Aula de tensões no solo Parte 2

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1
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES VERTICAIS
Método do espraiamento das tensões
• Simplificadamente (hipótese simples), o método considera as tensões verticais
uniformemente distribuídas com a profundidade, com um ângulo de
espraiamento ϴ.
θ
σσ
tgzL
L
v
.22
2
.0
+
=
2L
ϴϴ
2Lz.tgϴ z.tgϴ
ϴ = 30º (solos predominantemente
argilosos e pouco rígidos;
40º ≥ ϴ ≤ 45º (solos
predominantemente granulares e
compactos).
2
TEORIA DA ELASTICIDADE
Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de
diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na
Teoria da Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de
Hooke - material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo).
Um solo é dito isotrópico se os parâmetros definidos em um ponto são os mesmos
em qualquer direção
A isotropia reduz as constantes elásticas do solo em apenas duas: módulo de
elasticidade (E) e coeficiente de Poisson (ν)
Se as constantes elásticas são as mesmas em todos os pontos de uma massa de
solo então ele pode ser considerado homogêneo
3
TEORIA DA ELASTICIDADE
|Métodos de Cálculo|
4
TEORIA DA ELASTICIDADE
Entretanto, a aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos solos é
questionável, pois os mesmos podem não satisfazer as hipóteses:
• Comportamento linear e elástico
Para que seja válida, os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas
deformações), tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura
• Homogeneidade
Foge da realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua natureza e
também apresenta relações tensão-deformação variáveis com a tensão de confinamento,
logo variável com a profundidade
• Isotropia
O solo é, em muitos casos, anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas.
Entretanto, a condição de isotropia é válida para terrenos onde o solo mantém
constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão da
área carregada
Apesar das reconhecidas limitações da Teoria da Elasticidade, as soluções
baseadas nesta teoria ainda tem sido empregadas (mesmo em solos heterogêneos),
sendo que a justificativa para tal fato é que os resultados obtidos possuem
razoável aproximação com as medições experimentais.
|Métodos de Cálculo|
5
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES VERTICAIS – TEORIA DA ELASTICIDADE
Boussinesq - carga concentrada;
Melan - carga ao longo de uma linha de extensão infinita;
Carothers-Terzaghi - carga uniformemente distribuída ao longo de uma faixa de
extensão infinita;
Osterberg - carga distribuída na forma de trapézio retangular em uma faixa de
extensão infinita;
Carothers - carga distribuída na forma de triângulo em uma faixa de extensão
infinita;
Love - carga uniforme sobre superfície circular;
Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular:
• Newmark
• Steinbrenner
Solução para carga uniforme sobre superfície qualquer - Método das superposição
de áreas (Ábaco circular de Newmark).
|Métodos de Cálculo|
6
SOLUÇÃO DE BOUSSENESQ – CARGA CONCENTRADA
Nesta solução foram determinadas as tensões, deformações e deslocamentos no
interior de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito
de superfície horizontal, devido a uma carga pontual aplicada na superfície deste
semi-espaço.
A equação de Boussinesq para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto
devido à aplicação de uma carga Q na superfície é:
|Métodos de Cálculo|
(((( )))) 2522
3
v
zr2
zQ3
σ
++++pipipipi
====
Sendo r e z definidos como:
r
z
Q
σσσσv
7
SOLUÇÃO DE BOUSSENESQ – CARGA CONCENTRADA
Na vertical abaixo do ponto de aplicação da carga (r = 0), as tensões são iguais a:
|Métodos de Cálculo|
(((( )))) 2522
3
v
zr2
zQ3
σ
++++pipipipi
====
��	ϴ � �	/�
Q = P
8
SOLUÇÃO DE BOUSSENESQ – CARGA CONCENTRADA
As tensões variam inversamente com o quadrado da profundidade, sendo infinita no
ponto de aplicação.
|Métodos de Cálculo|
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
20 40 60 80 100 120
Tensão vertical
Q
P
r
o
f
u
n
d
i
d
a
d
e
SOLUÇÃO DE BOUSSENESQ – CARGA CONCENTRADA
Requisitos para aplicabilidade da solução de Boussinesq (BARATA, 1993):
a) Deve-se haver compatibilidade nas deformações do solo. Portanto, as
cargas aplicadas e distribuídas não se aproximem da máxima resistência ao
cisalhamento do solo. Fator de segurança, no mínimo igual a 3, para haver
proporcionalidade entre as tensões e deformações;
b) A resistência do solo deve ser constante, ao longo da profundidade
(E = módulo de elasticidade). Nas argilas (solos coesivos) esse aspecto é
mais viável, sendo nas areias, menos viável (nos solos argilosos o erro é
menor);
c) Solos muito heterogêneos (com presença de camadas de origem,
constituição e resistência muito diferentes) em contatos afastam-se muito do
material considerado em Boussinesq. Usar a solução de Westergaard;
d) Somente utilizado em cargas na superfície. Cargas abaixo da superfície -
teoria de Mindlin (ver alínea “f”);
e) Teoria admite que o material solicitado tenha resistência à tração e ao
cisalhamento (ϕ = 90º)
f) A solução de Boussinesq é para carga concentrada, que na prática não
ocorre nas fundações reais. A teoria só se aplica sem erros grosseiros,
quando:
- Carga sobre área circular, z > 3 d (d = diâmetro);
- Carga sobre área retangular, z > 2,5 lado menor;
9
10
SOLUÇÃO DEWESTERGAARD
• Para o caso de solos estratificados, material fino entremeado por
lentes de areia, caso de solos sedimentares, a solução de
Boussinesq não se aplica.
• Nesses solos, as camadas com diferentes materiais dão ao solo
uma certa resistência as deformações horizontais
• Nesse caso, utiliza-se a solução de Westergaard que considera
deformações laterais nulas.
2
3
2
z
r21
1
2z z
Q
σ














++++
pipipipi
====
11
SOLUÇÃO DE MELAN – CARGA DISTRIBUÍDA
Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação
de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao
infinito.
Exemplos:
|Métodos de Cálculo|
12
SOLUÇÃO DE MELAN – CARGA DISTRIBUÍDA
Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação
de uma carga Q linearmente distribuída ao longo de um comprimento que tende ao
infinito.
|Métodos de Cálculo|
(((( ))))222
3
v
zr
zQ2
σ
++++pipipipi
====
σz
ϴ
r
z
��	ϴ � �	/�
�� �
2. �
�. �
. 
��ϴ�
13
SOLUÇÃO PARA CARGA DISTRIBUÍDA EM PLACA
Solução de Carothers-Terzaghi, para o acréscimo de tensão vertical em qualquer
ponto devido à aplicação de uma carga uniformemente distribuída, sobre uma
placa, onde uma das dimensões é predominante às demais, podendo ser
considerada infinita:
|Métodos de Cálculo|
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SOLUÇÃO PARA CARREGAMENTO TRIANGULAR
Solução para o acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto devido à aplicação
de um carregamento triangular linearmente distribuída ao longo de um comprimento
que tende ao infinito
|Métodos de Cálculo|







 δδδδ−−−−αααα
pipipipi
====σσσσ 2sen
b
r
2
Q
v
z
Q
σσσσv
2b
r
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SOLUÇÃO DE NEWMARK – SUPERFÍCIE RETANGULAR
A partir da integração da equação de Boussinesq, Newmark (1933) desenvolveu
uma solução para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço
infinito de superfície horizontal por carregamento uniformemente distribuído numa
área retangular, numa vertical passando por um dos vértices da área.
Newmark verificou que a solução era a mesma para situações em que as relações
entre oslados da área retangular e a profundidade fossem as mesmas e definiu as
seguintes relações:
|Métodos de Cálculo|
z
a
m ====
z
b
n ====
b
a
z
x
z
σv
a.b
Q
σ0 ====
y z
b
m ====
z
a
n ====
ou
ou
b
a
16
SOLUÇÃO DE NEWMARK – SUPERFÍCIE RETANGULAR
Em função destes parâmetros, a solução de Newmark é expressa pela equação:
Trata-se uma solução muito trabalhosa, mas se considerarmos que a tensão num
ponto qualquer é função só dos parâmetros m e n, a expressão pode ser reescrita
como:
sendo Iσσσσ um coeficiente de influência que pode ser obtido a partir de um ábaco, em
função de m e n.
Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar as
tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela.
|Métodos de Cálculo|
( ) ( )
( )( ) ( ) 








−++
++
+
+++++
++



 ++
= 2222
5,022
222222
225,022
0
1
12
11
212
.
.4 nmnm
nmmn
artg
nmnmnm
nmnmmn
v pi
σ
σ
v 0I .σσσσσ = σσ = σσ = σσ = σ
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SOLUÇÃO DE NEWMARK – SUPERFÍCIE RETANGULAR
|Métodos de Cálculo|
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,01 0,10 1,00 10,00
n
Iσσσσ
1,4
1,0
1,2
0,9
2,0m ≥ 10
1,6
0,8
m = 0,1
0,2
0,3
0,6
0,4
0,5
0,7
m = 0
 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
Ábaco para a solução 
de Newmark para 
cargas uniformemente 
distribuídas em área 
retangular
z
a
m ====
z
b
n ====
z
b
m ====
z
a
n ====
ou
ou
b
a
z
x
z
σv
a.b
Q
σ0 ====
y
18
SOLUÇÃO DE LOVE – CARGA CIRCULAR
|Métodos de Cálculo|
z σσσσv
Q
(((( )))) 





++++
−−−−====σσσσ
2/322
3
v
zr
z1Q
2r
19
ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK
|Métodos de Cálculo|
Esta solução tem por base a equação de Love e o Princípio da Superposição dos
Efeitos. Quando é aplicada uma carga uniformemente distribuída sobre uma
superfície, a tensão gerada a uma dada profundidade é igual ao somatório dos
efeitos dos carregamentos em áreas parciais.
Para a construção do ábaco são traçados 10 círculos concêntricos cujo acréscimo
de carga a um ponto do centro dos círculos situado a uma profundidade z
corresponde a 10%, 20%, 30%,...da carga total aplicada. Logo, cada um dos anéis
apresenta Iσ = 0,1. Da equação de Love:
2
3
2
0
z
z
r1
11I


















+
−=
σ
σ
=σ
20
ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK
|Métodos de Cálculo|
dθ
θ
a
dA
drrddA θ=
( )
( ) 2522
0
3
z
zr2
dAσz3dσ
+pi
=
z
a
r
Q
dAσQ 0=P
R
( ) 2522
3
z
zr2
Qz3
σ
+pi
=
( )22 rzR +=
( ) 2522
3
0
z
zr2
drdrzσ3dσ
+pi
θ
=
( )∫ ∫
pi
+pi
θ
=
2
0
r
0 2
522
3
0
z
zr2
drrdzσ3
σ


































+
−=
2
3
20z
z
r1
11σσ
a0
21
ÁBACO CIRCULAR DE NEWMARK
|Métodos de Cálculo|
O ábaco é dividido em 20 setores de igual área, originando trapézios circulares
(“quadros”) cuja unidade de influência Iσ = 0,005. Contam-se quantos quadros foram
ocupados pela planta. Cada quadro carregado provoca no ponto 0,5% da tensão
aplicada. O nº de quadros vezes o valor da influência (0,005) vezes a tensão
aplicada indica a tensão provocada por todo o carregamento da superfície.
Gráfico de Fadum
• Determina a tensão vertical (∆σ‘v) sob um
carregamento triangular de comprimento finito.
22
 
 
 
∆?σ?�
 
 
z a1 ∆?σ?’v 
 
 
b1 m = b1 / z 
x
 
n = a1 / z 
 
 
 
Iz →?� Coeficiente de Influência
 
σz = ∆σ x I
Gráfico de Fadum
Aula 1 - Água no Solo 23
ACRÉSCIMOS DE TENSÃO NO SOLO
Em termos de diagrama final de tensões verticais totais, considerado
um
carregamento, no eixo de uma fundação tem-
se:
• a sobreposição dos efeitos (soma) das tensões ( figura c)
devidas :
•
•
ao peso próprio dos solos (figura a);
um carregamento aplicado (figura b).