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1ª. Lista de exercícios Eletromagnetismo

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Lista de exercícios – Eletromagnetismo 
Livro texto: Eletromagnetismo para Engenheiros. Fawwaz T. Ulaby. ed. Bookman. 
1. Dados os vetores 𝑨 = �̂�4 − �̂�3 + �̂�, 𝑩 = �̂�2 + �̂� + �̂�3 e 𝑪 = �̂�4 + �̂�2 − �̂�2, mostre 
que C é perpendicular tanto a A quanto a B. 
2. Converta as coordenadas dos seguintes pontos de coordenas cartesianas para 
cilíndricas e esféricas. 
a) P1 (1, 2, 0) 
b) P1 (0, 0, 3) 
c) P1 (1, 1, 2) 
3. Use a expressão apropriada para a área de superfície diferencial ds para determinar a 
área de cada uma das seguintes superfícies: 
Esboce também cada superfície. 
a) 𝑟 = 3; 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 3⁄ ; −2 ≤ 𝑧 ≤ 2 
b) 2 ≤ 𝑟 ≤ 5; 𝜋 2⁄ ≤ 𝜙 ≤ 𝜋; 𝑧 = 0 
c) 2 ≤ 𝑟 ≤ 5; 𝜙 = 𝜋 4⁄ ; −2 ≤ 𝑧 ≤ 2 
d) 𝑅 = 2; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 3⁄ ; 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 
e) 0 ≤ 𝑅 ≤ 5; 𝜃 = 𝜋 3⁄ ; 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋 
4. Determine o volume descritos de acordo com os seguintes dados. 
a) 2 ≤ 𝑟 ≤ 5; 𝜋 2⁄ ≤ 𝜙 ≤ 𝜋; 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 
b) 0 ≤ 𝑅 ≤ 5; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 3⁄ ; 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋 
5. Determine o gradiente das seguintes funções escalares: 
a) 𝑇 = 2 (𝑥2 + 𝑧2)⁄ 
b) 𝑉 = 𝑥𝑦2𝑥3 
 
Livro de Física Matemática - Arfken e Weber 
6. Determine as seguintes propriedades vetoriais: 
a) 𝐴 ∙ (�⃗⃗� × 𝐶) 
b) 𝐴 × (�⃗⃗� × 𝐶) 
c) ∇ ∙ (𝑓�⃗�) 
d) ∇ ∙ (∇ × �⃗�) 
e) ∇ ∙ (∇�⃗�) 
f) ∇ × (∇ × �⃗�) 
g) ∇ × (𝑓�⃗�) 
h) ∇(𝐴 ∙ �⃗⃗�) 
 
Livro texto: Física v. 3, (4ª, 8ª e 9ª) ed. (Resnick | Halliday | Krane). 
Professor: Geovan Guerra 
Carga Elétrica e Lei de Coulomb. 
Observação: algumas questões são de outra fonte, mas semelhantes as do livro texto. 
Questões 
1. Um bastão carregado atrai pedaços de pó seco de cortiça que, após tocarem o bastão, 
frequentemente saltam dele com violência. Explique. 
2. Uma carga positiva é colocada bem perto de um condutor isolado descarregado. 
Aterra-se o condutor enquanto se mantém a carga próxima. O condutor ficará carregado 
negativamente, positivamente ou descarregado se? 
a) afasta-se a carga e, então, remove-se o aterramento. 
b) remove-se o aterramento e, então, afasta-se a carga. 
3. Por que os experimentos eletrostáticos não funcionam bem em dias úmidos? 
4. Explique o significado da declaração de que as forças eletrostáticas obedecem ao 
princípio da superposição. 
5. O que significa dizer que uma grandeza física seja? 
a) quantizada. 
b) conservada 
6. Os corpos eletrizados por atrito, contato e indução ficam carregados respectivamente 
com cargas de sinais? 
Problemas 
1. Na etapa de retorno de um relâmpago, uma corrente de 
42,5 10 A
 corre por 
20 s
. 
Quanta carga se transfere nesse evento? 
2. Duas cargas, 
1q
 e 
2q
, mantidas a uma distância fixa d uma da outra. 
a) Encontre a intensidade da força elétrica que age em 
1q
. Suponha que 
1 2 21,3 q q C 
 e que d =1,52 m. 
b) Coloca-se uma terceira carga 
3 21,3 q C
 a uma distância d de 
1q
 e de 
2q
. Calcule 
a intensidade da força elétrica sobre 
1q
. 
3. Duas esferas condutoras idênticas, 1 e 2, possuem quantidades iguais de cargas e são 
fixadas separadas entre si a uma distância grande em comparação com seus diâmetros. 
Elas repelem-se com a força elétrica de 
88 mN
. Suponha agora que uma terceira esfera 
idêntica, 3, tendo uma cabo isolante e inicialmente descarregada, toque inicialmente a 
esfera 1, depois a esfera 2, e seja finalmente removida. Encontre a intensidade da nova 
força entre as esferas 1 e 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1 
1 
1 
2 
2 
2 
2 
3 
3 
F 
F’ -F’ 
-F 
a) b) 
c) d) 
4. Três partículas carregadas estão sobre uma linha reta, separada pela distância d. As 
cargas 
1q
 e 
2q
 são mantidas fixas. Descobre-se que a carga 
3q
, que é livre para se 
deslocar, está em equilíbrio sob a ação das forças elétricas. Encontre 
1q
 em função de 
2q
. 
5. Na teoria de Bohr do átomo de hidrogênio, um elétron se move em uma órbita 
circular em torno do próton, onde o raio da órbita é 
100,529 10 m
. (carga do elétron, 
191,6 10 eq C
  
, massa do elétron, 
319,11 10 em Kg
 
) 
a) Encontre a força elétrica exercida em cada partícula. 
b) Se essa força causa a aceleração centrípeta do elétron, qual é a velocidade do elétron? 
6. Duas esferas condutoras idênticas, tendo cargas de sinais opostos, atraem-se com uma 
força de 0,108 N quando separadas por 50,0 cm. As esferas são subitamente conectadas 
por um fio condutor fino, que é então removido e, em seguida, elas repelem-se uma à 
outra com uma força de 0,0360 N. Quais eram as cargas iniciais das esferas? 
7. Duas pequenas esféricas metálicas iguais são suspensas de um ponto O por dois fios 
isolantes de mesmo comprimento L=0,5 m. As esferas são igualmente eletrizadas com 
carga 
1,0 q C
. Sabendo-se que na posição de equilíbrio, os fios formam com a 
vertical ângulos de 45º, determine o peso de cada esfera. O meio é o vácuo cuja a 
constante eletrostática é 2
9
2
9 10 
N m
k
C

 
. 
 
 
 
 
 
 
8. Encontre as componentes horizontal e vertical da força elétrica resultante sobre a 
carga situada no vértice inferior esquerdo do quadrado. Suponha 
1,13 q C
e 
15,2 a cm
 e que as cargas estejam em repouso. 
 
+q +q 
L L 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Duas cargas pontuais positivas, iguais a q, são mantidas à distância fixa 2a. Uma 
carga pontual de prova localiza-se em um plano normal à linha que liga aquelas cargas e 
na metade do caminho entre elas. Encontre o raio R do círculo nesse plano para o qual a 
força sobre a partícula de prova tenha valor máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
10. Três pequenas bolas, cada uma de massa 13,3 g, são suspensas separadamente de 
um ponto comum por fios de seda, cada um com 1,17 m de comprimento. As bolas 
estão carregadas identicamente e situam-se nos vértices de um triângulo equilátero de 
15,3 cm de lado. Encontre a carga de cada bola. 
 
 
 
 
 
 
a 
a 
R 
q 
q 
+q 
+2q -2q 
-q 
q 
q 
q 
l l 
l 
d 
d d 
 
Campo Elétrico 
1. Linhas de forças elétricas, como imaginada por Fadaray, nunca se cruzam. Por quê? 
2. Duas cargas pontuais, de módulos e sinais desconhecidos, estão separadas por uma 
distância d. O campo elétrico é igual a zero em um ponto situada entre elas, sobre a 
linha que as unem. O que você pode concluir sobre essas cargas? 
3. Um próton é colocado num campo elétrico uniforme E. Quais devem ser a 
magnitude, a direção e o sentido deste campo, sabendo-se que a força eletrostática que 
atua sobre o próton equilibra o seu peso? 
4. Um elétron é acelerado, no sentido leste, a 
91,84 10 m s
 por um campo elétrico. 
Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico. 
5. Em cada vértice de um quadrado fixam-se cargas elétricas puntiforme de valores 
1 , 2 , 3 , e 4C C C   
, conforme a figura. Qual a intensidade do vetor campo elétrico 
resultante no centro O do quadrado? O meio é o vácuo e o quadrado tem lado 
0,6 L m
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. O mostrador de um relógio possui cargas pontuais negativas –q, -2q, -3q,..., -12q 
fixas nas posições dos numerais correspondentes. Os ponteiros do relógio não 
perturbam o campo. A que horas o ponteiro das horas aponta no mesmo sentido do 
campo elétrico existente no centro do relógio? (Considere cargas diametralmente 
opostas) 
1 C
 
2 C
 
3 C
 
4 C
 
L 
L 
O 
7. Calcule o campo elétrico E produzido por duas cargas pontuais num ponto P situado 
na linha que unem as duas cargas a uma distância x da carga mais próxima. Admita que 
as cargas estejam separadaspor uma distância d. Suponha 
6
1 1,0 10 q C
  
 e 
6
2 3,0 10 q C
  
 e 
10 d cm
. 
 
 
 
 
8. Calcule o campo elétrico produzido por duas cargas q positivas num ponto P situado 
na mediatriz entre as duas cargas a uma distância x. Admita que as cargas estejam 
separadas por uma distância d. Encontre o campo elétrico para 
x d
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Calcule o campo elétrico produzido por um dipolo elétrico num ponto P situado na 
mediatriz entre as duas cargas a uma distância x. Admita que as cargas estejam 
separadas por uma distância d. Encontre o campo elétrico para 
x d
. 
 
 
 
 
 
+q 
P 
x d 
q2 q1 
P 
x 
d 
+q 
+q 
P 
x 
d 
-q 
10. Um fino bastão não condutor, de comprimento finito L, possui uma carga total q, 
uniformemente distribuída em toda sua extensão. Mostre que E, no ponto P situado 
sobre a mediatriz é dado por: 
 
 
 
 
1 2
2 2
0
1
 
2 4
q
E
y L y


 
 
11. Utilizando a figura da questão anterior, encontre E para um bastão infinito. 
12. Calcule o campo elétrico E para um anel carregado uniformemente com carga 
positiva para um ponto P situado no seu eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
12. Calcule o campo elétrico E para um disco carregado uniformemente com carga 
positiva para um ponto P situado no seu eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
P 
y 
L 
P 
R 
P 
R 
 
13. Um dipolo elétrico consiste de cargas +2e e -2e, separadas por uma distância de 
0,78 nm. Ele está colocado num campo elétrico uniforme de intensidade 
63,4 10 N C
. 
Calcule a magnitude do torque aplicado sobre o dipolo quando o momento de dipolo é: 
a) paralelo 
b) perpendicular 
c) oposto ao campo elétrico 
14. Determine o trabalho necessário para girar um dipolo elétrico de 180º num campo 
elétrico uniforme E, em termos do momento de dipolo p e do ângulo inicial 
0
 entre p e 
E. 
15. Utilizando a lei de Gauss determine o campo elétrico para uma carga puntiforme 
isolada num ponto à uma distância r. 
16. Determine o campo elétrico gerado por uma superfície condutora fechada com 
densidade de cargas 
q
S
 
. 
17. Determine o campo elétrico gerado por uma linha infinita de cargas. 
18. Determine o campo elétrico gerado por: 
a) uma lâmina infinita de cargas não condutora. 
b) E para uma lâmina delgada com duas grandes placas com densidade superficial de 
cargas 
 e + 
. Determine E à esquerda, entre e à direita das placas. 
 
 
 
 
 
19. Determine o campo elétrico gerado por uma casca esférica uniformemente carregada 
não condutora de raio R para um ponto fora da esfera e para outro ponto dentro da 
esfera. 

 

 
20. Determine o campo elétrico gerado por uma esfera uniformemente carregada não 
condutora de raio R para um ponto dentro da esfera. Sabendo que: 
 
 
 
 
 
E 
r 
R 
E r
 
2E r

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