Apostila Matemática Financeira 3

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MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 1 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. M.Sc. Dionisio Tadeu Ribeiro 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 2 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 
 
PLANO DE ENSINO 
 
 
 
 
OBJETIVO 
• Introduzir o aluno nos cálculos financeiros que envolvem recursos monetários no 
tempo; 
• Mostrar sua aplicação nas Calculadoras Financeiras. 
 
EMENTA 
• Juros Simples; Juros Compostos; Descontos; Taxas de Juros Efetivas e Equivalentes; 
Sequências Constantes e Gradientes; Sistemas de Amortizações: Price e SAC; Cálculo 
Financeiro em Contexto Inflacionário; Análise de Investimentos e Reposição de 
Ativos; Títulos de Renda Fixa. 
CANTEÚDO 
Unidade I – INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA 
1.1. Dinheiro no Tempo; 
1.2. Juros e Capital; 
1.3. Conceitos Básicos; 
1.4. Regime de Capitalização. 
Unidade II – JUROS SIMPLES 
 2.1. Juros Exatos; 
 2.2. Juros Comerciais; 
Unidade III – JUROS COMPOSTOS 
 3.1. Juros Exatos; 
 3.2. Juros Comerciais; 
 3.3. Funções Financeiras da HP 12 c; 
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 3.4. Equivalência de Fluxo de Caixa; 
 3.5. Juros Compostos em Prazos Fracionados; 
 3.6. Convenção Linear; 
Unidade IV– TAXAS DE JUROS 
 4.1. Taxa de Juros Nominal; 
 4.2. Taxa de Juros Proporcional; 
 4.3. Taxa de Juros Efetiva; 
 4.4. Equivalência entre Taxas de Juros; 
 4.5. Taxa de Juros Over; 
 4.6. Taxa de Juros Aparente; 
 4.7. Taxa de Juros Real. 
Unidade V - DESCONTOS 
 5.1. DESCSONTO SIMPLES 
 5.1.1. Desconto Racional Simples; 
 5.1.2. Desconto Comercial Simples; 
 5.1.3. Desconto Bancário Simples; 
 5.2. DESCONTO COMPOSTO 
 5.2.1. Desconto Racional Composto; 
 5.2.2. Desconto Comercial Composto. 
Unidade VI – SEQUÊNCIA DE PAGAMENTOS E RECEBIMENTOS 
 6.1. Classificação; 
 6.2. Sequências de Pagamentos Uniformes; 
 6.2.1 Postecipada Finita; 
 6.2.2. Antecipada Finita; 
 6.2.3. Diferidas; 
 
 
 
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 Unidade VII – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES 
 7.1. Sistema de Amortização Francês – Tabela Price; 
 7.2. Sistema de Amortizações Constantes – SAC; 
 7.3. Sistemas de Amortização com Parcelas Intermediárias 
 
Unidade VIII – CÁCULO FINANCEIRO EM CONTEXTO INFLACIONÁRIO 
 8.1. Índices de Preços; 
 8.2. Taxas de Juros Aparente e Real; 
 8.3. Taxa Efetiva de Moeda Nacional para Operações em Moeda Estrangeira. 
Unidade IX – TÍTULO DE RENDA FIXA 
 9.1. CDB / RDB; 
 9.2. Debêntures; 
 9.3. Obrigações (Bônus). 
 
METODOLOGIA 
• Aulas expositivas; 
• Aplicação de exercícios/estudos de casos; 
• Resolução de exercícios individuais e em grupo; 
• Elaboração de trabalhos escritos individuais e em grupo; 
• Leitura de livros da bibliografia 
• Utilização de multimídia. 
• Quadro magnético branco 
 
SISTEMA DE AVALIAÇÃO 
• Avaliações escritas; 
• Exercícios; 
• Elaboração de trabalhos escritos; 
• Pontualidade/assiduidade; 
• Participação nas aulas. 
 
BIBLIOGRAFIA 
BÁSICA: 
 
 
 
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• JUER, Milton. Matemática Financeira: Praticando e Aplicando. Ed. Qualitymark, Rio 
de Janeiro, 2003. 
• PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 7ª Edição. – 
São Paulo: Saraiva, 2004. 
 
COMPLEMENTAR: 
• FARO, Clovis. Fundamentos da Matemática Financeira. Ed. Saraiva, São Paulo, 2006. 
 
• Mathias, W.F. & GOMES, J.M., Matemática Financeira. 4ª Edição. Ed. Atlas, São 
Paulo, 2004. 
 
• SAMANEZ, Carlos Patrício, Matemática Financeira – Aplicações à Análise de 
Investimento. 4ª Edição. Ed. Pearson, São Paulo, 2007. 
 
• RIBEIRO, Dionísio Tadeu. Matemática Financeira. Belém – 2008. 
 
• NETO, Alexandre Assaf, Matemática Financeira e suas Aplicações. 11ª Edição. Ed. 
Atlas, São Paulo, 2009. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 6 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
1. INTRODUÇÃO 
 
 A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos 
pagamentos de empréstimos. Tal definição é bem geral; o aluno terá oportunidade de 
verificar, ao longo do curso, que a Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo 
e avaliação das formas de aplicação de dinheiro bem como de pagamentos de empréstimos. 
Você terá uma visão geral do que é feito no nível bancário e comercial, com isso você irá se 
familiarizar com as terminologias dessa maravilhosa Disciplina. Aproveite, e bom trabalho! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. JUROS SIMPLES 
 
 Antes de começarmos o estudo de Juro Simples, precisamos conhecer alguns conceitos 
importantes: 
 a) Capital ou Principal ou Valor Presente, representaremos pela letra C. Corresponde a 
um valor que será submetido a uma correção dentro de certo período. 
 b) Taxa, será representado pela letra i. A taxa de juro é expresso em porcentagem numa 
determinada unidade de tempo, que servirá como um fator de correção. 
 c) Montante ou Valor Futuro, representado pela letra M. Corresponde ao valor do Capital 
adicionado ao Juro calculado no período em questão. 
 d) Juros é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital. 
 
O Juro Simples é um Regime de Capitalização, onde apenas o capital inicial rende juro, isto é, 
o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital 
para, também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não são 
capitalizados. Ou seja, Juro Simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. 
Por definição, o Juro Simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de 
aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade. 
 
 
 
 ; obs: i e n (período) , devem estar na mesma unidade de tempo. 
NOTA: nos estudos de funções, essa relação representa uma Função de 1º grau, camada 
Linear, que é uma reta passando pela Origem J(n) = Cin 
 
 
Exemplo 1: Coloquei uma importância de R$ 12.000,00, aplicada pelo prazo de 2 anos, à 
uma taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago e o valor total do resgate, 
respectivamente? 
 
Como J = C.i.n � J = 12000 . 0,3 . 2 � J = 7.200 
 
O valor resgatado é o Montante: M = C + J � M = 12000 + 7200 � M = 19200 
 
Logo, temos: R$ 7.200,00 e R$ 19.200,00 
 
Exemplo 2: Foi aplicada uma importância de R$ 30.000,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 
1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber? 
 
Temos agora, o período e a taxa em unidade de tempo diferente, então devemos fazer: 
n = 2 anos = 2 x 12 meses = 24 meses 
Agora sim, J = C.i.n � J = 30000 . 0,012 . 24 � J = 8.640,00 
 
Resposta: R$ 8.640,00 
 
 
J = C.i.n 
 
 
 
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1) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 320.000,00 pelo prazo de 18 
meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 
 
2) Calcule o juro simples do capital de R$ 360.000,00 colocando à taxa de 30% ao ano, de 5 
de março de 2010 a 28 de junho do mesmo ano. 
 
3) Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 150.000,00 a ser resgatado por R$ 
210.000,00 no final de 2 anos? 
 
4) A que taxa o capital de R$ 2.400.000,00 rende R$ 10.000,00 em 6 meses? 
 
5) Um capital de R$ 300.000,00 aplicando durante 10 meses, rende juro de R$ 60.000,00. 
Determine a taxa correspondente. 
 
6) Um capital emprestado a 24% ao ano rende, em 1 ano,2 meses e 15 dias, os juros de R$ 
28.300,00. Qual foi esse capital. 
 
7) Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 
 
8) Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, 
assim, um ganho anual de R$ 86.400,00. Qual é o valor desse capital? 
 
 
2. DESCONTO SIMPLES 
 
 Quando se deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é comum que entregue ao 
credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Esse título tem uma data de 
vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, com isso terá direito a um 
abatimento denominado DESCONTO. 
 Podemos listar alguns títulos de crédito mais comuns em operações financeiras: 
i. DUPLICATA: esse título é emitido por uma pessoa jurídica contra o seu cliente 
(pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a 
serem pagos posteriormente, segundo um contrato; 
ii. NOTA PROMISÓRIA: é emitida para comprovação da aplicação de um capital 
com vencimento futuro. Esse título é um dos mais populares, muito usando entre pessoas 
físicas ou pessoas físicas e instituições financeiras; 
iii. LETRA DE CÂMBIO: também é um título que comprova uma aplicação de um 
capital com vencimento predeterminado; esse título é usado exclusivamente por uma 
instituição financeira, é que chamamos de título ao portador. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
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 Antes de estudarmos, as operações matemáticas dos DESCONTOS, devemos conhecer 
alguns conceitos que aparecerão nas operações com descontos: 
• DIA DE VENCIMENTO: é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da 
aplicação; 
• VALOR NOMIMAL: é o valor indicado no título (valor de face, valor futuro ou valor 
de resgate), que será pago no dia do vencimento; 
• VALOR ATUAL: é o líquido pago ou recebido ( valor descontado) antes do 
vencimento; 
• TEMPO ou PRAZO: é o período compreendido entre o dia em que se negocia o título 
e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e 
não o primeiro. 
 
 
DESCONTO: é a quantia a ser abatida do valor Nominal, isto é, a diferença entre o valor 
Nominal e o valor Atual. 
 
 
 
 
 
NOTA: Quando o desconto considera como capital o VALOR NOMINAL, é denominado de 
DESCONTO COMERCIAL (POR FORA); Quando o desconto considera como capital o 
VALOR ATUAL, é denominado de DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO). 
 
2.1 Desconto Comercial 
 
 O desconto comercial, bancário ou por fora equivale ao juro simples, produzido pelo 
VALOR NOMINAL do título no período de tempo correspondente, e à taxa fixada. 
 
 
 
 
 
Onde: d� valor do desconto comercial 
 N� valor nominal do título 
 A� valor atual comercial ou valor descontado comercial 
 n � tempo 
 i � taxa de desconto 
 
Com base nas relações I e II, temos: 
 
 N. i. n = N – A 
 A = N – N. i. n 
 A = N (1 – i. n) 
 
 
 
d = N - A 
d = N. i. n 
I 
II 
VALOR ATUAL COMERCIAL: A = N (1 – i .n) 
 
 
 
 
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ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 10 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.brNOTA: Não se recomenda o desconto comercial para prazos muito longos, pois o desconto 
pode ultrapassar o valor nominal do título. 
 
Exemplo1: Uma empresa deve um título de valor nominal igual a $1.500,00. Esse título tem o 
vencimento marcado para 17/06/2003. Só que a empresa antecipará o pagamento com 
desconto comercial em 20/05/2003. Sabendo que a taxa de desconto é de 2% ao mês, 
determine: 
 
a) O valor do desconto; 
Temos que : d = N. i. n 
Onde : N = 1500; 
 i = 2% a.m : 30 = 0,02/30 ao dia; 
 n = 11(dias de maio) + 17(dias de junho) = 28 dias 
Então: d = 1500. 
30
02,0
. 28 
 
Logo: 
 
 
b) o valor atual do título na data de sua liquidação; 
Temos que: A = N – d 
 
Então: A = 1500 – 28 
 
Logo: 
 
 
 
Exemplo2: Uma duplicata de $6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por $6.072,00. 
Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. 
Temos que: A = N(1 – i .n) 
Onde : N = 6.900 
 A = 6.072 
 i = 0,04 a.m 
 
Então: 6072 = 6900(1 – 0,04. n) � 0,88 = 1 – 0,04.n � 0,04n = 0,12 � n = 
04,0
12,0
 
� n = 3 
Logo : A antecipação foi de 3 meses 
 
 
 
 
 
9) Um título de $6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o 
vencimento do título, determine: 
d = $28,00 
A = $1.472,00 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
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a. O valor do desconto comercial; 
b. O valor atual comercial. 
 
10) Uma duplicata, cujo valor nominal é de $2.000,00, foi resgatada 2 meses antes do 
vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial? 
 
11) Um título, no valor nominal de $8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 
20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual o valor comercial descontado? 
 
12) Um título de $4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por $4.476,00. Sabendo que 
a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate. 
 
2.2 Taxa de Juro Efetiva 
 
A taxa de juro efetiva, num período n torna o capital A igual ao montante N, ou seja, é a taxa 
que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. 
 Na linguagem matemática teríamos: 
 C(1 + if . n) = M , onde if é a taxa efetiva e M o montante. 
 Como C = A e M = N , temos: 
 A(1 + if . n) = N � 1 + if .n = 
A
N
 � if .n = 
A
N
 - 1 � if .n = 
A
AN −
 � 
if = 
n
A
AN −
 � Como N – A = d , temos: if = 
nA
d
.
 Logo: 
 
Exemplo1: Uma duplicata de $23.000,00 foi resgatada 112 dias antes 
de seu vencimento por $21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa 
efetiva 
Temos: N = 23000 
 A = 21068 
 n = 112 dias = 3,733 meses 
 d = N – A = 23000 – 21068 = 1932 
Então, a taxa de desconto foi: d = N.i.n ���� 1932 = 23000.i.3,733 � i = 
..%5,20225,0
85859
1932
ma== 
 
Em seguida, calculamos a taxa efetiva: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo2: Um título de $6.000,00 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias 
para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de $189,00, calcule a taxa de 
juro efetiva. 
if = 
nA
d
.
 
if = 
nA
d
.
 
..%45,202456,0
844,78646
1932
733,321068
1932
ma
x
=== 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 12 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
Temos: N = 6000 
 n = 45 d = 1,5 mês 
 d = 189 
 
Então, d = N – A � A = N – d � A = 6000 – 189 � A = 5811 
 
Logo, a taxa efetiva é: if = ..%17,20216867,0
8715
189
5,15811
189
ma
x
=== 
 
 
 
 
2.3 Equivalência de Capitais 
 
 Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando 
seus valores atuais, nessa época, são iguais. Resolver problemas dessa natureza consiste em 
estabelecer uma data e comparar os valores atuais dos títulos em questão, nessa data. Se 
resultar uma igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos são equivalentes. Vale 
ressaltar, que capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes. 
 No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto é, a data em 
que a dívida foi contraída; isto porque, neste regime, não podemos fracionar o prazo de 
aplicação, já que o juro é admitido como sendo formado no fim do período de aplicação. 
 Vejamos três exemplos para ilustrar melhor essa teoria: 
 
Exemplo1: Quero substituir um título de $5.000,00, vencível em 3 meses, por outro com 
vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao 
mês, qual o valor nominal comercial do novo título? 
 
Temos que: N = ? 
 n = 5 me 
 i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. 
 N’ = 5000 
 n’ = 3 me 
 i’ = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. 
 
Se ocorre equivalência, temos então: 
 
 A = A’ 
 
 Então: A = N(1 – i. n) � A = N(1 – 0,035 x 5) � A = 0,825N 
 A’ = N’(1 – i .n) � A’ = 5000(1 – 0,035 x 3) � A’ = 4475 
 
 Logo, temos: 0,825N = 4475 � N = 5.424,24 
 
 O valor do novo título será de : $ 5.424,24 
 
 
 
 
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Exemplo2: Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de $3.000,00 e o outro 
de $3.600,00, vencíveis, respectivamente, dentre de 2 e 6 meses, por um único título vencível 
em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% ao mês, qual será o valor do novo título? 
 
Nesse caso, temos: N1 = 3000; n1 = 2 me 
 N2 = 3600; n2 = 6 me 
 i = i1 = i2 = 3% a.m. = 0,03 a.m. 
 n = 4 me 
 
Para que exista equivalente, temos: A = A1 + A2 
 
Então: A1 = 3000(1 – 0,03 x 2) � A1 = 2820 
 A2 = 3600(1 – 0,03 x 6) � A2 = 2952 
Como: A = N(1 – i .n ) � A = N(1 – 0,03 x 4) � 
 A = 0,88N 
 
Logo: 0,88N = 2820 + 2952 � N = 5772/0,88 � N = 6559,09 
 
O valor do novo título será de : $ 6.559,09 
 
Exemplo3: Desejamos substituir dois títulos, um de $5000,00 para 90 dias e outro de 
$12000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencível, 
respectivamente, em30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de 
desconto comercial da transação é de 3% ao mês. 
 
Para que exista equivalência, temos: A1 + A2 + A3 = A’1 + A’2 
 
Temos que: N’1 = 5000 ; n’1 = 90 d = 3 me 
 N’2 = 12000; n’2 = 60 d = 2 me 
 i = 3% a.m. = 0,03 a.m. 
 n1 = 30 d = 1 me; n2 = 60 d = 2 me; n3 = 90 d = 3 me. 
 
Então: A1 = N(1 – 0,03 x 1) � A1 = 0,97N 
 A2 = N(1 – 0,03 x 2) � A2 = 0,94N 
 A3 = N(1 – 0,03 x 3) � A3 = 0,91N 
 
 A’1 = 5000 (1 – 0,03 x 3) � A’1 = 4550 
 A’2 = 12000(1 – 0,03 x 2) � A’2 = 11280 
 
Logo: 0,97N + 0,94N + 0,91N = 4550 + 11280 � 2,82N = 15830 
 N = 
82,2
15830
 � N = 5613,47 
O valor nominal de cada um dos novos títulos será de: $ 5.613,47 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 14 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
13) Um título de valor nominal igual a $6300,00 para 90 dias deverá ser substituído por outro 
para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à taxa de 2,5% ao mês. 
 
14) Um industrial deve pagar dois títulos: um de $14.400,00 para 2 meses e outro de 
$19.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao 
credor substituí-lo por um novo título para 4 meses. Qual o valor nominal do novo título, 
sendo a taxa igual a 3,8% ao mês? 
 
15) Substitua três títulos, um de $4.000,00 para 30 dias, outro de $10.000,00 para 60 dias e 
outro de $16.000,00 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais, vencíveis 
em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo 
que a taxa de desconto comercial da transação é de 3,5% ao mês? 
 
 
2.4 Desconto Racional 
 
 Esse desconto é o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa 
fixada e durante o tempo correspondente. O desconto Racional ou por dentro, na prática 
bancária não é utilizado, mas se faz necessário o seu estudo porque o desconto composto está 
relacionado a esse conceito. 
 
 
Por definição, temos: 
 
 
 
Onde: dr � corresponde ao valor do desconto racional; 
 A r� corresponde ao valor atual ou valor descontado racional 
 
 
Lembremos que: 
 
 
 
Temos então: dr = (N – dr). i .n � dr = N.i.n – dr . i. n � dr + dr. i. n = N.i.n 
� dr ( 1 + i.n) = N.i.n � 
 
 
 
 
Usando as relações I e II, temos: Ar = N - 
ni
niN
.1
..
+
 � 
 Ar = 
ni
niNniN
.1
..).1.(
+
−+
 � 
 
 
dr = Ar . i . n 
Ar = N - dr 
dr = 
ni
niN
.1
..
+
 
I 
II 
Ar = 
ni
N
.1+
 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 15 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 Ar = 
ni
niNniNN
.1
....
+
−+
 � 
 
Exemplo1: Um título de $6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 
dias para o vencimento do título, determine: 
a) o valor do desconto racional; 
Temos: N = 6000 ; n = 45 d ; i = 2,1% a.m = 0,07% a.d. = 0,0007 a.d. 
Então: dr = 
ni
niN
.1
..
+
 � dr = 
450007,01
450007,06000
x
xx
+
 � dr = 183,22 
 
Logo, o desconto é igual a $183,22 
 
 
b) o valor atual racional. 
Como: Ar = N - dr 
Então: Ar = 6000 – 183,22 � Ar = 5816,78 
 
Logo, o valor atual racional é igual a $5816,78 
 
 
 
2.4 Desconto Bancário Simples 
 
 É desconto simples comercial mais os tributos e as despesas operacionais bancários. 
Serão apresentados alguns dos principais impostos cobrados no sistema financeiro: 
• IOF : é o juros simples do líquido no prazo de antecipação. É cobrado no ato do 
desconto. É calculado como 0,0041% ao dia. 
• ISS : é calculado como X% do valor nominal do título. 
 
Exemplo1: Um credor de um título de valor nominal de $ 3000,00 fez o desconto do mesmo 
em um banco, nas seguintes condições: 
• Taxa de desconto: 16% a.a. 
• Despesas operacionais: 6% do valor nominal 
• IOF: 0,0041% a.d. 
• ISS: 5% 
Calcular o desconto bancário sofrido pelo título, se o mesmo foi feito 54 dias antes de seu 
vencimento. 
 
Chamemos de Db de desconto bancário, ou seja, a soma do desconto comercial simples com 
todos os tributos especificados no problema. Então: 
 
 d = N.i.n � d = 3000 . 0,16 . 
360
54
 � d = 72,00 
 do = 0,06 . 3000 � do = 180,00 
 
 ISS = 0,05 . 3000 � ISS = 150,00 
 
 
 
 
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ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 16 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 IOF = L.i.n � IOF = L . 0,000041 . 54 � IOF = 0,002214L 
 
 Como o valor líquido é calculado L = N – Db, temos: 
 
 L = 3000 – (d + do + ISS + IOF) 
 L = 3000 – (72 + 180 + 150 + 0,002214L) 
 L = 3000 – 402 – 0,002214L 
 L = 2598 – 0,002214L 
 L – 0,002214L = 2598 
 
 
0,997786L = 2598 � L = 2.603,76 
 
 Logo o desconto bancário (total) será: 
 Db = 402 + 0,002214 x 2.603,73 ���� Db = 407,76 
 
Exemplo2: Um título de $ 6.500,00 foi descontado no Banco DTRR, que cobra 2% como 
despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 5 meses antes de seu 
vencimento e que a taxa corrente de desconto comercial é de 20% a.a., qual o desconto 
bancário? Quanto recebeu o proprietário do título? 
Temos que: N = 6500; s = 2% ; n = 5; i = 20% a.a. = ..01666,0
12
2,0
ma= 
Então: Db = N.i.n + N.s = N(in + s) 
 Db = 6500.(0,01666.5 + 0,02) � Db = 6500 . 0,1033 � Db = 671,45 
 A = 6500 – 671,45 � A = 5828,55 
 
Logo, o desconto bancário é $ 671,45 e o valor atual é igual a $ 5.828,55 
 
 
 
 
16) Uma pessoa pretende resgatar um título de $ 9.500,00, 4 meses antes de seu vencimento. 
Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 18% a.a., qual o desconto racional e quanto 
esta pessoa irá receber? 
 
17) Um título de $ 7.500,00 foi descontado no Banco Bomdegrana, que cobra 3% como 
despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 5 meses antes de seu 
vencimento e que a taxa corrente de desconto comercial é de 19% a.a., qual o desconto 
bancário? Quanto recebeu o proprietário do título? 
 
18) Uma empresa necessita de R$12.000,00 para saldar hoje, uma duplicata com vencimento 
para 120 dias. Se a taxa corrente for de 22% a.a. e o banco cobrar 1,7% de taxa de serviço, 
qual o valor nominal da duplicata? 
 
19) O Banco Bomdegrana anuncia que a taxa de juros é a menor do mercado, cobrando 
apenas2% de taxa administrativa. No anúncio, dizia que para 5 meses, se o cliente pedir 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 17 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
$40.000,00 , sofrerá um desconto de apenas $5.000,00. Qual é a taxa de juros comercial 
considerada? 
 
20) Por um empréstimo de $20.000,00 a 6 meses, João recebeu líquido $14.290,00. Tendo 
perguntado ao gerente qual fora a taxa de juros empregada, este lhe garantiu que era de 
19,5%a.a.. Qual foi a taxa de serviço cobrada? 
 
 
3. JURO COMPOSTO 
 
 O regime de capitalização a juro composto difere do juro simples na atualização do 
Capital. Enquanto que no regime de juro simples a correção é sempre feita no Capital Inicial, 
no JURO COMPOSTO a correção é feita, a partir do segundo período, sobre o MONTANTE 
relativo ao período anterior. É o que o mercado conhece vulgarmente como “juro sobre juro”. 
 Digamos que um capital de $1000,00, aplicado a 10% ao ano, a juro composto, veja 
como ficaria essa capitalização: 
 
 
ANO JURO MOTANTE 
0 - 1000,00 
1 1000x0,1x1 = 100,00 1100,00 
2 1100x0,1x1 = 110,00 1210,00 
3 1210x0,1x1 = 121,00 1331,00 
 
 Seguindo a lógica matemática da tabela anterior, e chamando de C o capital inicial, de i 
a taxa e J o juro de cada período, poderíamos generalizar esse processo: 
 
 
PERÍO
DO 
JURO MONTANTE 
1º J1 = C . i M1 = C + J1 � M1 = C + C.i � M1 = C(1 + i) 
2º J2 = M1.i M2 = M1 + J2 � M2 = M1 + M1.i � 
M2 = M1(1 + i) � M2 = C(1 + i).(1 + i) � 
M2 = C(1 + i)
2 
3º J3 = M2.i M3 = C + J3 � … � M3 = C(1 + i)
3 
 
 
Se continuarmos na construção da tabela, chegaríamos a seguinte relação: 
 
 
 
Que calcula o montante em regime de juro composto, onde (1 + i)n, é o fator de 
acumulação de capital ou fator de capitalização 
 
NOTA: Sugerimos nesse capítulo o uso de uma máquina calculadora científica, onde a função 
xy será de grande uso. 
 
 Mn = C(1 + i)
n 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 18 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
Exemplo1: Calcule o montante produzido por $3000,00, aplicado em regime de juro 
composto a 4% ao mês, durante 2 meses. 
Temos que: M = C(1 + i)n 
 C = 3000; n = 2 me ; i = 4% a.m. = 0,04 a.m. 
 
Então: M = 3000(1 + 0,04)2 � M = 3000(1,04)2 � M = 3000 x 1,0816 � M = 
3244,80 
 
Logo, o valor do montante é igual a: $3244,80 
 
Exemplo2: Calcule o capital inicial que, no prazo de 2 meses, a 5% ao mês, produziu um 
montante de $2205,00 no regime de juro composto. 
Temos que : M = 2205 ; n = 2 me ; i = 5% a.m. = 0,05 a.m. 
 
Então: 2205 = C(1 + 0,05)2 � 2205 = C(1,05)2 � C = 
1025,1
2205
 � C = 2000 
Logo, o valor do capital inicial é igual a: $2.000,00. 
 
Exemplo3: Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de $3.200,00, sem 
entrada, para pagamento em uma única prestação de $4.049,00 no final de 6 meses. Qual a 
taxa mensal cobrada pela loja? 
Temos que: M = 4049; C = 3200; n = 6 me; i = ? 
 
 
Então: 4049 = 3200(1 + i)6 � 6)1(
3200
4049
i+= � 1,26531 = (1 + i)6 (usando a 
calculadora), teríamos: (1,26531)1/6 = 1 + i � i = 1,040 – 1 � i = 0,040 
 
Logo, a taxa é igual a: 0,04 a.m. ou 4% a.m. 
 
Exemplo4: Determine em que prazo um empréstimo de $11.000,00 pode ser quitado em um 
único pagamento de $22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em 
regime de juro composto. 
 
Temos que: M = 22125; C = 11000; i = 15% a.s. = 0,15 a.s ; n = ? 
 
Então: 22125 = 11000(1 + 0,15)n � (1,15)n = 
11000
22125
 � (1,15)n = 2,01136 � (usando 
logaritmo, temos) log(1,15)n = log2,01136 � n.log1,15 = log2,01136 � 
n = 
15,1log
01136,2log
 � n = 5 
 
Logo, o prazo é igual a 5 semestres ou 2 anos e 6 meses. 
 
 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 19 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
Exemplo5: Qual será o montante de $2000,00, a juro composto de 37% ao ano, em 4 anos e 3 
meses? 
 
Temos que: C = 2000; i = 37% a.a. = 0,37 a.a.; n = 4 a e 3 me = 4 a + a
12
3
 = aa
4
17
12
51
= 
 
Então: M = 2000(1 + 0,37)17/4 � M = 2000 x 1,374,25 � M = 2000 x 5,14160 � M = 
10283,20 
 
 
Logo, o montante é igual a $10.283,20. 
 
 
 
 
 
21) Calcule o montante de uma aplicação de $8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime 
de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. 
22) Calcule o montante do capital de $65.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 2 
4
3
% 
ao mês, no fim de 6 meses. 
23) Qual o montante produzido por $16.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 3% ao 
mês durante 40 meses? 
 
24) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, 
durante 4 meses, rendeu um montante de $79.475,00, , calcule esse capital. 
 
25) Se uma pessoa investir, hoje, uma quantia de $16.000,00 para receber $18.127,00 daqui a 
10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro 
composto? 
 
26) O capital de $8.700,00, colocado a juros compostos a taxa de 2,5% ao mês, elevou-se no 
fim de certo tempo a $11.456,00. Calcule esse tempo. 
27) Um capital de $25.000,00, empregado em regime de juro composto, à taxa de 35% ao ano, 
durante 2 anos e 6 meses. Quanto receberá o investidor? 
 
28) Determine o juro de uma aplicação de $20.000,00, a 4,5% ao mês, capitalizado 
mensalmente durante 8 meses. 
 
29) Calcule o montante de uma aplicação de $8.000,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 
meses. 
 
30) Qual o montante produzido pelo capital de $6.800,00, em regime de juro composto, 
aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês? 
 
31) Calcule o montante de $8.500,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 20 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
32) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 
meses rendeu um montante de $19.752,00. 
 
33) Em que prazo uma aplicação de $100.000,00 produzirá um montante de $146.853,00, à 
taxa de 3% ao mês? 
 
34) Um capital de $20.000,00 foi aplicado ajuros compostos durante 7 meses, rendendo 
$3.774,00 de juro. Determine a taxa de aplicação. 
 
35) O capital de $12.000,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 
meses, elevou-se no final desse prazo a $15.559,00. Calcule a taxa de juro. 
 
 
 
 
4 TAXAS 
 
4.1. Taxas Proporcionais 
 
 Duas taxas são ditas proporcionais, quando seus valores formam uma proporção com 
os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. 
 Veja como ficariam as taxas proporcionais a uma taxa ao ano ia . 
 
 is = 
2
ai ; it = 
4
ai ; ib = 
6
ai ; im = 
12
ai ; id = 
360
ai 
 
Onde: is: ao semestre; it: ao trimestre; ib: ao bimestre; im: ao dia ; id: ao dia 
 
 Então, para um período 1/k do ano, a taxa proporcional será ia / k , ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 4.2. Taxas Equivalentes 
 
 São taxas que se referindo a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital 
produza o mesmo montante num mesmo tempo. 
 Verifique se as taxas proporcionais são equivalentes, calculando o montante, ao 
aplicarmos um capital de $1.000,00, em regime de juro composto, empregado nas duas 
condições a seguir: a) durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano; b) durante 12 meses, à taxa de 
2% ao mês. 
 
 Consideremos a situação anterior, chamemos de C o capital, ia a taxa anual, tempo de 1 
ano, tem que produzir um montante igual ao mesmo capital C, durante 12 meses, à taxa 
mensal im, equivalente à taxa anual ia . 
 ik = 
k
ia 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 21 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 
 Temos que: M1 = C(1 + ia)
1 
 M12 = C(1 + im)
12 
 
 Como: M1 = M12 
 C(1 + ia)
1 = C(1 + im)
12 
 1 + ia = (1 + im)
12 
 
 
Logo: 
 
De modo geral, temos: 
 
(1 + i\a) = (1 + im)
12 = (1 + ib)
6 = (1 + it)
4 = (1 + iq)
3 = (1 + is)
2 = (1 + id)
360 
 
Exemplo1: Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? 
 Temos que: 1 + ia = (1 + im)
12 
 Então: 1 + ia= (1 + 0,02)
12 � ia = 1,02
12 – 1 � ia = 1,26824 – 1 
� ia = 0,26824 
 
Logo a taxa anual equivalente é igual a: 0,2682 a.a. ou 26,82% a.a. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo2: Qual a taxa trimestral equivalente a 20% ao ano? 
 Temos que: 1 + ia = (1 + it)
4 
 Então : 1 + 0,2 = (1 + it)
4 � 1,2 = (1 + it)
4 � (1,2)1/4 = 1 + it � it = 1,04663 – 1 � ia 
= 0,04663 
 
Logo, o valor da trimestral equivalente é igual a: 0,04663 a.t. ou 4,66% a.t. 
 
4.3. Taxa Nominal 
 
 Quando a taxa de capitalização não coincide com aquele a que se refere, denominamos 
essa taxa de NOMINAL. Por exemplo: juros de 34% ao ano capitalizado mensalmente; ou 
juros de 36% ao ano capitalizado semestralmente. De um modo geral, a taxa nominal é uma 
taxa anual. 
 
Exemplo1: Qual o montante de um capital de $4.000,00, no fim de 3 anos, com juros de 26% 
ao ano capitalizados trimestralmente? 
 
Temos que: C = 4000; n = 3 anos; i = 26% a.a. = 0,26 a.a. 
Como: i4 = 
4
26,0
 = 0,065 a.t. e n = 3 x 4t = 12t 
1 + ia = (1 + im)
12 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 22 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
Então: M4 = C(1 + it)
n � M4 = 4000(1 + 0,065)
12 � M4 = 4000x2,12909 � M4 = 8516,38 
 
Logo o montante será igual a: $8.516,38 
 
4.4. Taxa Efetiva 
 
 Quando oferecemos 8% ao ano e capitalizamos semestralmente a 4%, a taxa de 8% é a 
taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 4% semestrais. Logo, sendo if a taxa 
efetiva, temos: 
 1 + if = (1 + 0,04)
2 � if = 1,0816 – 1 � if = 0,0816 
 Logo a taxa efetiva é igual a: 0,0816 a.a. ou 8,16% a.a. 
 
 De um modo geral podemos escrever essa relação da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo1: Uma taxa nominal de 16% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa 
efetiva. 
Temos que: i = 16% a.a. = 0,16 a.a. 
 1 ano = 2 sem => k = 2 
 
 ik= 08,0
2
16,0
= 
Então: 1 + if = (1 + 0,08)
2 � if = 1,1664 – 1 � if = 0,1664 
 
Logo, a taxa efetiva é de: 0,1664 a.a. ou 16,64% a.a. 
 
Exemplo2: Um banco emprestou a importância de $35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o 
banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização trimestral: 
 a) qual a taxa efetiva anual; 
 Temos que: i = 36% a.a. = 0,36 a.a. 
 1 ano = 4 trim � k = 4 
 ik = 09,0
4
36,0
= 
 Então: 1 + if = (1 + 0,09)
4 � if = 1,41158 – 1 � if = 0,41159 
 
 Logo, a taxa efetiva será igual a: 0,4116 a.a. ou 41,16% a.a. 
 
 b) qual o montante a ser devolvido ao final dos 2 anos? 
 Temos que: C = 35000; n = 2 anos ; if = 0,4116 a.a. 
1 + if = 
k
k
i





 +1 
Onde: 
i => taxa nominal 
if => taxa efetiva 
k => o número de capitalização para 
um período da taxa nominal 
ik => taxa por período de 
capitalização 





k
i
 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 23 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 
 Então: M = C(1 + if)
2 � M =35000(1 + 0,4116)2 � 
M = 35000x1,9926� M = 69741 
 
 Logo, o montante será igual a: $69.741,00 
 
Exemplo3: Uma aplicação de 144 dias rendeu uma taxa efetiva de 50%. Qual a taxa mensal 
de juros compostos equivalente? 
 
 Temos que: i144 = 50% a.a. = 0,50 a.a. 
 Então: 1 + if = (1 + 0,5)
 30 /144 � if = 1,0881 – 1 � if = 0,0881 
Logo, a taxa efetiva é de: 0,0881 a.m. ou 8,81% a.m. 
 
4.5. Taxa Real e Taxa Aparente: 
 
 A taxa Aparente é aquela que ocorre nas operações correntes. Quando ocorre 
inflação, a taxa aparente é formada por dois componentes: um correspondente à inflação e 
outro correspondente ao juro real. Quando não ocorre a inflação, a taxa aparente coincide com 
a taxa real. 
 Vamos convencionar que: 
• C => capital inicial 
• r => taxa real 
• i => taxa aparente 
• I => taxa de inflação 
Veja os casos a seguir: 
 
1. Sendo um período sem inflação, igual a zero, e uma taxa r, o capital inicial ficará igual 
a: C(1 + r) 
2. Sendo uma taxa de inflação I, o capital inicial, ao final do período, será dado por: 
C(1 + I) 
3. Sendo um taxa de juros r e uma taxa de inflação I, ao mesmo tempo, o capital inicial 
equivalerá a: C(1 + r).(1 + I) 
4. Sendouma taxa aparente i, o capital inicial se transformará, ao final do período, em: 
C(1 + i) 
 
Agora é importante lembrar que nos item 3 e 4 as expressões são equivalentes, visto que 
ambas reportam o valor efetivamente recebido, então, temos: 
 
 C(1 + i) = C(1 + r).(1 + I) :C 
 
Logo: 
 
Exemplo1: Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,6% a.m. e a 
uma inflação de 0,5% no período? 
 Temos que: r = 0,6%a.m. = 0,006 a.m e I = 0,5% = 0,005 
 1 + i = (1 + r).(1 + I) 
 Então: 1 + i = (1 + 0,006).(1 + 0,005) 
1 + i = (1 + r).(1 + I) 
 
 
 
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ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 24 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 i = 1,01103 – 1 � i = 0,01103 
 
 Logo a taxa aparente deve ser de: 0,01103 a.p. ou 1,1% a.p. 
 
Exemplo2: Se for adquirida uma letra de câmbio em uma época A e resgatada na época B. O 
juro aparente recebido foi de 28%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, 
nesse período, foi de 20%. 
 Temos que: i = 28% a.p = 0,28 a.p e I = 20¨% = 0,2 
 1 + i = (1 + r).(1 + I) 
 Então: 1 + 0,28 = (1 + r).(1 + 0,28) � r=−1
2,1
28,1
 � r = 0,0666 
 
 Logo, a taxa real foi de: 0,0666 ou 6,66% 
 
 
4.6. Taxa Over 
 
No Brasil a expressão Open Market está relacionada a um conjunto de transações realizadas 
com Títulos de Renda Fixa, de emissão pública ou privada. A taxa over é adotada neste 
mercado. 
 A taxa over é uma taxa nominal, geralmente mensal, capitalizada diariamente, apenas 
nos dias úteis. 
 A correspondente taxa efetiva, relativa ao período de aplicação, é dada por: 
 
 
 
 
Exemplo1: Uma operação com duração de 50 dias corridos foi contratada a uma taxa de over 
de 1,8% a.m. Se durante o período houve 35 dias úteis, calcular a taxa efetiva mensal e o 
montante de uma aplicação de R$12.000,00 no período. 
 Temos que: tx.over = 1,8% a.m. = 0,018 a.m 
 Dias úteis = 50 
 C = 12.000,00 
 
 Então: iefetiva = 
35
30
018,0
1 





+ - 1 
 
 iefetiva = 1,0212 - 1 � iefetiva = 0,0212 a.p. 
 
 M = 12000.(1 + 0,0212) � M = 12.254,59 
 
 
 
 Podemos ainda calcular a taxa mensal: 
 
 im = (1 + 0,0212)
30/50 � im = 1,0123 – 1 � im = 0,0123 a.m. ou 1,23 % a.m. 
 
1
30
1 −




 +=
uteisdias
efetiva
overtaxa
i
 
 
 
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ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 25 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 Logo a taxa efetiva é 1,23 % a.m. e o Montante nesse período é R$ 12.364,80 
 
 
 
 
 
36) A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 
50% do capital aplicado no fim de 8 meses? 
 
37) Determine as taxas mensal, trimestral, semestral e anual equivalente à taxa de: 
 a) 30% a.a. b) 20% a.s. c) 8% a.t. d) 3% a.m. 
 
38) A caderneta de poupança paga juros de 6% ao ano capitalizando trimestralmente. Qual a 
taxa efetiva de juro? 
 
39) O capital de $18.000,00 foi colocado por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados 
trimestralmente. Qual o montante? 
 
40) Um investidor aplica $25.000,00, em uma época A, para receber, em uma época B, a 
importância de $34.000,00. Calcule: 
a) a taxa aparente dessa aplicação; 
b) a taxa de inflação no período da aplicação, sabendo que a taxa real de juro dessa 
aplicação, nesse período, foi de 20%. 
 
41) Uma operação com duração de 45 dias corridos foi contratada a uma taxa de over de 
1,6% a.m. Se durante o período houve 30 dias úteis, calcular a taxa efetiva mensal e o 
montante de uma aplicação de R$11.000,00 no período. 
 
 
5. DESCONTO COMPOSTO 
 
 Na realidade o desconto ocorre quando saldamos, antecipadamente ao vencimento, um 
compromisso financeiro. É o que denominamos ABATIMENTO. O desconto composto é 
empregado para operações em longo prazo, podendo ser de dois tipos: RACIONAL E 
COMERCIAL. O comercial, na prática, não é muito utilizado, com isso daremos uma atenção 
maior ao DESCONTO COMPOSTO RACIONAL. 
 
 
Já conhecemos a relação: N = A.(1 + i)n 
 
Logo vem que o valor Atual será: 
 
 
 
 Lembrando que (1 + i)n é o fator de descapitalização. 
 
Exemplo1: Determine o valor atual de um título de $900,00, saldado 3 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de desconto (composto) de 2% ao mês. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
A = 
ni
N
)1( +
 
 
 
 
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 Temos que: N = 900 ; n = 3 me ; i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
 Então: A = 
3)02,01(
900
+
 � A = 
061208,1
900
 � A = 848,09 
 
Logo, o valor atual do título será de: $848,09 (houve um desconto de $51,90) 
 
Exemplo2: Calcule o valor atual de um título de valor nominal de $1.400,00, com 
vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 30% ao ano, capitalizados semestralmente. 
 
Temos que: N = 1400; n = 2 a e 6 meses = 2x2sem + 1 sem = 5 sem 
 i = 30% a.a. = 0,3 a.a. = ..15,0
2
3,0
sa= 
Então: A = 
5)15,01(
1400
+
 � A = 
01135,2
1400
 � A = 696,05 
 
Logo, o valor atual do título será de: $696,05. 
 
Exemplo3: Qual o desconto composto que um título de $6000,00 sofre ao ser descontado 3 
meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? 
 Temos que: N = 6000; n = 3 me ; i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m. 
 Então: A = 60,5571
07689,1
6000
)025,01(
6000
3
==
+
 
 d = N – A � d = 6000 – 5571,60 � d = 428,40 
 
Logo o valor do desconto é igual a: $428,40. 
 
Exemplo4: Um título de valor nominal de $1400,00 foi resgatado 3 meses antes de seu 
vencimento, tendo sido contratado à taxa de 36% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual 
foi o desconto concedido? 
 Temos que: N = 1400; n = 3 meses; i = 36% a.a. = 0,36 a.a. = ..03,0
12
36,0
ma= 
 Então: A = 20,1281
092727,1
1400
)03,01(
1400
3
==
+
 
 d = N – A � d = 1400 – 1281,20 � d = 118,80 
 
Logo o valor do desconto é igual a: $118,80 
 
 
 
 
 
42) Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu $36.954,00 como 
valor do resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de $3.046,00, qual a 
taxa de juromensal adotada? 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
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43) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de $7.000,00, faltante ainda 3 meses 
para o seu vencimento. Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto é de 3% ao 
mês. 
 
44) Calcule o valor atual de um título de $40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes de seu 
vencimento, sendo a taxa de desconto de 24% ao ano. 
 
45) O valor nominal de um título é de $200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 
meses antes de seu vencimento. Calcule o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto 
(composto) é de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. 
 
46) Determine o valor do desconto composto de um título de valor nominal de $6.200,00, 
descontado 5 meses antes de seu vencimento à taxa de 3% ao mês. 
 
47) Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal de $3.800,00, regatado 8 meses 
antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em regime de juro composto, de 30% ao 
ano, capitalizados bimestralmente. 
 
48) A que taxa foi descontada uma dívida de $5.000,00 que, paga 5 bimestres antes do 
vencimento, se reduziu a $3.736,00? 
 
49) Por um título de $2.300,00 paguei $2.044,00 com um desconto de 3% ao mês. De quanto 
tempo antecipei o pagamento? 
 
5.1. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS 
 
 Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalente, em certa época, quando 
seus valores atuais, nessa época, são iguais. Assim como foi visto em juro simples. Agora, a 
data de comparação pode ser qualquer uma, porque os juros compostos são equivalentes aos 
descontos compostos. 
 
Exemplo1: Um título no valor nominal de $8.000,00, com vencimento para 5 meses, é 
trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no 
mercado é de 4% ao mês, qual o valor nominal do novo título? 
 
 Temos que: N’ = 8000; n’ = 5 me ; i’ = 4% a.m. = 0,04 a.m. 
 N = ? ; n = 3 me ; i = 4% a.m = 0,04 a.m. 
 Então, para que exista equivalência, temos: A = A’ 
53 )04,01(
'
)04,01( +
=
+
NN
 � 
2166,1
8000
12486,1
=
N
 � N = 7.396,74 
 
Logo, o valor nominal do novo título será de $7.795,04. 
 
Exemplo2: Um comerciante, devedor de um título de $50.000,00 para 3 anos, deseja restar 
essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de 1 ano e outro no fim de 2 anos. 
Sabendo que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. 
 
 
 
 
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Temos que: N’ = 50000; n’ = 3 anos ; i’ = 40% a.a. = 0,4 a.a. 
 N1 = N ; n1 = 1 ano; i1 = i’ = 0,4 a.a. 
 N2 = N ; n2 = 2 anos; i2 = i’ = 0,4 a.a. 
 Então, para que exista equivalência, temos: A1 + A2 = A’ 
 
 
321 )4,01(
50000
)4,01()4,01( +
=
+
+
+
NN
 � 0,71429N + 0,51020N = 
50000x0,36443 
 
 1,22449N = 18221,57435 � N = 14880,95 
 
Logo, o valor dos pagamentos é de: $14.880,95. 
 
 
 
 
50) Duas promissórias, uma de $4.000,00, vencível em 120 dias, e a outra de $9.000,00, 
vencível em 180 dias, deverá ser resgatada por um só pagamento, dentro de 90 dias. Qual o 
valor desse resgate, no regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês? 
 
51) Calcule o valor atual, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de $6.000,00 disponível no fim de 
4 meses. 
 
52) Qual o valor atual de um título de $15.000,00 resgatado a 6 meses de seu vencimento, 
sabendo que a taxa de desconto composto é de 6% ao bimestre? 
 
53) Um título de valor nominal de $2.000,00 sofreu um desconto real de 40% ao ano, 
capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual? 
54) Um título de $75.000,00 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês, por 
$67.646,00. Calcule o tempo de antecipação do resgate. 
 
55) Uma letra paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao 
mês, ficou reduzida a $24.658,00. Calcule o valor da letra. 
 
56) Um industrial toma um empréstimo de $5000.000,00 por 4 anos, com juro de 40% ao ano, 
capitalizados trimestralmente. Passando algum tempo, o industrial propõe saldar a dívida em 
3 pagamentos iguais, realizáveis no do 2º, 3º e 4º anos, respectivamente. Calcule o valor 
desses pagamentos, sabendo que a taxa de desconto empregada na transação é de 36% ao ano 
com capitalização semestral. 
 
6. SEQUÊNCIAS DE CAPITAIS 
 
 Já vimos de que forma os conjuntos de capitais podiam ser transformados em outros 
equivalentes para efeito de comparação. Na prática é comum que esses conjuntos tenham 
algumas características, tais como periodicidade, uniformidade, crescimento ou 
decrescimento, de acordo com certas leis matemáticas. Tais conjuntos são chamados de 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 29 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
seqüências de capitais (os capitais tanto podem se referir a pagamentos como recebimentos). 
No que segue, vamos supor que o regime é de capitalização composta. 
 
 
 
6.1 SEQUÊNCIA UNIFORME 
 
 Consideremos a seqüência de capitais y1, y2, y3, ..., yn , respectivamente nas datas 1, 2, 
3, ..., n (a unidade de tempo pode ser mês, semestre, ano, etc.) Dizemos que esse conjunto 
constitui uma seqüência uniforme se: 
 
 y1 = y2 = y3 = ... = yn = R 
 
isto é, se todos os capitais são iguais. Indicando esse capital por R, a representação gráfica da 
seqüência uniforme seria: 
 
 
 
 
 
 
Por definição, o valor atual, na data 0, da seqüência uniforme, a uma taxa de juros i na 
unidade de tempo considerada é dado por: 
 
 V = 
ni
R
i
R
i
R
)1(
...
)1()1( 21 +
++
+
+
+
 
 V = R 





+
++
+
+
+ niii )1(
1
...
)1(
1
)1(
1
21
 
 
Observe que os termos entre colchetes, estão numa soma de uma progressão geométrica dos n 
primeiros temos cuja fórmula é dada por: S = 
1
)1(1
−
−
q
qa n
 , no caso que estamos analisando, 
temos: q = a1 = 
i+1
1
 
Então, teríamos: V = R 
1
)1(
1
1
)1(
1
)1(
1
−
+






−
++
i
ii n
 , fazendo as simplificações matemáticas 
chegaremos ao seguinte resultado: 
 
 
 
 
 
R R R R 
0 1 2 3 ... n 
V = R 
ii
i
n
n
)1(
1)1(
+
−+
 
 
ii
i
n
n
)1(
1)1(
+
−+
 
 
 
 
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ProfProfProfProf....MSc.Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 30 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
O fator é chamado fator valor atual e pode ser 
representado pelo símbolo: 
in
a
/
 , a leitura é feita da seguinte forma: a, n, cantoneira i. 
 
 
Simplificando a fórmula anterior, ficaria: 
 
Exemplo1: Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em 4 pagamentos mensais e iguais de 
$550,00, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 
5% a.m., qual seu preço à vista? 
 Temos que: n = 4 ; i = 5% a.m. = 0,05 a.m. ; R = 550 
 
 
 
 
 
 
 
 
� V = 550
5/4
a ���� Então: 
 
5/4
a = 545951,3
05,0.)05,1(
1)05,1(
4
4
=
−
 
 
 V = 550 x 3,545951 � V = 1.950,27 
 
 
Logo, o preço à vista será de $1.950,27 
 
Exemplo2: Um automóvel usado é vendido à vista por $30.000,00, mas pode ser vendido a 
prazo em 12 prestações mensais iguais (antes de serem corrigidas monetariamente), vencendo 
a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% 
a.m., obtenha o valor de cada prestação antes de serem corrigidas. 
 Temos que: V = 30.000; n = 12 ; i = 2% a.m.= 0,02 a.m. 
 
 
 Então: 30000 = R
in
a
/
 ����
2/21
a = 575341,10
02,0.)02,1(
1)02,1(
12
12
=
−
 
 30000 = R x 10,575341 � R = 2.836,79 
 
Logo, o valor de cada prestação será de $2.836,79 
 
Exemplo3: Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de $15.000,00 cada uma, 
sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa de financiamento for 4% a.m., qual o preço à 
vista? 
 Temos que: R = 15000; n = 3 ; i = 4% a.m. = 0,04 a.m. 
V = R
in
a
/
 
0 1 2 3 
550 
4 
550 550 550 
V = R
in
a
/
 
 
 
 
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ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 31 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 
 
 
 
 
 
 Então: V = 15000 + 15000 x 
4/3
a � 
4/3
a = 
04,0.)04,1(
1)04,1(
3
3 −
 = 2,775091 
 V = 15000 + 15000 x 2,775091 � V = 56626,37 
 
Logo, o preço à vista é $56.626,37 
 
Exemplo3: Uma calculadora é vendida à vista por $160,00 ou a prazo em 4 prestações 
mensais iguais de $45,49 cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra. Qual a taxa 
de juros do financiamento? 
 
 Temos que: V = 160,00; R = 45,49 ; n = 4 
 Então: 160 = 45,49. 
i
a
/4
 � 
i
a
/4
 = 5,35 (cálculo feito na HP-12 C) 
 
Logo, a taxa de financiamento é de: 5,35 % 
 
 
6.2 MONTANTE DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME 
 
 Chamamos de montante da seqüência, na dada n, a soma dos montantes de cada capital 
R, aplicado desde a data considerada até a data n. 
 
 Então, temos: M = R(1 + i)n-1 + R(1 + i)n-2 + R(1 + i)n-3 +... + R 
 
 Observe que o segundo membro dessa expressão é a soma dos termos de uma PG 
finita, em que: q = 
i+1
1
 e a1 = R(1 + i)
n-1 
 
 Temos: S = 
1
)1(1
−
−
q
qa n
 
 
 Logo: 
 
 
Exemplo1: Um investidor aplica mensalmente $2.000,00 em um fundo de investimentos que 
remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 2% a.m.. Se o investidor fizer 7 
aplicações, qual o montante no instante do último depósito? 
 
 
 
 
0 1 2 3 
15 15 15 15 
M = R
i
i n 1)1( −+
 
0 1 2 3 
2 2 2 2 
4 
2 2 2 
5 6 7 
 
 
 
MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 32 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 
 
 
 
 
 
 Temos que: R = 2000; i = 2% a.m. = 0,02 a.m.; n = 7 
 
 Então: M = (2000) x 434283,72000
02,0
1)02,1( 7
x=
−
 � M = 14868,57 
 
Logo, o montante será de $ 14.868,57 
 
 
Exemplo2: No caso do exemplo anterior, qual será o montante se o investidor sacar somente 
dois meses após o último depósito? 
 Temos que, o último depósito ocorreu no 7º mês, devemos descobrir o montante M’. 
 Então: M’ = M(1 + i)2 � M’= 14868,57(1,02)2 � M’ = 15468,26 
 
 
Logo, o montante no 9º mês será de $ 15.468,26 
 
 
 
 
57) Obtenha o preço à vista de um automóvel financiado à taxa de 3% a.m., sendo o número 
de prestações igual a 10 e $1.500,00 o valor de cada prestação mensal, vencendo a primeira 
um mês após a compra. 
 
58) Um produto é vendido à vista por $40.000,00 ou a prazo em 3 prestações mensais iguais, 
sem entrada. Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros do financiamento for de 7% 
a.m. ? 
 
59) Um aparelho eletrônico é vendido à vista por $6.000,00, mas pode ser financiado à taxa de 
2,5% a.m. . Obter o valor de cada prestações nas seguintes condições de financiamento: a) 12 
prestações mensais iguais sem entrada; b) 18 prestações mensais iguais sem entrada. 
 
60) Um notebook é vendido por $6.000,00, ou então com 20% de entrada mais 4 prestações 
e iguais. Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros for de 6% a.m. ? 
 
61) Um terreno é vendido à vista por $80.000,00, ou então a prazo em 24 prestações mensais 
(antes da correção monetária) postecipadas. Se a taxa de juros do financiamento for de 1,5% 
a.m. , pede-se: 
a) o valor de cada prestação antes de serem corrigidas; 
b) o valor das 3 primeiras prestações atualizadas, supondo taxas de correção de 1,8%. 2% e 
1,9% no 1º, 2º e 3º meses, respectivamente. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
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ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 33 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
62) Uma pessoa deposita mensalmente, durante 7 meses, $3.500,00 num fundo que remunera 
seus depósitos à taxa de 2,1% a.m. . Qual o montante no instante do último depósito? 
 
63) No problema anterior, qual o montante, 3 meses após ser efetivado o último depósito? 
 
64) Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente durante 15 meses num fundo de 
investimentos que rende 1,8% a.m. , para que no instante do último depósito tenha um 
montante de $60.000,00? 
 
65) Tadeu deposita nos meses 1, 2, 3, ..., 25 a quantia de 600 UR numa caderneta de 
poupança que rende 0,5% a.m. . Supondo que o indexador da UR seja o índice de atualização 
da poupança, obtenha: 
a) o montante no instante do último depósito em UR; 
b) o montante no instante do último depósito em $, supondo que nessa data a UR seja 
equivalente a $175,00; 
c) o valordo 5º depósito em $, sabendo que nessa data a UR é equivalente a $82,00. 
 
7. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 
 
 Frequentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou 
contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz 
respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do principal. 
 Um conceito importante para esse processo é o saldo devedor (ou estado da dívida). 
Consideremos os instantes de tempo 0, 1, 2, 3, ..., n, na unidade expressa pela taxa de juros 
(admitindo regime de capitalização composta). Seja P o valor principal (ou capital inicial 
emprestado). O saldo devedor no instante zero (0) indicado por S0 é o próprio principal P, e o 
saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante anterior (t – 1), acrescido dos 
juros produzidos por ele, menos o pagamento feito no instante t. 
 Considerando: 
 St => saldo devedor no instante t; 
 St-1 => saldo devedor no instante (t – 1); 
 i => taxa de juros; 
 Rt => pagamento efetivado no instante t; 
 Jt => juros no período que vai de (t – 1) a t; 
 
 Então: 
 
 
 
 Graficamente, teríamos: 
 Se os juros produzidos em cada período são pagos no final do mesmo e se chamamos de 
amortização no instante t (indicada por At) à diferença entre Rt e Jt , teremos: 
 At = Rt – Jt � At + Jt = Rt � onde: Jt = i.St-1 
 
Comparando as expressões, vem: St = St-1 + Jt – (At + Jt) 
 
Logo, 
 
St = St-1 + Jt – Rt 
 St 
St-1 Jt 
Rt 
St = St-1 - At 
 
 
 
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ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 34 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 
Usando essa última relação para: 
 t = 1 � S1 = S0 – A1 
 t = 2 � S2 = S1 – A2 
 t = 3 � S3 = S2 – A3 
 .... ....... 
 t = n � Sn = Sn-1 – An 
 
 SOMANDO-SE MEMBRO A MEMBRO, OBTEREMOS: 
 S1 + S2 + S3 + ... + Sn = S0 + S1 + S2 + ... + Sn-1 - (A1 + A2 + A3 + ... + An) 
 
 
 Tendo em conta que Sn
 = 0 e S0 = P , temos: 
 
 Sn = P – (A1 + A2 + A3 + ... + An) 
 0= P - (A1 + A2 + A3 + ... + An) 
 
 
 
 A relação nos mostra que, quando os juros são pagos nos instantes 1, 2, 3, ..,.n, a soma 
das amortizações é igual ao Principal. 
 Assim, existem várias seqüências de amortizações que têm por soma o principal. 
 É importante observar que o nome prestação é utilizado para representar o pagamento, 
acrescido de impostos e outros encargos. Desconsiderando-se esses impostos e encargos, a 
prestação se reduz ao pagamento R, que é igual à soma da amortização com o juro em cada 
período. 
 Finalmente, damos nome de planilha a um quadro demonstrativo no qual comparecem, 
em cada instante de tempo, o juro, a amortização, o saldo devedor, a prestação, os impostos e 
outros encargos. 
 
Exemplo1: Um empréstimo de $50.000,00 deve ser devolvido em 4 prestações semestrais e à 
taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as 
amortizações são semestrais, com os seguintes valores: 
 
 A1 = 5.000; A2 = 10.000 ; A3 = 15.000; A4 = 20.000 
 
Temos que: P = S0 = 50.000 
 
 
 J1 = 50.000(0,05) = 2.500 
 A1 = 5000 
 R1 = 5000 + 2500 = 7500 
 S1 = 50000 – 5000 = 45.000 
 
 
 J2 = 45.000(0,05) = 2.250 
 A2 = 10000 
 R2 = 10000 + 2250 = 12250 
P = A1 + A2 + A3 + ... + An 
 
 
 
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ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 35 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibest.com.br.com.br.com.br.com.br 
 S2 = 45000 – 10000 = 35.000 
 
 J3 = 35.000(0,05) = 1.750 
 A3 = 15000 
 R3 = 15000 + 1750 = 16.750 
 S3 = 35000 – 15000 = 20.000 
 
 
 J4 = 20.000(0,05) = 1000 
 A4 = 20.000 
 R4 = 20000 + 1000 = 21.000 
 S4 = 20000 – 20000 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo2: Um empréstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em 4 prestações semestrais à 
taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as 
amortizações semestrais são iguais: 
 Temos que: A1 = A2 = A3 = A4 = 500.12
4
000.50
= 
 
Semestre Saldo 
Devedor 
St 
Amortização 
At 
Juros 
Jt 
Prestações 
Rt 
0 50.000 - - - 
1 37.500 12.500 2.500 15.000 
2 25.000 12.500 1.875 14.375 
3 12.500 12.500 1.250 13.750 
Semestre Saldo 
Devedor 
St 
Amortização 
At 
Juros 
Jt 
Prestações 
Rt 
0 50.000 - - - 
1 45.000 5.000 2.500 7.500 
2 35.000 10.000 2.250 12.250 
3 20.000 15.000 1.750 16.750 
4 - 20.000 1.000 21.000 
Total 50.000 7.500 57.500 
 
 
 
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4 - 12.500 625 13.125 
Total 50.000 6.250 56.250 
 
Exemplo3: Um empréstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em 4 prestações semestrais e à 
taxa de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que: 
 A1 = A2 = A3 = 0 e A4 = 50.000 
 
 
Exemplo4: Um empréstimo de 50.000 UR deve ser pago ao final de 4 semestres, à taxa de 
5% a.s.. Contudo, tanto os juros como as amortizações têm dois semestres de carência (isto é, 
só começam no 3º semestre). Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações do 3º e 4º 
semestres são iguais. 
 
Neste caso, como os juros não são pagos no 1º e 2º semestres, eles são incorporados ao saldo 
devedor. 
 
 S0 = 50.000 
 S1 = 50.000 + 0,05(50.000) = 52.500 
 S2 = 52.500 + 0,05(52.500) = 55.125 
 
 A3 = A4 = 50,562.27
2
1250.55
=
 
 
 
Semestre Saldo 
Devedor 
St 
Amortização 
At 
Juros 
Jt 
Prestações 
Rt 
0 50.000 - - - 
1 52.500 - - - 
2 55.125 - - - 
3 27.562,50 27.562,50 2.756,25 30.318,75 
4 - 27.562,50 1.378,13 28.940,63 
Total 55.125 4.134,38 59.259,38 
 
 
 
 
 
66) Um empréstimo de 21.000 UR deve ser pago em 6 prestações semestrais à taxa de 8% 
a.s., pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações são 
Semestre Saldo Devedor 
St 
Amortização 
At 
Juros 
Jt 
Prestações 
Rt 
0 50.000 - - - 
1 50.000 - 2.500 2.500 
2 50.000 - 2.500 2.500 
3 50.000 - 2.500 2.500 
4 - 50.000 2.500 52.000 
Total 50.000 10.000 60.000 
EXERCÍCIOS