MEstII AP2 Completa 2016.2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2016
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:Atenc¸a˜o!• Identifique a prova, informando os dados acima.• Sua prova sera´ corrigida online. Siga asinstruc¸o˜es na capa deste caderno.• As questo˜es devem ser resolvidas na folhade respostas no espac¸o indicado para cada uma.
• Devolva todas as folhas ao responsa´vel.• O desenvolvimento das questo˜es tem que ser aa caneta preta ou azul.• E´ permitido o uso de calculadoras.• E´ expressamente proibido o uso de corretivos.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 A 3: O Direto´rio Acadeˆmico (DA) do seu cursodeseja realizar uma pesquisa entre os alunos sobre o n´ıvel de satisfac¸a˜o com o hora´riode funcionamento da biblioteca. Voceˆ vai ajudar o DA a planejar a pesquisa e analisaros resultados.
Questa˜o 1 [1,0 pt] Calcule o tamanho da amostra necessa´rio para se estimar a verdadeira proporc¸a˜ode alunos satisfeitos com o hora´rio de funcionamento da biblioteca, com margem de erro 0,05 en´ıvel de confianc¸a 90%.Soluc¸a˜o
Pior cena´rio: p = 0, 5 1 − α = 0, 90 ⇒ z0,05 = 1, 64 (OUtros valores poss´ıveis: 1, 65 ou1, 645)
0, 05 = 1, 64×√0, 5× 0, 5n ⇒ √n = 1, 640, 05 × 0, 5 = 16, 4⇒ n = 16, 42 ⇒ n ≥ 269
Questa˜o 2 [0,5 pt] Querendo garantir que a amostra na˜o seja desnecessariamente grande porcausa dos custos envolvidos, voceˆ faz uma pesquisa piloto que aponta uma proporc¸a˜o de apenas28% de alunos satisfeitos com o hora´rio de funcionamento da biblioteca. Calcule o novo tamanhode amostra, incorporando essa informac¸a˜o auxiliar.Soluc¸a˜o
Estimativa auxiliar: p0 = 0, 28
0, 05 = 1, 64×√0, 28× 0, 72n ⇒ √n = 1, 640, 05 ×√0, 28× 0, 72 = 14, 7272⇒ n ≥ 217
Questa˜o 3 [1,0 pt] Seguindo suas diretrizes, o DA realiza uma pesquisa com 220 alunos, obtendo,nessa amostra, 77 alunos satisfeitos com o hora´rio de funcionamento da biblioteca. Construa umintervalo de 90% de confianc¸a para a verdadeira proporc¸a˜o de alunos satisfeitos com o hora´rio defuncionamento da biblioteca.Soluc¸a˜o
p̂ = 77220 = 0, 35 ε = 1, 64×
√0, 35× 0, 65220 = 0, 053
Intervalo de confianc¸a: [0, 35− 0, 053 ; 0, 35 + 0, 053] = [0, 297 ; 0, 403]
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 4 a 6 Seja X a me´dia de uma amostra aleato´riade tamanho 25 extra´ıda de uma populac¸a˜o normal com me´dia µ e variaˆncia 25. Em umprocesso deciso´rio, a regra e´ rejeitar H0 : µ = 12 a favor de H1 : µ > 12 se X > 13, 96.
Questa˜o 4 [0,5 pt] Identifique a distribuic¸a˜o de X .Soluc¸a˜o
X ∼ N (µ ; 2525
) ou X ∼ N (µ ; 1)
Questa˜o 5 [1,0 pt] Calcule a probabilidade de um erro tipo I, isto e´, rejeitar H0 quando H0 e´verdadeira.Soluc¸a˜o
H0 verdadeira significa µ = 12; rejeitar H0 significa X > 13, 96. Logo, o problema pede
P (X > 13, 96 |X ∼ N (12; 1)) = P(Z > 13, 96− 121
) = P(Z > 1, 96) = 0, 5 − tab(1, 96) = 0, 5 −0, 475 = 0, 025
Questa˜o 6 [1,0 pt] Calcule a probabilidade de um erro tipo II, isto e´, na˜o rejeitar H0 quando H0 e´falsa, com µ = 15, 59.Soluc¸a˜o
H0 falsa com os dados do problema significa µ = 15, 59; na˜o rejeitar H0 significa X ≤ 13, 96. Logo,o problema pede
P (X ≤ 13, 96 |X ∼ N (15, 59; 1)) = P(Z ≤ 13, 96− 15, 591
) = P(Z ≤ −1, 63) = P(Z ≥ 1, 63) =0, 5− tab(1, 63) = 0, 5− 0, 4484 = 0, 0516
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 7 A 10: Com base nas propriedades da func¸a˜odensidade t−Student, determine a abscissa t que satisfaz as condic¸o˜es pedidas. Lem-bre que tn indica uma distribuic¸a˜o t com n graus de liberdade.
Questa˜o 7 [0,5 pt] P(t10 < t) = 0, 01Soluc¸a˜o
t = −t10;0,01 = −2, 764
Questa˜o 8 [0,5 pt] P(t6 > t) = 0, 03Soluc¸a˜o
t = t6,0,03 = 2, 313
Questa˜o 9 [0,5 pt] P(|t12| > t) = 0, 02Soluc¸a˜o
t = t12;0,01 = 2, 681
Questa˜o 10 [0,5 pt] P(|t5| < t) = 0, 96Soluc¸a˜o
t = t5;0,02 = 2, 757
Curso de Administrac¸a˜o 2
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 11 a 15 O comprimento total (CT) de um barcoe´ a distaˆncia ao longo da linha central, a partir do exterior da frente do casco ate´ atraseira. Membros da Associac¸a˜o Comunita´ria de uma cidade a` beira de um lago esta˜opreocupados com o fato de os residentes estarem usando barcos maiores, contribuindopara mais poluic¸a˜o sonora e da a´gua. Registros passados indicam que o CT me´diopara barcos permitidos no lago era de 35 pe´s. Obteve-se uma amostra aleato´ria de16 barcos e cada CT foi medido cuidadosamente. O CT me´dio amostral foi de 38,25pe´s com desvio padra˜o amostral s = 5, 08 pe´s. Suponha que o comprimento possaser aproximado por uma distribuic¸a˜o normal. Voceˆ vai ajudar a Associac¸a˜o a analisaresses dados.
Questa˜o 11 [0,5 pt] Formule o problema em termos de um teste de hipo´teses, especificando ashipo´teses nula e alternativa.Soluc¸a˜o
O interesse e´ saber se o comprimento me´dio aumentou em relac¸a˜o ao comprimento passado de 35pe´s.
H0 : µ = 35H1 : µ > 35
Questa˜o 12 [0,5 pt] Identifique a estat´ıstica de teste e sua distribuic¸a˜o, certificando-se de indica´-latal como aparece no formula´rio ao final da prova.Soluc¸a˜o
Distribuic¸a˜o populacional e´ normal; me´dia e variaˆncia desconhecidas. Logo, a estat´ıstica de testee´
T0 = X − 355, 08√16
∼ t(15)
Questa˜o 13 [0,5 pt] Especifique a regia˜o cr´ıtica para um n´ıvel de significaˆncia de 5%.Soluc¸a˜o
T0 > 1, 753
Questa˜o 14 [1,0 pt] Com base na amostra colhida, estabelec¸a a conclusa˜o da Associac¸a˜o, emtermos na˜o te´cnicos, no contexto do problema.Soluc¸a˜o
O valor observado da estat´ıstica de teste e´
t0 = 38, 25− 355, 08√16
= 2, 599 > 1, 753
Rejeita-se a hipotese nula, ou seja, ha´ evideˆncias de que o comprimento me´dio dos barcos aumentouem relac¸a˜o ao passado.
Questa˜o 15 [0,5 pt] Construa um intervalo de confianc¸a para o novo comprimento me´dio dos barcos,usando o n´ıvel de confianc¸a de 90%.Soluc¸a˜o
Curso de Administrac¸a˜o 3
ε = 1, 753× 5, 08√16 = 2, 2263O intervalo de confianc¸a e´
[38, 25− 2, 2263 ; 38, 25 + 2, 2263] = [36, 0237 ; 40, 4763]
Note que o intervalo esta´ completamente a` direita de 35, um forte ind´ıcio de que a nova me´dia e´maior que 35.
Resultados importantes e fo´rmulasDistribuic¸o˜es Amostrais
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒
(i) X − µσ√n ∼ N(0; 1) (ii)
X − µS√n ∼ t(n− 1)
X ∼ Bern(p) =⇒ P̂ − p√p0(1−p0)n ≈ N (0; 1) (amostra grande)
Regio˜es cr´ıticas
X < µ0 − zα/2 σ√n ou X > µ0 + zα/2 σ√n X > µ0 + zα σ√n X < µ0 − zα σ√nX < µ0 − tn−1;α/2 S√n ou X > µ0 + tn−1;α/2 S√n X > µ0 + tn−1;α S√n X < µ0 − tn−1;α S√nP̂ < p0 − zα/2√p0(1−p0)n ou P̂ > p0 + zα/2√p0(1−p0)n P̂ > p0 + zα√p0(1−p0)n P̂ < p0 − zα√p0(1−p0)n
Curso de Administrac¸a˜o 4