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Aps 1º semestre - UNIP

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na orbita de júpiter e marte, era necessário que calculasse rapidamente sua orbita já que em pouco tempo o esplendor da luz solar esconderia sua trajetória. A tarefa foi designada a Gauss que desenvolveu um método matemático para descobrir a trajetória de Ceres, com êxito em sua tarefa, o matemático ficou voltado para astronomia de 1801 a 1816, várias publicações foram feitas da mecânica celeste. A partir do ano de 1816, Gauss se dedicou a geometria diferencial (que estuda as propriedades de forma e curvatura das superfícies no espaço, definidas por meio de equações ou simplesmente com base nas características gerais da sua forma). Ocupou-se com geometria não euclidiana que serviu como base para Albert Einstein lançar sua teoria da relatividade geral.
Gauss casou-se em 1805, no mesmo ano o Duque de Braunschweig aumentou sua pensão, mas neste ano o Duque faleceu, o matemático precisando de um meio para sustentar sua família foi convidado para trabalhar em São Petersburgo, pois sua fama já havia se espalhado em toda Europa, o matemático tendo em vista uma proposta melhor foi trabalhar na direção do observatório de Gottingen. Em 1811 Gauss casa-se pela segunda vez e confirma a trajetória do astro Ceres por ele calculada.
Na fase final de sua vida Gauss estudava a descrição de certos fenômenos matemáticos como as linhas de ação do campo magnético, a força centrifuga originada pela rotação terrestre, e um dos assuntos mais estudados pelo matemático foi a Geodésia (estuda as dimensões da terra), na qual lançou cerca de cento e cinquenta e cinco volumes sobre o assunto. De 1820 a 1848 foi conselheiro cientifico dos governos de Hannover e da Dinamarca. Um de seus inventos foram o telégrafo óptico e o telégrafo a fio, o magnetômetro, estas invenções nunca foram patenteadas por Gauss, por isso mais tarde outros cientistas se beneficiaram com elas.
Gauss faleceu em 23 de fevereiro de 1855 e a sua morte coincide com o incremento da revolução industrial. Sua morte levou muito dos progressos científicos que ainda estariam por vir, dando fim a uma era, a era de Johann Carl Friedrich Gauss.
Exposição de ideias, teorias e/ou leis
Disputationes arithmeticae
Gauss resumiu as ideias que teria tido durante longos anos de 1795 – 1801, em um único trabalho que fora publicado em Leipzig no ano de 1801, Disputationes arithmeticae.
A impressão do manuscrito foi paga pelo Duque Ferdinand quem sempre auxilio o trabalho e os estudos de Gauss. O livro se inicia com uma dedicatória a “Sua Graciosa Alteza, Principe e Lorde Carl Wihelm Ferdinand, Duque de Braunschweig e Lüneburg.” Gauss Também declara que sem a bondade do Duque, “nunca teria conseguido dedicar-me à matemática, na qual tenho estado sempre mergulhado com apaixonado amor.” Mesmo com tanta melancolia não estamos retratando de uma simples bajulação vazia, mas sim de sentimentos verdadeiros sentidos por Friedrich Gauss.
As Disputationes arithmeticae estão divididas em sete partes:
Congruências em geral
Congruências de primeiro grau
Resto de potencias
Congruência do segundo grau
Formas quadráticas
Aplicações 
Divisões do circulo
Iremos apresentar um resumo da obra de Disputationes arithmeticae.
Congruências em Geral e Congruências de Primeiro Grau
Na primeira pagina Gauss introduz um novo símbolo matemático e diz que:
Sejam a e b dois números inteiros, diremos que o número a é congruente ao número b módulo m, onde m é um número inteiro não nulo, se e somente se, a diferença  (a–b) for divisível por m ≠ 0. A congruência dos números a e b módulo m, será indicada pelo símbolo a ≡ b (mod. m). 
 
Teremos, pela definição: 
a ≡ b (mod m)  Û  a - b = k . m, onde k e m são números inteiros, com m não nulo.
Podemos dizer que os números a e b são côngruos ou congruentes segundo o módulo m, ou simplesmente congruentes módulo m.
Gauss escolheu o símbolo com grande previdência, dada a analogia entre congruências e igualdades. A noção de congruência é mais inclusiva, dado que podemos considerar a igualdade uma congruência de módulo 0.
Na segunda seção do seu Disquisitiones arithmeticae Gauss primeiro provou alguns teoremas donde saiu aquele que usualmente é chamado o Teorema Fundamental da Aritmética:
Todo o número natural maior que 1 pode, exceto pela ordem dos fatores, ser escrito de uma e uma só maneira como produto de números primos.
Usando o teorema fundamental da álgebra Gauss depois determinou o máximo divisor comum (a,b) e o mínimo múltiplo comum {a,b}, de dois números a e b.
O resultado de Gauss para a solubilidade das congruências lineares é:
Se (a.m) = d, então é condição necessária e suficiente para que a congruência a ≡ b(mod m) seja solúvel que d seja um divisor de b. Então logo existem d diferentes sequências de soluções, ou seja, d soluções.
Congruências de Segundo Grau
Na terceira e na quarta seções Gauss continuou com as congruências de grau superior. 
Se p é um número primo e a é um numero inteiro qualquer não divisível por p, então . A quarta seção se refere a uma das partes mais interessantes da teoria dos números, a teoria dos restos quadráticos. Um número só é chamado resto quadrático do número m se e somente se a congruência x² ≡ a (mod m) tiver solução. Se a congruência não existe solução, então a não é um resto quadrático de m.
Formas Quadráticas
Na quinta seção Gauss primeiro manuseia a forma binaria quadrática, isto é, uma expressão da forma, onde o problema é determinar as soluções inteiras de x e y da equação Diofantina = m, onde a, b, c e m são números inteiros dados.
Um dos teoremas contidos nas Disquisitiones tinha sido incompletamente demonstrado dois anos antes pelo renomado matemático francês Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833). É a lei da reciprocidade quadrática. Gauss chamou esta lei de theorema aureum  e a ele dedicou uma seção inteira do seu livro na qual expôs sua demonstração conclusiva.
A lei da reciprocidade quadrática pode ser formulada de diversas formas, a mais curta provavelmente é a seguinte:
O número primo p é um erro quadrático ou não é um erro de outro número primo p de acordo com ser um erro ou não de p.
A Divisão do Círculo
Na sexta e última seção Gauss aplica os resultados anteriores à congruência binomial onde p é um número primo e n é um número natural. A relação entre estas congruências aritméticas e a equação binomial xn=1 dá a solução para o problema da divisão do círculo e da construção do polígono regular de 17 lados, resolvido por Friedrich Gauss, após esse fato Gauss decidiu continuar no caminho da matemática e deixar os planos de Filólogo. 
Friedrich Gauss nunca teve muitos amigos, talvez pela sua seriedade e determinação para alcançar seus objetivos em uma idade precoce. Porem entre os poucos existia o húngaro Wolfgang Bolyai (1775-1856). Bolyai estudou em Göttingen durante 1796- 1799 e mais tarde tornou-se professor de Matemática em Maros.
Gauss dizia que este podia ser o único a ter o mesmo pensamento sobre o Teorema fundamental da álgebra. Assim eles trocaram cartas por mais de 50 anos e fortalecia a amizade.
A 16 de Julho de 1799, Gauss foi graduado Doutor em Filosofia pela Universidade de Helmstedt. A sua tese, publicada nesse mesmo ano, sob o título Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicum rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (Uma nova demonstração de que todos os polinómios de uma variável podem ser factorizados em factores reais de primeiro e segundo grau), é uma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra.
O Teorema Fundamental da Álgebra pode enunciar-se de forma geral: Toda a equação polinomial tem pelo menos uma raiz. O facto de uma equação polinomial de grau n ter sempre n raízes é então um simples corolário.
As diferentes demonstrações deste teorema são as contribuições mais importantes que Gauss deu como rigorista, isto é, como representante do rigor

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