HIDRAULICA AGRICOLA

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2013 
Prof. Cláudio Márcio P. Souza 
UFVJM 
27/05/2013 
HIDRÁULICA AGRÍCOLA 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 3 
 ÍNDICE Pagina 
01 Generalidades 03 
02 Evolução da hidráulica 04 
03 Dimensões, símbolos e unidades 06 
04 Sistema de unidades 08 
05 Algumas Grandezas mecânicas 09 
06 Transformação de unidades “ Torricelli” 11 
07 Grafia de números 12 
08 Prefixos 12 
09 Analise do comportamento dos fluidos 12 
10 Exercícios (S.U e Prop. fund.fluidos)Lista 1 15 
11 Exercícios resolvidos 16 
12 Exercícios conversão unidades Lista 2 19 
13 Exercícios (S.U e Prop. fund. fluidos) Lista 3 20 
14 Hidrostática 21 
14 
15 
Lista 4 
Manometria 
22 
27 
16 Empuxo 34 
17 Lista 5. Exercícios de hidrostática 36 
18 Lista 6. Exercícios empuxo 37 
19 Lista 7. Exercícios manometria 42 
20 Lista 8. Exercícios sistema de unidades 46 
21 Fundamentos da cinemática dos fluidos 47 
22 Teste múltipla escolha 51 
23 Teorema de Bernoulli 53 
24 Potencia da corrente fluida 56 
25 Aplicações da equação de Bernoulli 56 
26 Lista 9. Exercícios (eq. continuidade e Bernoulli) 60 
27 Orifícios 62 
28 Bocais 65 
29 Vertedores 67 
30 Hidrometria 69 
31 Condutos livres 69 
32 Condutos forçados 75 
33 Lista 10. Exercícios hidrometria 78 
34 Lista 11. Exercícios condutos forçados e hf 79 
35 Dimensionamento de canais 80 
36 Elementos geométricos 81 
37 Exercícios resolvidos canais 83 
38 Lista 12. Exercícios propostos canais 86 
39 Escoamento em tubulações 88 
40 Determinação da perda de carga(Contin. E localiz.) 88 
41 Lista 13. Exercícios de perdas de carga 92 
42 Bombas Hidráulicas 94 
43 NPSH e Cavitação 96 
44 Potências e rendimentos 98 
45 Curvas Características De Bombas Centrífugas 102 
46 Método Básico Para Seleção De Uma Bomba Centrífuga 108 
47 Esquema típico de instalação de motobomba 113 
48 Tabela de conversão de unidades 
Apendice tabelas e Referencias 114 a 116 
114 
114 
 
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1. GENERALIDADES 
A ciência da engenharia denominada mecânica dos fluidos desenvolveu-
se através de um entendimento das propriedades dos fluidos
1
 (tanto em 
repouso quanto em movimento), da aplicação das leis fundamentais da 
mecânica e da termodinâmica e da experimentação metódica. 
 O significado etimológico da palavra hidráulica é a “condução de 
água” (do grego hydor, água e aulos, tubos condução). Entretanto a 
engenharia hidráulica envolve a aplicação de princípios e métodos da 
engenharia para o controle, conservação e utilização dos fluidos. A 
hidráulica pode ser dividida em Geral ou Teórica e Aplicada ou 
Hidrotécnica. A Hidráulica Geral se aproxima muito da mecânica dos 
fluidos e pode ser subdividida em Hidrostática
2
, Hidrocinemática
3
 e 
Hidrodinâmica
4
; já a Hidráulica Aplicada é a aplicação prática dos 
conhecimentos científicos da Mecânica dos Fluidos e da observação 
criteriosa dos fenômenos relacionados à água parada ou em movimento. 
 As áreas de atuação da Hidráulica Aplicada são: Urbana (sistemas de 
abastecimento de água, sistema de esgotamento sanitário, sistema de 
drenagem pluvial, canais); Rural: (sistemas de drenagem, sistemas de 
irrigação, sistemas de água potável e esgotos); Instalações Prediais: 
(industriais, comerciais, residenciais e públicas); Lazer e Paisagismo; 
Estradas (drenagem); Defesa contra inundações; Geração de energia; 
Navegação e Obras Marítimas e Fluviais. 
 Os instrumentos utilizados na atividade profissional da Hidráulica 
Aplicada são: analogias, cálculos teóricos, e empíricos, modelos físicos, 
modelos matemáticos de simulação, hidrologia. Os acessórios, materiais e 
estruturas utilizados na prática da Hidráulica Aplicada são: Tubulações, 
aterros, barragens, bombas, canais, válvulas, vertedores, etc. 
 
 
 
1
 Definição de fluido: é uma substancia que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de 
cisalhamento. Outra definição seria “fluidos são substancias que são capazes de escoar e cujo volume toma 
a forma de seus recipientes”. 
2
 Trata dos fluidos em repouso. 
3
 Estuda velocidades e trajetórias, sem considerar forças ou energia. 
4
 Refere-se às velocidades, às acelerações e às forças que atuam nos fluidos em movimento. 
 
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2. EVOLUÇÃO DA HIDRÁULICA 
 
 Os trabalhos hidráulicos são conhecidos desde a mais remota 
antiguidade. As grandes civilizações antigas que se fixaram em regiões 
áridas, mas próximas de cursos de água facilmente aproveitáveis, foram 
nascidas e conservadas graças à utilização eficiente de seus recursos 
hídricos. Há mais de 3000 anos a.C
5
., entre os rios Tigre e Eufrates, os 
egípcios já haviam construído obras hidráulicas para irrigação de suas 
lavouras e em Nipur (Babilônia), existiam coletores de esgoto desde 3750 
a. C. 
 O principio de Arquimedes pertence quase ao inicio da época Romana; 
da autoria de FRONTINUS do Imperador Nero, é o primeiro tratado de 
Hidráulica, particularmente dedicado aos aquedutos de Roma, considerados 
obras de primária importância para o desenvolvimento da civilização. 
 O primeiro sistema público de abastecimento de água de que se tem 
noticia, o aqueduto de Jerwan, foi construído na Assíria, 691 a.C. Alguns 
princípios da hidrostática foram enunciados por Arquimedes, no seu 
“Tratado sobre corpos flutuantes”, 250 a.C. 
 Deve-se a Euler as primeiras equações gerais para o movimento dos 
fluidos. No seu tempo, os conhecimentos que hoje constituem a Mecânica 
dos Fluidos apresentavam-se separados em dois campos distintos: a 
Hidrodinâmica Teórica, que estudava os líquidos perfeitos, e a Hidráulica 
Empírica, em que cada problema era investigado isoladamente. 
 Apenas no século XIX, com o desenvolvimento da produção de tubos de 
ferro fundido, capazes de resistir a pressões internas, relativamente 
elevada, com o crescimento das cidades e importância cada vez maior do 
serviço de abastecimento de água e ainda em conseqüência de novas 
maquinas hidráulicas é que a Hidráulica teve um progresso rápido e 
acentuado. 
 Finalmente, pode-se admitir que a Hidráulica é jovem como ciência 
sendo que novas e importantes descobertas se desenvolverão ano após ano 
nesse campo de atividades. 
 
 
 
5
 Primeiro relato da irrigação no mundo. 
 
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3. DIMENSÕES, SIMBOLOS E UNIDADES 
 
 O estudo da mecânica dos fluidos envolve uma variedade de 
características. Assim, torna-se necessário desenvolver um sistema de 
descrevê-la de modo qualitativo (comprimento, tempo, velocidade) e 
quantitativo (fornece uma medida numérica para as características). A 
descrição qualitativa é conveniente realizada em função de certas 
quantidades primarias tais como o comprimento, L, tempo, T, massa, M. 
Estas quantidades primárias podem ser combinadas e utilizadas para 
descrever, qualitativamente, outras quantidades ditas secundarias, por 
exemplo: área = L
2
, velocidade = L T
-1
 e massa especifica = M L
-3
. O 
símbolo = é utilizado para indicar a dimensão de quantidade secundaria em 
função das dimensões das quantidades primarias. Assim nós podemos 
descrever qualitativamente a velocidade, V, do seguinte modo: 
1 LTV
 
e dizer que a dimensão da velocidade é igual ao comprimento dividido pelo 
tempo. As quantidades primárias são também denominadas dimensões básicas. 
 É interessante notar que são necessárias apenas três dimensões 
básicas (L, Te M) para descrever um grande numero de problemas de 
mecânica dos fluidos e da hidráulica. Nós aceitamos como premissa básica 
que todas as equações que descrevem os fenômenos físicos precisam ser 
dimensionalmente homogêneas. Por exemplo, a equação para a velocidade de 
um corpo uniformemente acelerado é: 
atVoV 
 
Onde: Vo é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o intervalo de 
tempo. Em termos dimensionais a forma desta equação é: 
111   LTLTLT
 
podendo concluir desta forma que a equação para a velocidade de um corpo 
é dimensionalmente homogênea. 
 
Exemplo: Dada a equação para determinar a vazão do escoamento de um 
liquido através de um orifício localizado na lateral de um tanque é: 
ghAQ 261,0
 
 
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Onde: A é área do orifício, g é a aceleração da gravidade e h é a altura 
da superfície livre do liquido em relação ao orifício. Investigue a 
homogeneidade dimensional desta equação. 
Solução: as dimensões dos componentes da equação são: 
LalturahTLgravidadeaceleracaog
LareaATLtempovolumeQ




..............
...................../
2
213 
Se substituirmos estes termos na equação, obtemos a forma dimensional: 
2/12/12213 )()()2)()(61,0()( LLTLTL  
 Ou 
  )()2)(61,0()( 1313   TLTL
 
Este resultado mostra que a equação é dimensionalmente homogênea, ou 
seja, os dois lados da equação apresentam a mesma dimensão L
3
 T
-1
, sendo 
0,61 e 
2
 adimensionais. 
 
Obs 1.: uma equação é dita homogênea dimensionalmente, quando os seus diferentes 
termos apresentam o mesmo grau com relação às grandezas fundamentais 
Obs 2: uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente 
homogênea. 
 
Quadro: Unidades de diversas grandezas mecânicas nos principais sistemas. 
Designação Dimensões Sistema 
CGS 
S I Sist. 
Técnico 
MLT FLT (MLT) (MLT) (FLT) 
U
n
i
d
.
 
f
u
n
d
a
m
 
 
Comprimento L L cm m m 
Massa M FT
2
 
L
-1
 
g kg UTM 
Força ML T
-2
 F dina 
(dyn) 
N kgf 
Tempo T T s s s 
 
U
n
i
d
a
d
e
s
 
d
e
r
i
v
a
d
a
s
 
 
Superfície L
2
 L
2
 cm
2
 m
2
 m
2
 
Volume L
3
 L
3
 cm
3
 m
3
 m
3
 
Velocidade L T
-1
 L T
-1
 cm/s m/s m/s 
Aceleração L T
-2
 L T
-2
 cm/s
2
 m/s
2
 m/s
2
 
Trabalho M L
2
 T
-2
 FL erg joule(J) kgf.m 
Potencia M L
2
 T
-3
 FL T
-
1
 
erg/s watt(W) kgf.m/s 
Visc 
din.() 
M L
-1 
T
-
1
 
FT L
-
2
 
poise decapoise(da) kgf s/m
2
 
Visc 
cin..() 
L
2
 T
-1
 L
2
T cm
2
/s 
(stokes) 
m
2
/s m
3
/s 
Massa esp 
() 
M L
-3
 FT
2
 
L
-4
 
g/cm
3
 kg/ m
3
 Kgfs
2
/m
4 
(UTM/ m
3
) 
Peso 
esp.() 
M L
-2
T
-2
 F L
-3
 dyn/cm
3
 N/m
3
 Kgf/m
3
 
U.T.M = 9.81 kg 1 N = 0.102 kgf 1 kgf = 9.81 N 1 N = kgf.m.s
-2
 
 
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4. SISTEMAS DE UNIDADES 
 
Normalmente, além de termos que descrever qualitativamente uma 
quantidade, é necessário quantificá-la. Existem vários sistemas de 
unidades em uso e consideraremos apenas três dos sistemas utilizados em 
engenharia. 
- Sistema Internacional (S.I.) 6 
- Sistema Técnico (utilizado nos EUA) 
- Sistema C.G.S. 
 
Ainda são toleradas algumas unidades de outros sistemas. Por exemplo: 
 
Unidades de Pressão: 
-Atmosfera  1 atm = 101 435 Pa = 101,435 kPa = 1,01 bar = 14,22 lb/pol2 
ou PSI 
-Bar  1 bar = 100.000 Pa = 100 kPa = 
0.985 atm 
-Metro de Coluna de Água  
1 m.c.a. = 10 kPa 
-Milímetro de Mercúrio  
1 mmHg = 133, 322 Pa 
 
Unidades de Potência: 
-Cavalo-Vapor  1 cv =735,5 watt 
(muito utilizado em motores) 
-Horse-Power  1 hp = 746 watt 
 
Unidades de Força: 
-Quilograma-Força  1 kgf = 9,81 N 
 
Obs: Em Hidráulica, os sistemas de 
unidades mais utilizados são o S.I. e o 
Sistema Técnico. 
 
 
 
 
Obs.: 1200 cfm ("cubic feet per minute", ou pé cúbico por minuto) 
 
 
 
 
 
 
6
 O decreto n 81.621 de 03/05/1979, tornou oficial no Brasil o uso do Sistema Internacional de Unidades 
(S.I.). 
 
 
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Exemplo: Um tanque contem 36 kg de água e está apoiado no chão de um 
elevador. Determine a força que o tanque exerce sobre o elevador quando 
este movimenta para cima com uma aceleração de 7 ft s
-2
. 
 
Solução: A fig. Mostra o diagrama de corpo livre para o 
tanque. Note que W é o peso do tanque e da água. A 
expressão da segunda lei de Newton é: 
  maF
 
Eq. 1 
Aplicando esta lei ao problema, temos: 
 
maWFf 
 (considerando positivo para cima). 
Como W = m g, a eq. 1 pode ser reescrita como: 
Ff = ma + mg ficando 
Ff = m(g+a). 
Se quisermos conhecer o valor de Ff em Newton, é necessário exprimir 
todas as quantidades no SI. 
 
Assim: 
  ..97,42913,281,936 222   mskgmsmskgFf
 
 
Como 1 N = 1 kgf.m.s
-2
, temos que a força Ff é igual a 429,97 N (atua no 
sentido positivo). O sentido que a força atua no elevador é para o solo 
porque a força mostrada no diagrama de corpo livre é a força que atua 
sobre o tanque. 
 
 
 
5. ALGUMAS GRANDEZAS MECÂNICAS 
MASSA: U.T.M.  Unidade Técnica de Massa. 
Definição: É a massa de um corpo pesando “9,81” kgf 
Obs dimensão : 
L
TF
T
L
F
A
F
MAMF
2
2
.
. 
 
 
 
Força = massa x aceleração 
 
Massa = 9,81 kgf 1 U.T.M = 1 kgf . s
2
 
 9,81 m.s
-2
 m 
 
1 U.T.M = 9,81 kg 
 
Exemplo: Um corpo pesa 250 Kgf. Qual sua massa no sistema técnico? 
 
 m = 250 kgf = 25,5 U.T.M. 
 9,81 m /s
2
 
W 
Ff 
a 
 
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FORÇA 
2
.
T
LM
Dimensao 
 C.G.S  
2
.
s
cmg
 = dina (dyn) 
S.I.  
2
.
s
mkg
 = Newton (N) 
Obs: Newton: Força que comunica à massa 1 kg, a aceleração de 1 m/s
2
. 
S. Técnico  Força = Quilograma-força (kgf)7. 
 
1F = 1 kg . 9,81 m/s
2
 
1F = 9,81 kg . m/s
2
 
1F = 9,81 N ainda 1 kgf = 9810 N 
 
Observação: A massa no S.I. possui o mesmo módulo que a força no Sistema 
Técnico. 
 
Exemplo: 2 kg (massa no S.I) de banana pesam 2 kgf (força no Sistema 
Técnico), porém em sistemas diferentes !!! 
 
O Quadro abaixo exemplifica a questão: 
 
S.I. Sistema Técnico 
 
Massa = 2 kg Massa = 
kg
kg
81,9
2
 = 0,204 U.T.M = 0,204
m
skgf 2.
 
Peso = m . g 
 
Peso = 2 kg . 9,81
2s
m
 
Peso = 19,62 N 
Peso = m . g 
Peso = 0,204
m
skgf 2.
. 9,81
2s
m
 
Peso = 2 kgf 
Observação: Na resolução de problemas é necessária a utilização de um 
mesmo sistema de unidades. 
 
 
A massa específica (

) no S.I. = Peso específico () no Sistema 
Técnico 
 
(S.Tec.) = 
g
 (S.I)
 (S.Tec) = 
g
 (S.I.)
 (S.I.) = (S. Tec) 
água = 1 000 kgf/m
3
 (S. Téc.) água = 9 810 N/m
3
 (S.I.) 
 
 
 
 
 
 
 
7
 Peso do protótipo internacional do quilograma, quando submetido à ação da gravidade normal (9,81 m/s
2
). 
 
 
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6. TRANSFORMAÇÕES DE UNIDADES EXPERIÊNCIA DE TORRICELLI (Século XVIII) 
 
 
 
A pressão atmosférica em um local podeser 
medida pela coluna de mercúrio na experiência 
de Torricelli. 
Sendo: 
hpEpBpBpo .' 
 
Mas: pE=zero(pressão em E, vácuo parcial); 
  Hg=13590 kgf m-3 (peso espec. merc.) 
Então: 
23 328 10760,0*590 13   kgfmmkgfmpo
 ou 
mmHgkgfcmpo 760033,1 2  
 
Que é o valor da pressão atmosférica ao nível 
do mar, correspondendo a 1 atmosfera normal. 
Ao emborcar a proveta cheia de mercúrio (Hg) 
na cuba, permaneceu uma coluna de 760 mmHg. Concluiu-se com isto, que a 
Pressão Atmosférica corresponde à 760 mmHg. 
Como Hg = 13 590 Kgf/m
3 
 e P =  . h, então: 
13 590 kgf/m
3
 x 0,760 m = 10 328 kgf/m
2
 = 1,033 kgf/cm
2
(Atmosfera física). 
Como a densidade do Hg () = (Hg) / (água) = 13,59 
A mesma pressão atmosférica equilibraria uma coluna de água de:13,59 X 
0,760 m = 10,33 m.c.a. 
 
Atmosfera Padrão (ao nível do mar, 40
º
 de latitude) 
760 mmHg = 10.340 kgf/m
2
 = 1,034 kgf/cm
2
 = 10,34 m.c.a. 
Atmosfera Técnica (usada para cálculos em engenharia) 
735mmHg = 10.000 kgf/m
2
 = 1,0 kgf/cm
2
 = 10 m.c.a. = 1 atm = 100kPa = 
14,22 PSI (1 kgf = 10 N). 
Observação: Para uma elevação de 100 m na altitude, ha uma redução de 
0,012 atm (0,12 m.c.a. ou 120 kgf/m
2
) na pressão atmosférica local. 
 
Exemplo: Determinar o valor da Pressão Atm. para Lavras Altitude=920 m) 
Sabemos que a atmosfera padrão, ao nível do mar, é igual a 1,034 atm = 
10.340 kgf/m
2
 = 10,34 m.c.a. e também que a pressão é reduzida de 120 
kgf/m
2
 para cada 100 m acima do nível do mar, portanto: 
Patm local = 10 340 kgf/m
2
 – (120 kgf/m2 x Altitude/100) 
Patm local = 10 340 kgf/m
2
 – (120 kgf/m2 x 920 m / 100) 
Patm local = 9 236 kgf/m
2 
 
 
Exercício: calcular a pressão atm para a cidade de Diamantina (1350m). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h =760mm de Hg 
Hg 
B’ 
po 
B 
E 
F 
Vácuo parcial 
 
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7. GRAFIA DE NÚMEROS 
 
 A fim de facilitar a leitura, os números podem ser repartidos em 
grupos de três algarismos cada um, esses grupos nunca será separados por 
virgula ou ponto (9ª CGPM/1948-resolução 7). 
 
Exemplo: 100 000,0 sendo representativo de cem mil e zero unidades. 
 
8. PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) 
Fator Prefixo Simbolo Fator Prefixo Simbolo 
10
18
 exa E 10
-1
 deci d 
10
15
 peta P 10
-2
 centi c 
10
12
 tera T 10
-3
 mili m 
10
9
 giga G 10
-6
 micro 

 
10
6
 mega M 10
-9
 nano n 
10
3
 quilo k min. 10
-12
 pico p 
10
2
 hecto h 10
-15
 femto f 
10
1
 deca da 10
-18
 atto a 
 
 
 
9. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DOS FLUIDOS 
 
Definição de Fluido: é uma substancia que se deforma continuamente quando 
submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena 
possa ser essa tensão. 
 
a) Peso especifico (γ). É o peso da unidade de volume da substancia. 
V
W

 
Onde: V é o volume da substância e W é peso da substancia. 
obs W=mg. 
Dimensões MLT
22TL
M
 e FLT
3L
F
 
 
 
b) Massa especifica (ρ). É a massa contida na unidade de volume, também 
conhecida como “densidade absoluta”. 
 
V
m

 
Onde: m é a massa da substancia. 
Dimensões MLT
3L
M
 e FLT
4
2
L
FT
 
 
Obs: Entre a massa especifica e o peso específico existe a seguinte 
relação: 
V
W
 
V
mg
sendo 
V
m

logo 
g. 
 onde g é a aceleração da 
gravidade. 
 
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Massa especifica de algumas substancias. 
Substancia ρ (g cm-3) ρ (kg m-3) 
Agua (4ºC) 1,0 1 000 
Gelo 0,92 920 
Álcool 0,79 790 
Ferro 7,8 7 800 
Chumbo 11,2 11 200 
Mercurio 13,6 13 600 
Obs.: água, peso especifico 101,94 UTM/m
3
 sendo UTM=
m
skgf 2.
 
 
c) Densidade (δ). É a relação entre a massa especifica de uma substancia 
e a massa específica de outra substância, tomada como referência. 
 
1

 
 sendo adimensional. 
 
Geralmente a substancia tomada como referência é a água a 4ºC que 
apresenta massa específica de 1000 kg m
-3
. 
 
d) Viscosidade (atrito interno). é a propriedade dos fluidos responsável 
pela sua resistência à deformação. Obs: em conseqüência da viscosidade o 
escoamento dos fluidos dentro das canalizações somente se verifica com 
perda de energia denominada “perda de carga”. 
 
e) Coeficiente de viscosidade dinâmica (μ). É o parâmetro que traduz a 
existência de esforços tangencias nos líquidos em movimento. 
 
n
V
SF


 
 
 
Onde: ΔF é força necessária para o deslocamento, S é superfície contato, 
Δn é distancia de deslocamento e ΔV é velocidade relativa. 
 
f) Coeficiente de viscosidade cinemática (υ). É o quociente de 
viscosidade dinâmica pela massa especifica. 


 
 
 
Obs: coeficiente de viscosidade cinemática da água (υ) = 1,01.10-6 m2 s-1 = 
1,01 centistokes. 
 
g) Coesão. Permite às partículas fluidas resistirem a pequenos esforços 
de tensão. Por exemplo: formação da gota d’água. 
 
h) Adesão. Quando um liquido está em contato com um sólido, a atração 
exercidas pelas moléculas do sólido é maior que a atração existente entre 
as moléculas do próprio liquido. 
 
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i) Tensão superficial (σs). Na superfície de contato entre dois fluidos 
não miscíveis (água e ar), forma-se uma película elástica capaz de 
resistir a pequenos esforços. 
Por exemplo, pernilongo sobre a água. 
 
j) Capilaridade. As propriedades de adesão, coesão, tensão superficial 
são responsáveis pelo fenômeno da capilaridade. É a elevação (ou 
depressão no Hg) de um liquido dentro de um tubo de pequeno diâmetro. 
 
gr
s
h

 cos.2

 
 
Onde: α é o ângulo formado pela superfície do liquido com a parede do 
tubo, ρ é a massa específica da água, g é a aceleração da gravidade e r é 
o raio do tubo capilar. 
 
 
l) Compressibilidade. Para efeitos práticos, os líquidos são considerados 
incompressíveis. Por exemplo, 1 000 L de água à pressão de 7 kgf cm
-2
, 
sofre uma redução de 0,0033 m
3
 ou de 3,3 L. 
 
m) Solubilidade dos gases. Os líquidos dissolvem os gases (água dissolve 
o ar). Implicação: causa do desprendimento de ar e aparecimento de bolhas 
de ar nos pontos altos das tubulações. 
 
FLUIDO NEWTONIANO 
Definimos fluido como “toda substancia que se deforma continuamente 
quando submetida a uma tensão de cisalhamento” na ausência deste, não 
existe deformação. Os fluidos podem se classificar, de forma geral, 
segundo a relação entre os esforços cortantes aplicados e a rapidez de 
deformação resultante. Aqueles fluidos onde o esforço cortante é 
proporcional a rapidez de deformação, se denominam fluidos Newtonianos, 
p.e. água, ar, gasolina, e o termo Não Newtoniano se utiliza para 
classificar todos os fluido onde o esforço cortante no é diretamente 
α 
Patm h 
menisco 
agua 
Fig.: tubo capilar de vidro em água 
Coesão > 
adesao 
Adesão > 
Coesão 
 
 
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proporcional a rapidez de deformação, p.e. creme dental, tintas. Na nossa 
apostila, somente faremos menção a fluidos Newtonianos. 
Obs. VISCOSIDADE 
Considerando a deformação dos fluidos Newtonianos diferentes, por 
exemplo, a água e a glicerina se deformam em diferentes tempos para uma 
mesma força cortante. A glicerina oferece muito mais resistência à 
deformação do que a água, então, diz-se que a glicerina é muito mais 
viscosa. Outro exemplo seria o mel com o álcool, qual seria mais viscoso? 
10. LISTA1. 
HIDRÁULICA (Sist. de Unidades e Prop.Fundamentais dos fluidos) 
 
1. Transformar a pressão de 35.000 
2m
kgf
 em : 
 
 a) kgf / cm
2
 (Resp.: 3,5 kgf / cm
2
) 
 b) m.c.a. (Resp.: 35 m.c.a) 
 c) atm (Resp.: 3,5 atm) 
 d) Pascal (Pa) (Resp.: 350.000 Pa) 
 e) kPa (Resp.: 350 kPa) 
 
Obs: Utilizar atmosfera técnica 
 
2. Sabe-se que 3 dm3 de um líquido pesam 2.550 gf. Calcular o peso 
específico, massa específica e a densidade deste líquido no Sistema 
Técnico. 
Resposta:  = 850 kgf/m3  = 86,65 kgf . s2 / m4  = 0,85 
 
3. Um frasco de densidade tem massa igual a 12g quando vazio e 28g 
quando cheio de água. Retirando-se a água, enche-se o frasco com um 
ácido e Obtém-se uma massa total de 37,6g (frasco + ácido). 
Calcular a densidade relativa do ácido. Resposta:  = 1,6 
4. Sabendo-se que a massa de 3 950 kg de álcool ocupa um volume de 5 
000 litros, calcular o peso específico do álcool em N / m
3
.Resposta:
  = 7 750 N / m3 
5. Há 4 200 kgf de gasolina em um tanque com 2 m de largua, 2 m de 
comprimento e 1,5 m de altura. Determinar a massa específica da 
gasolina em g/cm
3
. Resposta:  = 0,7 g/cm3 
 
6. Um tubo cilíndrico mede 50 cm de comprimento e 12 mm de diâmetro 
interno. Determinar a massa de mercúrio (Hg = 13,6 g/cm
3
) necessária 
para encher o referido tubo. Resposta: massa = 769 g 
 
 
 
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11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
(Sistemas de Unidades e Propriedades Fundamentais dos Fluidos) 
 
1- Determinar o peso em kgf de uma massa de 8,76 U.T.M. num local onde 
a aceleração da gravidade (g) é igual a 8,94 m/s
2
. 
Resolução: 
 
 U.T.M. = 
m
skgf 2*
 W (peso) = m.g 
W = 
s
m
m
skgf
94,8*
*
76,8
2 W = 78,31 kgf 
 
2- A massa específica () de uma substância é 1,76 g/cm3. Determinar no 
Sistema Internacional: 
 
a) Densidade (  ); b) Peso específico (  ). 
 
Resolução:  = 1,76 g/cm3 massa (m) = 1,76 g = 0,00176 kg 
1 cm = 0,01 m  1 cm3 = (0,01 m)3 = 0,000001 m3 
 = 
3610*1
00176,0
m
kg

   = 1.760 kg/m3 
 
a)  = 
3
3
/000.1
/760.1
mkg
mkg
água


   = 1,76 
 
b)  = 
23
81,9*760.1*
s
m
m
kg
g 
   = 17.265 N/m3 
 
 Obs.: N = 
2
*
s
mkg
 
3 - Se 8 m
3
 de óleo pesam 7 200 kgf , Calcule seu peso específico (), 
massa específica () e sua densidade (). 
Resolução: 
Vamos resolver utilizando o sistema técnico: V = 8 m
3
; W= 7 200 kgf 
 
 
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 = 
38
200.7
m
kgf
V
P

   = 900 kgf/m3 
 
 = 
V
m
 ou  = 
2
3
/81,9
/900
sm
mkgf
g

   = 91,74 
4
2*
m
skgf
 
 
 = 
água

 ou  = 
3
3
/000.1
/900
mkgf
mkgf
água


   = 0,9 
 
4. Enche-se um frasco (até o afloramento) com 5,23g de ácido sulfúrico. 
Repete-se a experiência, substituindo o ácido por 2,98g de água. Calcule 
a densidade, massa específica e peso específico do ácido sulfúrico no 
Sistema Técnico. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Volumes iguais (mesmo recipiente ). 
Densidade: ácido = 
água
água
ácido
ácido
água
ácido
V
m
V
m


  ácido = 
água
ácido
m
m
 
 
 ácido = 
g
g
98,2
23,5
 ácido = 1,75 
Massa Específica:  = 
água

   = 1,75 * 102 
3
...
m
MTU
 
 = 178,5 
3
...
m
MTU
 
Obs.: U.T.M = 
3
2*
m
skgf
 
5,23g de ácido 
Vfrasco 
2,98g de água 
Vfrasco 
 
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Peso Específico:  =  * g   = 178,5 
4
2*
m
skgf
 * 9,81 
2s
m
 logo 
 = 1 751 
3m
kgf
 
5. Sendo a densidade relativa da cerveja 1,03; calcular a sua massa 
específica () e peso específico () no Sistema Internacional. 
Resolução: 
Massa Específica: cerveja = 
água
cerveja

  cerveja =  * água 
cerveja = 1,03 * 1000 kg/m
3
 cerveja = 1.030 kg/m
3 
 
Peso Específico:  =  * g  cerveja = 1.030 kg/m
3
 * 9,81 m/s
2
 
cerveja = 10.104 N/m
3
 
 
6. Transformar a pressão de 2,5 atm (atmosfera) em: 
a) kgf/cm
2
 ; b) kgf/m
2
 ; c) m.c.a. ; d) kPa 
Obs.: Utilizar a atmosfera técnica 
(1 atm = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm
2
 = 10 000kgf/m
2
 = 100 000 Pa) 
 
 
Resolução: 
a) 1 atm ------- 1 
2cm
kgf
 x = 
atm
cmkgfatm
1
.15,2 2 = 2,5 
2cm
kgf
 
 2,5 atm ----- x 
2cm
kgf
 
b) 1 atm ---------------- 10 000 kgf/m
2
 x = 25 000 kgf/m
2 
 2,5 atm -------------- x kgf/m
2 
 
c) 1 atm -------------- 10 m.c.a. x = 25 m.c.a. 
 2,5 atm ------------ x m.c.a. 
 
d) 1 atm --------- 100 000 Pa x = 250 000 Pa = 250 kPa 
 2,5 atm ------ x Pa 
 
2,5 atm = 2,5 kgf/cm2 = 25 000 kgf/m2 = 25 m.c.a. = 250 kPa 
 
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12. LISTA 2 Exercícios de sistemas de unidades 
 
1) Classificar e expressar as grandezas abaixo em unidades do sistema 
técnico. 
 
Exemplo: 50,0 l/s = 0,05 m
3
/s (vazão) 
 
a) 9 810 dinas (g.cm.s
-2
); 
 
Conversão de dina para N 
1 ( g.cm.s
-2
) ------ 10
-5
 kg.m.s
-2
 
9 810 ----- X logo X = 0,0981 kg.m s
-2
. 
 
Conversão de N para kgf 
1 kgf --------- 9,81 N 
X --------- 0,0981 N 
x= 0,01 kgf 
 
b) 250g; c) 7814 N; d) 200 cm/s
2
; e) 80 km/h;f) 200 000 KN; 
 
g) 3 000 l/h; h) 4,0” (polegadas); i) 5,0 lb. (libras); j) 7 500 N/m2; 
 
k) 5 PSI (libras por polegada quadrada); l) 7,0 kgf/cm
2
; 
 
m) 9,81 g/cm
3
; n) 8 000 000 cm
2
/s; o) 20 000 kW; p) 10 H.P; 
 
q) 10 c.v; 
 
 
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13. LISTA 3 (Sistemas de Unidades e Prop. Fundamentais dos Fluidos) 
 
1 - Se 7 m
3
 de um óleo tem massa de 6 300 Kg, calcular sua massa 
específica (  ), densidade relativa (  ) e peso específico no Sistema 
Internacional ( S.I. ). Considere g = 9,81 m/s
2
 . 
 
2 - Repita o problema do exercício anterior usando o Sistema Técnico. 
Compare os resultados. 
 
3 - Dois dm
3
 de um líquido pesam 1 640 gf. Calcular seu peso 
específico, massa específica e densidade. 
 
4 - Um fluido pesa 25 N / m
3
 em um local onde a aceleração da gravidade 
9,81 m / s
2
 . Determinar: 
a) Massa específica do fluido no referido local em kg / m3 ; 
b) O peso esp. do mesmo fluido em outro local onde g=9,83 m/s2 . 
 
5 - Para um líquido cuja massa específica é  = 85,3 
4
2*
m
skgf
 , calcular 
o respectivo peso específico e a densidade relativa. (Sistema Técnico). 
 
6 - Um frasco de densidade cheio de gasolina pesa 31,6 g, quando cheio 
de água ele pesa 40 g, e quando vazio, pesa 12 g. Determine a densidade 
relativa da gasolina (  ). 
 
7 - Calcular o peso de uma massa de 5,55 U.T.M. em um local onde a 
aceleração gravitacional é 9,65 m / s
2
 . 
 
8 - Transformar a pressão de 15 m.c.a. em: 
a) kgf / cm
2 
; b) kgf / m
2
 ; c) atm ; d) kPa. 
 
Obs.: Utilizar atmosfera técnica ( 1 atm = 1 kgf / cm
2 
 = 10 000 kgf / 
m
2
 = 10 m.c.a. = 100 kPa) 
 
9 - Para uma viscosidade dinâmcia (  ) de 0,6 poise 






2
*
cm
sdina
 e 
densidade igual a 0,6, qual o valor da viscosidade cinemática () ? 
(Usar o Sist. Técnico) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14. HIDROSTÁTICA 
 
A estática dos fluidos é o estudodos fluidos no qual não há 
movimento relativo entre as partículas do fluido. A pressão é a única 
tensão que existe onde não há movimento. 
 
Conceito de pressão e empuxo. 
 
Pressão: Pode ser definida relacionando-se uma força a uma unidade de 
área.
dA
dF
p 
 
 
Onde: 
ApE
pDaE
.
 
 
 
 
 
Se pressão for a mesma em toda a área. 
 
 
Pressão nos líquidos. 
 
O que é pressão? Muitas pessoas pensam que pressão é sinônimo de força. 
Pressão, no entanto, leva em conta não apenas a força que você exerce mas 
também a área em que a força atua. A Fig. abaixo representa um bloco de 1 
decímetro quadrado por dois decímetros de altura, pesando 4 kgf. O peso 
do bloco é distribuído sobre uma área de 1dm
2
, de modo que exerce uma 
pressão de 4kg* por decímetro quadrado. Se o bloco estiver apoiado na 
face lateral (Fig. B) de modo que a área em contato com a mesa seja de 2 
dm2, a pressão será de 2kg* por dm
2
. Um pneu de automóvel de cerca de 20 
centímetros de largura tem uma grande superfície em contato com o chão. 
Com esse pneu um carro pesado roda mais suavemente que com um pneu menor 
que exigiria maior pressão? 
 
 
 
dA 
dF 
A 
 
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Exemplo: Uma caixa pesando 150kg* mede 1,20m de comprimento por 0,5m de 
largura. Que pressão exerce ela sobre o chao? 
120 kg* = peso da caixa; 
0,5 m = largura da caixa; 
1,2 m = comprimento da caixa. 
 
 
 
Determinar a pressão. 
 
Lista 4 
Resolva os problemas 
 
1. Um tanque contém agua pesando 480kg*. O tanque tem 1,20m de 
comprimento por 80 cm de largura. Qual a pressão no fundo do tanque, em 
quilograma-força por decímetro quadrado? 
 
2. A base de um monumento tem uma área de 4 m
2
. Se seu peso é de 6 
toneladas. Que pressão ele exerce (em kgf/m
2
)? 
 
3. O vapor de uma caldeira exerce a pressão de 100kgf/cm
2
 na base de um 
pistão de 40cm
2
. Que força o vapor exerce sobre o pistão? 
 
4. A água de uma represa exerce uma pressão média de 0,3kgf/cm
2
 contra a 
muralha de 6 m ele altura por 18 m de largura. Determine a força total 
sobre a muralha. 
 
Respostas: 
 
Pressão 
1) 5 kgf/dm
2
; 3) 4000 kgf. 
 
Pressão de água 
1) 22 kgf/dm
2
; 3) 450 kgf/dm
2
 e 4,5 kgf/cm
2
; 5) (a) 600 gf/cm
2
 e (b) 0,6 
kgf/cm
2
. 
 
Densidade e pêso específico 
1) 2,25; 3) (a) 1,11 (b)36 cm
2
. 
 
Pressão num líquido qualquer 
1) 410 gf/cm2; 3) 0,062 kgf/dm
2
. 
 
 
 
 
 
 
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E 
w ou P 
 
5. uma caixa de concreto armado pesa 540 kgf sendo suas diemnsoes 1,2 x 
0,5 x 1,0 de altura. Que pressão unitária ela exerce sobre o chão estando 
vazia? E cheia ? e cheia com mercúrio? 
 
6. A pressão d’água numa torneira A é de 0,3 
kgf/cm
2
. calcule a altura da coluna de água (ver 
figura ao lado). 
 
7. determine a pressão em kgf/m
2
 a uma profundidade 
de 10 m de um óleo de 
.75,0
 
Resp.: 7 500 kgf/m
2
. 
 
8. Determine a pressão absoluta em kgf/m
2
 do 
problema anterior num local onde o barômetro indica 
720 mmHg 
.57,13
 
 
9. um tubo vertical de 25 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento, aberto 
na extremidade auperior, contem volumes iguais de água e mercurio. 
Pergunta-se: 
a) qual a pressão manométrica, em kgf/cm2 no fundo do tubo? 
b) Qual os pesos liquidos nele contidos ? 
 
 
Princípio de Arquimedes 
 
Um corpo imerso num liquido está sujeito a um empuxo vertical (γ V) de 
intensidade igual ao peso do liquido deslocado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja (Vf) o volume de fluido deslocado pelo corpo. Então a massa do 
fluido deslocado é dado por: 
Vfdfmf .
 
 
A intensidade do empuxo é igual à do peso dessa massa deslocada: 
 
gdfVfgmfE .. 
 
 
Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado é igual ao 
próprio volume do corpo. Neste caso, a intensidade do peso do corpo e do 
empuxo são dados por: 
gVcdfEegVcdcP ............................... 
 
 
A resultante das forças (Fr) será: 
 
PesoforçadaeEmpuxof ....
 
 
 
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Quando um corpo mais denso que um liquido é totalmente imerso nesse 
liquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse liquido, é 
aparentemente menor que o do ar. A diferença entre o valor do peso real e 
do peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo liquido. 
 
ErealPaparenteP  ..
 
 
Lei de Pascal: Em qualquer ponto no interior de um 
liquido em repouso, a pressão é a mesma em todas as 
direções. 
 
Consideremos um liquido em equilíbrio colocado em um 
recipiente. Supondo as pressões hidrostáticas, 0.2 e 
0.5 nos pontos A e B, respectivamente. 
 
 
 
 
Demonstração da lei de Pascal: Considerar mo interior de um liquido, um 
prisma imaginário de dimensões elementares. 
 
 
Para que haja equilíbrio é necessário que a resultante das forças seja 
nula: 
 
Na direção x: 
.... sendspsdypx 
 
 
px.dy.1 = ps.ds.sen.α ficando px dy = ps ds dy / ds Logo px = ps 
 
Na direção y: 
cos... dspsdxpy 
 
py.dx.1 = ps.ds.cos.α ficando py dx = ps ds dx / ds Logo py = ps 
ps.ds 
dx 
px.dy 
dw 
α 
py.dx 
A 
B 
F 
Se através de um embolo 
comprimirmos o liquido, 
produzindo uma pressão de 0,1 
atm, todos os pontos sofrerão o 
mesmo acréscimo de pressão. 
 
Logo A=0,3atm 
 B=0,6atm. 
 
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Princípio da Prensa Hidráulica. 
 
1
2
12
A
A
FF 
 
 
 F1 = esforço aplicado 
 F2 = força obtida 
 A 1,2 = seção do embolo. 
 
 
 
Exemplo: Em um macaco hidráulico aplica-se uma força de 280kgf no embolo 
menor (diâmetro=52mm). Calcular o esforço no embolo maior (364mm). 
 
Logo F2 = 280 * A2 / A1; 
F2 = 280 * 104 062,72 / 2 123,72 = 13 720kgf 
 
 
Vasos Comunicantes 
 
Quando dois líquidos não se misturam 
(imiscíveis) são colocados num mesmo recipiente, 
eles se dispõem de modo que o liquido de maior 
densidade ocupe a parte de baixo e o de menor 
densidade a parte de cima. 
 Caso os líquidos imiscíveis colocados num 
sistema constituído por vasos comunicantes, como 
um tubo em U, eles se dispõem de modo que as 
alturas de colunas liquidas, medidas a partir da 
superfície de separação, sejam proporcionais às 
respectivas densidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d2 
d1 h2 h1 
Sendo d1 a densidade do liquido 
menos denso, d2 a densidade do 
liquido mais denso, h1 e h2 as 
respectivas alturas das colunas, 
obtemos: 
d1.h1=d2.h2 
d1 ( óleo) 
d2 (água) 
d2 > d1 
 
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Equação Fundamental da Fluidostática (Lei de Stevin) 
 
Obs: para água γ = 1 kg. m-3 = 104 N. m-3 
 No caso de se querer medir a pressão no interior de um massa 
liquida, a partir de uma superfície, basta: 
 
 
 
 
Poder-se-ia pensar que o líquido contido 
em B, pelo facto de B ter maior diâmetro 
do que A, e portanto conter uma porção 
de líquido de maior peso, obrigasse esse 
mesmo líquido a ascender mais em A. Tal não sucede. 
 
 
Exercício 
 
1. Em um recipiente há 2 líquidos não-misciveis e de densidades 
diferentes. Através da lei de Stevin (Equação geral da 
fluidostatica) mostrar que a superfície de separação dos 2 líquidos 
é plana e horizontal. 
 
Solução: 
Sejam M e N dois pontos na superfície de separação dos 2 liquidos, cujos 
pesos específicossão 
1
 E 
2
. Deve-se demonstrar que M e N é horizontal 
(Fig. Acima). Considerando o liquido cujo o peso especifico é 
1
, acima 
da superfície de separação , tem-se pela lei de Stevin: 
Pn-Pm=
1
.h 
Para o liquido cujo peso é 
2
, abaixo da mesma superfície: 
Pn-Pm=
h2
 
Subtraindo membro a membro: 
)21(0   h
 
Sendo 
21  
 O que implica em 
0h
 
 
Conclusão : os pontos M e N têm a mesmas cotas, o que ocorrerá também com 
todos os outros pontos da superfície de separação. 
 
 
 
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15. MANOMETRIA 
 
 Manometria: É a medida das pressões. 
 Manômetros: São instrumentos (dispositivos) utilizados na medição da 
Pressão Efetiva (função da altura da coluna líquida) 
Pabs = P + Patm 
 
P  Pressão efetiva ou manométrica ou piezométrica (medida através de 
manômetros ou piezômetros); 
Patm  Pressão atmosférica local (medida através de barômetros, de 
mercúrio ou aneróide). 
 
 
Lista de Exercícios de Hidrostática 
 
1. Uma caixa d’água de concreto armado pesa 840 kgf, sendo suas dimensões 
1,2 * 0,5 * 1,0 de altura. Que pressão unitária ela exerce sobre o chão 
vazia? E quando cheia de água? E com material de densidade = 6? 
 
2. A pressão de água em uma torneira A é de 1,3kgf/cm
2
, segundo a figura. 
Calcule a altura de coluna de água. 
 
3. Um tambor com 2 ft (pés-foot) de diametro esta cheio de água e tem um 
tubo vertical com 0,5 in (inch-polegada) de diâmetro ligado a sua parte 
superior. Quantos litros de água devem ser adicionados pelo tubo para que 
seja exercida uma força de 1000 lb (libra-força)no topo do tambor? 
 
4. Determinar a pressão em kgf/cm
2
 a uma profundidade de 10 m em um óleo 
de densidade = 0,75? 
 
5. Determinar a pressão absoluta em kgf/m
2
 do problema anterior num local 
onde o barômetro indica 700 mm Hg (densidade = 13,57). 
 
 
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6. Qual o peso especifico do liquido B do esquema abaixo.
 
 
7. Um tubo vertical, de 25 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento, aberto 
na sua extremidade superior, contem volumes iguais de água e mercúrio. 
Pergunta-se: 
a. qual a pressão manométrica em kgf/cm
2
 no fundo do tubo? 
b. qual os pesos líquidos nele contidos? 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Pressão efetiva e pressão absoluta 
 
A pressão em um ponto também pode ser calculada a partir do zero absoluto 
(vácuo), obtendo nesse caso a pressão absoluta. Agora a pressão nula 
corresponde ao vácuo total e, portanto a pressão absoluta é sempre 
positiva. 
 
Pab. B = Pef.B. + Po e Pab. D = Pef.D + Po e Pab. E = Pef.E + Po 
II - CLASSIFICAÇÃO DOS MANÔMETROS 
 
1) Manômetro de Coluna Líquida 
 
a) Piezômetro Simples ou Tubo Piezométrico; 
b) Tubo ou Manômetro em “U”; 
c) Manômetro Diferencial; 
d) Manômetro ou Tubo 
Inclinado. 
 
2) Manômetro Metálico 
 
a) “Bourdon”; 
b) Digital 
(Eletrônico). 
 
a) Piezômetro ou Tubo 
Piezométrico 
 
- É o dispositivo mais simples para a medição de pressão; 
 
- Consiste na inserção de um tubo transparente no recipiente 
(tubulação) onde se quer medir a pressão; 
 
- O líquido subirá no Tubo Piezométrico a uma altura “h”, 
correspondente à pressão interna; 
 
 Po 
E 
 D 
B 
P ef B = pressão efet em B. 
P ef D = pressão efet em D. 
P ef E = pressão efet em E. 
 
 
a pressão efetiva pode ser: 
positiva: quando > Po 
nula: quando = Po 
negativa: quando < Po(vácuo) 
 
Obs: a pressão efetiva é também chamada de pressão manométrica (manômetros) 
 
 
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- Devem ser utilizados Tubos Piezométricos com diâmetro superior a 
1cm para evitar o fenômeno da capilaridade; 
 
- Não serve para a medição de grandes pressões ou para 
gases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Tubo em “U” 
 
- Utilizado para medir pressões muito pequenas ou pressões muito 
grandes; 
- Utiliza-se um líquido indicador ou líquido manométrico com a 
finalidade de aumentar ou diminuir o comprimento da coluna 
líquida. 
 
Pressões muito pequenas: 
 
Densidade () do líquido manométrico  densidade () do líquido do 
recipiente 
Líquidos manométricos:Água (=1,0),Tetracloreto de carbono (= 1,6) 
 
Exemplo: P = 10.000 kgf / m
2
 
Água  h = 10 m.c.a. Mercúrio  h = 0,735 mHg 
 
 P =  . h  
 
 h = P/ 
 
 
 
 
A 
 
água 
h 
Patm Patm Patm 
PA = água . h 
Exemplo: Um oleo de  = 0,8, está submetido a uma pressão 
de 4 kgf/cm
2
. Exprimir esta pressão em coluna de liquido. 
Sendo P=γ h Logo: h = 40 000 / 800 = 50 m de coluna de 
óleo. 
 
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Pressão muito grande: 
 
 Densidade do líquido manométrico > densidade do líquido do 
recipiente 
 
Líquido manométrico: Mercúrio (  = 13,6) 
Líquido do recipiente: Água (  = 1,0 ) 
 
Exemplos de Tubos em “U “: a) Tubo U. 
 
Obs.: Pontos situados na mesma cota 
e na mesma porção fluida, estão 
submetidos à mesma pressão (para 
fluidos em repouso). 
P1 = Patm + 2 . h2 P2 = 
Patm + 2 . h2 = 0 + 2 . h2 
PA + 1 . h1 = 2 . h2 PA = 
Patm + 2 . h2 - 1 . h1 
 
 
a) Duplo “U”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P (1)  P(2)  P(3) 
PE = PD e PB = PC 
PE = Patm + 2 . h2 = PD 
PD = 1 . y + PF 
PF = PD - 1 . y (PD = PE) 
PF = PG PC = 2 . h1 + PG 
PC = PB 
PB = 1 . (h1 + x) + PA 
Ou, inicia-se em um ponto e percorre todo o 
manômetro: 
PA + 1 . (x + h1) - 2 . h1 + 1 .y - 2 . h2 = 0 
 
PA + 1 . (x + h1 + y) - 2 . (h1 + h2) = 0 
 
PA = 2 . (h1 + h2) - 1 . (x + h1 + y) 
 
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b) Manômetro Diferencial: É utilizado para medir a diferença de pressão 
entre dois pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANÔMETRO METÁLICO DE “ BOURDON ” 
- São utilizados em estações de bombeamento, indústrias, etc.; 
- Funcionamento: Em seu interior existe uma tubulação recurvada que, 
sob o efeito da pressão tende a se alinhar, fazendo assim a 
movimentação de um ponteiro sobre uma escala graduada; 
- Sujeitos a deformações permanentes, por isso de baixa precisão. 
Obs: Vacuômetros são manômetros que medem pressões efetiva negativas 
 
 
 
 
 
Manômetro Diferencial: 
 
PA = PC + h1. γ1 + h3. γ3 = PD = PE + h2. γ2 
 
Logo: PA – PE = + h1. γ1 + h3. γ3 - h2. γ2 
 
PA > PB 
PC = Pa 
PC = PA + 1 . x 
 PB + 2 . h + 1 . y 
PA + 1 . x = PB + 2 . h + 1 . y 
PA - PB = 2 . h + 1 . h - 1 . x 
 B  A 
C 
D 
y 
x 
h 
1 
2 
 
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MANÔMETRO ELETRÔNICO (DIGITAL ) 
 
- Não possui peças móveis, portanto mais resistente a vibrações; 
 
- Substitui tanto os manômetros convencionais como os vacuômetros 
 
- É alimentado por baterias de 09 V, com duração de até um ano; 
B 
γ3 
 
C 
E 
h1 
h3 
D 
h2 
A 
γ1 
 
γ2 
 
 
γ3 
 
 
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16. EMPUXO 
 
Freqüentemente o engenheiro encontra problemas relativos a projetos 
de estruturas que devem resistir a pressões exercidas por líquidos. Tais 
são os projetos de comportas, de barragens, tanques, canalizações, etc. 
 
 
A força agindo em dA será: 
 
dAsenyAdhAdpdF ........   
 
Cada uma das forças dF será normal à respectivaárea: 
 
 A resultante ou empuxo (total) sobre toda a área, também normal, 
será dado por: 
 
dAysenydAsenydFF
AA
........    
 
dAy
A
..
 é o momento da área em relação à interseção O; portanto 
AÿdAy
A
 ..
 
onde ÿ é a distancia do centro de gravidade da área ate O, e A é a área 
total. 
AsenÿF .... 
 como 
hseny ... 
 
AhF ..
 
 
A posição do centro de pressão pode ser determinada, aplicando-se o 
teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à 
interseção O deve igualar-se aos momentos das forças elementares dF. 
A h
-
 
B 
CG 
CP 
dA 
O 
h 
yp 
A 
B 
ÿ 
y 
α 
 
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 FydyF p ...
 
 
Na dedução anterior; 
dAsenydF .... 
 ou 
AsenyF .... 
 
 
Substituindo: 
 
AA
p AdysendAsenyyAseny .............
2
 
 
logo 
yA
I
yA
Ady
y Ap 
 ..
2
 
expressão em que I é o momento de inércia em relação ao eixo-intersecao. 
Mais comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que 
passa pelo centro de gravidade, sendo conveniente a substituição. 
 
2.yAII o 
 
y
yA
I
y
yA
yAI
y op
o
p 


2 
 
Como 
2k
A
I o 
, quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo, 
passando pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, 
y
y
k
y p 
2 . 
 O centro de pressão esta sempre abaixo do centro de gravidade a uma 
distancia igual a 
y
k 2
, medida no plano da área. 
 
 
 
 
 
O 
y p sen θ 
yp 
F 
B 
ÿ 
y 
θ 
y sen θ 
 
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17. LISTA 5 EXERCÍCIOS (Hidrostática: Lei de Stevin e Lei de Pascal) 
 
1 - Determinar a pressão (efetiva) em kgf / m
2
 a uma profundidade de 8,5 
m abaixo da superfície livre de um volume de água. 
 
Resposta: P = 8 500 kgf / m
2
 
 
2 - Determinar a pressão em kgf / m
2
 a uma profundidade de 17 m em um 
óleo de densidade igual a 0,75. 
 
Resposta: P = 12 750 kgf / m
2
 
 
3 - Determine a pressão absoluta em kgf / m
2
 no problema anterior quando 
um barômetro instalado no local indica uma pressão de 760 mmHg (densidade 
do Hg = 13,6). 
 
Resposta: Pabs = 23 086 kgf / m
2
 
 
4 - Que profundidade de óleo, com densidade 0,85, produzirá uma pressão 
de 4,6 kgf / cm
2
 ? Qual a profundidade em água? 
 
Resposta: Profundidade em óleo (h) = 54,1 m 
 Profundidade em água (h) = 46,0 m 
 
5 - Converter a altura de carga de 6,5 m de água para metros de óleo 
(densidade de 0,75). 
 
Resposta: Altura de óleo (h) = 8,7 m 
 
6 - Converter a pressão de 640 mmHg para metros de óleo (densidade = 
0,75). 
 
Resposta: Altura de óleo (h) = 11,6 m 
 
7 - Em um tanque de querosene, tem-se uma diferença de pressão igual a 
0,288 kgf / cm
2
 entre dois pontos da massa líquida, distanciados de 4 
metros na vertical. Obter o peso específico do querosene. Resposta: 
  = 720 kgf / m3 
 
8 - Calcular as pressões efetiva e absoluta em um ponto à profundidade 
de 17 m em água do mar (densidade = 1,025). A atmosfera local é 750 mmHg 
(densidade do Hg = 13,6). 
 
Resposta: Pefe. = 17 425 kgf / m
2
 
 Pabs. = 27 629 kgf / m
2
 
 
9 - A pressão atmosférica em uma determinada cidade corresponde a 630 
mmHg. Calcular as pressões efetiva e absoluta (kgf / cm2) para um ponto 
situado a 15 m de profundidade da superfície livre de uma lagoa desta 
cidade. Resp. Pefe. =1,50 kgf/cm
2
 Pabs. = 2,357 kgf/cm
2
 
 
 
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10 - Um tanque cilíndrico fechado possui em sua parte superior um tubo 
com 12 m de altura. Ele contém água até o nível de 0,90 m acima do 
fundo e óleo daí para cima. Sendo os pesos específicos da água e do óleo 
1.000 kgf / m
3
 e 850 kgf /m
3
 respectivamente, determinar as pressões 
nos pontos 1, 2 e 3 situados na face interna da parede do tanque. 
 
Resposta: 
 
P1 = 12 000 kgf / m
2
 
P2 = 12 935 kgf / m
2
 
P3 = 13 835 kgf / m
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Calcular a pressão efetiva em A, em N/cm
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 m 
1,10 m 
0,90 m 
Água 
Óleo 
P1 
P2 
P3 
 
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18. Lista 6 EXERCÍCIOS (Empuxo) 
 
1 - Determinar o valor do Empuxo (E) e a profundidade do centro de 
pressão ou empuxo (hp) para uma comporta retangular de 1,50m X 3,0m cujo 
plano faz com a vertical um ângulo de 45
º
 e cuja aresta superior (que 
corresponde ao lado de 1,50m) está a 1,30m de profundidade e é paralela à 
superfície livre da água. 
 
Respostas: E = 10 620 kgf; hp = 2,519 m 
 
2 – Calcular o Empuxo (E), posição do centro de gravidade (Y) e posição 
do centro de empuxo (Yp) na comporta retangular (5,0m X 2,0m) da figura 
abaixo. 
 
Respostas: E = 32 930 kgf Y = 4,658 m Yp = 4,730 m 
 
 
 
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3 - Determinar a posição do centro de empuxo (Yp) da figura abaixo. 
Resposta: Yp = 
d*
3
2
 
 
4 - Um túnel T é fechado por uma comporta retangular com 1,50 m de 
largura. Calcular o Esforço (E) suportado pela comporta e o respectivo 
ponto de aplicação (Yp).Resposta: E = 12 727,92 kgf Yp = 4,400 m 
 
 
5 - Calcular o Empuxo (E) e determinar a posição do centro de pressão 
(Yp) numa comporta retangular inclinada, como a da figura abaixo. 
Respostas: E = 4 362,37 kgf; Yp = 2,383 m 
 
 
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6 - Uma comporta quadrada de 0,6 m de lado, faz um ângulo de 60
º
 com a 
horizontal, tendo a aresta superior horizontal submersa de 0,90 m, num 
líquido cuja densidade () é 3,0. Calcular o Empuxo (E) sobre ela e 
determinar o centro de aplicação (Yp) dessa força. 
Resposta: E = 1 252,8 kgf; Yp = 1,362 
 
 
7 - Uma comporta circular vertical de 0,90 m de diâmetro, trabalha sob 
pressão de melado (=1,50) cuja superfície livre está 2,40 m acima do 
topo da mesma. Calcular o empuxo (E) e a posição do centro de pressão 
(Yp). 
Respostas: E = 2 719,64 kgf; Yp = 2,868 m 
 
 
8 - Uma comporta circular de 1,50 m de diâmetro, inclinada 45
º
, está 
sujeita à pressão do mar (=1,06), a profundidade de 9 m, contados de seu 
centro de gravidade. Qual o empuxo sobre a comporta e a posição do centro 
de pressão? 
 
Respostas: E = 16 858,57 kgf; Yp = 12,739 m 
 
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9 - Uma caixa d’água tem 2 m de largura, 2 m de comprimento e 0,90 m de 
altura. Calcular o empuxo que atua em uma de suas paredes laterais e 
obter o ponto de aplicação do empuxo, supondo a caixa totalmente cheia de 
água. 
 
Respostas: E = 810,0 kgf; Yp = 0,60 m 
 
10 - Uma comporta circular com 100 cm de diâmetro está localizada na 
parede e um reservatório inclinado de 60
º
. O ponto mais alto da comporta 
está 150 cm abaixo do N.A. 
Calcular: 
 
a) O empuxo da água sobre a comporta; 
b) A posição do centro de empuxo. 
 
Respostas: a) E = 1 518,18 kgf; b) Yp = 2,260 m 
 
11. Qual o empuxo e o yp do centro de pressão exercido pela água em uma 
comporta vertical de 3 x 4 m cujo topo se encontra a 5 m de profundidade? 
Resp.: F = 764 400 N e Yp = 6,615 m. 
 
 
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19. Lista 7. EXERCÍCIOS (MANOMETRIA) 
 
1 - Determinar a pressão manométrica em A, devido a deflexão do mercúrio 
do manômetro em “U” da figura abaixo. 
 
Resposta: PA = 10 280 kgf/m
22- De acordo com a figura e os dados abaixo, pede-se: 
 
a) Determinas a diferença de pressão entre A e B em kgf/cm2; 
b) Se a pressão em B = 0,75 kgf/cm2,qual será a pressão em A ? 
 
Resposta: a) PA – PB = -0,013 kgf/cm
2
 b) PA = 0,74 kgf/cm
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
água 
mercúrio 
3,0 m 
3,6 m 
3,8 m 
Cotas 
B C 
D 
A 
B 
h1 
h2 
h3 
h1 = 25 cm 
h2 = 15 cm 
h3 = 50 cm 
Água ( = 1,0) 
Azeite ( = 0,8) 
 
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3- Os recipientes A e B da figura que contém água sob pressão de 3 
kgf/cm
2
 e 1,5 kgf/cm
2
 ,respectivamente. Qual será a deflexão do mercúrio 
(h) no manômetro diferencial ? 
 
Resposta: h = 1,34 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Sabendo-se que a leitura de um piezômetro é de 0,6 m e está 
preenchido com água, calcule a pressão, em kgf/m
2
, no interior da 
tubulação a que ele está ligado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
h 
x 
y 
2,0 m 
Água ( = 1000 kgf/m3) 
Mercúrio ( = 13600 kgf/m3) 
Obs.: y + x = 2,0 m 
0,6 m 
 
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5 - Calcular a pressão no ponto “A “. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 - Calcular a diferença de pressão entre os pontos A e B . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
0,95m 
E’ E 
D’ D 
C’ C 
B 
0,8m 
0,6m 
Água 
Mercúrio 
0,9m 
A 
1,2m 
D’ D 
C 
Água 
Mercúrio 
B 
0,1m 
0,9m 
 
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7 - Na Figura abaixo, determinar o valor de “z”, sabendo-se que a 
pressão no ponto A é igual a 2.795 kgf/m
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 - Calcular a diferença das pressões a montante e jusante do diafragma, 
de acordo com a indicação do manômetro diferencial do esquema abaixo. 
Líquido em escoamento (Água), líquido manométrico (Mercúrio). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
Óleo (  = 0,80) 
Bromofórmio ( = 2,87) 
 z 
2,40m 
eixo do 
conduto 
0,6m 
Z 
A B 
Água 
Mercúrio 
 
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9 - Dado o tensiômetro esquematizado a seguir, determine: 
 
a) Potencial matricial (tensão) no ponto A em atmosfera técnica (atm), 
para um valor de h = 37 cm; 
b) Para um potencial matricial igual a tensão de 0,5 atm, qual o valor 
da leitura da coluna de mercúrio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. Lista 8. EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DE UNIDADES 
 
2) Classificar e expressar as grandezas abaixo em unidades do sistema 
técnico. 
 
Exemplo: 50,0 l/s = 0,05 m
3
/s (vazão) 
 
a) 9 810 dinas (g.cm.s
-2
); 
 
Conversão de dina para N 
 
1 (g.cm.s
-2
)____10
-5
 kg.m.s
-2
 
9 810___________ X logo X = 0,0981 kg.m s
-2
. 
 
Conversão de N para kgf 
 
1 kgf____________ 9,81 N 
X________________0,0981 N logo x= 0,01 kgf 
 
b) 250g; c) 7 814 N; d) 200 cm/s
2
; e) 80 km/h; 
f) 200 000 KN; g) 3 000 l/h; h) 4,0” (polegadas); 
i) 5,0 lb. (libras); j) 7 500 N/m2; 
k) 5 PSI (libras por polegada quadrada); 
l) 7,0 kgf/cm
2
; m) 9,81 g/cm
3
; n) 8 000 000 cm
2
/s; 
o) 20 000 kW; p) 10 H.P; q) 10 c.v; 
h 
60 cm 
A 
20 cm 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 47 
21. FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 
Escoamento 
 
O cisalhamento deforma o fluido, dando a este a propriedade de 
escoar, ou seja, de mudar de forma facilmente. Portanto, o escoamento é a 
fácil mudança de forma do fluido, sob a ação do esforço tangencial. É a 
chamada fluidez. 
 
Finalidade 
A cinemática dos fluidos estuda o escoamento dos líquidos e gases, 
sem considerar suas causas. 
 
Corrente fluida 
É o escoamento orientado do fluido, isto é, seu deslocamento com 
direção e sentido bem determinados. 
 
Método de Lagrange 
Um dos métodos de estudo na cinemática dos fluidos é o de Lagrange, 
que descreve o movimento de cada partícula, acompanhado-a na trajetória 
total. Apresenta grandes dificuldades nas aplicações praticas. 
 
Método de Euler 
Consiste em adotar um certo intervalo de tempo, escolher um ponto do 
espaço e considerar todas as partículas que passam por este ponto. Neste 
método observador é fixo, e é o preferido para se estudar o movimento dos 
fluidos. 
 
Linhas de corrente 
No método de Euler, tomemos os vetores v1, v2, v3, etc., que 
representam as diversas velocidades da partícula nos instante 
considerados, no interior da massa fluida. Tracemos a curva que seja 
tangente, em cada ponto, ao respectivo vetor velocidade (v1, v2, v3, 
etc.). Tal curva é conhecida como linha de corrente ou linha de fluxo. A 
linha de corrente é uma curva imaginaria. 
 
As linhas de corrente não podem cortar-se, pois, em caso positivo a 
partícula teria velocidades diferentes ao mesmo tempo, o que não é 
possível. Em cada instante e em cada ponto, passa uma e somente uma linha 
de corrente. Considerando um conjunto de linhas de corrente, em cada 
instante, o fluido move-se sem atravessá-la. 
 
 
 
 
Linha de 
corrente 
V1 
V2 
V3 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 48 
Tubo de Corrente 
Suponhamos duas curvas fechadas A e A’, que não sejam linhas de 
corrente. Por outro lado consideremos todas as linhas de corrente que 
toquem nessas duas curvas fechadas em um instante dado. Se o campo de 
velocidades for continuo, formar-se-á então um tubo de corrente, que não 
pode ser atravessado pelo fluido nesse instante porque não há componente 
normal de velocidade. O tubo de corrente também é conhecido como veia 
liquida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laminar 
Turbulento 
Permanente 
Não- Permanente 
 
Uniforme
 
Variado 
Rotacional 
Irrotacional 
Quanto a 
direção da 
trajetória 
Quanto a 
variação no 
tempo 
Quanto à 
variação na 
trajetória 
Quanto ao 
Movimento 
de rotação 
Classificação dos 
movimentos dos 
fluidos. 
A 
A’ Fig. Tubo de corrente 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 49 
Classificação do escoamento dos fluidos. 
 
1.1 Escoamento laminar. 
As partículas dos fluidos percorrem trajetórias paralelas, também 
chamadas de escoamento lamelar, tranqüilo ou de Poiseuille. 
 
As trajetórias das partículas em movimento são bem definidas, não se 
cruzam. 
 
1.2 Escoamento turbulento 
 As trajetórias são curvilíneas, elas se cruzam. Na pratica o 
escoamento dos fluidos quase sempre é turbulento. P.e. encontrado nas 
obras de engenharia, adutoras, vertedores de barragens, etc. 
 
 
Número de Reynolds 
Fez experiência variando o diâmetro e a viscosidade do liquido. 
 

DV .
Re 
 Onde; V = velocidade de escoamento (m/s). 
 D = diâmetro (m). 
 υ = viscosidade cinemática (m2/s). 
 
Re <= 2 000 Regime laminar. 
2 000 < Re < 4 000 Regime critico. 
Re >= 4 000 Regime turbulento. 
 
 
Exemplo: Calcular Re para a seguinte situação: V=1,5m/s. D=100mm. 
υ=1. 
610
 m
2
/s. 
turbulentoregimeo
sm
msm
..log.150000
/10.1
1,0*/5,1
Re
26


 
 
1,3 Escoamento Não Permanente 
 Neste caso, a velocidade e a pressão, em determinadoponto, variam 
com o tempo. variam também de um ponto pra outro, também chamado de 
transitório, e diz que a corrente é instável. Agora a velocidade e a 
pressão em um ponto A (x,y,z) dependem tanto das coordenadas como também 
do tempo t. p.e. o escoamento não permanente ocorre quando se esvazia um 
recipiente através de um orifício. 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 50 
 
1,4 Escoamento Permanente 
 Os elementos que definem o escoamento (P, V, Q e t) permanecem 
constantes ao longo do tempo em uma determinada seção. Todas as 
partículas que passam por um ponto determinado no interior da massa 
liquida terão, a qualquer tempo, a mesma velocidade. 
 
 
 
 
1,5 Escoamento Uniforme 
 A velocidade é constante ao longo do tempo e em todas as seções da 
trajetória. 
OBS: No escoamento uniforme, a seção transversal da corrente é 
invariável. 
 
1,6 Escoamento Variado 
Neste caso, os diversos pontos da mesma trajetória não apresentam 
velocidade constante no intervalo de tempo considerado. 
 
p.e. vertedouro de uma barragem. 
 
 
V1 
V3 
V2 
Acelerado 
V3>V2>V1 
comporta 
agua 
V1 V2 V3 
Retardado 
V3<V2<V1 
agua 
Q1 
V1 
t1 
Q2 
V2 
T2 
agua Q1= Q2 
V1= V2 
t1 diferente t2 
0
dT
dQ
 
0
dT
dV
 
0
dT
dP
 
 
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Equação da continuidade 
 
Vazão: é definido como sendo o volume do liquido que atravessa uma 
determinada seção por unidade de tempo. 
 
Exercício 1: verificou-se que a velocidade econômica para uma extensa 
linha de recalque é de 1,05m/s. A vazão necessária a ser fornecida pela 
bomba é de 450m
3
/h. Determinar o diâmetro da linha. Resp.: 0,39m 
 
Exercício 2: Em um edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável, 
devido ao uso de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição de 
60mm de diâmetro, é de 7,5 l/s. 
Determinar a velocidade de escoamento. Resp.: 2,65m/s.(Obs: esta veloc. é 
admitida pela norma NBR 5626). 
 
 
 
22. Teste de Múltipla escolha 
1) o escoamento de um fluido é: 
a) a resistência a sua mudança de forma; 
b) a sua viscosidade; 
c) a sua facilidade em aquecer-se; 
d) a sua fácil mudança de forma. 
 
2) a corrente fluida é: 
a) o escoamento orientado do fluido; 
b) o deslocamento do fluido, com direção e sentido bem 
determinados; 
c) qualquer volume do fluido; 
d) a massa fluida em quantidade considerável. 
3) no método de Lagrange 
a) cada partícula é acompanhada na sua trajetória total; 
b) o observador desloca-se simultaneamente com a partícula; 
c) o observador é fixo; 
d) cada partícula corresponde a uma trajetória e vice versa. 
4) no método de Euler 
a) consideram-se todas as partículas que passam por um ponto 
escolhido; 
b) o observador é fixo; 
c) estuda-se o comportamento individual de cada partícula; 
d) adota-se o principio dos deslocamentos virtuais da mecânica 
geral. 
 
A 
dS 
V=A.dS 
 
% dT 
V / dT=A dS / dT 
 
 Q=A.V 
 
 
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5) a linha de corrente é: 
a) uma curva real; 
b) conhecida também como linha de fluxo; 
c) a curva que tem a propriedade de ser tangente, em cada ponto, 
ao respectivo vetor-velocidade; 
d) uma curva imaginaria. 
 
6) as linhas de corrente: 
a) não podem cortar-se; 
b) são atravessadas pelo fluido; 
c) indicam a direção da velocidade em diversos pontos; 
d) passam todas, ao mesmo tempo, a cada instante, pelo ponto 
 
 
7) o tubo de corrente: 
a) é qualquer conjunto de linhas de corrente; 
b) é um conjunto de todas as linhas de correntes que toquem em 
curvas fechadas 
c) não podem ser atravessadas pelos fluidos; 
d) pressupõe um campo continuo de velocidades. 
 
8) o filamento de corrente: 
a) é um fino tubo de corrente; 
b) é cada corrente fluida, de reduzidas dimensões; 
c) é a porção da corrente limitada por uma diretriz que abrange 
uma área infinitesimal. 
d) é a corrente liquida que permite a entrada e saída das 
partículas fluidas. 
9) quanto à variação no tempo, o escoamento classifica-se em: 
a) rotacional e irrotacional; 
b) permanente e não permanente; 
c) continuo e descontinuo; 
d) escoamento médio. 
10) quanto à direção da trajetória, o escoamento pode ser: 
a) laminar e turbulento; 
b) tranqüilo e turbilhonário; 
c) lamelar e hidráulico; 
d) de Poiseuille e turbulento 
11) quanto a variação na trajetória, os escoamento são: 
a) uniformes e variados; 
b) contínuos e descontínuos; 
c) de Reynolds e trajetórias errantes; 
d) rotacional e irrotacional. 
 
Obs.: as velocidades da água no interior das tubulações de recalque devem 
estar compreendidas entre 0,8 e 2,4 m/s. 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 53 
Exercício: 
1. Qual a máxima velocidade de escoamento da água e óleo lubrificante 
SAE-30 e temp. 40 
o
C numa tubulação de 118,11 polegadas sob regime 
laminar ? Dados: visc. Cin água = 0,66.10
-6
 m
2
/s. 
2. Caracterize o tipo de escoamento numa canalização de 10” de 
diâmetro que transporta 360 000 l/s de água a 20 
o
C (1,007.10
-6
 
m
2
/s).Resp. V=1,97 m/s Reynolds=501 396 regime turbulento. 
 
 
23. TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS OU IDEAIS 
 
Nesta parte apresentamos a equação que provavelmente é a mais usada na 
aplicação de escoamento do que qualquer outra equação. A obtenção desta 
importante equação começa com a aplicação da segunda lei de Newton para 
uma partícula do fluido. 
 
Para a dedução desse teorema é necessário considerarmos os fluidos como 
perfeitos ou ideais (não possuem viscosidade, coesão, elasticidade, etc). 
 
 
Teorema das forças vivas. 
 
“a variação da energia cinética de um sistema é igual ao trabalho 
por todas as forças do sistema”. 
 
2.
2
1
VmEc 
 
todeslocamenxforça .. forçasastodasdetrabalhoEc ..... 
 
Forças: Devido a pressão dF = p d A logo p = dF / dA. 
 Devido ao peso w = γ vol. Logo γ = w / vol 
 
Ec2-Ec1 = dF1* dS1 - dF2*dS2 + w (z1-z2) 
 
½ m2 V2
2
 – ½ m1 V1
2
 = P1dA1 * dS1 – P2dA2 * dS2 + γ vol (z1-z2) 
 
dS1 
A2’ 
A1’ 
A1 
A2 
Plano referencia Z2 
dS2 
Z1 
 
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½ m2 V2
2
 – ½ m1 V1
2
 = P1 vol – P2 vol + γ vol (z1-z2) 
 
sendo ρ = m / vol logo m = ρ / vol 
 
½ ρ / vol V2
2
 – ½ ρ / vol V1
2
 = P1 vol – P2 vol + γ vol (z1-z2) // 
dividindo por vol. : 
 
½ ρ V2
2
 – ½ ρ V1
2
 = P1 – P2 + γ (z1-z2) sendo ρ = γ / g 
substituindo temos: 
 
½ γ / g V2
2
 – ½ γ / g V1
2
 = P1 – P2 + γ (z1-z2) dividindo por γ : 
 
½ V2
2
 – ½ V1
2
 = P1 / γ – P2 / γ + (z1-z2) 
teconsz
P
g
V
z
P
g
V
tan..
.2
.1
..
.2
.1
2
2
2
2
1
1
2
1  
 
 
ou seja 
 
“ao longo de qualquer linha de corrente é constante o somatório das 
energias piezométrica, cinética e potencial”. 
 
 O teorema de Bernoulli não é senão o principio de conservação da 
energia. Cada um dos termos representa uma forma de energia 
 
g
V
.2
2 energia cinética = 
)....arg.(..
/
/
2
22
dinamicaouvelocidadedeacm
sm
sm

 
 
 

P
 energia de pressão ou piezométrica = 
)..arg.(..
/
/
3
2
pressaodeacm
mkgf
mkgf

 
 
Z = energia de posição ou potencial = m = carga geométrica ou de posição. 
 
 
 
 
 
 
 
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Demonstração experimental 
 
Instalando-se piezômetros nas diversas seções verifica-se que a água 
sobe a alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidadeé 
maior e, portanto, também é maior a carga cinética, resultando menor 
carga de pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 56 
h 
Sejam: 
h= profundidade do centro do orifício; 
g= aceleração da gravidade; 
V=velocidade media da veia liquida. 
 
Orificio 
agua 
Lei da conservação da massa 
 
Q = A.V 
 
 
 
 
 
 
24. POTENCIA DA CORRENTE FLUIDA 
 
 Em qualquer seção do tubo de corrente, a potencia da corrente fluida 
é, por definição: 







g
VP
ZQN
2
**.
2


 onde Q, é vazão em volume. 
Sendo He (energia total do sistema)= 
g
VP
Z
2
2


 
 
Logo: N = γ * Q * He 
 
 
25. APLICAÇÕES IMEDIATAS DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
1. Teorema de Torricelli 
Suponhamos um recipiente de paredes delgadas e admitamos que a 
superfície livre do liquido seja constante. Em uma parede 
vertical do recipiente, há um orifício pelo qual escoa o liquido. 
 
 
 
hgV **2 
 
2. Tubo de Venturi (fluido ideal hf = 0) 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 57 
Serve para medir, diretamente a vazão Q em tubulações. O venturimetro, 
tubo de venturi ou apenas venturi, consiste em um trecho estrangulado 
da tubulação. Em um venturi horizontal, sejam: 
 
Q= vazão da tubulação; 
A1=seção transversal do ponto 1; seção convergente, 
A2=seção transversal no ponto 2; seção divergente 
 
 
 
 
 
Obs.: também utilizado como injetor de fertilizantes. 
 
onde: g= aceleração da gravidade; 
 γ= peso especifico do fluido; 
 p1= pressão unitária no ponto 1; 
p2= pressão unitária no ponto 2. 
21*
*2
*
2*1
2
2
1
2
pp
g
AA
AA
Q 

 
 
 
Em cada tubo de venturi é constante o produto dos dois primeiros fatores 
do 2º membro. 
 
21* ppKQ 
 
 
Observe-se que o orifício e o tubo de pitot fornecem a velocidade da 
corrente, ao passo que o venturi indica a vazão da tubulação. 
 
 
3. tubo de Pitot 
Serve para medir a velocidade em um ponto qualquer de uma corrente 
liquida (rio, canal, etc). consiste em um tubo de vidro recurvado, de 
pequeno diâmetro e aberto nas duas extremidades. 
 
Sejam: 
 
 V1= velocidade da corrente na 
entrada do tubo de Pitot; 
 g= aceleração da gravidade; 
 h=altura que subiu o liquido no tubo, 
acima da superfície livre; 
 
 
hgV **21 
 
 
 
 
 
2 1 
A1 A2 Tubulação 
Tubo de venturi 
agua 
h 
corrente 
Tubo de 
Pitot 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 58 
26. Lista 9. 
 
Exercício 1. A água escoa pelo tubo indicado abaixo, cuja seção varia do 
ponto 1 para o ponto 2, de 100cm
2
 para 50cm
2
. em 1, a pressão é de 
0,5kgf/cm
2
 e a elevação 100, ao passo que no ponto 2, a pressão é de 
3,38kgf/cm
2
 na elevação 70. calcular a vazão em litros por segundo. 
Resp.: 28l/s. 
 
 
Exercício 2. Na tubulação que parte da barragem a vazão é de 28l/s. A 
pressão no ponto 1 é p1=29,6mca. Calcular a seção da tubulação 
desprezando as perdas de energia. Resp.: A=100cm
2
. 
 
 
 
Exercício 3. Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente, 
em um tubo tronco-conico de 1,83m de altura. As extremidades superior e 
inferior tem os diâmetros de 100 e 50mm, respectivamente. Se a vazão é de 
23l/s, achar a diferença de pressão entre as extremidades do tubo. Resp.: 
p2-p1=4 586 kgf/m
2
. 
30m 
1 
2 
agua 1 
2 
70 
100 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 59 
 
 
 
 
Exercício 4. De uma pequena barragem, parte uma canalização de 250mm de 
diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para 
125m; do tubo de 125, a água passa para a atmosfera sob a forma de jato. 
A vazão foi medida, encontrando-se 105 l/s. Calcular a pressão na seção 
inicial da tubulação de 250mm; a altura de água H na barragem; a potencia 
do jato. Resp: H=3,71m; Potencia = 5,2cv. 
 
 
 
 
 
Exercicio 5. deduzir a expressão que determina a velocidade da corrente 
liquida na entrada do Tubo de Pitot. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H 
Ponto 2 
Jato agua 
Ponto 1 
Q=105L/s 
125mm 
 
 
250mm 
 
V12 
2g 
 
1 
2 
1,83m 
50mm 
100mm 
P R 
h 

1p
g
v
2
1
 
H 
V1 PR 
A B 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 60 
25cm 
h Pitot 
agua 
Exercício 6: O centro de um orifício circular está a 8,5m abaixo da 
superfície livre de água de um reservatório. Determinar o diâmetro deste 
orifício para que a vazão seja de 25,34litros/s 
 
 
(desprezar as perdas de energia) supor escoamento permanente. Resp.: 
50mm. 
 
 
 
Exercício 7: Com um tubo de Pitot mede-se a velocidade da água no centro 
de um conduto com 25cm de diâmetro. A diferença de carga é h=0,1mca. 
Devido ao grande diâmetro, supõe-se que a velocidade media da água neste 
tubo corresponde a 2/3 da velocidade no seu centro. Calcular a vazão 
(l/s). Resp.: 45,6l/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista 9 
 
26. EXERCÍCIOS (Equação da Continuidade e Teorema de Bernoulli) 
 
 
8 - 50 litros/s escoam no interior de uma tubulação de 8” . Esta 
tubulação, de fofo, sofre uma redução de diâmetro e passa para 6”. 
Sabendo-se que a parede da tubulação é de ½” , calcule a velocidade nos 
dois trechos e verifique se ela está dentro dos padrões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
orificio 
8,5m 
7” ½” 
8” 
½” 
Visualização, em corte, do 
diâmetro interno ( Di ) no primeiro 
trecho. 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 61 
9 - No início de uma tubulação de 20 m de comprimento, a vazão é de 250 
litros/h. Ao longo deste trecho são instalados gotejadores com vazão de 4 
litros/h cada, distanciados de 0,5 m. Calcule a vazão no final do trecho. 
 
10 - Um projeto fixou a velocidade V1 para uma vazão Q1, originando um 
diâmetro D1. Mantendo-se V1 e duplicando-se Q1, demonstre que o diâmetro 
terá que aumentar 41%. 
 
11 - A água com  = 1,01 x 10-6 m2/s escoa num tubo de 50 mm de diâmetro. 
Calcule a vazão máxima para que o regime de escoamento seja laminar. 
 
12 - Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente em um 
tubo tronco-cônico de 1,83 m de altura. As extremidades superior e 
inferior do tubo têm os diâmetros de 100 mm e 50 mm, respectivamente. Se 
a vazão é de 23 litros/s, achar a diferença de pressão entre as 
extremidades do tubo. (desprezar as perdas de carga). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 - A um tubo de Venturi, com os pontos 1 e 2 na horizontal, liga-se um 
manômetro diferencial . Sendo Q = 3,14 litros/s e V1 = 1 m/s, calcular os 
diâmetros D1 e D2 do Venturi, desprezando-se as perdas de carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,05 m 
Q 
1 
2 
P.R. 
1 (D1) 2 (D2) 
P.R. 
Q 
0,29 m 
0,03 m água 
mercúrio 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 62 
14 - No tubo recurvado abaixo, a pressão no ponto 1 é de 1,9 kgf/cm
2
. 
Sabendo-se que a vazão transportada é de 23,6 litros/s, calcule a perda 
de carga entre os pontos 1 e 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15- Em um canal de concreto a profundidade é de 1,2 m e as águas escoam 
com uma velocidade media de 2,4 m/s, até um determinado ponto, onde, 
devido a uma queda, a velocidade se eleva a 12 m/s, reduzindo-se a 
profundidade a 0,6 m . desprezando-se as possíveis perdas por atrito. 
Determinar a diferença de nível entre as partes