 𝑎 ∈ 𝑁∗, −𝑎 ∉ 𝑁 e 𝑎 ∈ 𝑁 − {1} ,
1
𝑎
∉ 𝑁 
 
Propriedades das operações em N 
 
 Sendo a, b e c elementos de N, tem-se: 
 
a + b = b + a (comutativa da adição) 
(a + b) + c = a + (b + c) (associativa da adição) 
a + 0 = 0 + a = a (elemento neutro da adição) 
a∙b = b∙a (comutativa da multiplicação) 
(a∙b) ∙c = a∙(b∙c) (associativa da multiplicação) 
a∙1 =1∙a = a (elemento neutro da multiplicação) 
a∙(b + c) = a∙b + a∙c (distributiva da multiplicação em relação à adição) 
 
 
Observação 1: 
 
 Historicamente, numa visão eurocêntrica sobre a história da humanidade, aceita-se 
que o número zero foi inventado aproximadamente 800 anos depois de Cristo, na Índia, e sua 
invenção foi motivada pela necessidade de representar a linha vazia do ábaco. Entretanto, há 
evidências arqueológicas de que outros povos, além dos hindus, tinham um símbolo para 
representar o nada. Acredita-se que os gregos antigos não conseguiram inventar o zero, pois 
 
 
16 
não admitiam, filosoficamente, a lógica de criar algo para representar o conceito de "nada". 
(BOYER, C. B., 1996; BYERS, W., 2007) 
 A criação dos números naturais foi motivada pela necessidade de contagem, sendo que 
o ser humano efetua processos de contagem desde a idade antiga. Aqui, em Cálculo 
Diferencial e Integral 1, será assumido que o zero pertence ao conjunto dos números naturais, 
embora exista, na matemática, controvérsia a respeito do zero ser ou não um número natural. 
 Sobre a origem dos números negativos, racionais, irracionais, reais e complexos, ver 
os seguintes livros: 
 
• BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo, SP: Edgar Blücher, 1974 (489 p.) 
• GARBI, G. O romance das equações algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997 (258 p.) 
• BYERS, W. How mathematicians think: using ambiguity, contradiction, and paradox to create 
mathematics. New Jersey (USA): Princeton University Press, 2007 (415 p.) 
• MOTA, B. M. Estatuto da matemática em Portugal nos séculos XVI e XVII. Lisboa, Portugal: 
Fundação Calouste Gulbenkian. Fundação para a Ciência e a Tecnologia. Ministério de Ciência, 
Tecnologia e Ensino Superior, 2011 (636 p.) 
 
Observação 2: 
 
 Sendo a e b números naturais quaisquer, pode-se entender que o conjunto dos 
números naturais não é fechado para a subtração ou que a subtração não é uma 
operação definida em N. 
 Pelo raciocínio de N não ser fechado para a subtração, resolver, por exemplo, a 
equação x – 3 = 5, no universo dos números naturais, é admitir a operação de subtração 
em N e daí usar o método da tentativa, substituindo-se todos os números naturais em "x" 
até encontrar um que satisfaça a equação. Nesse caso, o conjunto solução é S = { 8 }. 
 Pelo raciocínio de que a subtração não é uma operação definida em N, somente a 
adição e a multiplicação, a expressão a  b não tem significado em N, pois não existe em 
N o simétrico aditivo de b, de modo a escrever que x – 3 = 5 equivale a x + (–3) = 5. Por 
esse raciocínio, em N, a equação x + (–3) = 5 não faz sentido, uma vez que –3 é um 
elemento estranho ao universo dos números naturais. Nesse caso, a solução da equação 
é escrever "não faz sentido tal equação em N, pois somente as operações de adição e 
multiplicação estão definidas em N e, ao se admitir que x – 3 = 5 equivale a x + (–3) = 5, 
no universo dos números naturais, incorre-se em um absurdo, uma vez que o elemento 
 –3 não pertence ao conjunto dos números naturais". 
 Por sua vez, resolver a equação x + 3 = 5, em N, tem-se S = ∅ , uma vez que pelo 
método da tentativa não há número natural que satisfaça essa equação. 
Os conjuntos numéricos, Z, Q, R – Q, R e C, constituem ampliações de N, a fim de 
solucionar problemas históricos ou lógicos que motivaram essas ampliações (BYERS, W., 2007). 
 
 
17 
2.2 Conjunto dos números inteiros (Z) 
 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } ou ... . . . . . ... 
 -2 -1 0 1 2 
 
 Subconjuntos importantes de Z: 
 
 Z+ = {0, 1, 2, 3, ... } = N (conjunto dos inteiros não-negativos) 
 Z- = {..., -3, -2, -1, 0} (conjunto dos inteiros não-positivos) 
 Z* = Z - {0}= {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } (conjunto dos inteiros não-nulos) 
 ℤ+
∗
 = {1, 2, 3, ... } (conjunto dos inteiros positivos) 
 ℤ−
∗
 = {..., -3, -2, -1} (conjunto dos inteiros negativos) 
 
 No conjunto dos números inteiros, são definidas duas operações fundamentais, a 
adição e a multiplicação, e, ainda, admite-se a existência de elemento simétrico aditivo ou 
oposto. Em símbolos, 
a
Z,

 )( a
Z, tal que 
0)(  aa
. O símbolo 

 significa “existe”. 
 Devido à existência, em Z, de elemento simétrico para a adição é possível definir a 
operação de subtração, em Z, estabelecendo que 
a
Z,
b
Z, tem-se 
).( baba 
 
O conjunto Z é fechado em relação à adição, à multiplicação e à subtração, mas 
não em relação à divisão. 
 No universo dos números inteiros, exceto o 1 e o -1, o inverso de um número 
inteiro 
q
 não existe, isto é, 

q
1
Z se 
q

 Z {-1, 1}. 
 
Propriedades das operações em Z 
 
 Sendo a, b e c elementos de Z, tem-se: 
a + b = b + a (comutativa da adição) 
(a + b) + c = a + (b + c) (associativa da adição) 
a + 0 = 0 + a = a (elemento neutro da adição) 
a + (-a) = 0 (simétrico aditivo ou oposto) 
a∙b = b∙a (comutativa da multiplicação) 
(a∙b) ∙c = a∙(b∙c) (associativa da multiplicação) 
a∙1 = 1∙a = a (elemento neutro da multiplicação) 
a∙(b + c) = a∙b + a∙c (distributiva da multiplicação em relação à adição) 
 
 
18 
Observação: 
 
 Sendo a e b números inteiros quaisquer, pode-se entender que o conjunto dos 
números inteiros não é fechado para a divisão ou que a divisão não é uma operação 
definida em Z. 
 Pelo raciocínio de Z não ser fechado para a divisão, resolver, por exemplo, a 
equação 
𝑥
3
= 4, no universo dos números inteiros, é admitir a operação de divisão em Z e 
daí usar o método da tentativa, substituindo-se todos os números inteiros em "x" até 
encontrar um que satisfaça a equação. Nesse caso, o conjunto solução é S = { 12 }. 
 Pelo raciocínio de que a divisão não é uma operação definida em Z, somente a 
adição, a subtração e a multiplicação, a expressão 
𝑝
𝑞
 não tem significado em Z, pois, 
geralmente, não existe em Z o inverso multiplicativo de 𝑞, de modo a escrever que 
𝑝
𝑞
 
equivale a 𝑝 ∙
1
𝑞
. Em símbolos: 𝑞 ∈ 𝑍 − {−1, 1}, 
1
𝑞
 

 Z. Por esse raciocínio, em Z, a 
equação 
𝑥
3
= 4 escrita de forma equivalente a 𝑥 ∙ 1
3
= 4 não faz sentido, em Z, uma vez 
que 
1
3
 é um elemento estranho ao universo dos números inteiros. Nesse caso, a solução 
da equação é escrever "não faz sentido tal equação em Z, pois somente as operações de 
adição, subtração e multiplicação estão definidas em Z e, ao se admitir que𝑥
3
= 4 
equivale a 𝑥 ∙ 1
3
= 4, no universo dos números inteiros, incorre-se em um absurdo, uma 
vez que o elemento 
1
3
 não pertence ao conjunto dos números inteiros". 
 Por sua vez, resolver a equação 3x = 5, em Z, tem-se S = ∅ , uma vez que pelo 
método da tentativa não há número inteiro que satisfaça essa equação. 
 O conjunto dos números racionais (Q) supera a dificuldade de se proceder a 
divisão de números inteiros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
2.3 Conjunto dos números racionais (Q) 
 
Q = { 
𝑝
𝑞
, com 𝑝 ∈ ℤ 𝑒 𝑞 ∈ ℤ∗} ou 
 
... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... 
 -2 
2
3

 -1 -0,1 0 0,25 1 1,333... 2 2,004 
 
 Os números racionais são aqueles obtidos pela divisão de números inteiros, exceto 
quando o zero está como divisor. Dessa forma, são números racionais os números 
inteiros, os números com finitas casas decimais e os números com infinitas casas 
decimais que apresentam período (dízimas periódicas). 
 
 No conjunto dos números racionais valem as seguintes definições: 
 
 (i) igualdade: 
cbda
d
c
b
a

 (ii) adição: 
db
cbda
d
c
b
a



 
 (iii) multiplicação: 
db
ca
d
c
b
a



 
 
Propriedades das operações em Q 
 Sendo 
,
b
a
 
d
c
 e 
f
e
 elementos de Q, tem-se: 
b
a
d
c
d
c
b
a

 (comutativa da adição) 
)()(
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a

 (associativa da adição) 
𝑎
𝑏
+ 0 = 0 +
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
 (elemento neutro da adição) 
0)( 
b
a
b
a
 (elemento simétrico aditivo ou oposto) 
b
a
d
c
d
c
b
a

 (comutativa da multiplicação) 
)()(
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a

 (associativa da multiplicação) 
𝑎
𝑏
∙ 1 = 1 ∙
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
 (elemento neutro da multiplicação) 
1
a
b
b
a
, com 
0
b
a
 (elemento inverso para a multiplicação) 
f
e
b
a
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
 )(
 (distributiva da multiplicação em relação à adição) 
 
 
20 
 Devido à existência de inverso multiplicativo (em símbolos: 


b
a
Q e 
0
b
a
, 


a
b
Q tal 
que 
1
a
b
b
a
), define-se em Q* = Q – {0} a operação de divisão, estabelecendo-se que 
c
d
b
a
d
c
b
a
:
 para 

b
a
Q* e 

d
c
Q*. Caso 
0
b
a
, então 
b
a
0: 
d
c
, se 
0
d
c
. 
 
 Todo número racional 
b
a
 pode ser representado por um número decimal. Para isso, 
basta dividir o numerador 
a
 pelo denominador 
b
. O número decimal obtido pode ter uma 
quantidade finita de algarismo (decimal exata) ou ter uma quantidade infinita de 
algarismos que se repetem periodicamente (dízima periódica). 
 Todavia, os números decimais com uma quantidade infinita de algarismos não-
periódicos (dízimas não-periódicas) não podem ser obtidos por meio da divisão de dois 
números inteiros. Por isso, as dízimas não-periódicas não são consideradas números 
racionais, mas números irracionais. 
 Se 

b
a
Q e 𝑛 ∈ ℕ − {0, 1}, nem sempre 
n
b
a é racional. Assim, a operação de 
radiciação não pode ser definida em Q. O conjunto dos números reais (R) supera esse 
impedimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
2.4 Conjunto dos números irracionais (R  Q) 
 
 
 Os números irracionais são dízimas não-periódicas; isto é, números com infinitas 
casas decimas que não apresentam período. 
 
Exemplos: 
 
 
a) 
2
=1,4142136... 
b) 
4 5
1,495348... 
c) 
...141592,3
 (𝜋 = Comprimento de uma circunferência / diâmetro dessa circunferência) 
d) e = 2,718281... (e é o número de Euler, obtido a partir de lim
𝑥⟶∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
 ) 
e) 1,010010001... 
f) log2 5 
g) sen 40° 
 
 
Observação: 
 Se 
a
 é um número irracional e 
b
 é um número racional, então 
,ba 
 
,ba 
 
b
a
 e 
a
b
 
são números irracionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
2.5 Conjunto dos números reais (R) 
 
 O conjunto dos números reais tem como elementos todos os números racionais e 
todos os números irracionais. 
 Em símbolos: R = Q 

 (R  Q). 
 Como N  Z  Q, então os números naturais e os inteiros também são 
considerados números reais. 
 Geometricamente, os números reais podem ser representados por uma reta 
contínua, denominada reta real. 
 Dentre os conjuntos numéricos estudados até aqui, o conjunto dos números reais é 
o único que possui representação geométrica por uma reta contínua. Os conjuntos N, Z, 
Q e (R – Q) são representados geometricamente por um conjunto de pontos espaçados 
entre si. Você sabe dizer por quê? 
 
 A reta real é representada pela figura e podem ser 
localizados nela todos os números racionais e irracionais, por meio de uma 
correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os elementos de R. 
 
 
Propriedades das operações em R 
 
 Sendo a, b e c elementos de R, tem-se: 
 
abba 
 (comutativa da adição) 
)()( cbacba 
 (associativa da adição) 
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 (elemento neutro da adição) 
0)(  aa
 (simétrico aditivo ou oposto) 
abba 
 (comutativa da multiplicação) 
)()( cbacba 
 (associativa da multiplicação) 
𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎 (elemento neutro da multiplicação) 
1
1

a
a
, com 
0a
 (inverso para a multiplicação) 
cabacba  )(
 (distributiva da multiplicação em relação à adição) 
R 
 
 
23 
 Observações: 
• Como 

𝑎 ∈ R e 

𝑏 ∈ R, tem-se 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏), então a subtração está 
definida em R. 
• Como 

 𝑎 ∈ R, 

 𝑏 ∈ R*, tem-se 𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑎 ∙
1
𝑏
 ; então a divisão está definida em R*. 
 
• Como os conjuntos Q e (R – Q) são subconjuntos de R, então a radiciação pode 
ser definida em R+; isto é,  𝑎 ∈ R+, n a ∈ R+, com 𝑛 ∈ ℕ − {0, 1}. 
• Se o índice da raiz (𝑛) for um número natural ímpar, maior que 2, os radicais da 
forma 
n a
, com 
Ra
, também resultam em números reais. 
• Se o índice da raiz (𝑛) for um número natural par, maior ou igual a 2, os radicais 
da forma 
n a
, com 
a
∈ ℝ+
∗ , não resultam em números reais. Por exemplo, 
1
R, pois ∄ 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥2 = −1. O conjunto dos números complexos (C) contorna o 
obstáculo da radiciação de índice par e radicando negativo. 
 
 Assim, o conjunto dos números reais é fechado para a adição, a multiplicação, a 
subtração e a potenciação, mas não é fechado para a radiciação. No caso da divisão, só 
há fechamento em R*. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
2.6 Conjunto dos números complexos (C) 
 
 Pode-se definir o conjunto dos números complexos como o conjunto dos pares 
ordenados (𝑥, 𝑦), com 𝑥 ∈ 𝑅 e 𝑦 ∈ 𝑅, para os quais estão definidas a igualdade, a adição 
e a multiplicação conforme abaixo. 
 Tomando dois elementos (a, b) e (c, d) de R2, com R2 = RR, tem-se: 
i) igualdade: (a, b) = (c, d) 

 a = c e b = d 
ii) adição: (a,b) + (c, d) = (a + c, b + d) 
iii) multiplicação: (a, b)·(c, d) = (a·c  b·d, a·d + b·c) 
 
 Todo número complexo z = (a, b) pode ser escrito sob a forma algébrica 
z = a + b∙ 𝑖, onde 𝑖 é denominada "unidade imaginária" e é definida como 𝑖 =
1
, com 
12 i
. 
 É esse significado da unidade imaginária que justifica a definição da multiplicação, 
em C, como dada no item iii, anteriormente, pois: 
),()()).(( 2 bcadbdacibcadbdacbdibciadiacdicbia 
 
 
 Nos livros de engenharia, é usual denotar-se a unidade imaginária por j, obtendo-
se, por exemplo, 
bjaz 
. 
 
 Observações: 
• O conjunto dos números complexos C não é igual ao conjunto R2, uma vez 
que, pela definição de conjuntos iguais, os elementos de C e de R2 não são 
os mesmos. Por exemplo: (𝑎, 𝑏) ∈ C significa que a componente 𝑏 está 
sendo multiplicada pela unidade imaginária, ou seja, (𝑎, 𝑏) é apenas uma 
forma de representar o número complexo 𝑎 + 𝑏𝑖. A forma de representar um 
número complexo por meio de um par ordenado é útil quando deseja-se 
representar geometricamente tal número complexo. 
• Geometricamente, os números complexos são representados num plano 
denominado plano de Argand-Gauss que é conceitualmente diferente do 
plano cartesiano, embora ambos tenham a mesma aparência. 
• Um número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 pode ser representado, ainda, na forma 
trigonométrica ou forma polar, dada por 
).(cos  seniz 
; bem como, na 
forma exponencial 
 iez  
. 
 
 
25 
• A definição de módulo de um número complexo é diferente da definição de 
módulo de um número real, mas preserva a mesma ideia geométrica de 
"distância entre o número e a origem do sistema". 
• A definição de radiciação de um número complexo é diferente da definição 
de radiciação de um número real, embora preserve a mesma ideia de ser a 
operação inversa da potenciação. Deve-se estar atendo com as 
propriedades de radiciação para os números complexos, pois nem sempre 
elas são as mesmas propriedades válidas para os números reais. 
 
Propriedades das operações em C 
 
 Sendo z1, z2 e z3 elementos de C, tem-se: 
 
z1 + z2 = z2 + z1 (comutativa aditiva) 
(z1 + z2) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) (associativa aditiva) 
z + (0,0) = (0,0) + z = z (elemento neutro aditivo) 
z + (-z) = (0,0) (elemento simétrico aditivo ou oposto) 
z1 ∙ z2 = z2 ∙ z1 (comutativa multiplicativa) 
 (z1 ∙ z2) ∙ z3 = z1 ∙ (z2 ∙ z3) (associativa multiplicativa) 
z ∙ (1,0) = (1,0) ∙ z = z (elemento neutro multiplicativo) 
z ∙ (
),
2222 ba
b
ba
a



= (1,0) , com z = (𝑎, 𝑏) (elemento inverso multiplicativo) 
z1 ∙ ( z2 + z3) = z1 ∙ z2 + z1 ∙z3 (distributiva da multiplicação em relação à adição) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
Exemplo: 
 Dada a equação (
x
 3)∙(
x
 + 2)∙(
x
 
)
3
1
∙(
x
+
)2
∙
0)1( 2 x
 , justifique se, em 
relação aos conjuntos universos dados, a equação faz sentido ou se estão adequados os 
respectivos conjuntos soluções: 
 
 
a) S={ 3 }, se U= N (conjunto dos números naturais) 
b) S={ -2, 3 }, se U = Z (conjunto dos números inteiros) 
c) S={ -2, 
3
1
,3 }, se U = Q (conjunto dos números racionais) 
d) S = { -
2
 }, se U = R (conjunto dos números irracionais) 
e) S = { -2, 
3
1
,3, -
2
 }, se U = R (conjunto dos números reais) 
f) S = { -2, 
3
1
,3, -
2
, i, -i }, se U = C (conjunto dos números complexos), com i = 
1
 
 
 
2) (PESQUISA) Quais os conjuntos de números existentes atualmente? Nomine-os, 
conceitue-os e indique as principais propriedades de cada um deles. 
 Sugestão: consulte o sítio eletrônico 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural>, (Wikipedia, "número 
natural") consultando cada conjunto de números indicados na aba à direita. 
 
 
3) (PESQUISA) Pesquise na internet os seguintes temas: 
 
a) "Teoria ingênua dos conjuntos" e "teoria axiomática dos conjuntos" 
 Sugestão: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos> 
 
b) Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha 
 Sugestão: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel> 
 
c) "Axiomas de Peano" e "Teoria da aritmética de primeira ordem". 
 Sugestão: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano> 
 
 
 
 
27 
3 ESTUDO DOS NÚMEROS REAIS 
 
3.1 Intervalos 
 
 Intervalo é um subconjunto dos números reais. 
 
 Exemplos: 
 ba,
, (𝑎, 𝑏), 
),[ ba
 e 
],( ba
 
que são, respectivamente, intervalo fechado; intervalo aberto; intervalo fechado à 
esquerda e aberto à direita; intervalo aberto à esquerda e fechado à direita. 
 
 Os intervalos 
 ba,
, (𝑎, 𝑏), 
),[ ba
 e 
],( ba
 são denominados intervalos limitados2. 
Em cada um desses intervalos, o número 𝑎 é denominado ínfimo ou extremo inferior do 
intervalo, e o número 𝑏 é denominado supremo ou extremo superior. O ínfimo e o 
supremo podem pertencer ou não ao intervalo. 
 Os intervalos (-

, b], (-

,b), [a, +

) , (a, +

) e (-

, +

) são denominados 
intervalos ilimitados. Os intervalos (-

, b] e (-

,b), por exemplo, podem ser 
denominados também intervalos limitados superiormente. Analogamente, os intervalos 
[a, +

) e (a, +

) são intervalos limitados inferiormente. 
 
 
3.2 Valor absoluto ou módulo de um número real 
Definição: Para todo 𝑥 ∈ R, o módulo de 𝑥, denotado por 
x
, é definido por






0 x sex -
0 xse x
x
 
 De acordo com a definição anterior, para todo 𝑥 ∈ R, tem-se 
0x
. 
 
Propriedades de módulo em R 
 
 Resolva os exercícios 22 e 23 da lista de exercícios de Pré-Cálculo e sintetize as 
propriedades do módulo de números reais. 
 Compare a definição em módulo em R com a definição de módulo em C. 
 
2 Um subconjunto X dos números reais (
RX 
) é limitado superiormente quando existe 
XxxbRb  , / 
. Essa afirmação é equivalente a dizer 
],( bX 
. Cada número real b com 
essa propriedade é denominado cota superior de X. A menor das cotas superiores é denominada supremo 
ou extremo superior. Analogamente, 
RX 
 é limitado inferiormente quando existe 
Xxx aRa  ,/
. 
Essa afirmação é equivalente a dizer 
),[  aX
. Cada número real 𝑎 com essa propriedade é denominado 
cota inferior de X. A maior das cotas inferiores é denominada ínfimo ou extremo inferior. Se 
RX 
 for 
limitado superiormente e inferiormente, diz-que X é limitado, ou seja, quando existem a e b tais que 
],[ baX 
. 
 
 
 
28 
3.3 Raiz quadrada em R 
 
Definição: Para um número real não-negativo 𝑥 , a raiz quadrada de 𝑥, denotada por √𝑥, 
é um número real não-negativo 𝑎, tal que 𝑎2 = 𝑥. 
Em linguagem matemática, tem-se: 
𝑥 ∈ R+, √𝑥 = 𝑎 ⟺ 𝑎2 = 𝑥, 𝑎 ∈ R+ 
Exemplos: 
 
a) Resolva, em R, a equação 𝑥2 = 4 
Solução: 
𝑥2 = 4 ⇒ √𝑥2 = √4 ⇒ |𝑥| = 2 ⇒ {
−𝑥 = 2, se 𝑥 < 0
ou
𝑥 = 2, se 𝑥 > 0
 ⇒ {
𝑥 = −2
ou
𝑥 = 2
 
Portanto, S = {−2, 2 } 
 
b) Resolva, em R, a equação 3𝑥(𝑥 − 2) −
4
5
= 2(𝑥2 − 3𝑥) + 20 
Solução: 
3𝑥(𝑥 − 2) −
4
5
= 2(𝑥2 − 3𝑥) + 20 ⇒ 
3𝑥2 − 6𝑥 −
4
5
= 2𝑥2 − 6𝑥 + 20 ⇒ 
3𝑥2 − 6𝑥 − 
4
5
− 2𝑥2 = 2𝑥2 − 6𝑥 + 20 − 2𝑥2 ⇒ 
𝑥2 − 6𝑥 − 
4
5
= −6𝑥 + 20 ⇒ 
𝑥2 − 6𝑥 − 
4
5
+ 6𝑥 = −6𝑥 + 20 + 6𝑥 ⇒ 
 𝑥2 − 
4
5
= 20 ⇒ 
𝑥2−4
5
+
4
5
= 20 +
4
5
 ⇒ 
 𝑥2 =
100
5
+
4
5
=
104
5
 ⇒ 
 
 
29 
 √𝑥2 = √
104
5
 = 
√2226
√5
= 
√22√26
√5
=
2√26
√5
=
2√26
√5
√5
√5
 ⇒ 
|𝑥|= 
2√130
5
 ⇒
{
 
 −𝑥 =
2√130
5
, 𝑥 < 0
𝑥 =
2√130
5
, 𝑥 > 0
 ⇒ 
{
 
 𝑥 = −
2√130
5
𝑥 =
2√130
5
 
 
Portanto, S = {−
2√130
5
, 
2√130
5
 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
PARTE 2 
1 SISTEMAS DE COORDENADAS 
 
Conceito: Sistemas de coordenadas são referenciais pelos quais se estabelece uma 
correspondência recíproca entre pontos geométricos e números reais. 
 
 Esses sistemas são usados para investigação analítica (que procede por análise) de 
propriedades geométricas; por exemplo, determinar a equação de uma curva geométrica. 
 
 
1.1 SISTEMA UNIDIMENSIONAL OU SISTEMA LINEAR 
 
1.1.1 Conceito e Representação 
 
 No sistema linear, um ponto pode mover-se livremente sobre a reta dos números 
reais, denominada simplesmente de reta real. 
 A reta real representa geometricamente o espaço de dimensão um. A orientação 
positiva da reta é da esquerda para a direita, sendo O um ponto fixo sobre essa reta. O 
ponto O é denominado origem do sistema e a reta real orientada é denominada eixo. 
 A distância de um ponto P à origem O é x vezes o comprimento adotado como 
unidade de medida na escala do eixo. Se P localiza-se à direita da origem, x é positivo. 
Se P localiza-se à esquerda da origem, x é negativo. 
 Nessa correspondência entre o ponto P e o número real x, diz-se que: 
• P tem coordenada (x); 
• P é a representação geométrica ou gráfica do número real x; 
• A coordenada (x) é a representação analítica de P; 
• Há correspondência biunívoca entre ponto geométrico e número real; ou seja, a 
cada número real corresponde um e único ponto sobre o eixo, e a cada ponto 
sobre o eixo corresponde um e único número real. 
 
Geralmente escreve-se, juntos, o ponto P e sua coordenada x, assim: P(x). 
 A origem O tem coordenada 0 (zero) e o ponto A, correspondente à unidade de 
comprimento adotada (escala), tem coordenada 1. 
 Ex.: 
 
 
 
 
 
A O P 
0 1 
R 
x 
 
 
31 
1.1.2 Comprimento de um Segmento Retilíneo Orientado 
 
 Num sistema linear, o comprimento do segmento retilíneo orientado 
21PP
, determinado 
por dois pontos dados 
)( 11 xP
 e 
)( 22 xP
, é obtido, tanto em grandeza como em sinal, 
subtraindo-se a coordenada do ponto inicial 
1P
 da coordenada da extremidade 
2P
. Assim: 
1221 xxPP 
 
 
 
1.1.3 Distância entre Dois Pontos, no Sistema Linear 
 
 A distância d entre dois pontos dados 
)( 11 xP
 e 
)( 22 xP
 é definida como o valor 
absoluto do comprimento do segmento retilíneo determinado por esses dois pontos. Assim: 
1221 xxPPd 
 
 
 
1.1.3 Ponto de Acumulação e Vizinhança, na Reta Real 
 
 Um número 
a
, com 
a
R, chama-se ponto de acumulação do conjunto X, com X

R, quando todo intervalo aberto (
  aa ,
), de centro em 
a
, contém algum ponto x
X
, 
diferente de 
a
; onde 

> 0 é o raio do intervalo. 
 
 Se 
a
 é ponto de acumulação à direita do conjunto X, então todo intervalo [
a
,
a
+

), 
com 

>0, contém algum ponto de X diferente de 
a
. Analogamente, se 
a
 é ponto de 
acumulação à esquerda do conjunto X, então todo intervalo (
a
 - 

, 
a
], com 

>0, contém 
algum ponto de X diferente de 
a
. 
 
 A condição “
a
 é ponto de acumulação de X” exprime-se simbolicamente por: 
  axXx 0/ ,0
, 
onde 
 ax
 , equivalente a 
a
 < x < 
a
+

 ou a -

< 
ax 
 <

 ou, ainda, a x
),(   aa
, representa a vizinhança de raio 

 do ponto 
a
. 
 
 Geometricamente, tem-se: 
 
 
 
 
 
a 
) ( 
R 
 
X 
 
 
32 
 
1.2 SISTEMAS BIDIMENSIONAIS 
 
1.2.1 Conceito, Tipos e Representações 
 
 Um sistema bidimensional é um sistema no qual um ponto pode se mover 
livremente para todas as posições de um plano. 
 
 Para localizar um ponto, num plano, é necessário um sistema de coordenadas. 
 Os sistemas bidimensionais mais comuns são: o sistema cartesiano ortogonal, o 
sistema cartesiano oblíquo e o sistema de coordenadas polares. 
 Em Cálculo Diferencial e Integral 1, o enfoque é dado ao estudo de relações e de 
funções caracterizadas sobre um sistema cartesiano ortogonal. Esse sistema é 
denominado, ainda, sistema de coordenadas cartesianas retangulares ou plano 
cartesiano. 
 O sistema de coordenadas polares (ou sistema polar), o sistema cartesiano oblíquo 
e os sistemas tridimensionais de coordenadas são estudados em outras disciplinas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) Plano Cartesiano (b) Sistema de Coordenadas Polares 
 
Figura 1 – Exemplos de sistemas bidimensionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
1.2.2 Sistema Cartesiano Ortogonal ou Plano Cartesiano 
 
 Esse sistema é formado por duas retas orientadas, denominadas eixos 
coordenados, perpendiculares entre si. O ponto O, de intersecção entre os eixos 
coordenados, é denominado origem do sistema. Veja a figura 2, adiante. 
 
 O eixo 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ ou, mais comumente, eixo x, é denominado eixo das abscissas; e o eixo 
𝑂𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗ , ou eixo y, é o eixo das ordenadas. 
 A orientação positiva do eixo x é para a direita, e a orientação positiva do eixo y é 
para cima. 
 Os eixos coordenados x e y dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no 
sentido anti-horário, conforme apresentado na figura 2, adiante. 
 Sobre o eixo das abscissas e à direita de O, marca-se o ponto A, correspondente à 
unidade de comprimento do eixo x. Analogamente, sobre o eixo das ordenadas e acima 
de O, marca-se o ponto B, correspondente à unidade de comprimento do eixo y. Os 
segmentos 
 OA
e 
OB 
 representam as escalas utilizadas no eixo x e no eixo y, 
respectivamente. 
 Os segmentos 
 OA
e 
OB 
 não necessitam ter exatamente a mesma medida, uma 
vez que x e y geralmente representam grandezas distintas; por exemplo, tempo e 
velocidade, tempo e deslocamento, lado e área, etc. Como, em Matemática, x e y são 
grandezas quaisquer, é usual adotar a mesma escala para ambos os eixos coordenados. 
Essa escala é denominada escala identidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2 – Esquema de um Plano Cartesiano 
 
 
 
1 
A 
y 
x O 
I(+,+) II(-,+) 
III(-, -) IV (+,_) 
 
 
B 1 
 
 
34 
 
 No plano cartesiano, cada ponto P pode ser, inequivocamente, localizado mediante 
um par ordenado (𝑥, 𝑦), onde 𝑥 é a abscissa de P e 𝑦 é a sua ordenada. 
 No par ordenado (𝑥, 𝑦), 𝑥 e 𝑦 não podem ser trocados de lugar, pois há uma 
relação de ordem no par. Os números reais 𝑥 e 𝑦 são denominados coordenadas 
retangulares de P. 
 O módulo da abscissa 𝑥 representa a distância que P está do eixo 𝑦 e o módulo da 
ordenada 𝑦 representa a distância que P está do eixo 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3 – Localização de um ponto P, no plano cartesiano 
 
 
 
 No plano cartesiano, para cada ponto distinto P, há um e apenas um par de 
coordenadas (𝑥, 𝑦). Inversamente, qualquer par de coordenadas (𝑥, 𝑦) determina um e 
apenas um ponto. Assim, no sistema cartesiano ortogonal, há uma correspondência 
biunívoca entre cada ponto geométrico e um par ordenado de números reais. 
 A localização de um ponto por meio de suas coordenadasé denominada gráfico 
do ponto. Um gráfico de pontos é mais fácil de ser construído se for utilizado papel de 
coordenadas retangulares (papel quadriculado). 
 Os pontos do plano cujas ordenadas são zero localizam-se sobre o eixo 𝑥, e os 
pontos cujas abscissas são zero localizam-se sobre o eixo 𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
x 
y 
P(x,y) 
Px 
Py 
 
 
 
 
35 
 
1.2.2.1 Distância entre Dois Pontos, no Plano Cartesiano 
 
 Exercício: 
 
 Num plano cartesiano, localize dois pontos P1(x1, y1) e P2 (x2, y2), onde x1, x2, y1 e 
y2 são números reais quaisquer, e determine a distância entre P1 e P2. 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No triângulo 
21MPP
 tem-se: 
121 yyMP 
 e 
122 xxMP 
. 
 
 Atente-se ao conceito de distância entre dois pontos no sistema unidimensional, 
para não tomar, por exemplo, a distância entre P1 e M, dada pelo valor absoluto do 
comprimento do segmento orientado 
MP1
, como negativa; já que, neste caso, 
.012  yy
 
É comum o erro 
121 yyMP 
. 
 
 Pelo teorema de Pitágoras, vem: 
2
12 PP
= 
2
1MP
+
2
2MP
 

 
2
12 PP
=
2
12 yy 
 + 
2
12 xx 

 
2
12 PP
=
2
12 )( xx 
 + 
2
12 )( yy 
, pois 
 aaa ,2
2
R. 
 
Fazendo d = 
12 PP
, vem: 
2
12
2
12 )()( yyxxd 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
O 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
O 
 
 
 
M 
Observação: 
Neste caso, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
36 
 
1.2.2.2 Bola aberta ou Vizinhança e Ponto de Acumulação, no Plano Cartesiano 
 
a) Bola aberta ou vizinhança, no plano cartesiano 
 
 Sejam o ponto P0 e o número real 

, com P0 (x0, y0) 

 R2 e 

> 0. Chama-se bola 
aberta ou vizinhança de centro em P0 e de raio 

, denotada por B(P0, 

), o conjunto de 
todos os pontos P(𝑥, 𝑦) 

 R2 cuja distância até P0 é menor que 

, isto é, pelos pontos 
P(𝑥, 𝑦) que satisfazem 
 0PP
. 
 Em símbolos, tem-se: 
 
B(P0, 

) = { (𝒙, 𝒚) 

 R2 /
 ),(),( 00 yxyx
} = { (𝒙, 𝒚) 

R2 / 
 2020 )()( yyxx
} 
 
 Geometricamente, no plano cartesiano, B(P0, 

) é o conjunto de todos os pontos 
internos à circunferência de centro em P0(x0, y0) e de raio 

. 
 Nesse caso: 
 ),(),( 00 yxyx 
 = 
2
0
2
0 )()( yyxx 
 
 
 
b) Ponto de Acumulação, no Plano Cartesiano 
 Seja 
X
R2. Um ponto P0
),( 00 yx
, com P0  R2 e P0 não necessariamente 
pertencente a X, é dito um ponto de acumulação de X, se toda bola aberta de centro em 
P0 contiver pelo menos um ponto P
),( yx
, com P
X
 e P 

 P0. 
 
 Dizer que 
),( 00 yx
 é ponto de acumulação de X significa dizer que existem pontos 
),( yx
de X, distintos de 
),( 00 yx
, tão próximos de 
),( 00 yx
 quanto se queira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 INTRODUÇÃO À RELAÇÃO BINÁRIA E À FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL 
 
 Considere a seguinte situação: 
 
 “Num dia de frio, um jovem ou uma jovem está, despreocupadamente, tomando 
seu banho, na água bem quente; e o banheiro enchendo-se de vapor de água. A mãe, 
impaciente, bate periodicamente à porta: 
 - Saia já desse banho. Já falei várias vezes: desligue o chuveiro!” 
 
 Para o jovem ou a jovem, o importante é prolongar o seu prazer, num banho bem 
quente; mas para a mãe, a preocupação é outra: as faturas de energia elétrica e de água que 
deverão ser pagas, dentro em breve. Aqui, está sendo considerado um chuveiro elétrico. 
 Uma situação como essa pode ser analisada do ponto de vista quantitativo, a 
exemplo de muitas outras situações quotidianas. 
 Para uma análise quantitativa, primeiramente, liste as grandezas físicas envolvidas 
no problema em questão, com suas respectivas unidades de medida. Grandeza física, 
aqui, é tudo aquilo que pode ser medido, pesado ou comparado quantitativamente. 
 No problema acima, tem-se, por exemplo, as seguintes grandezas físicas e suas 
unidades de medida: 
• Potência do chuveiro (em watts), 
• Temperatura da água (em ºC), 
• Tempo que o chuveiro permanece ligado (em minuto), 
• Vazão da água (em m3/minuto), 
• Volume de água utilizada (em m3), 
• Energia consumida (em kwh), 
• Valor a ser pago pela energia consumida (em $), 
• Valor a ser pago pela água utilizada (em $). 
 
 Numa situação ideal, algumas dessas grandezas podem ser consideradas 
constantes e outras variáveis como, por exemplo: 
 
Grandezas constantes Grandezas variáveis 
Potência do chuveiro Volume de água 
Temperatura da água Tempo que o chuveiro permanece ligado 
Vazão da água Energia consumida pelo chuveiro 
- Valor pago pela energia consumida 
- Valor pago pela água utilizada 
 
 
 É possível determinar um modelo matemático para representar essa situação. 
 Nesse modelo, podem ser relacionadas diversas grandezas ou, no caso mais 
simples, apenas duas delas. 
 
 
 
38 
 Dentre as grandezas variáveis listadas anteriormente, pode-se relacionar duas 
delas; por exemplo: 
• a energia consumida e o tempo em que o chuveiro permanece ligado; 
• a energia consumida e o valor pago por essa energia; 
• o volume de água utilizada e o tempo em que o chuveiro permanece ligado; 
• o volume de água utilizada e o valor pago por esse volume de água . 
 
 Em cada uma dessas relações, é preciso identificar qual é a variável dependente e 
qual é a variável independente, perguntando-se qual grandeza depende de qual. Por 
exemplo: a energia consumida depende do tempo em que o chuveiro permanece ligado, 
ou é o tempo em que o chuveiro permanece ligado que depende da energia consumida? 
 Na relação entre a energia consumida e o tempo em que o chuveiro permanece 
ligado, a energia consumida depende do tempo em que o chuveiro permanece ligado. Nesse 
caso, o tempo é arbitrário (grandeza independente) e a energia consumida é a grandeza 
dependente. 
 Na relação entre a energia consumida e o valor pago por essa energia, o valor pago 
pela energia depende da quantidade de energia que é consumida. Nesse caso, a energia 
consumida é a grandeza independente e o valor a ser pago é a grandeza dependente. 
 Analogamente, o volume de água utilizada depende do tempo em que o chuveiro fica 
ligado e o valor a ser pago pela água consumida depende do volume de água que é utilizado. 
 Em Matemática, no estudo das relações entre duas grandezas quantitativas, é 
usual representar, genericamente, a variável dependente por y, e a variável independente 
por x, sem se preocupar com o que essas grandezas podem estar representando 
particularmente (se tempo, se volume, se área, etc). 
 Assim, na relação entre energia consumida e tempo, a energia será representada 
por y e o tempo, por x. Já na relação entre valor pago e energia consumida, o valor pago 
será representado por y e a energia consumida, por x. 
 Utilizando-se diagramas, pode-se resumir essas duas situações, nominando-as de 
S e T, onde S e T representam as seguintes relações distintas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia 
consumida 
 (x) 
Valor pago 
 (y) 
x1 
x2 
xn 
y1 
yn 
 
y2 
T 
Tempo 
 (x) 
Energia 
consumida 
 (y) 
x2 
xn 
 
x1 y1 
y2 
 
yn 
S 
 
 
39 
 
 Se a cada valor da variável independente x houver apenas um único 
correspondente valor da variável dependente y, então a relação é denominada função. 
 
 Exemplo: 
 A lei matemática y = x2, onde x
 R, y 

R, expressa que y é uma função de 
x, pois para cada valor real de x existe um único y em correspondência. No 
entanto, em y2 = x, y não é uma função de x, mas x é função de y. 
 
 Numa função, a lei matemática que associa x e y pode ser: uma função polinomial; 
uma função racional; uma função irracional; uma função trigonométrica circular; uma 
função exponencial; uma função logarítmica; uma função modular, dentre outras, 
dependendo da natureza do problema analisado. 
 Em Cálculo Diferencial e Integral 1, serão estudadas apenas as relações entre 
duas grandezas e somente quando ambas assumem valores reais (o universo 
considerado é o conjunto dos números reais, tanto para a grandeza dependente como 
para a independente). 
 A seguir, serão discutidos, de forma mais rigorosa do ponto de vista matemático, os 
conteúdos relação binária e função real de uma variável real. 
 
3 RELAÇÃO BINÁRIA 
 
3.1 DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO 
 
 Definição: 
 Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, chama-se relação binária de A em B a 
todo subconjunto R de A × B. 
 Em símbolos: 
R é relação binária de A em B 

R 

 A × B. 
 
 Observações: 
• R, aqui, não é o conjunto dos números reais, mas o nome de uma relação 
entre os conjuntos A e B; 
• A × B, como visto anteriormente, é um conjunto denominado produto 
cartesiano entre os conjuntos A e B; lê-se: A cartesiano B. 
 
 Exemplos: 
 
Dados A = {2, 3, 4, 8} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, tem-se: 
 
a) A × B = { (2, 2),(2, 3),(2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), 
 (4, 2),(4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (8, 2), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6), (8, 7) }. 
 
b) Seja R o conjunto de pares ordenados (x, y) 

 A × B tal que x é divisor de y. 
Assim: 
 R = {(x, y) 

 A × B / x y} = {(2, 2),(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)} é uma relação 
binária de A em B. 
 
 Observação: x y lê-se: x divide y ou x é divisor de y. 
 
 Em diagramas tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde A é o conjunto de partida e B é o conjunto 
de chegada da relação R. 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
8 
 2 
 
3 
 
 4 
 
 5 
 
 6 
 
7 
 
A B 
R 
 
 
41 
3.2 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO, IMAGEM DE UMA RELAÇÃO BINÁRIA 
 
3.2.1 Domínio de uma relação R, de A em B, é o conjunto D de todos os primeiros 
elementos dos pares ordenados pertencentes a R. 
 Em símbolos: 
x
R ),( / ,  yxByyD
. 
 No diagrama anterior, D = {2, 3, 4} 
 
3.2.2 Contradomínio de uma relação R, de A em B, denotado por CD, é o conjunto de 
chegada B. 
 
3.2.3 Imagem de uma relação R, de A em B, é o conjunto Im de todos os segundos 
elementos dos pares ordenados pertencentes a R. 
 Em símbolos: y
Im
 
R),( / ,  yxAxx
. 
 No diagrama anterior, Im = {2, 3, 4, 6}. 
 
Observação: 
• Decorre da definição que, numa relação R, de A em B, 
 AD 
e 
BIm 
. 
 
 
3.3 RELAÇÃO INVERSA 
 
 Definição: 
 Dada uma relação R, de A em B, o conjunto 
 R),( / ),( R 1  yxABxy
 é uma 
relação de B em A, denominada relação inversa de R. 
 
 Note que se R é uma relação de A em B, então 1R  é um subconjunto de B × A. 
 
 Em diagrama, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades das Relações Binárias Inversas 
a) D(R-1) = Im(R) 
b) Im(R-1) = D(R) 
c) (R-1)-1 = R 
 
x1 . 
 
x2 . 
 
xn . 
. y1 
 
. y2 
 
. yn 
A 
R 
B 
x1 . 
 
x2 . 
 
xn . 
. y1 
 
. y2 
 
. yn 
A 
R-1 
B 
 
42 
4 FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL3 
 
4.1 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO 
 
Definição 
 Dados dois conjuntos de números reais A e B, não vazios. Uma relação f, de A em B, 
recebe o nome de aplicação de A em B, ou função definida em A com imagens em B, ou, 
simplesmente, função definida de A em B se, e somente se, para todo x 
A
 existe um único 
y 
B
, tal que (x, y) 
f
. 
 Em símbolos: 
f é função definida de A em B 
,( Ax
 ∃| 
fyxBy  ),( / 
}. 
 
 Observações: 
• ∃| lê-se: existe um único; 
• Toda função f definida de A em B é uma relação binária de A em B, isto é, f é um 
subconjunto de A × B; 
• Em geral, há uma sentença matemática y = f(x) que determina y para um dado x
A
. 
Essa sentença matemática é denominada lei de correspondência. 
 
 
Notação das funções 
 Denota-se uma função 
f
, definida de A em B, segundo a lei de correspondência 
)(xfy 
, por: 
 
B
xfy
Af
x )(
:
 


 ou 
f
:
B
xf
A
x )( 


 ou, ainda, 
B
xf
A
x
f
)( 


 
 
Lê-se: 
f
 é uma função que associa cada 𝒙 de A a um 𝒚 de B tal que 
)(xfy 
. 
 
 
 
 
 
 
3 Em Cálculo Diferencial e Integral 1, estudaremos apenas as funções reais de uma variável real, isto é, 
aquelas funções que possuem apenas uma variável livre (independente) e que, tanto a variável dependente y 
como a variável independente x, assumem apenas valores reais (o conjunto universo é o conjunto dos números 
reais). Essas funções são regidas por uma lei matemática do tipo y=f(x) e o gráfico é uma curva plana contida 
do plano cartesiano. Em Cálculo Diferencial e Integral 2, serão estudadas as funções reais de duas variáveis 
livres, regidas por leis matemáticas do tipo z=f(x,y) cujos gráficos são superfícies do espaço tridimensional, e, 
ainda, serão estudadas as funções de três ou mais variáveis livres, regidas por leis matemáticas do tipo 
t=f(x,y,z), w=f(x,y,z,t) etc. Em Cálculo Diferencial e Integral 3, serão estudadas as funções de variáveis 
complexas (o conjunto universo é o conjunto dos números complexos). 
43 
4.2 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
 
4.2.1 Domínio 
 O domínio de uma função 
f
, definida de A em B, é o conjunto D dos elementos 
𝒙
A
 para os quais existe 𝒚
B
, tal que (𝒙, 𝒚)
f
. Como, pela definição de função, todo 
elemento de A tem essa propriedade, então D(
f
) = A. 
 Em símbolos: 
D(
f
) = {

 x
A
, 
}),( / fyxBy 
. 
 
 Se 𝒙
)( fD
, diz-se que 
f
 é definida em 𝒙 ou, ainda, que 
f
(𝒙) existe. 
 A expressão 
f
 não é definida em 𝒙 significa que 𝒙 
)( fD
. 
 
4.2.2 Contra-domínio 
 O contradomínio de uma função 
f
, definida de A em B, é o conjunto CD dos 
elementos 𝒚
B
. 
 Assim: 
CD (
f
) = B. 
 
4.2.3 Imagem 
 A imagem de uma função 
f
, definida de A em B, é o conjunto Im dos elementos 
𝒚
B
 para os quais existe 𝒙
A
 tal que (𝒙, 𝒚)
f
. Portanto, Im 
B
. 
 Em símbolos: 
Im(
f
) = {

 y
B
, 
}),( / fyxAx 
. 
 
Observação: 
• Quando se trabalha com subconjuntos dos números reais, é usual a função ser 
caracterizada apenas pela lei de correspondência que a define, 𝒚 =
f
(𝒙). Nesse 
caso, o domínio de 
f
 é o conjunto de todos os números reais para os quais a 
função está definida. No entanto, a fim de evitar confusões, é preferível usar a 
notação 
B
xfy
RAf
x )(
:
 
 

, ainda que não se explicite o domínio A. 
 
 
 
 
 
44 
4.3 FUNÇÕES IGUAIS 
 
 Duas funções 
f
e g, tais que 
f
está definida de A em B e g está definida de C em D, 
são iguais se, e somente se, 

 
Ax
, tem-se: 
i) A = C (domínios iguais) 
ii) B = D (contradomínios iguais), 
iii) 
f
(x) = g(x) (leis decorrespondências iguais) 
 
 Exemplos: 
 a) As funções 
R
xy
Rf
x 2
:
 


 e 
R
xy
Rg
x 


:
 
 são iguais, pois 
Rxxx  ,2
. 
 b) As funções 
R
x
x
y
Rh
x
2
4
}2{:
 
2



 

 e 
R
xy
Rj
x 2
}2{:
 
 

 são iguais, pois 
2
2
42



x
x
x
, se 
2x
. 
 
 
4.4 REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO 
 
 Uma função real de uma variável real pode ser representada por um diagrama de 
Venn, por um gráfico, ou, ainda, na forma explícita, implícita ou paramétrica, conforme a 
natureza do problema correspondente. 
 
 Exemplos: 
 
a) Diagrama de Venn 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Funções representadas por diagramas de Venn 
 
 
 
 
x1 . 
 
x2 . 
 
x3 . 
. y1 
 
. y2 
 
. y3 
A 
f 
B 
5 
 
7 
 
10 
 11 
 
 
 13 
 
M 
g 
 N 
45 
b) Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Função representada por um gráfico 
 
 
 
c) Forma Explícita 
 
 Uma função real de uma variável real está representada na forma explícita se a 
variável dependente é dada em função da variável independente, ou seja, a variável 
dependente está isolada. 
 Genericamente escreve-se y = f(x) , y= g(x), s=h(t), x = j(y), etc 
 
 
Exemplos: (R, abaixo, é R, o conjunto dos números reais) 
 
c.1) f :
R
xxy
RD
x 34 2 
 

 c.2) g:
R
xxseny
RD
x 
 
 
 
 
c.3) h:
R
tts
RD
t 5 2 
 

 
 
c.4) j:
R
yx
RD
y 43 
 

 (neste caso, a variável dependente é x e a independente é y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = 
46 
d) Forma implícita 
 
 A equação F(x, y) = k define implicitamente as funções y=f(x) ou x=g(y) se, ao 
substituirmos y por f(x) ou x por g(y), na equação F(x, y) = k, essa equação se transforma 
numa identidade. 
 
 Observação: 
• Nem sempre uma equação F(x, y) = k define uma função y=f(x) ou x=g(y); por 
exemplo, em: 
a) 
101 2222  yxyx
. Não existe par ordenado (x, y), com x e y reais, 
que satisfaça essa equação. 
 
b) 
0022  yxyx
. 
 
 Ainda que a equação F(x, y) = k admita soluções, ou seja, ainda que existam pares 
ordenados (x, y) de números reais que satisfaçam tal equação, por si só ela não representa y 
como função de x e nem x como função de y. 
 
 Exemplo: 
 A equação x2 + y2 = 4 possui infinitas soluções. 
 Ela representa uma circunferência de centro na origem e raio igual a 2. 
 No entanto, x2 + y2 = 4 não representa y como função de x, pois para x pertencente 
ao intervalo 
 2 ,2
 existem dois valores de y em correspondência. 
 Analogamente, a equação x2 + y2 = 4 também não representa x como função de y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x2+y2=4 
x 
y 
47 
 Todavia, se tomarmos, por exemplo, 
0 e ]2 ,2[  yx
, a equação 
222 44 xyyx 
 representa implicitamente a função f:
  

  R
xyx 24
2 ,2
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De forma análoga, a equação 
422  yx
 também representa implicitamente as funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, a equação F(x,y) = k, quando define alguma função, pode representar 
implicitamente diversas funções dos tipos y=f(x) ou x=g(y). 
 
 
f: . 
x 
y 
 
g: 
x 
y 
 
h: 
x 
y 
 
j: 
 
y 
x 
 
 
m: 
com 
x 
y 
48 
 Usualmente, a forma implícita é utilizada para representar uma função quando não é 
possível utilizar a forma explícita y=f(x) ou x=g(y). 
 
 Exemplo: 3x2y +2 ln (xy) = 0. 
 
 
e) Forma paramétrica 
 
 Sejam 





)(
)(
tyy
txx
 duas funções reais da mesma variável real t, com 
],[ bat 
. A cada 
valor de t correspondem dois valores x e y. Consequentemente, a cada valor de t 
corresponde um ponto P(x(t),y(t)) do plano cartesiano xOy. Se as funções x=x(t) e y=y(t) são 
contínuas, quando t varia de 
a
 até 
b
, o ponto P(x(t), y(t)) descreve uma curva no plano. As 
equações x=x(t) e y=y(t) são denominadas equações paramétricas da curva, e t é 
denominado parâmetro. 
 
Exemplos: 
a) 







sen
cos
ry
rx
, onde 
rad 2πθ0 e 0 r
, são as equações paramétricas de uma 
circunferência com centro na origem do sistema de coordenas cartesianas e raio igual a r. 
 Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x2+y2=r2 
x 
y 
 
P 
Como , 
vem: 
 , 
onde . r 
49 
b) 







sen
cos
by
ax
, onde 
rad 2πθ0 e 0,0  ba
, são as equações paramétricas de uma elipse 
com centro na origem, semieixo maior 
a
 e semieixo menor 
b
. 
 Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Toma-se um ponto P(x,y) qualquer sobre a elipse 
e ergue-se uma perpendicular ao eixo x, passando por 
P(x,y). 
 Seja A o ponto de interseção entre essa 
perpendicular e a circunferência de centro na origem e 
raio igual ao semi-eixo maior da elipse. Daí, tem-se: 
. 
 No triângulo OAA’ tem-se: . 
 Como a equação canônica da elipse com centro 
na origem é dada por e é a 
abscissa do ponto P da elipse, vem que a ordenada de P é 
dada por: 
, pois 
b>0 e y terá o sinal do sen . 
x 
y 
O A’ 
A 
P 
 
M 
N 
Semi-eixo maior: 
Semi-eixo menor: 
50 
c) 







btgy
ax sec
, onde 
  }
2
3
,
2
{0,2θ e 0,0
  ba
, são as equações paramétricas de uma 
hipérbole com centro na origem, semieixo real 
a
 e semieixo imaginário 
b
, com eixo real 
sobre Ox. 
 Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No caso da hipérbole ter o eixo real sobre Oy, sua equação canônica é dada por 
1
2
2
2
2

b
x
a
y
, de onde vêm suas equações paramétricas 





θsec
θ
ay
btgx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Toma-se um ponto P(x,y) qualquer sobre a 
hipérbole. Quando percorre o intervalo é 
descrito o ramo direito da hipérbole ( ) e quando 
percorre o intervalo é descrito o ramo esquerdo 
da hipérbole ( ). 
 
 Como a equação canônica da hipérbole com 
centro na origem é dada por e 
 (relação trigonométrica), pode-se fazer: 
, de onde se tem as equações 
paramétricas . 
B1 
B2 
 
P(x,y) 
Semi-eixo real: 
Semi-eixo imaginário: 
x 
y 
O 
A1 A2 
51 
d) 





)cos1(
)(


ay
senax
, onde 
 0a
, são as equações paramétricas de uma ciclóide. 
 Uma ciclóide é o lugar geométrico descrito por um ponto fixo da circunferência de um 
círculo que roda sem deslizar sobre uma reta fixa. 
 
 Demonstração: 
 Seja |𝐶𝐵̅̅ ̅̅ | = |𝐶𝑀̅̅̅̅̅| =
a
 o raio do círculo rolante de centro em C, P(x, y) um ponto fixo da 
circunferência e M o ponto de contato do círculo com