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INTEGRAIS MÚTIPLAS As integrais múltiplas ou integrais de funções de várias variáveis são uma extensão natural do conceito de integral de funções de uma variável. As integrais múltiplas contribuíram bastante para o engrandecimento do cálculo e sua possível atuação em diversas ciências. O cálculo, por meio das Integrais Múltiplas, tem diversas aplicações. Entre as diversas aplicações das Integrais Múltiplas, temos: o cálculo de volume de sólidos, o cálculo do centro de massa e momento de inércia de um corpo, etc. INTEGRAIS DUPLAS A integral dupla de uma função f(x,y), estendida a um domínio D: dyc bxa é igual: Exemplo: Ou ainda, ENGENHARIA BÁSICA – Santos/Rangel DISCIPLINA: CFVV (Cálculo de Funções de Várias Variáveis) Profª. Me Ângela Maria angelamaria26@yahoo.com.br profa_angelamaria@hotmail.com INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA A definição de integral dupla comporta uma interpretação geométrica análoga à definição de integral definida simples, associando-a ao problema de cálculo de volume (ver figura 3.1 ) da mesma forma que a integral definida é associada ao cálculo de área. Assim, definição formal da integral dupla envolve a soma de muitas áreas elementares, isto é, diferenciais de área , ou seja, com a finalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim, pode usar-se a integral para resolver problemas concernentes a volumes e a áreas. Ao tentar resolver-se “o problema do volume”, sabe- se que se trata área da base vezes a altura é tal que para cada área elementar o valor de fica univocamente definido. Consideremos uma função z = f(x,y) 0 0, definida numa região R do plano xy. Nossa intenção é estimar o volume aproximado do sólido delimitado por z = f(x,y) acima do plano z = 0 e pelo cilindro definido pela curva fechada que delimita a região R. Para tanto, subdividimos R em n - subregiões traçando linhas paralelas aos planos coordenados, conforme na figura 3.2 e 3.3.Assim, a integral será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes das colunas infinitesimais inscritas em forma de paralelepípedos, como mostra a Figura 3.3. VOLUME DE UM SÓLIDO EXERCÍCIOS 1) Calcule as integrais: a) 2 0 1 0 ²)38( dydxxy . b) 2 0 1 0 )3( dydxyx . c) 3 0 2 1 )24( dxdyyx d) 1 0 ² 0 x dxdyxy 2) Calcular D yxf ),( sendo f(x,y) = x-y e D: 30 50 y x 3) Calcular D yxf ),( sendo f(x,y) = x²+y² e D: ²0 10 xy x 4) Calcule a integral dupla dydxyx R )( onde R é o retângulo R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}. 5) Calculando a integral dupla dydxyx R )( onde R = {(x,y)|1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}, obtemos: A ) 12 B ) 1 C ) 2 D )1,5 E )3,5 6) A )312 B )132 C )64 D )32 E )16 7) A )e - 1 B )0,5e - 0,5 C )0,5e D )e - 2 E )2e 8) A )5 B )6 C )1/6 D )- 5 E )5/6 E )0 LISTA EXTRA 1) Calcular D yxf ),( sendo f(x,y)=f(x+y)² e D: 30 50 y x R: 2 565 2) Calcular D yxf ),( sendo f(x,y)=f(x²+y²) e D: 10 1 y xx R: 105 26 3) Calcule a integral dupla de f sobre D. Onde, D é o quadrado e f(x,y) = x²+ y². R: 3 2 4) Calcule a integral dupla ∫R∫(2x – 3y)dA se R é a região que consiste de todos os pontos (x, y), tais que –1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3 R: - 6 5) Calcule: 1 0 ² ))24(( y y dydxxy R: 2 6) Determine o valor da integral dupla R: 15 248 7) Calcule: 1 0 ² ))24(( x x dxdyxy R: 2 8) Calcule: 1 0 2 0 )2( dxdyx R: 5 9) Calcule: 1 0 13x x dxdyxy 10) Calcule: 1 0 13 ² y y dydxxy 11) Calcule a integral dupla dydxseny 0 2 0 )2( 12) Calcule a integral dupla dydxxyseny 0 2 0 )(
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