ATPS de Matemática Financeira

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Universidade Anhanguera – UNIDERP
Curso: Ciências Contábeis
Disciplina: Matemática Financeirta
Professora EAD: Ivonete Melo de Carvalho
Professor Tutor: João Anderson N. Pereira
Grupo: É Show
	Antônia Jesus dos Anjos
	RA: 387373
	Priscila da Silva
	RA: 381371
	Ronaib Jair Tavares Lopes
	RA: 401278
	Stênio de Souza Lemos
	RA: 380316
	Vardilene Baia de Andrade
	RA: 354305
Tucuruí – Pará
2013
Universidade Anhanguera – UNIDERP
Curso: Ciências Contábeis
Disciplina: Matemática Financeira
Professora EAD: Ivonete Melo de Carvalho
Professor Tutor: João Anderson N. Pereira
Grupo: É Show
	Antônia Jesus dos Anjos
	RA: 387373
	Priscila da Silva
	RA: 381371
	Ronaib Jair Tavares Lopes
	RA: 401278
	Stênio de Souza Lemos
	RA: 380316
	Vardilene Baia de Andrade
	RA: 354305
ESTATÍSTICA
Trabalho apresentado como requisito para aprovação na disciplina de Matemática Financeira no Curso de Ciências Contábeis 4° Semestre, Professora à distância Professora Ivonete Melo de Carvalho. 
Tucuruí – Pará
2013
SUMÁRIO
3INTRODUÇÃO	�
51 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS SIMPLES E COMPSTOS	�
51.1 Principais informações sobre os conceitos fundamentais de Matemática Financeira – Regime de Capitalização simples e composta	�
6Capitalização Simples	�
6Juros Simples	�
7Capitalização Composta	�
7Juros Compostos	�
9Utilização da HP-12C	�
91.2 Desafios propostos da etapa 1:	�
9Caso A	�
10Caso B	�
101.3 Resoluções dos desafios propostos da etapa 1:	�
10Caso A	�
11Caso B	�
132 OS CONCEITOS UTILIZADOS EM SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES	�
142.1 Principais informações dos conceitos de séries de pagamentos uniformes – postecipados e antecipados	�
14Séries de pagamentos	�
14Séries Postecipadas	�
15Séries Antecipadas	�
16Pagamento Postecipados	�
16Pagamentos Antecipados	�
162.2 Desafios propostos da etapa 2:	�
16Caso A	�
17Caso B	�
182.3 Resoluções dos desafios propostos da etapa 2:	�
18Caso A	�
18Caso B	�
203 OS CONCEITOS UTILIZADOS EM TAXAS EQUIVALENTES NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA	�
213.1 As principais informações dos conceitos de taxa a juros compostos	�
21Juros compostos	�
21Principais Taxas de Mercado e taxas indexadores:	�
233.2 Desafios propostos da etapa 3:	�
23Caso A	�
23Caso B	�
233.3 Resoluções dos desafios propostos da etapa 3:	�
23Caso A	�
24Caso B	�
254 OS CONCEITOS UTILIZADOS NOS PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO EXISTENTES	�
264.1 Principais informações sobre os conceitos de amortização de empréstimos	�
26Sistema de Amortização de Empréstimos	�
26Sistema Francês de Amortização – Price	�
26Sistema de Amortização Constante – SAC	�
26Sistema de Amortização Misto – SAM	�
26Sistema de Amortização Crescente – SACRE	�
26Sistema de Amortização Convencional (plano livre)	�
27Sistema de Prestação Constante – Método de Gauss.	�
274.2 Desafios propostos com base “Caso B” da etapa 2:	�
27Caso A	�
27Caso B	�
284.3 Resoluções dos desafios propostos da etapa 4:	�
28Caso A	�
29Caso B	�
32Referências Bibliográficas	�
�
INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objetivo o cumprimento do objetivo propostos pelo trabalho supervisionado do 4ª semestre de Matemática Financeira. Sendo assim, focando no objetivo de cada etapa que nos foi apresentada, realizamos pesquisas para apresentarmos os conceitos e realizar o desenvolvimento dos desafios propostos.
Com isso, ao longo desse trabalho o leitor poderá se inteirar sobre os conceitos de Matemática Financeira, como por exemplo, juros simples, juros compostos, séries de pagamentos uniformes, taxas equivalentes no regime de capitalização composta e sistemas de amortização de juros, bem como, poderá fazer uma análises de caso, envolvendo problemas resolvidos de situações do cotidiano pessoal.
1 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS SIMPLES E COMPSTOS 
1.1 Principais informações sobre os conceitos fundamentais de Matemática Financeira – Regime de Capitalização simples e composta
Matemática Financeira
A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. Algumas situações estão presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realização de empréstimos compra a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações.
Capitalização Simples
No regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na modalidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade de desconto bancário a base de cálculo é sempre o valor nominal do título (FV). O regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total.
Juros Simples
 No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros.
As principais fórmulas utilizadas para resoluções de Questões são:
Valor do juro simples - J
 
Valor do montante simples – FV
 
Valor Presente – PV
 
Cálculo da taxa de juros simples – i
 
Cálculos do período em juros simples – n
Capitalização Composta
No regime de capitalização composta, os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros, formando o chamado “juros sobre juros”. A capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial, em que o capital cresce de forma geométrica. O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital é denominado “período de capitalização”; logo, se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte. É fundamental, portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a chamada “taxa equivalente”, devendo sempre a taxa estar expressa para o período de capitalização, sendo que o “n” (número de períodos) represente sempre o número de períodos de capitalização.
Juros Compostos
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.
As fórmulas mais utilizadas nesta capitalização são:
Calculo do valor do juro em capitalização composta 
Cálculo do valor futuro em capitalização composta
Cálculo do valor presente em capitalização composta
Cálculo da taxa de juros em capitalização composta
Cálculo do período de aplicação em capitalização composta
Utilização da HP-12C
A HP 12C é uma poderosa ferramenta programável utilizada na realização de cálculos financeiros, a disposição de todos os interessados em agregar valores aos seus conhecimentos visando enfrentar a competitividade interna ou externa a que estão sujeitos no dia-a-dia. A Matemática Financeira, tem suas aplicações dentro das empresas, em diversas áreas e devido à velocidade com que a informação está atingindo a todas as pessoas, torna-se uma ferramenta indispensável a todos aqueles que convivem nas empresas, bem como a todos que necessitam entender o cotidiano nos setores comerciais. Este curso, como utilizar a HP 12C mostra de uma maneira clara e simples, como tirar o melhor proveito dessa poderosa ferramenta, como entender os conceitos básicos da matemáticafinanceira na resolução de problemas do cotidiano que o requeiram. Você poderá aprender, atualizar ou reciclar seus conhecimentos.
1.2 Desafios propostos da etapa 1:
Caso A 
Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dívidas impensadas foram contraídas. Deslumbrados pelo grande dia, usaram de forma impulsiva recursos de amigos e créditos pré-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta há mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem juros no cartão de crédito. O Buffet contratado cobrou R$ 10.586,00, sendo que 25% deste valor deveria ser pago no ato da contratação do serviço, e o valor restante deveria ser pago um mês após a contratação. Na época, o casal dispunha do valor da entrada, e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um empréstimo a juros compostos, concedido por um amigo de infância do casal. O empréstimo com condições especiais (prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$ 10.000,00 após dez meses de o valor ser cedido pelo amigo. Os demais serviços que foram contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite de cheque especial de que dispunham na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na época, a taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao mês.
Segundo as informações apresentadas, tem-se: 
I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$ 19.968,17. 
II – A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.
III – O juro do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente ao valor emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91.
Caso B 
Marcelo e Ana pagariam mais juros se, em vez de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o casal tivesse optado por emprestar de seu amigo a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.
1.3 Resoluções dos desafios propostos da etapa 1:
Caso A 
Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dívidas impensadas foram contraídas. Vislumbrados com o grande dia, usaram de forma impulsiva recursos de amigos e créditos pré-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta a mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem juros no cartão de crédito. O Buffet contratado cobrou R$ 10.586,00, sendo que 25% deste valor deveriam ser pagos no ato da contratação do serviço e o valor restante deveria ser pago um mês após a contratação. Na época, o casal dispunha do valor de entrada e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um empréstimo a juros compostos, concedido por um amigo de infância do casal. O empréstimo com condições especiais (prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$ 10.000,00 após dez meses do valor cedido pelo amigo. Os demais serviços que foram contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite do cheque especial que dispunham na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na época, a taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao mês.
I – O valor pago por Marcelo e Ana para realização do casamento foi de R$19.968,17?
Roupas: 12 x 256,25: R$ 3.075,00
Buffet: R$ 10.586,00 x 25%: R$ 2.646,50
Empréstimo Amigo: R$7.939,50
Valor Pago no final do empréstimo: R$ 10.000,00
Prazo do pagamento 10 meses
Taxa de Juros?
7.939,50 PV
10.000,00 CHS FV
10 N
i = 1,33 % a.m.
Valor dos juros: R$2.060,50
Outros serviços contratados: R$ 6.893,17 no cheque especial com taxa de 7,81% a.m. em 10 dias. Como o chefe é especial o juro é simples, portanto em 10 dias a taxa de juros fica em 0,26 % a.d. totalizando um valor de R$ 179,22
Soma: 3.075,00 + 2.646,50 + 10.000,00 + 6.893,17 + 179,22 = R$ 22.793,89
3.075 ENTER 2.646,50 + 10.000 + 6.893,17 + 179,22 + 
Resposta: A afirmação I esta errada, pois o valor gasto foi de R$ 22.793,89.
II – A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.
10.000,00 CHS e em seguida FV 
7.939,50 PV10 n e em seguida i 2,3342%
Resposta: A afirmação está correta
III - O juro do cheque especial cobrado pelo banco dentro de 10 dias, referente ao valor emprestado de R$6.893,17, foi de R$ 358,91.
Levei em consideração com juros simples
7,81 / 30 = 0,2603% a.d.
7,81 ENTER 30 / (na HP 12 C)
J= 10 dias * (0,26% / 100) * R$ 6.893,17
0,26 ENTER 100 / 10 * 6.893,17 * 
J= R$ 179,22
Resposta: Esta afirmação III está errada, logo o juros foi de R$179,22
Caso B 
Marcelo e Ana pagariam mais juros se, ao invés de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$6.893,17, o casal tivesse optado emprestar de seu amigo, a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.
Neste caso os juros são compostos deve se aplicar uma formula para transformar o juros a.m. para a.d.
R$ 6.893,17 empréstimo
7,81 % A.M. ( taxa ) = 0,0781
10 dias ( N)
Utilizando a HP-12C
0,0781 ENTER 1 + ENTER 10 ENTER 30 / Yx 1 – 100 * = 2,5384 % a cada 10 dias
6.893,17 ENTER 2,5384 % = R$ 174,97
Resposta: A afirmação está errada.
Para o desafio do caso A
Associamos o número 3, pois as afirmações I,II e III, estão respectivamente: errada, certa e errada.
Para o desafio do caso B
Associamos o número 1, pois a afirmação esta errada.
2 OS CONCEITOS UTILIZADOS EM SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES
2.1 Principais informações dos conceitos de séries de pagamentos uniformes – postecipados e antecipados 
Séries de pagamentos
Durante o passar dos tempos podemos verificar vários apelos de consumo e de poupança através de planos de pagamentos que se adaptam aos mais diversos orçamentos que as pessoas tem. Onde são possíveis através do parcelamento ou recomposição de débitos.
O estudo das séries nos fornece o instrumental necessário para estabelecer planos de poupança, de financiamento, de recomposição de dívidas e avaliação de alternativas de investimentos.
Define-se série, renda, ou anuidade, a uma sucessão de pagamentos, exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir uma dívida ou constituir um capital.
Cada um dos pagamentos que compõem uma série denomina-se termo de uma renda e conforme sejam iguais ou não, a série se denominará, respectivamente, uniforme ou variável.
Se os pagamentos forem exigidos em épocas cujos intervalos de tempo são iguais, a série se denominará periódica; em caso contrário, se os pagamentos forem exigidos em intervalos de tempo variados, a série se denominará não-periódica.
Se o primeiro pagamento for exigido no primeiro intervalo de tempo a que se referir uma determinada taxa de juros, teremos uma série antecipada, caso contrário, ela será diferida.
Teremos uma série temporária ou uma perpetuidade conforme seja, respectivamente, finito ou infinito o número de seus termos.
As séries periódicas e uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, antecipadas e diferidas.
Séries Postecipadas
São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, e cuja representação gráfica é a seguinte:
O valor presente representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo, considerando a mesma taxa de juros. O valor presente corresponde à soma dos valores atuais dos termos da série. Valor presente dos termos da série:
Resumindo esta fórmula através da soma dos termos progressão geometria, tem-se a seguintes fórmulas:
Encontrar o valor presente (atual) ou Fator devalor atual – FVA;
Encontrar o valor futuro ou Fator de formação de capital – FFC;
Encontrar o valor da PMT existe duas fórmulas, onde a primeira é utilizando quando se tem o PV e a segunda quando se tem o FV;
Fator de recuperação de capital – FRC
Fator de acumulação de capital – FAC
Séries Antecipadas
São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são efetuados no início de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, e cuja representação gráfica é a seguinte:
As fórmulas para encontras PV, PMT, FV, possuem uma pequena diferença das séries postecipada, apresentam (1+i), ou seja, parte paga na data Zero. São elas:
Encontrar o valor presente (atual) ou Fator de valor atual – FVA;
Encontrar o valor futuro ou Fator de formação de capital – FFC;
Fator de recuperação de capital – FRC
Fator de acumulação de capital – FAC
Pagamento Postecipados
As séries uniformes de pagamento postecipados são aqueles em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada. Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação, representada pela sigla “PMT” que vem do Inglês “Payment” e significa pagamento ou recebimento.
Pagamentos Antecipados
As séries uniformes de pagamentos antecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de pagamento com entrada.
2.2 Desafios propostos da etapa 2:
Caso A: 
Marcelo adora assistir a bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D, para ver seus títulos prediletos em casa como se estivesse numa sala de cinema. Ele sabe exatamente as características do aparelho que deseja comprar, porque já pesquisou na internet e em algumas lojas de sua cidade. Na maior parte das lojas, a TV cobiçada está anunciada por R$ 4.800,00. No passado, Marcelo compraria a TV em doze parcelas “sem juros” de R$ 400,00, no cartão de crédito, por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessário antes de qualquer compra. Hoje, com sua consciência financeira evoluída, traçou um plano de investimento: durante 12 meses, aplicará R$ 350,00 mensais na caderneta de poupança. Como a aplicação renderá juros de R$ 120,00 acumulados nesses dozes meses, ao fim de um ano,
Marcelo terá juntado R$ 4.320,00. Passado o período de 12 meses e fazendo uma nova pesquisa em diversas lojas, ele encontra o aparelho que deseja, última peça (mas na caixa e com nota fiscal), com desconto de 10% para pagamento à vista em relação ao valor orçado inicialmente. Com o planejamento financeiro, Marcelo conseguiu multiplicar seu dinheiro. Com o valor exato desse dinheiro extra que Marcelo salvou no orçamento, ele conseguiu comprar também um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente com a TV, para complementar seu “cinema em casa”.
De acordo com a compra de Marcelo, têm-se as seguintes informações:
I – O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$ 600,00.
II – A taxa média da poupança nestes 12 meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês.
Caso B: 
A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana à sua irmã Clara, para ser liquidada em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a taxa de juros compostos que ambas combinaram é de 2,8% ao mês.
A respeito deste empréstimo, tem-se:
I – Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.977,99.
II – Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.896,88.
III – Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21.
2.3 Resoluções dos desafios propostos da etapa 2:
Caso A: 
I – O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$ 600,00, não afirmativa errada, pois, o custo foi de R$ 480,00.
II - taxa média da poupança nestes 12 meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês, também, está errada, pois a taxa foi de 0,2350%.
Cálculo pela HP12c:
	
	f
	CLx
	
	4200
	
	PV
	
	4320
	
	FV
	
	12
	
	n
	
	i
	
	
	R$ 0,2350%
Associação é o número 2, pois as afirmações I e II estão respectivamente: errada e errada.
Caso B: 
I – Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.977,99, a afirmação está certa.
Cálculo pela HP12c:
	
	f
	CLx
	
	30000
	CHS
	PV
	
	0
	
	FV
	
	12
	
	n
	
	2,8
	
	i 
	
	PMT
	
	
	R$ 2.977,99
 II – Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.896,88, a afirmação está certa.
Cálculo pela HP12c:
	
	f
	CLx
	
	
	g
	BEG
	
	30000
	CHS
	PV
	
	0
	
	FV
	
	12
	
	n
	
	2,8
	
	i 
	R$ 2.896,88
III – Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21, a afirmação está errada, pois, o valor é R$ 2.977,99.
Cálculo pela HP12c:
	
	f
	CLx
	
	30000
	CHS
	PV
	
	0
	
	FV
	
	12
	
	n
	
	2,8
	
	i 
	
	PMT
	
	
	R$ 2.977,99
Associação é o número 9, pois as afirmações I, II e III estão respectivamente: certa, certa e errada.
3 OS CONCEITOS UTILIZADOS EM TAXAS EQUIVALENTES NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
3.1 As principais informações dos conceitos de taxa a juros compostos
Juros compostos
São capitalizados no final de cada período, ou seja, o juro do primeiro é adicionado ao capital inicial e sobre esse montante é calculado o juro do segundo período que, por sua vez será adicionado ao montante anterior para que se calcule o juro do período seguinte, e assim sucessivamente. Esse tipo de rendimento é muito vantajoso, sendo utilizado pelo atual sistema financeiro.
Conceitos de taxas a juros compostos, utilização de juros que fazem parte da economia do Brasil.
Principais Taxas de Mercado e taxas indexadores:
Taxa Over 
É a taxa mensal proporcional a uma taxa diária de aplicação. Só que são considerados tão-somente os dias úteis do período.
Taxa Referencial (TR)
É utilizada para indexar ou corrigir valores de contratos, reajustar, caderneta de poupança e operações pós-fixadas, como exemplo, os CDBs pós-fixados. A TR é divulgada pelo Banco Central do Brasil, no máximo até o oitavo dia do mês de referencia. È formada por uma média das taxas de juros dos Certificados de Depósito Bancários oferecida a investidores dos 30 maiores bancos que atuam nessa área. O banco Central coleta todos os dias e tira à média incluindo aquele dia, mais, o dia anterior e o que será captado no dia seguinte. Sobre a média desses três dias é aplicado um redutor, com o objetivo de excluir do percentual de eventuais perspectivas de inflação.
Taxa Básica de Financiamento (TBF)
O cálculo da TBF obedece à mesma metodologia de cálculo da Taxa Referencial (TR), exceto quando ao redutor, que é menor.
Foi criada a Taxa Básica Financeira (TBF), que remunerava esses depósitos, divulgada e calculada pelo Banco Central. Atualmente, a TBF pode ser usada para operações com prazo igual ou superior a 60 dias e seu cálculo segue os procedimentos da taxa TR, obtendo-se a taxa nédia dos CDB de 30 dias.
Taxa de Juros à Longo Prazo (TJLP)
A TJLP foi criada pela Medida Provisória nº 684, de 31/12/94, para alongar o perfil dos investimentos realizados no mercado financeiro. Quem mais tem utilizado esse indexador é o Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico Social (BNDES), nos repasses de crédito e financiamentos às empresas, tais como Finame, e na poupança especial para casa própria,que teve pouco sucesso junto aos futuros mutuários. O cálculo de TJLP é feito a partir da média dos juros de títulos da dívida externa federal (om peso de 75% no cálculo) e da dívida interna federal (com 25%). É corrigido a cada três meses. Seu valor é fixado periodicamente pelo Banco Central do Brasil de acordo com as normas de conselho Monetário Nacional e divulgado por meio dos jornais de grande circulação no país. O período de vigência da TJLP observa o prazo mínimo de três meses. Foi aplicado inicialmente para atualização dos recursos do Fundo de Participação PIS-Pasep, do Fundo de Amparo ao Trabalhador e do Fundo da Marinha mercante. 
Taxa SELIC
A Taxa SELIC é a sigla do Sistema Especial de Liquidação e Custódia é um índice pelo quais as taxas de juros cobradas pelo mercado se balizam no Brasil. Conforme o Banco Central do Brasil, a taxa apurada no Selic é obtida mediante o cálculo da taxa média ponderada pelo volume das operações de financiamento por um dia, lastreadas em títulos públicos federais registrados no referido sistema na forma de operações compromissadas. É a taxa utilizada nas operações entre o Banco Central e os Bancos, envolvendo títulos públicos. Esclarecemos que neste caso, as operações compromissadas são operações de venda de títulos como compromisso de recompra assumido pelo vendedor, concomitante com compromisso de revenda assumido pelo comprador, para liquidação no dia útil seguinte. Ressaltamos, ainda, que estão aptas a realizar operações compromissadas, por um dia útil, fundamentalmente as instituições financeiras habilitadas, tais como bancos, caixas econômicas, sociedades corretoras de títulos e valores mobiliários e sociedades distribuidoras de títulos e valores mobiliários.
Considerando sua importância como referencial para toda a economia, é objeto de sinalização por parte do Copom (Comitê de Política Monetária do Banco Central do Brasil), que pode estabelecer metas para a taxa Selic ou indicações de alta ou baixa. Conforme for o viés definido, de alta ou baixa, o Banco Central poderá aumentar ou reduzir a taxa Selic, mesmo antes da próxima reunião do Copom. Se não for indicado viés, ou viés nulo, a taxa somente poderá ser alterada pelo Copom. O objetivo da sinalização é orientar os integrantes do mercado, evitando expectativas infundadas.
3.2 Desafios propostos da etapa 3:
Caso A: 
Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo de investimento.
A aplicação de R$ 4.280,87 proporcionou um rendimento de R$ 2.200,89 no final de 1.389 dias.
A respeito desta aplicação tem-se:
I – A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%.
II – A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%.
III – A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada mensalmente, é de 11,3509%.
Caso B: 
Nos últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salário de Ana foi de –43,0937%.
3.3 Resoluções dos desafios propostos da etapa 3:
Caso A: 
I – A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%,ESTÁ CERTO, vejamos:
PV= 4.280,87 CÁLCULO HP 12C 
FV= 6.481,76 4.280,87 CHS PV 0 PMT 1.389n 6.481,76 FV i
N= 1389 dias
I= 0,02987%
6.481,76= 4.280,87X(1+i)^1389
(1,51)^1389=1+i
1.0002987-1=i
0,0002987=i
I=0,02987% - CERTO
II – A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%, ESTÁ ERRADO, vejamos:
PV= 4.280,87 CÁLCULO HP 12C
FV= 6.481,7687 4.280,87CHS PV 6.481,76FV 46,3n i
N= 46,3 MESES
i= 0,8999% a.m
6.481,76÷4.280,87=1,51
(1,51)^30=(1+i)
1,01383-1=i
I=1,3831%
III- A taxa efetiva anual equivale à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada mensalmente, é de 11,3509%.
 CÁLCULO HP 12C
Taxa Anual = Taxa dia 30.12 1.009 ENTER 12 Yx 1-100X 
Taxa Anual = 0,02987.30.12
Taxa Anual = 10,753 = 10,8 a.a. 
Taxa Anual = 10,8 a.a = 0,9 a.m
Ib = [(1+ia)^1/n-1].100
Ib = [(1+0009)^12/-1].100
Ib = 11.3509% ao m
Associar o número 5, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, errada e certa.
Caso B: 
Taxa Real = 1+in / 1+ij x 100 HP-12C = 1,2578 ENTER 2.2103 ÷1-100x
Ir= 1+0,2578 / 1+1,2103
Ir=1,2578 / 2,2103=
0,5690-1x100 = -43,0937%
Associar o número 0, se a afirmação estiver certa.
4 OS CONCEITOS UTILIZADOS NOS PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO EXISTENTES
4.1 Principais informações sobre os conceitos de amortização de empréstimos
Sistema de Amortização de Empréstimos 
Uma das aplicações mais importantes dos juros compostos envolve empréstimos, a sobrevivência do sistema financeiro entre outras coisas está pautada no sistema de amortização de empréstimos, aqui apresentamos os principais sistemas de amortizados:
Sistema Francês de Amortização – Price 
O Sistema Francês (Price) é o mais utilizado no mercado financeiro e de capitais brasileiro. Ele consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sempre iguais e sucessivas, o valor de cada prestação contém duas partes basicamente, que são os juros (encargos financeiros) e amortização (capital).
Sistema de Amortização Constante – SAC 
É principalmente utilizado no Sistema Financeiro de Habitação, sua principal característica é que as amortizações iguais, com prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética. 
Sistema de Amortização Misto – SAM 
É um misto entre o Price e o SAC, é um plano de pagamentos composto por prestações cujos valores são resultantes da média aritmética dos valores das prestações dos planos SAC e Price.
Sistema de Amortização Crescente – SACRE 
Criado pela Caixa Econômica Federal entre 1999 e 2005, para liquidação de financiamentos originários do Sistema Financeiro de Habitação. O sistema utiliza exatamente os conceitos do Sistema SAC, com a principal diferença está no fato de que a prestação é corrigida a cada 12 meses e o saldo devedor é atualizado 
Sistema de Amortização Convencional (plano livre)
Também conhecido pelo plano livre de amortização. Chama-se convencional porque um empréstimo pode ser quitado com amortizações variáveis, sem nenhum padrão a seguir.
Sistema de Prestação Constante – Método de Gauss.
A principal característica é a liquidação de empréstimos em prestações constantes, como o Prince, periódicas e postecipadas; entretanto, as amortizações evoluem em progressão aritmética, com a equivalência sendo feita a juros simples, na data do valor futuro (data focal n), diferente do Price as amortizações crescem geometricamente, com a equivalência sendo, costumeiramente, feita na data do valor presente (data focal zero), a juros compostos. 
4.2 Desafios propostos com base “Caso B” da etapa 2:
Caso A: Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se daria pelo SAC (Sistema de Amortização Constante), o valor da 10ª prestação seria de R$ 2.780,00, e o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$ 5.000,00.
Caso B: Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se daria pelo sistema PRINCE (Sistema Francês de Amortização), o valor da amortização para o 7º período seria de R$ 2.780,00, o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$ 2.322,66, e o valor do juro correspondente ao próximo período seria de R$ 718,60.
4.3 Resoluções dos desafios propostos da etapa 4:
Caso A:
Planilha de amortização do “caso A” pelo Sistema de Amortização Constante (SAC).
	 
	G
	H
	I
	J
	K
	1
	Sistema de Amortização SAC
	2
	Taxa Contratada: 
	2,8%
	 
	 
	3
	Númerode parcelas: 
	12
	 
	 
	4
	N
	SD
	A
	J
	PMT
	5
	0
	30.000,00
	 
	 
	 
	6
	1
	27.500,00
	2.500,00
	840,00
	3.340,00
	7
	2
	25.000,00
	2.500,00
	770,00
	3.270,00
	8
	3
	22.500,00
	2.500,00
	700,00
	3.200,00
	9
	4
	20.000,00
	2.500,00
	630,00
	3.130,00
	10
	5
	17.500,00
	2.500,00
	560,00
	3.060,00
	11
	6
	15.000,00
	2.500,00
	490,00
	2.990,00
	12
	7
	12.500,00
	2.500,00
	420,00
	2.920,00
	13
	8
	10.000,00
	2.500,00
	350,00
	2.850,00
	14
	9
	7.500,00
	2.500,00
	280,00
	2.780,00
	15
	10
	5.000,00
	2.500,00
	210,00
	2.710,00
	16
	11
	2.500,00
	2.500,00
	140,00
	2.640,00
	17
	12
	0,00
	2.500,00
	70,00
	2.570,00
	18
	TOTAL
	 
	30.000,00
	5.460,00
	35.460,00
Em resposta a primeira afirmação levantada pelo desafio proposto pra nesta etapa, de que o valor da 10ª prestação seria de R$ 2.780,00 é errado (3), ou seja, a resposta correta para a 10ª prestação seria R$ 2.710,00, como se pode evidenciar em destaque (negrito) na coluna “PMT” da planilha de amortização a cima. Entretanto, a segunda afirmação de que o saldo devedor (SD), para o próximo período seria de R$ 5.000,00 está certa (5), conforme está destacado (negrito) na coluna “SD” da planilha de amortização a cima.
Conforme solicitam nesta etapa, que se evidencie a metodologia de cálculos que possibilitou à resolução deste desafio proposto através do software excel, as fórmulas, bem como, a localização exata dos valores e células localizadas na planilha estão produzidas na tabela abaixo: 
	
	G
	H
	I
	J
	K
	1
	Sistema de Amortização SAC
	2
	Taxa Contratada: 
	0,028
	 
	 
	3
	Núm. de parcelas: 
	12
	 
	 
	4
	N
	SD
	A
	J
	PMT
	5
	0
	30.000,00
	 
	 
	 
	6
	1
	=H5-I6
	=$H$5/$I$3
	=H5*$I$2
	=I6+J6
	7
	2
	=H6-I7
	=$H$5/$I$3
	=H6*$I$2
	=I7+J7
	8
	3
	=H7-I8
	=$H$5/$I$3
	=H7*$I$2
	=I8+J8
	9
	4
	=H8-I9
	=$H$5/$I$3
	=H8*$I$2
	=I9+J9
	10
	5
	=H9-I10
	=$H$5/$I$3
	=H9*$I$2
	=I10+J10
	11
	6
	=H10-I11
	=$H$5/$I$3
	=H10*$I$2
	=I11+J11
	12
	7
	=H11-I12
	=$H$5/$I$3
	=H11*$I$2
	=I12+J12
	13
	8
	=H12-I13
	=$H$5/$I$3
	=H12*$I$2
	=I13+J13
	14
	9
	=H13-I14
	=$H$5/$I$3
	=H13*$I$2
	=I14+J14
	15
	10
	=H14-I15
	=$H$5/$I$3
	=H14*$I$2
	=I15+J15
	16
	11
	=H15-I16
	=$H$5/$I$3
	=H15*$I$2
	=I16+J16
	17
	12
	=H16-I17
	=$H$5/$I$3
	=H16*$I$2
	=I17+J17
	18
	TOTAL
	 
	=SOMA(I6:I17)
	=SOMA(J6:J17)
	=SOMA(K6:K17)
Caso B: 
Planilha de amortização do “caso B” pelo Sistema de Amortização Francês (PRINCE).
	 
	G
	H
	I
	J
	K
	22
	Sistema de Amortização Francês (PRINCE)
	23
	Taxa Contratada:
	2,8%
	 
	 
	24
	Número de parcelas:
	12
	 
	 
	25
	N
	SD
	A
	J
	PMT
	26
	0
	30.000,00
	 
	 
	 
	27
	1
	27.862,01
	2.137,99
	840,00
	2.977,99
	28
	2
	25.664,15
	2.197,86
	780,14
	2.977,99
	29
	3
	23.404,75
	2.259,40
	718,60
	2.977,99
	30
	4
	21.082,09
	2.322,66
	655,33
	2.977,99
	31
	5
	18.694,40
	2.387,69
	590,30
	2.977,99
	32
	6
	16.239,85
	2.454,55
	523,44
	2.977,99
	33
	7
	13.716,57
	2.523,28
	454,72
	2.977,99
	34
	8
	11.122,64
	2.593,93
	384,06
	2.977,99
	35
	9
	8.456,08
	2.666,56
	311,43
	2.977,99
	36
	10
	5.714,86
	2.741,22
	236,77
	2.977,99
	37
	11
	2.896,88
	2.817,98
	160,02
	2.977,99
	38
	12
	0,00
	2.896,88
	81,11
	2.977,99
	39
	TOTAL
	 
	30.000,00
	5.735,92
	35.735,92
Em resposta a primeira afirmação levantada pelo desafio proposto pra nesta etapa no caso B, de que o valor da amortização para o 7º período através do sistema amortização PRINCE, seria de R$ 2.780,00 é errado (1), ou seja, a resposta correta para amortização do 7º período seria R$ 2.523,28, como se pode evidenciar em destaque (negrito) na coluna “A” da planilha de amortização a cima. O mesmo acontece, com a segunda afirmação de que o saldo devedor (SD), atualizado para o próximo período seria de R$ 2.322,66 também está errada (1), ou seja, o valor correto (4) é R$ 13.716,57, conforme está destacado (negrito) na coluna “SD” da planilha de amortização a cima.
Conforme solicitam nesta etapa, que se evidencie a metodologia de cálculos que possibilitou à resolução deste desafio proposto através do software excel, as fórmulas, bem como, a localização exata dos valores e células localizadas na planilha estão produzidas na tabela abaixo: 
	
	G
	H
	I
	J
	K
	22
	Sistema de Amortização Francês (PRINCE)
	23
	Taxa Contratada: 
	0,028
	 
	 
	24
	Núm. de parcelas: 
	12
	 
	 
	25
	N
	SD
	A
	J
	PMT
	26
	0
	30000
	 
	 
	 
	27
	1
	=H26-I27
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J27
	=H26*$I$23
	=I27+J27
	28
	2
	=H27-I28
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J28
	=H27*$I$23
	=I28+J28
	29
	3
	=H28-I29
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J29
	=H28*$I$23
	=I29+J29
	30
	4
	=H29-I30
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J30
	=H29*$I$23
	=I30+J30
	31
	5
	=H30-I31
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J31
	=H30*$I$23
	=I31+J31
	32
	6
	=H31-I32
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J32
	=H31*$I$23
	=I32+J32
	33
	7
	=H32-I33
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J33
	=H32*$I$23
	=I33+J33
	34
	8
	=H33-I34
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J34
	=H33*$I$23
	=I34+J34
	35
	9
	=H34-I35
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J35
	=H34*$I$23
	=I35+J35
	36
	10
	=H35-I36
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J36
	=H35*$I$23
	=I36+J36
	37
	11
	=H36-I37
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J37
	=H36*$I$23
	=I37+J37
	38
	12
	=H37-I38
	=PGTO($I$23;$I$24;-$H$26;0)-J38
	=H37*$I$23
	=I38+J38
	39
	TOTAL
	 
	=SOMA(I27:I38)
	=SOMA(J27:J38)
	=SOMA(K27:K38)
Referências Bibliográficas
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP12C e Excel, São Paulo, Pearson Prentice Hall, 2006.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 6. Ed. São Paulo: Atlas, 2001.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: Objetiva e Aplicada. 7. Ed. São Paulo: Saraiva, 2004.
TEIXEIRA, James. Matemática financeira. São Paulo: Makron Books, 1998.
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PV 
1
2
3
4
n
0
...
...
FV
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PV 
1
2
3
4
n
0
...
...
FV
PMT
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