NA_04 - Lajes 2013 - parte 1

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UUNNIIPP -- UUnniivveerrssiiddaaddee PPaauulliissttaa 
ECA – ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
Fernando de Moraes Mihalik 
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EESSTTRRUUTTUURRAASS 
 
 
DDEE CCOONNCCRREETTOO AARRMMAADDOO 
 
 
EECCAA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NNOOTTAASS DDEE AAUULLAA -- 0044 
CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLAAJJEESS MMAACCIIÇÇAASS EEMM CCOONNCCRREETTOO AARRMMAADDOO 
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Fernando de Moraes Mihalik 
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NA_04/2013 
EESSTTRRUUTTUURRAASS 
NNOOTTAASS DDEE AAUULLAA -- PPAARRTTEE 44 
CCÁÁLLCCUULLOO DDEE LLAAJJEESS MMAACCIIÇÇAASS EEMM CCOONNCCRREETTOO AARRMMAADDOO 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
São peças de pequena 
espessura quando 
comparadas às demais 
dimensões (estruturas 
laminares planas), sujeitas 
basicamente a esforços de 
flexão, onde as cargas 
atuam normalmente ao seu 
plano médio. Comumente apoiam-se em vigas em seu contorno. 
 
Analisaremos basicamente as lajes retangulares, e chamaremos os lados de lx e ly, sendo ly  lx, 
e a espessura de h. 
 
 
 
 
PRINCIPAIS TIPOS DE LAJES 
 
a) Lajes Maciças: São placas maciças de concreto armado, executadas sobre formas 
planas. 
 
São as comumente utilizadas, sendo 
portanto as analisadas no curso. 
 
Podem ser moldadas “in loco” ou 
pré-moldadas. 
 
 
 
 
b) Lajes Nervuradas: São aquelas que apresentam na zona tracionada nervuras de concreto 
armado, 
podendo 
ser 
colocado 
entre 
elas 
material 
inerte ou 
não. 
 
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Uma forma de se obter as nervuras na laje é a instalação de 
formas plásticas, também conhecidas como cubetas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muitas vezes as lajes são feitas com vigotas pré-moldadas, intercadas com cerâmica ou EPS (isopor), 
formando as lajes conhecidas como lajes tipo pré ou 
prél, ou mesmo volterrana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos casos de lajes nervuradas, elas passam a ser armadas em 1 direção ou em 2 direções, em função 
das direções de funcionamento das nervuras. 
 
 
c) Lajes Caixão: São lajes nervuradas que apresentam uma mesa na face inferior, e um 
espaço interno 
preenchido com 
material inerte ou 
forma perdida. 
Atualmente vem 
sendo pouco 
utilizadas. 
 
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Um exemplo desse tipo de laje é a laje alveolar, pré-fabricada placas de concreto protendido, 
apresentada na figura abaixo, que possui vazios no centro e faces superior e inferior lisas. 
 
 
d) Lajes Mistas: São executadas com dois tipos de estruturas, ou seja, conjuntamente em 
concreto armado e 
blocos cerâmicos 
capazes de resistir 
aos esforços de 
compressão 
oriundos da flexão 
quando solidários 
com nervuras de 
concreto; ou então 
com perfis 
metálicos capazes 
de resistir aos 
esforços de 
tração, 
substituindo assim 
as armaduras no 
concreto. 
 
 
 
 
Um exemplo desse tipo de laje é a laje steel-deck, que possui nervuras preenchidas com 
concreto, e a armadura principal faz parte da forma, que é perdida, em aço corrugado. 
 
 
 
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e) Lajes Cogumelo: (Ou lajes sem vigas) São lajes que se apoiam diretamente em pilares, 
sem a existência de vigas. 
 
Como há uma concentração de 
cargas nas proximidades do pilar, 
pode haver necessidade de 
aumento da espessura da laje na 
região que envolve o pilar, 
denominada “capitel”. 
 
 
 
 
 
 
CAPITEL - DETALHE EM CORTE 
 
 
 
 
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2. VÃOS TEÓRICOS (lt ): 
No caso geral o vão teórico da laje na direção considerada (x ou y) é a distância entre os eixos 
dos apoios. 
Daqui em diante, os vãos teóricos nas direções x e y serão denominados lx 
e ly . (sendo ly o maior dos dois, ou seja: ly  lx ) 
l 
 
Observação: Em casos onde as vigas de apoio forem muito largos, mas que não representam os mais 
corriqueiros, não é necessário adotar para o vão teórico valores maiores que: 
 
a) em lajes isoladas: o vão livre acrescido da espessura da laje no meio do vão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) em vão extremo de laje contínua: 
O vão livre acrescido da semi-largura do apoio interno e da semi-espessura da laje no meio do vão. 
 
 
 
 
 
 
 
c) lajes em balanço: laje contínua: 
O vão livre acrescido da semi-largura no apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
 
3.1. Espessuras Mínimas - Lajes Maciças: (NBR 6118 – item 13.2.4.1) 
 
As espessuras das lajes maciças (h) não devem ser inferiores a: 
 7 cm, nas lajes destinadas a pisos. 
 5 cm, nas lajes de cobertura não destinadas a piso, e que não estejam em balanço. 
 10 cm, nas lajes destinadas a passagem de veículos de peso total menor ou igual a 
30kN (3 tf). 
 12 cm, nas lajes destinadas a passagem de veículos de peso total maior que 30kN. 
 
 
3.2. Cargas Atuantes: (ref.: NBR-6120 – Cargas para o Cálculo de Edificações) 
 
a) Cargas Permanentes: 
 
Peso Específico 
tf / m3 kN / m3 
Concreto Armado 2,5 25 
Concreto Simples 2,4 24 
Alvenaria de tijolos maciços 1,8 18 
Alvenaria de tijolos furados 1,3 13 
Alvenaria de blocos de concreto 1,4 14 
Entulho de obra 1,3 13 
Tijolos sílico-calcáreos 2,0 20 
 
 Valores usuais: 
revestimento de piso – espessura 5 cm: carga distribuída = 0,08 tf/m² (0,8 kN/m²) 
 
b) Cargas Acidentais: 
 
Carga Distribuída 
tf / m2 kN / m2 
Dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro 0,15 1,5 
Despensa, área de serviços e lavanderia 0,20 2,0 
Escada sem acesso ao público 0,25 2,5 
Escada com acesso ao público 0,30 3,0 
Casa de máquinas 0,75 7,5 
Forro sem acesso as pessoas 0,05 0,5 
 
 
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4. CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES 
 
4.1. Quanto às dimensões : (sendo ly  lx) 
 
Armada em cruz ly  2 lx 
Armada em uma direção ly > 2 lx 
 
 
 
4.2. Quanto ao tipo de apoio: 
 
OBSERVAÇÃO: Casos onde há continuidade 
entre lajes e não se considera engastamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. SEQUÊNCIA DE CÁLCULO - LAJES MACIÇAS 
 
5.1. Identificação dos painéis de laje - definição dos vãos e condições de apoio. 
5.2. Levantamento das cargas atuantes em cada laje. 
5.3. Cálculo dos esforços atuantes em cada laje e das reações de apoio nas vigas. 
5.4. Cálculo das armaduras de flexão e verificação das deformações (flechas). 
5.5. Detalhamento das armaduras. 
 
 
OObbss:: 
NNaass llaajjeess nneerrvvuurraaddaass aa ddiirreeççããoo ddaa 
aarrmmaadduurraa éé ddaaddaa ppeellaa ddiirreeççããoo ddaa nneerrvvuurraa,, 
ee nnããoo ppeellaa ggeeoommeettrriiaa ddaa llaajjee.. 
EExxcceeççõõeess:: 
11.. LLaajjee aaddjjaacceennttee aa bbaallaannççoo –– 
sseemmpprree aappooiiaaddoo.. 
22.. LLaajjeess ccoomm eessppeessssuurraass mmuuiittoo 
ddiiffeerreenntteess((ppoorr eexxeemmpplloo,, mmaaiiss 
ddee 22 ccmm ddee ddiiffeerreennççaa eemm 
eeddiiffíícciiooss rreessiiddeenncciiaaiiss)) 
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6. CÁLCULO DE ESFORÇOS EM LAJES MACIÇAS 
 
6.1. Consideração das Cargas Aplicadas 
 
As cargas que estão aplicadas nas lajes são, na maioria dos casos, cargas uniformemente 
distribuídas em toda a sua área. São elas: 
- peso próprio da laje 
- peso do revestimento de piso 
- carga acidental 
- peso das paredes de alvenaria sobre a laje (não diretamente sobre as vigas) 
 
Na prática, e de uma forma simplificada, na maioria dos casos, quando existem paredes de 
alvenaria diretamente sobre a laje, distribui-se a sua carga total sobre a toda a área da laje, 
recaindo no cálculo de cargas distribuídas. Em alguns casos, principalmente em lajes armadas em 
uma direção ou em casos de cargas elevadas, considera-se a carga como concentrada. 
 
Às vezes, outras cargas estão aplicadas nas lajes. São elas: 
- peso do forro do teto, pendurado na laje 
- peso das camadas de impermeabilização – inclusive proteção mecânica e argamassa para 
caimento de drenagem 
- peso de material de enchimento sobre a laje 
- peso de camada de terra sobre a laje (no caso de jardins), ou de água (no caso de piscinas) 
 
 
6.2. Lajes Armadas em uma Direção 
 
Os esforços fletores, as reações de apoio e a flecha máxima nas lajes armadas em uma 
direção são calculados de modo análogo ao de uma viga de largura bw = 1m, segundo a 
direção paralela ao menor lado (lx). 
 
a) Lajes Isoladas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Lajes Contínuas: 
 
 
c) Lajes em Balanços: 
 
 
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6.3. Lajes Armadas em Cruz: 
 
6.3.1. Momentos Fletores 
 
Sequência de Cálculo dos Momentos Fletores em painéis contínuos de lajes 
 
a) Calcula-se os momentos fletores separadamente para cada painel isolado: 
 
- Isola-se cada laje considerando seus apoios engastados ou simplesmente apoiados. 
 - Considera-se um lado engastado quando há continuidade com a laje adjacente; 
 - Considera-se um lado simplesmente apoiado quando não há continuidade com a laje adjacente 
(quando não houver laje adjacente ou quando a laje adjacente estiver em outro nível – laje 
rebaixada, por exemplo). 
 
 
Obs: (A hachura em verde está indicando as lajes rebaixadas) 
 
No exemplo acima, se fizermos um corte AA na estrutura (em outra escala, para melhor compreensão, 
obteremos o seguinte desenho: 
 
 
 
 
 
 
RREESSUUMMOO:: CCRRIITTÉÉRRIIOO DDEE CCOONNSSIIDDEERRAAÇÇÃÃOO DDEE EENNGGAASSTTEE:: 
CCoonnssiiddeerraa--ssee eennggaassttee qquuaannddoo hháá ccoonnttiinnuuiiddaaddee eennttrree ooss ppaaiinnééiiss ddee llaajjeess 
aaddjjaacceenntteess.. 
EEXXCCEEÇÇÕÕEESS:: 
11.. NNaass llaajjeess aaddjjaacceenntteess aa bbaallaannççooss ccoonnssiiddeerraa--ssee sseemmpprree aappooiioo ssiimmpplleess.. 
22.. QQuuaannddoo dduuaass llaajjeess ppoossssuueemm eessppeessssuurraass mmuuiittoo ddiiffeerreenntteess,, ccoonnssiiddeerraa--ssee 
eennggaassttee aappeennaass nnaa llaajjee mmaaiiss eessbbeellttaa,, ee aappooiioo nnaa llaajjee mmaaiiss eessppeessssaa.. 
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Cálculo dos Momentos Fletores nas Lajes Isoladas: 
 
Os momentos fletores nas lajes isoladas podem ser calculados com a utilização das Tabelas de 
Czerny (teoria da elasticidade) [ Ref.: Beton - Kalender - 1976], considerando-se  = 0,20 (módulo 
de deformação transversal - coeficiente de Poisson). 
 
Para essas tabelas: ly: maior vão e lx: menor vão 
 
 
As tabelas de Czerny nos fornecem coeficientes (,) que nos permitem calcular os valores dos 
momentos fletores máximos (positivos e negativos) ao longo das direções x e y, paralelas aos lados 
lx e ly, e a flecha máxima da laje. 
laje a sobre adistribuid carga a é * 
y
plxMby
y
plxMy
x
plxMbx
x
plxMx
22
22
p 
 




 
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b) Junta-se as lajes, com a consideração da continuidade, fazendo-se a compatibilização (ou 
equilíbrio) dos momentos negativos entre as lajes adjacentes. 
Supondo que Mb2  Mb1, o valor do momento final M1-2 a considerar será: 
 
 
Observação: Ao fazer essa compatibilização, considera-se que os momentos positivos finais 
após a união das lajes não se alteram. 
(A influência desse equilíbrio dos momentos negativos é desprezível na maioria dos casos, e a 
laje redistribui os esforços). 
 
 








221
12
21
21
Mb 0,8M 
2
MbMbM 
 MáxM , isto é, o maior desses 2 valores 
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6.3.2. Reações de Apoio 
 
As cargas nas vigas de apoio das lajes retangulares sujeitas a cargas uniformemente distribuídas 
podem ser calculadas pelas áreas de contribuição decorrentes das cargas dos trapézios ou 
triângulos obtidos pelo traçado de ângulos de 45º, 60º ou 90º a partir dos vértices, da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.3.3. Flecha máxima no centro da laje: 
 
 
E: módulo de elasticidade do concreto 
h: espessura da laje 
Eh
plxa
a
3
4

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7. CÁLCULO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS DE FLEXÃO - LAJES MACIÇAS 
 
 
7.1. Cálculo das Armaduras de Flexão Necessárias 
 
O cálculo das armaduras necessárias para resistir aos momentos fletores nas lajes em 
cada direção é feito para uma seção de 1 metro de largura, de forma análoga a de uma 
viga com bw=100 cm sujeita a um momento fletor característico Mk. Isso se deve ao fato 
que os momentos calculados nas lajes são para uma largura unitária. 
 
Assim sendo, 
podemos usar as 
tabelas para o 
dimensionamento de 
seções à flexão 
simples, conhecidas 
também como 
tabelas de k6 e k3. 
 
Taxa de armadura de flexão : s 
s = As/ bw h  min 
 
d
M.
10
kAs
 
d
MkAs
M
.fcdbk
k3
nec
k
3nec
k
2
w
6


 
 
 
(pela tabela obtém-se o valor de k3 correspondente) 
 
 
(se M em tf cm/m) 
 
 
(se M em kN cm / m) 
 
 
 (onde fc = 0,85 fcd = 0,85 fck / c) 
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7.2. Disposições Construtivas (NBR_6118 – item 19.3.3) 
 
a) Armaduras Mínimas - Aço CA-50: 
Asmin = s bw h , com bw=100cm 
 
b) Diâmetro das Barras: 
 
  h/8 
 
c) Espaçamento entre as Barras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor de espaçamento mínimo entre as barras acima indicado, de 7 cm, é normalmente utilizado 
como recomendação, no sentido de facilitar a concretagem; em tese o espaçamento mínimo pode 
ser determinado de forma que sobre uma distância livre entre as barras para a passagem do 
concreto igual a 3 cm. Assim o valor de Smin seria: 
Smin =  barra + 3 cm 
 
Já os valoresde Smax indicados são os valores apresentados na norma. 
Smin : valor recomendado = 7 cm 
 
 2 h 
Smáx = 
 20 cm 
fck (MPa) 20 25 30 35 40 45 50
armaduras negativas 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
armadura positiva 
(principal) de lajes 
armadas em cruz
0,101 0,101 0,116 0,135 0,154 0,174 0,193
armadura positiva 
(principal) de lajes 
armadas em 1 direção
0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
As/s  20% da armadura principal
As/s  0,9 cm²/ms  1,5 min
OBS: Valores de min válidos para aço CA-50, c = 1,4 e s = 1,15
VALORES MÍNIMOS DE s (min)
armadura positiva 
(secundária) de lajes 
armadas em 1 direção
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d) Cobrimento das Armaduras: 
 
Valores de cobrimentos mínimos em função da agressividade do ambiente: 
 
 
 
 
 
TABELA DE CLASSES DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL 
 
 
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7.3. Determinação do número, formato e dimensões das barras. 
 
 
 
a) Armadura Positiva - para resistir aos momentos dos vãos das lajes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Detalhes das extremidades dos ferros na região dos apoios (recomendação): 
 
 
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




2hlb 
4
 maiorlx 
 a
 
 
lx maior = maior dos lados menores 
 (lx) das 2 lajes 
 
lb = comprimento de ancoragem 
 
b) Armadura Negativa - para resistir aos momentos negativos entre as lajes 
(após a sua compatibilização)