Pesquisa Operacioanl Exercícios Resolvidos Programação Linear

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Pesquisa Operacional - Programação Linear - Lista de Exercícios 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
 
EXERCÍCIO Nº 1 
 
 
Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, 
octana e aditivo que são disponíveis nas quantidades de 9.600.000, 4.800.000, 2.200.000 litros por 
semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: 
 
 1L de gasolina verde requer 0,22L de gasolina pura, 0,50L de octana e 0,28L de aditivo; 
 1L de gasolina azul requer 0,52L de gasolina pura, 0,34 de octana e 0,14L de aditivo. 
 1L de gasolina comum requer 0,74L de gasolina pura, 0,20L de octana e 0,06L de aditivo. 
 
Como regra de produção, com base na demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que 
a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde, e 
que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a 600.000 litros por semana. 
 
A empresa sabe que a cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para 
o lucro de R$ 0,30, R$ 0,25, e R$ 0,20, respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de 
produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro. 
 
M O D E L O 
 
Definição das Variáveis: 
 
X1 – Quantidade de gasolina verde a produzir 
X2 – Quantidade de gasolina azul a produzir 
X3 – Quantidade de gasolina comum a produzir 
 
Função Objetivo: 
 
Max L = 0,30x1 + 0,25x2 + 0,20x3 
 
Sujeito a: 
 
Gasolina Pura 0,22x1 + 0,52x2 + 0,74x3 < 9.600.000 
Octana 0,50x1 + 0,34x2 + 0,14x3 < 4.800.000 
Aditivo 0,28x1 + 0,14x2 + 0,06x3 < 2.200.000 
Relação Gasolina Comum-Verde 16x1 - X3 
Limite Gasolina Azul X2 < 600.000 
Não Negatividade X1, x2, x3 > 0 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 2 
 
 
A empresa ITAJUBÁ LTDA fabrica e comercializa dois tipos de cadeiras: a cadeira Jenny, menor, de 
espaldar mais baixo, e a cadeira Tom, imponente, de luxo, espaldar alto. O dono da ITAJUBÁ LTDA tem 
que decidir qual a quantidade de cada uma das cadeiras tem que produzir para a próxima feira de 
moveis. Ambas as cadeiras usam a mesma armação, e o fabricante tem disponível apenas 200 
armações. 
 
A diferença básica entre as cadeiras é a quantidade de couro que cada uma delas gasta e o número de 
horas necessárias para se fazer cada tipo de cadeira. A cadeira Jenny, menor, é mais trabalhosa, e gasta 
5 horas de trabalho, enquanto a cadeira Tom gasta apenas 2. Porém, cada cadeira Jenny gasta apenas 3 
metros de couro, ao passo que cada cadeira Tom gasta 4 metros de couro. ITAJUBÁ LTDA tem 
disponíveis 950 homem/horas para o trabalho, e 720 metros de couro. 
 
Cada cadeira Jenny é vendida com um lucro de R$ 350,00 e a cadeira Tom é vendida com um lucro de 
R$300,00. A demanda na feira é grande, de maneira que toda e qualquer quantidade produzida será 
vendida. Quantas cadeiras Tom e quantas cadeiras Jenny a cia ITAJUBÁ LTDA deverá produzir para 
maximizar o lucro na feira? 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
x1 – Quantidade de cadeiras Jenny a produzir 
x2 – Quantidade de cadeiras Tom a produzir 
 
Função objetivo: 
 
Max L = 350x1 + 300x2 
 
Sujeito a: 
 
Armações X1 + x2 < 200 
Quantidade de couro 3x1 + 4x2 < 750 
Homens-hora 5x1 + 2x2 < 950 
Não negatividade X1, x2 > 0 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 3 
 
 
Uma metalúrgica deseja maximizar sua Receita Bruta. A Tabela ilustra a proporção de cada material na 
mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação. 
 
O preço está cotado em Reais por Tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas a 
restrições de disponibilidade de matéria-prima. 
 
 Liga Baixa 
Resistência 
Liga Alta 
Resistência 
Disponibilidade 
Matéria Prima 
Cobre 0,5 0,2 16 Ton. 
Zinco 0,25 0,3 11 Ton. 
Chumbo 0,25 0,5 15 Ton. 
Preço de Venda 
( R$ por Tonelada ) 
R$ 3.000,00 R$ 5.000,00 
 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
x1 – Quantidade produzida de Liga de Baixa Resistência 
x2 – Quantidade produzida de Liga de Alta Resistência 
 
Função Objetivo: 
 
Max L = 3000x1 + 5000x2 
 
Sujeito a: 
 
Cobre 0,5x1 + 0,2x2 < 16 
Zinco 0,25x1 + 0,3x2 < 11 
Chumbo 0,25x1 + 0,5x2 < 15 
Não Negatividade X1, x2 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 4 
 
 
Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 300m de tábuas, 600m de pranchas e 500m de 
painéis de aglomerado. Oferece normalmente 4 modelos de móveis: Escrivaninha, Mesa, Armário e 
Prateleira. Os modelos são vendidos respectivamente por $100,00; $80,00; $120,00; $30,00 e 
consomem: 
 
 Escrivaninha 1m tábua, 3m de painéis. 
 Mesa 1m tábua, 1m prancha, 2m painéis. 
 Armário 1m tábua, 1m prancha, 4 painéis. 
 Prateleira 4m tábua, 2m de prancha. 
 
 
Quanto a empresa deve fabricar de cada produto para ter a maior receita? 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
X1 – Quantidade de escrivaninhas a fabricar 
X2 – Quantidade de mesas a fabricar 
X3 – Quantidade de armários a fabricar 
X4 – Quantidade de prateleiras a fabricar 
 
Função objetivo: 
 
Max L = 100x1 + 80x2 + 120x3 + 30x4 
 
Sujeito a: 
 
Tábua X1 + x2 + x3 + 4x4 < 300 
Prancha X2 + x3 + 2x4 < 600 
Painéis 3x1 + 2x2 + 4x3 < 500 
Não negatividade x1, x2, x3, x4, > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 5 
 
Um confeiteiro fabrica dois tipos de bolo: chocolate e baunilha. Cada bolo de chocolate é vendido a 
R$12,00 e cada um de baunilha a R$ 9,00. Cada bolo de chocolate requer 45 minutos para bater, 20 
minutos para assar e gasta 4 ovos. Cada bolo de baunilha leva 15 minutos para bater, 40 minutos para 
assar e gasta 1 ovo. O confeiteiro dispõe de 8 horas para bater, 8 horas de forno e de 30 ovos. 
 
Ele deseja saber quantos bolos de cada tipo deve produzir para aumentar sua receita. 
 
 Diga claramente quem são as variáveis x1 e x2. 
 Escreva a função objetivo e monte todas as equações de restrição do problema. 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
x1 – Quantidade de bolos de chocolate a produzir 
x2 – Quantidade de bolos de baunilha a produzir 
 
Função objetivo: 
 
Max L = 12x1 + 9x2 
 
Sujeito a: 
 
Bater 45x1 + 15x2 < 480 
Assar 20x1 + 40x2 < 480 
Ovos 4x1 + x2 < 30 
Não negatividade x1, x2, x3 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 6 
 
 
Uma propriedade apresenta dois talhões florestais aptos para corte: talhão1 com 40 ha e 84 m³/ha de 
madeira disponíveis; e talhao2 com 18 ha e uma produtividade de 112 m³/ha. O custo por hectare para 
a administração da venda de madeira é de R$ 300,00, e a disponibilidade de capital é de R$15.000,0. 
 
Ambos os talhões permitem o desenvolvimento de atividades recreativas. Anualmente, o talhão1 é 
capaz de sustentar a 480 visitantes por hectare e o talhão2 apresenta capacidade para 1920 visitantes 
por hectare. A propriedade deve ser capaz de receber no mínimo 10.000 visitantes/ano. Naturalmente,cada hectare cortado fica inutilizado para atividades de recreação. 
 
O problema é determinar quantos hectares explorar em cada talhão de forma a maximizar o volume de 
madeira cortado. 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
x1 – Quantidade de hectares a explorar no talhão 1 
X2 – Quantidade de hectares a explorar no talhão 2 
 
Função objetivo: 
 
Max L = 84x1 + 112x2 
 
Sujeito a: 
 
Área do talhão 1 X1 < 40 
Área do talhão 2 X1 < 18 
Capital 300x1 + 300x2 < 15.000 
Recreação 480(40 – x1) + 1920(18 – x2) > 10.000 
Não negatividade X1, x2 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 7 
 
 
Seja uma empresa que produz quatro produtos A, B, C e D. A fabricação de cada unidade desses 
produtos exige mão de obra, matéria-prima e processamento mecânico, gerando um dado lucro, de 
acordo com a tabela abaixo. 
 
O suprimento de matéria-prima é restrito a 20.000 kg. A disponibilidade de mão de obra é de 15.000 
horas, e a quantidade de horas-máquina é de 40.000 hm. 
 
Pede-se para determinar o plano de produção semanal, de forma a maximizar o lucro. 
 
Recursos A B C D Disponibilidade 
Mão de Obra ( homens-hora / unidade ) 8 3 5 6 15.000 h-h 
Matéria Prima ( kg / unidade) 5 7 4 5 20.000 kg 
Processamento mecânico ( horas / máquina ) 12 9 8 7 40.000 hm 
Lucro ( $ / unidade ) 3 6 5 6 
 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
x1 – Quantidade do produto A à se produzir 
x2 – Quantidade do produto B à se produzir 
x3 – Quantidade do produto C à se produzir 
x4 – Quantidade do produto D à se produzir 
 
Função objetivo: 
 
Max L = 3x1 + 6x2 + 5x3 + 6x4 
 
Sujeito a: 
 
Mão de Obra 8x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 < 15.000 
Matéria Prima 5x1 + 7x2 + 4x3 + 5x4 < 20.000 
Processamento Mecânico 12x1 + 9x2 + 8x3 + 7x4 < 40.000 
Não negatividade X1, x2, x3, x4 > 0 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 8 
 
 
Um fazendeiro deseja otimizar as plantações de arroz e milho na sua fazenda. O fazendeiro quer saber 
as áreas de arroz e milho que devem ser plantadas para que o seu lucro nas plantações sejam o máximo. 
O seu lucro por unidade de área plantada de arroz é R$ 5,00, e de milho R$ 2,00. As áreas plantadas de 
arroz e milho não devem ser maiores que 3 e 4 respectivamente. Cada unidade de área plantada de 
arroz consome 1 homem-hora. Cada unidade de área plantada de milho consome 2 homens-hora. 
 
O consumo total de homens-hora nas duas plantações não deve ser maior que 9. 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
X1 – Área de ser cultivada de arroz 
X2 - Área a ser cultivada de milho 
 
Função objetivo: 
 
Max L = 5x1 + 2x2 
 
Sujeito a: 
 
Área plantada de arroz X1 < 3 
Área plantada de milho X2 < 4 
Homem-hora X1 + 2x2 < 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 9 
 
 
Uma empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de R$ 1.000,00 e o lucro 
unitário de P2 é de R$ 1.800,00. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 
horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 
horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais 
para P2. 
 
Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de 
programação linear para esse caso. 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
x1 – Quantidade do produto P1 a ser produzida 
x2 – Quantidade do produto P2 a ser produzida 
 
Função objetivo: 
 
Max L = 1000x1 + 1800x2 
 
Sujeito a: 
 
Horas 20x1 + 30 x2 < 1200 
Demanda P1 x1 < 40 
Demanda P2 x2 < 30 
Não negatividade x1, x2 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 10 
 
 
Para uma boa alimentação o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de 
vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para 
se alimentar. Cada porção de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada 
porção de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de 
carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor 
custo possível ? 
 
Cada unidade de carne custa R$ 3,00 e cada unidade de ovo custa R$ 2,50. 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
x1 – Quantidade de carne a consumir por dia 
x2 – Quantidade de ovos a consumir por dia 
 
Função objetivo: 
 
Min C = 3x1 + 2,5x2 
 
Sujeito a: 
 
Carne 4x1 + 8x2 > 32 
Ovos 6x1 + 6x2 > 36 
Não negatividade X1, x2 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 11 
 
 
Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de R$ 100 e o lucro unitário de 
P2 é de R$ 150. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar 
uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120horas. As demandas 
esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não 
devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. 
 
Construa o modelo do sistema de produção mensal como objetivo de maximizar o lucro da empresa. 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
x1 – Quantidade a produzir do produto P1 
x2 – Quantidade a produzir do produto P2 
 
Função objetivo: 
 
Max L = 100x1 + 150x2 
 
Sujeito a: 
 
Tempo para produção 2x1 + 3x2 < 120 
Restrição P1 X1 < 40 
Restrição P2 X2 < 30 
Não negatividade X1, x2 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 12 
 
 
Uma empresa fabrica 2 modelos de cinto de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro 
do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa 
poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de 
ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 
para o modelo M1 e 700 para o modelo M2. Os lucros unitários são de R$ 4,00 para M1 e R$ 3,00 para 
M2. 
 
Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo 
do sistema descrito 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
x1 – Quantidade a produzir do produto M1 
x2 – Quantidade a produzir do produto M2 
 
Função objetivo: 
 
Max L = 4x1 + 3x2 
 
Sujeito a: 
 
Qualidade M1 2x1 + x2 < 1.000 
Qualidade M2 x1 + x2 < 800 
Disponibilidade Fivela M1 x1 < 400 
Disponibilidade Fivela M2 x2 < 700 
Não negatividade X1, x2 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 13 
 
 
Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 
minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o 
programa “B” com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 
telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos 
para sua propaganda e que na há verba para mais de 80 minutos de música. 
 
Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de 
telespectadores ? Construa o modelo do sistema. 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
x1 – Frequência semanal do programa A 
x2 – Frequência semanal do programa B 
 
Função objetivo: 
 
Max F = 30.000x1 + 10.000x2 
 
Sujeito a: 
 
Música x1 + x2 > 5 
Propaganda 20x1 + 10x2 < 80 
Não negatividade x1, x2 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 14 
 
 
Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo “A” tem 2 m3 de espaço refrigerado 
e 3m3 de espaço não refrigerado; o tipo “B” tem 2 m3 de espaço refrigerado e 1 m3 de espaço não 
refrigerado. O cliente quer transportar um produto que necessitará 16 m3 de área refrigerada e 12 m3 
de área não refrigerada. A companhia calcula em 1.100 litros o combustível para uma viagem com o 
caminhão “A” e 750 litros para o caminhão “B”. 
 
Quantos caminhões de cada tipo deverão ser usados no transporte do produto, com o menor consumo 
de combustível ? 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
x1 – Número de caminhões do tipo A 
x2 – Número de caminhões do tipo B 
 
Função objetivo: 
 
Min C = 1.100x1 + 750x2 
 
Sujeito a: 
 
Espaço refrigerado 2x1 + 2x2 > 16 
Espaço não refrigerado 3x1 + x2 > 12 
Não negatividade x1, x2 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO Nº 15 
 
 
Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 
recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso destes recursos indicou a possibilidade de se 
fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o 
preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$ 120,00 por unidade e P2, R$ 
150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos. 
 
Produto Recurso 1 por unidade Recurso 2 por unidade Recurso 3 por unidade 
P1 2 3 5 
P2 4 2 3 
Disponibilidade 
de recursos no mês 
100 90 120 
 
M O D E L O 
 
Definição das variáveis: 
 
X1 – Quantidade a produzir de P1 
X2 – Quantidade a produzir de P2 
 
Função objetivo: 
 
Max L = 120x1 + 150x2 
 
Sujeito a: 
 
Recurso 1 por unidade 2x1 + 4x2 < 100 
Recurso 2 por unidade 3x1 + 2x2 < 90 
Recurso 3 por unidade 5x1 + 6x2 < 120 
Não negatividade X1, x2 > 0