Vetores

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Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 1 
 
 
Vetores 
 
 
RESUMO 
 
 
Lembrex! 
 
Aquele lembrete que você de Exatas já deve estar cansado de saber e, por isso, aprofundaremos algumas 
coisinhas já já... 
 
Primeiramente, gostaria de alertar que o estudo de Vetores é muito mais complexo do que será apresentado 
nesse resumo, podendo ser aprofundado em Geometria Analítica e Álgebra Linear. Dito isso, vamos a uma 
definição razoável para prosseguirmos tranquilamente nos nossos estudos. 
 
Vetor: ente matemático que possui 3 características. 
 
1) Módulo: Nº + (possível)* unidade de medida. 
2) Direção: Da reta suporte. 
3) Sentido: 
 
 
 
Obs.1: Vale lembrar que isso já foi apresentado inicialmente no nosso primeiro módulo de Conceitos Básicos 
da Física. 
 
Obs.2: Para ficar mais completo, na verdade, a direção é dada pelo ângulo que a reta suporte faz com a 
horizontal. 
 
 
 
 
 
 
Obs.3: Formalmente não se diz seta! Toda essa representação acima deve ser chamada de imagem 
geométrica de um vetor. 
 
Obs.4: Uma pequena consideração concernente à representação do módulo do vetor. Veja abaixo: 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 2 
 
 
 
Representação: 
 
A = 2u 
B = 2u 
C = 2u 
 
Ou ainda: 
 
|𝐴| = 2𝑢 
|�⃗⃗�| = 2𝑢 
|𝐶| = 2𝑢 
 
O módulo, pois, é uma comparação do vetor com unidade de medida padrão respectiva de cada grandeza 
física. 
Rigorosamente, levando em conta as 3 características de um vetor, os vetores acima são diferentes devido às 
diferenças na direção e sentido, tendo eles apenas módulos iguais. 
 
 
 Tipos de Vetores 
 
A) Vetores iguais ou equipolentes: 
 
Mesmo módulo 
Mesma direção 
Mesmo sentido. 
 
Notação: 
�⃗⃗� = �⃗� 
|�⃗⃗�| = |�⃗�| 
 
 
 
Obs.1: Vetores paralelos. 
Obs.2: Diferentes representações do mesmo vetor. 
 
 
B) Vetores opostos: 
 
Mesmo módulo 
Mesma direção 
Sentidos contrários! 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 3 
 
 
 
Notação: 
𝐴 ≠ �⃗⃗� 
𝐴 = −�⃗⃗� 
 
 
 
 
 
Obs.1: É claro que eu ainda poderia escrever: 
|𝐴| = |�⃗⃗�| 𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎 𝐴 = 𝐵 
Mas aí estamos nos referindo ao módulo dos vetores 😉 
 
Obs.2: Vetores antiparalelos. 
 
 
C) Vetores concorrentes: 
 
Vetores cuja reta suporte se interceptam em um ponto. 
 
 
 
 D) Vetor nulo: 
 
Origem = Extremidade 
 
Notação: 
|�⃗⃗⃗�| = 0 
 
Obs.: Você poderá se deparar com o seguinte abuso de linguagem. 
 
�⃗⃗⃗� = 0⃗⃗ 
 
Tecnicamente errado, pois não se pode ter um vetor em cima de um escalar! 
 
 
Se liga! 
 
Versor  vetor cujo módulo vale 1, ou como gostamos de chamá-lo, vetor unitário. 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 4 
 
 
 
 
 
Obs.: Alguns candangos gostam de anotar o vetor unitário da seguinte maneira: 
 
 
𝑒 𝑠ã𝑜 𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜𝑠. 
 
Veremos mais adiante o quão importante são os versores, principalmente na hora da notação. 
 
 
 
 Soma de Vetores 
 
A) Método do Polígono 
 
...puramente geométrico! 
...é li 
 
 
𝑆 = 𝐴 + �⃗⃗� + 𝐶 
 
 
B) Método do Paralelogramo 
 
...método geométrico e analítico. 
...utilizado de 2 a 2 vetores. 
...desenho final é um balãozinho de São João! 
 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 5 
 
 
 
 
Obs.1: Se o desenho final for um triângulo retângulo  PIT neles! Ah, PIT é Pitágoras! 
 
 
 
 
 
Obs.2: E se não for triângulo retângulo  Teorema dos cossenos 
 
 
 
Resumindo, temos que: 
 
 
 
 
 
Se liga! 
 na fórmula do Teorema dos cossenos, 
já te dou um empurrãozinho lá para a base da base sobre a distinção do uso dessa ferramenta na Matemática 
e na Física. 
 
https://descomplica.com.br/cursos/empurrao-enem-2017/aulas/vetores/videos/vetores-5-soma-de-
vetores-parte-3/ 
 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 6 
 
 
 
 
 Subtração de Vetores 
 
 
Ex.: Se temos que fazer 
�⃗� − �⃗� 
 
Vamos, primeiramente, rescrever essa operação de maneira a entendermos o que significa subtrair vetores. 
E o que é isso, ora bolas? 
Subtrair é somar com o vetor oposto (ou simétrico). 
 
Bota o olhão aqui embaixo nessas representações geométricas: 
 
 
 
 
 
Não sei se você percebeu meu e minha camarada, mas nós utilizamos as mesmas regras de adição 
supracitadas. Só não podemos esquecer de executá-las com o vetor oposto. 
 
Com o tempo e a prática, perceberás rapidamente que a subtração é a diagonal inversa do paralelogramo 
àquela que seria resultante da soma dos vetores: 
 
 
 
 
 Multiplicação do vetor por um escalar 
 
-----Escalar 
 
Ex.: 2�⃗� 
Acho que vale lembrar que uma multiplicação não deixa de ser uma adição, ou seja, no caso aqui, teremos 
que 
2�⃗� = �⃗� + �⃗� 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 7 
 
 
 
Ex.: 
1
2
�⃗� 
 
Nesses casos, em relação ao escalar n podemos constatar que: 
 
∀𝑛 ∈ 𝑅\{0,1} → direção e sentido são conservados 
Traduzindo é que: 
Para todo escalar n, excetuando o 0 e o 1, a única coisa que muda no vetor resultante é o seu módulo. 
Veja: 
 
 
-----Escalar 
 
Ex.: −
3
2
�⃗⃗� 
 
Se o vetor era 
3
2
�⃗⃗� e queremos −
3
2
�⃗⃗�, fazemos: 
 
 
 
 
Só mais alguns exemplos: 
 
 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 8 
 
 
 
 
E tcharam!!!!! 
 
 
 
 
 
 
 Projeção ortogonal de vetores 
 
... é a sombra do vetor no eixo desejado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vetor u = �⃗⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (𝑥𝑓 , 𝑦𝑓) − (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑢 = √𝑥2 + 𝑦² 
 
 
 
 
 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�⃗� 
 
 
 
 
 
 �⃗� = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧) 
 �⃗� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘 
 
|𝑎|2 = 𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2 + 𝑎𝑧
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 11 
 
 
 
 
𝐴|||| = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝐴_|_ = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
 
 
 
 
 
 
||𝑣|| = √𝑣1
2 + 𝑣2
2, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 ∈ 𝕽 
 
 
 
 
 
 
 
 
||𝑊|| = √(−1)2 + 22 ≅ 2,24 
 
 
 
 
 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐺, 𝐿) = ||𝐺𝐿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || = √(𝑐 − 𝑎)2 + (𝑑 − 𝑏)² 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝑄) = √(3 − 1)² + (1 − 2)² = √5 
 
 
 
 
 
�⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑒 �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 
 
 
�⃗⃗� ∙ �⃗� = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 
< 𝑢, 𝑣 > 
 
 
�⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 1.2 + (−2). 4 + 3. (−1) = −9 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑣 ∙ 𝑤 = ||𝑣||||𝑤||𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
θ 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 𝑒 �⃗⃗� 𝐴 × �⃗⃗� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒊 = (1,0,0), 𝒋 = (0,1,0), 𝒌 = (0,0,1) 
 
𝐴 × �⃗⃗� 𝑜𝑢 𝐴 ∧ �⃗⃗� 
 
 
 
�⃗⃗� = (5,4,3) 
�⃗� = (1,0,1) 
 
�⃗⃗� × �⃗�Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�⃗⃗� × �⃗� = 4𝒊 − 2𝒋 − 4𝒌 
 
 
 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�⃗⃗� × �⃗� �⃗⃗� 𝑒 �⃗�
 
 
||�⃗⃗� × �⃗�|| = ||�⃗⃗�||||�⃗�||𝑠𝑒𝑛𝜃 
θ 
 
 
 
 
�⃗⃗� × �⃗� 
 
�⃗⃗� × �⃗� θ
�⃗⃗� 𝑒 �⃗�, 𝑒 �⃗⃗� �⃗�
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 17 
 
 
�⃗⃗� × �⃗�
 �⃗�
�⃗⃗� × �⃗� 
 
😉 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�] �⃗⃗� ∙ (�⃗� × �⃗⃗⃗�) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reforço de Engenharia 
 
 
Física 1 18